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1.5　全称量词与存在量词
1.5.1　全称量词与存在量词
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.理解全称量词、全称量词命题的定义. 2.理解存在量词、存在量词命题的定义. 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 1、逻辑推理 2、数学抽象
【自主学习】
全称量词与全称命题
全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给
符号
全称命题 含有 的命题
形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“ ”
2.　存在量词与特称命题
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
特称命题 含有 的命题
形式 “存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“ ”
【小试牛刀】
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．(　　)
(2)“三角形内角和是180°”是存在量词命题．(　　)
(3)“有些三角形没有内切圆”是存在量词命题．(　　)
(4) “有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(　 　)
(5)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( 　)
【经典例题】
题型一　全称命题与特称命题的辨析
例1　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的向量方向不定；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
(4)存在二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点．
[跟踪训练] 1 将下列命题用“ ”或“ ”表示．
(1)实数的平方是非负数；
(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一个负根；
题型二 全称量词命题和存在量词命题的真假判断
例2 判断下列全称量词命题的真假．
(1)对每一个无理数x，x2也是无理数．
(2)末位是零的整数，可以被5整除．
(3) x∈R，有|x＋1|>1.
[跟踪训练] 2 判断下列存在量词命题的真假．
(1)有的集合中不含有任何元素．
(2)存在对角线不互相垂直的菱形．
(3) x∈R，满足3x2＋2>0.
(4)有些整数只有两个正因数．
题型三 由含量词的命题求参数
例3 　已知命题“ 1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．
[变式]　若把本例中的“ ”改为“ ”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
[跟踪训练] 3　已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若至少存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．
【当堂达标】
1．给出下列四个命题：
①y＝ xy＝1；②矩形都不是梯形；③ x，y∈R，x2＋y2≤1；④等腰三角形的底边的高线、中线重合．
其中全称量词命题是________．
2．四个命题：① x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；② x∈Q，x2＝2；③ x∈R，x2＋1＝0；④ x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．
3．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“ ”或“ ”可表述为________ _____．
4．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“ ”或“ ”符号表示为________ ________．
5．若对于任意x∈R，都有ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围是________．
6. 命题：3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题，求实数m的取值范围．
【参考答案】
【自主学习】
全称量词 x∈M，p(x) 存在量词 x0∈M，p(x0)
【小试牛刀】
(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√
【经典例题】
例1 解　(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．
(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．
(4)含有量词“存在”，是存在量词命题．
[跟踪训练] 1 (1) x∈R，x2≥0.
(2) x0<0，ax＋2x0＋1＝0(a<0)．
例2 [解]　(1)因为是无理数，但()2＝2是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．
(2)因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题．
(3)当x＝0时，不满足|x＋1|>1，所以“ x∈R，有|x＋1|>1”为假命题．
[跟踪训练] 2　(1)由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题．
(2)由于所有菱形的对角线都互相垂直．所以不存在对角线不垂直的菱形．因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题．
(3) x∈R，有3x2＋2>0，因此存在量词命题“ x∈R,3x2＋2>0”是假命题．
(4)由于存在整数3只有正因数1和3.所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题．
例3 [解]　∵“ 1≤x≤2，x2－m≥0”成立，
∴x2－m≥0对1≤x≤2恒成立．
又y＝x2在1≤x≤2上y随x增大而增大，∴y＝x2－m的最小值为1－m.
∴1－m≥0.解得m≤1.
∴实数m的取值范围是{m|m≤1}．
[变式] [解]　∵“ 1≤x≤2，x2－m≥0”成立，
∴x2－m≥0在1≤x≤2有解．
又函数y＝x2在1≤x≤2上单调递增，
∴函数y＝x2在1≤x≤2上的最大值为22＝4.
∴4－m≥0，即m≤4.
∴实数m的取值范围是{m|m≤4}．
[跟踪训练] 3 解　方法一　(1)不等式m＋f(x)>0可化为
m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，
只需m>－4即可．
故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4.
(2)不等式m－f(x0)>0，可化为m>f(x0)，
若至少存在一个实数x0使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4，所以m>4.
所以所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
方法二　(1)要使不等式m＋f(x)>0对 x∈R恒成立，即x2－2x＋5＋m>0对 x∈R恒成立，
所以Δ＝(－2)2－4(5＋m)<0，解得m>－4，
所以当m>－4时，m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立．
(2)若至少存在一个实数x0，使m－f(x0)>0成立，
即x－2x0＋5－m<0成立．
只需Δ＝(－2)2－4(5－m)>0即可，
解得m>4.
所以实数m的取值范围是(4，＋∞).
【当堂达标】
1.　①②④ [解析]　①②④是全称量词命题，③是存在量词命题．
2. 0 [解析] ①当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；②因为x＝±时，x2＝2，而±为无理数，故②为假命题；③因为x2＋1>0(x∈R)恒成立，故③为假命题；④原不等式可化为x2－2x＋1>0，即(x－1)2>0，当x＝1时(x－1)2＝0，故④为假命题．
3.　 x0<0，(1＋x0)(1－9x0)>0
4. x≤0，x3≤04. [解析]　命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“ ”符号可以表示为 x≤0，x3≤0.
5. {a|a<－1} [解析]　依题意，得
即∴a<－1.
6. 解　“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．
当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；
当m>0，且Δ＝m2－12m<0，
即00恒成立，
所以0综上所述，实数m的取值范围是0≤m<12.

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