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【典例精析】2023年高考数学一轮考点全突破
平面向量的线性运算
【考点梳理】
1、向量线性运算的解题策略
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则；
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解；
(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：
①观察各向量的位置；
②寻找相应的三角形或多边形；
③运用法则找关系；
④化简结果．　
注：进行向量的线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决.
2、与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．　
【典例精析】
一、平面向量的加减数乘运算
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，则（ ）
A． B． C． D．
2．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
3．化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、向量的线性运算
4．如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．在长方形ABCD中，E为CD的中点，设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．在等边中，O为重心，D是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
7．在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，且，则（ ）
A． B． C． D．
三、根据向量线性运算求参数
9．如图，在中，M为BC的中点，，则m＋n＝（ ）
A．1 B． C． D．2
10．过的中线的中点作直线分别交 于 两点，若，则（ ）
A．4 B． C．3 D．1
11．在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）.
A． B． C． D．
【巩固训练】
一、单选题
12．下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．若AD是△ABC的中线，已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
14．化简，所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
15．在中，为上一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
16．如图所示，在平行四边形中，，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
17．如图，已知，用，表示，则等于（ ）
A． B．
C． D．
18．八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中，给出下列结论：

图1 图2
①与的夹角为；②；③；④在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）．其中正确结论为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
19．在△ABC中，点D在边BC上，且，E是AD的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
20．如图所示，已知在中，O是重心，则（ ）
A． B．
C． D．
21．化简：（ ）
A． B． C． D．
22．下列各式中不能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
23．在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为，，则=（ ）
A． B．
C． D．
24．在中，D为AC的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
25．中，点为上的点，且，若，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
26．如图所示，点E为的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则=（ ）
A． B． C． D．
27．如图，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
28．体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小为）
A．64 B．70 C．76 D．60
29．若M为△ABC的边AB上一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
30．在平行四边形中，分别是的中点，交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
31．设D是所在平面内一点，，则（ ）
A． B． C． D．
32．已知非零向量与满足，且，则为（ ）
A．等腰非等边三角形 B．等边三角形
C．三边均不相等的三角形 D．直角三角形
33．窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆O是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P是圆O内部一点，若，且，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
34．在中，角所对的边分别为，且点满足，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
35．已知是内一点，满足，则（ ）
A． B． C． D．
36．若的外接圆半径为2，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
37．已知点P是△ABC所在平面内点，有下列四个等式：
甲：； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
38．已知△ABC中，，，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
39．如图，在同一平面内，两个斜边相等的直角三角形放置在一起，其中，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
40．已知是所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则是的外心
C．若，则为钝角三角形
D．若，，则
41．已知点O为所在平面内一点，，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．直线AO必过BC边的中点
C．
D．若，则
42．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，点E在弧上.（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．的最小值为
43．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（ ）
A．为的外心
B．
C．
D．
三、填空题
44．化简__________．
45．在等边中，为边上的点且满足，且交于点，且交于点，若，则的值是___________.
46．如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________.
47．在中，，，点为边的中点，则的最大值是______.
48．在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________．
四、解答题
49．如图，在平行四边形ABCD中，，，E，F分别是边BC，CD的中点，，．
(1)用，表示，；
(2)若向量与的夹角为，求．
50．在平面直角坐标系中，已知点，，.
(1)求以，为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)若向量，求实数的值.
51．在直角梯形ABCD中，已知，，，点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点.
(1)若，求的值；
(2)求的取值范围.
52．如图所示，△中，，，.线段相交于点.
(1)用向量与表示及；
(2)若，试求实数的值.
53．如图，在边长为4的正△ABC中，E为AB的中点，D为BC中点，，令，，
(1)试用、表示向量；
(2)延长线段EF交AC于P，求的值.
参考答案：
1．D【分析】由平面向量的加减法法则进行计算.
【详解】由题意得，，
所以.
故选：D.
2．A【分析】由向量的加减运算法则即可求解.
【详解】解：，
故选：A.
3．B【分析】根据向量的加减运算法则计算，逐一判断①②③④的正确性，即可得正确答案.
【详解】对于①：，
对于②：，
对于③：，
对于④：，
所以结果为的个数是，
故选：B
4．A【分析】利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解.
