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1.5.2　全称量词命题与存在量词命题的否定
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.理解全称量词命题和存在量词命题的否定的意义. 2. 会对全称量词命题和存在量词命题进行否定.（重点） 1、逻辑推理 2、数学运算
【自主学习】
1.　全称量词命题和存在量词命题的否定
全称量词命题p： x∈M，p(x)，
它的否定p：
存在量词命题p： x0∈M，p(x0)，
它的否定p：
2. 全称量词命题和存在量词命题的关系
全称量词命题的否定是 .
存在量词命题的否定是 .
3．命题的否定与原命题的真假
一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．
【小试牛刀】
用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？
2．对于一个全称量词命题要否定它，需要考虑哪几个方面？
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在量词命题的否定是一个全称量词命题．(　　)
(2) x∈M，使x具有性质p(x)与 x∈M，x不具有性质p(x)的真假性相反．(　　)
(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(　　)
(4)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．(　　)
【经典例题】
题型一 全称量词命题的否定
注意：对全称量词命题否定有两个方面
（1）改变量词：把全称量词换为存在量词．即：全称量词( )存在量词( )．
（2）否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
例1　写出下列全称量词命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；
(3) a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
[跟踪训练] 1．写出下列全称量词命题的否定，并判断其真假．
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2) x∈R，|x|≥x；
(3) x∈R＋，为正数．
题型二 存在量词命题的否定
注意：对存在量词命题否定有两个方面
（1）改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词( )全称量词( )．
（2）否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．
例2　写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3) x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3.
[跟踪训练] 2．写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．
(1)有的素数是偶数；
(2) x∈R，使x2＋x＋<0；
(3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
【当堂达标】
1.命题“ x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　)
A. x∈(－∞，0)，x3＋x<0 B. x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C. x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0 D. x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
2．命题p：“有些三角形是等腰三角形”的否定是(　　)
A．有些三角形不是等腰三角形
B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形不是等腰三角形
D．所有三角形是等腰三角形
3．命题“ m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”的否定是(　　)
A． m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C． m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
4．已知命题p： x>0，x＋≥2，则它的否定为(　　)
A． x>0，x＋<2 B． x≤0，x＋<2
C． x≤0，x＋<2 D． x>0，x＋<2
5．下列四个命题中，真命题是(　　)
A． x∈R，x＋≥2 B． x∈R，x2－x>5
C． x∈R，|x＋1|<0 D． x∈R，|x＋1|>0
6．命题p： x∈R，x2＋3x＋2<0，则命题p的否定为________．
7．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________________________．
8．由命题“ x∈R,2x2＋3x＋a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
【参考答案】
【自主学习】
x0∈M，p(x0) x∈M，p(x) 存在量词命题 全称量词命题
【小试牛刀】
1. 不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.
2. 两个方面：一是改量词，将全称量词改为存在量词，二是否定结论
3. (1)√　(2)√　(3)×　(4)×
【经典例题】
例1 (1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.
(2)其否定为：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数.
(3)其否定为： a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一或不存在.
(4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0.
[跟踪训练] 1　(1)原命题的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”，这个命题是假命题．
(2)原命题的否定为“ x∈R，使|x|(3)原命题的否定为“ x∈R＋，使≤0”，这个命题是假命题.
例2 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.
(3)命题的否定是“ x，y∈Z，x＋y≠3”.当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.
[跟踪训练] 2　(1)题中命题的否定为“所有的素数不是偶数”．这个命题是假命题，如2是素数也是偶数．
(2)题中命题的否定为“ x∈R，x2＋x＋≥0”．这个命题是真命题，因为当x∈R时，x2＋x＋＝2≥0.
(3)题中命题的否定为“ x∈R，x3＋1≠0”．这个命题是假命题，因为x＝－1时，x3＋1＝0.
【当堂达标】
1. C 解析　全称量词命题的否定是存在量词命题.否定形式为： x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0.
2. C [解析]在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故否定为“所有三角形不是等腰三角形”.
3. C [解析]　存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“ ”改为“ ”；另一方面要否定结论即“有实数根”改为“无实数根”．故选C.
4.　D
5. B [解析]　选项A，当x<0时，x＋≥2不成立，所以A错；选项C，绝对值恒大于等于0，故C错；选项D，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以D错，故选B.
6. x∈R，x2＋3x＋2≥0 [解析]　命题p是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是 x∈R，x2＋3x＋2≥0.
7、任意一个三角形都有外接圆 [解析]　该命题是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是“任意一个三角形都有外接圆”．
8.　 [解析]　因为命题“ x∈R,2x2＋3x＋a≤0”是假命题，所以其否定“ x∈R,2x2＋3x＋a>0”是真命题，等价于方程2x2＋3x＋a＝0无实根，所以Δ＝32－4×2×a<0，解得a>.故实数a的取值范围是a>.

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