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2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式的证明
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.理解基本不等式的内容及证明(重点)； 2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小； 3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式(难点). 1、逻辑推理 2、数学运算
【自主学习】
重要不等式与基本不等式
注意：基本不等式≥(a>0，b>0)
(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．
(2)“当且仅当”的含义：
①当a＝b时，≥的等号成立， 即a＝b ＝；
②仅当a＝b时，≥的等号成立， 即＝ a＝b.
【小试牛刀】
不等式a2＋b2≥2ab与≤成立的条件相同吗？如果不同各是什么？
2．a＋≥2(a≠0)是否恒成立？
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2均成立．(　　)
(2)若a≠0，则a＋≥2 ＝4.(　　)
(3)若a，b∈R，则ab≤2.(　　)
【经典例题】
题型一 对基本不等式的理解
例1 给出下面三个推导过程：
①因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2 ＝2；
②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2 ＝4；
③因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2 ＝－2.
其中正确的推导过程为(　　)
A．①② B．②③ C．② D．①③
[跟踪训练] 1．下列命题中正确的是(　　)
A．当a，b∈R时，＋≥2 ＝2
B．当a>0，b>0时，(a＋b)≥4
C．当a>4时，a＋≥2 ＝6
D．当a>0，b>0时，≥
题型二　利用基本不等式比较大小
例2 设0A.aC.a<[跟踪训练] 2 已知m＝a＋(a＞2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　)
A.m＞n B.m＜n C.m＝n D.m≥n
题型三　用基本不等式证明不等式
注意：在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.
已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：＋＋≥9.
[跟踪训练] 3 已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
【当堂达标】
1．若0A. B．a2＋b2 C．2ab D．a
2．若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3．对x∈R且x≠0都成立的不等式是(　　)
A．x＋≥2 B．x＋≤－2
C.≥ D.≥2
4.设a＞0，b＞0，给出下列不等式：
①a2＋1＞a； ②≥4； ③(a＋b)≥4； ④a2＋9＞6a.
其中恒成立的是________(填序号).
5．已知a>b>c，则与的大小关系是
6．若不等式≥2恒成立，则当且仅当x＝________时取“＝”号．
已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.
【参考答案】
【小试牛刀】
1.不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；≤成立的条件是a，b均为正实数
2. 只有a>0时，a＋≥2，当a<0时，a＋≤－2
3. (1)×　(2)×　(3)√
【经典例题】
例1 D 解析 ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确；
②因为a∈R，a≠0不符合基本不等式成立的条件，
所以＋a≥2 ＝4是错误的；
③由xy<0得，均为负数，但在推导过程中将＋看成一个整体提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确．
[跟踪训练] 1 B [解析]　A项中，可能<0，所以不正确；B项中，因为a＋b≥2>0，＋≥2>0，相乘得(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时等号成立，所以正确；C项中，a＋≥2 ＝6中的等号不成立，所以不正确；D项中，由基本不等式知，≤(a>0，b>0)，所以D不正确．
[跟踪训练] 1 B [解析]　A项中，可能<0，所以不正确；B项中，因为a＋b≥2>0，＋≥2>0，相乘得(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时等号成立，所以正确；C项中，a＋≥2 ＝6中的等号不成立，所以不正确；D项中，由基本不等式知，≤(a>0，b>0)，所以D不正确．
例2 B 解析　法一　∵00，即>a，排除D项，故选B.
法二　取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a＜＜＜b.
[跟踪训练] 2 A　解析 因为a＞2，所以a－2＞0，又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2＜2，n＝22－b2＜4，
综上可知m＞n.
例3 证明　＋＋＝＋＋
＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.
[跟踪训练] 3 [证明]　由基本不等式可得：
a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，
同理：b4＋c2≥2b2c2， c4＋a4≥2a2c2，
∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，
从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
【当堂达标】
B [解析]　a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2＝.
∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，
∵02. A [解析]当a>0，b>0时，a＋b≥2，则当a＋b≤4时有2≤a＋b≤4，解得ab≤4，充分性成立．
当a＝1，b＝4时满足ab≤4，但此时a＋b＝5>4，必要性不成立，综上所述，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．
3. D [解析]　因为x∈R且x≠0，所以当x>0时，x＋≥2；当x<0时，－x>0，所以x＋＝－≤－2，所以A、B都错误；又因为x2＋1≥2|x|，所以≤，所以C错误，故选D.
①②③ 解析　由于a2＋1－a＝＋＞0，故①恒成立；
由于＝ab＋＋＋≥2＋2＝4.当且仅当即a＝b＝1时，“＝”成立，故②恒成立；
由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝，那么a＝b＝1时“＝”成立，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.
综上，恒成立的是①②③.
5. ≤ [解析]　∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0.
∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．
6. 0 [解析]　＝＝＋≥
2＝2，其中当且仅当＝ x2＋1＝1 x2＝0 x＝0时成立．
7.证明　(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)
≥2·2·2＝8abc.
当且仅当b＝c＝a＝时，等号成立.

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