【详解】，
，
，
，
故选：A.
5．C【分析】根据给定条件，利用向量加法法则及共线向量，列式求解作答.
【详解】在长方形ABCD中，E为CD的中点，则，而，，
所以.
故选：C
6．D【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算计算作答.
【详解】O为的重心，延长AO交BC于E，如图，
E为BC中点，则有，而D是的中点，
所以.
故选：D
7．C【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
8．C【分析】根据给定条件，利用向量加法法则结合向量线性运算求解作答.
【详解】在平行四边形中，，
所以.
故选：C
9．C【分析】利用向量的线性运算可求的值.
【详解】，而，
故，
而且不共线，故，
故选：C.
10．A【分析】由为的中点得到 ，设，结合，得到，再由，得到，然后利用与不共线求得m，n即可.
【详解】解：由为的中点可知，，
，
设，
则，
，
，
，
，
与不共线，
，解得，
故选：.
11．D【分析】根据向量共线转化为，利用三点共线求实数的取值.
【详解】，又因为，
所以，即，
所以，
因为点三点共线，所以，
解得：.
故选：D
【点睛】本题考查向量共线，平面向量基本定理，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型.
12．D【分析】利用向量运算法则、向量数量积公式注意判断即可得出答案．
【详解】解：对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：D．
13．D【分析】由向量的加法法则即可求解
【详解】因为是的中点，由向量的平行四边形法则可得：，
故选：D
14．A【分析】依据向量加减法运算规则去求化简即可.
【详解】，
故选：A
15．D【分析】根据向量加法、减法的三角形法则及数乘向量的运算性质即可求解.
【详解】解：因为在中，为上一点，且，
所以，
故选：D.
16．B【分析】利用向量加减法的几何意义将转化为、即可.
【详解】
.
故选：B
17．C【分析】根据向量加法和减法的三角形法则即可求解.
【详解】解：，
，
故选：C.
18．C【分析】根据图形的特征进行判断即可.
【详解】由图:正八边形，
因为与的夹角为，故①错误；
因为，故②错误；
因为,故③正确；
因为在上的投影向量与向量反向，故④错误；
故选：C
【点睛】本题主要考查向量的加减法及向量的投影向量等，属于简单题.
19．D【分析】利用向量的线性运算即得.
【详解】因为，
所以．
因为是的中点，
所以，
则．
故选：D．
20．B【分析】连接并延长交于点，则是的中点，，，进而用三角形法则可以求得.
【详解】连接并延长交于点，因为是重心，则是的中点. ，
所以.
故选：B.
21．D【分析】利用向量的加减法运算法则直接求解.
【详解】.
故选：D
22．D【分析】根据向量加减法的法则，分别判断每个选项，得到正确答案.
【详解】；
；
；
.
故选：D.
【点睛】本题考查向量的加减运算，关键是准确灵活使用向量的加法和减法运算法则，注意使用相反向量进行转化.
23．B【分析】过点作的平行线交于，即可得到则，再根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】解：如图过点作的平行线交于，
则是的中点，
且
，
又，所以，即，
又
故选：B．
24．D【分析】根据得到，再根据可求出结果.
【详解】因为，所以，所以，
.
故选：D
25．D【分析】结合向量运算，由列方程，求得，进而求得.
【详解】由于，所以,
所以
,
所以.
故选：D
26．C【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将用表示，即可得出答案.
【详解】解：
.
故选：C.
27．A【分析】根据向量对应线段的位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义，用表示即可.
【详解】由题图，.
故选：A
28．A【分析】根据平行四边形法则得到该学生的体重，利用余弦定理即可求出得解．
【详解】
如图，设该学生的体重为,则.
由余弦定理得.
所以
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键利用向量的平行四边形法则和余弦定理解三角形．
29．D【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以.
故选：D.
30．B【分析】过点作的平行线交于，得到，再根据，得到，再利用向量的线性运算求解.
【详解】解：如图，
过点作的平行线交于，
则是的中点，且，
，
又，
所以，即，
所以，
又，
故选：B
31．D【分析】根据向量的加减法的运算法则，结合向量的数乘，即可求得答案.
【详解】由题意可得 ,
故选:D
32．A【分析】由，得，再由，得判断.
【详解】解：都为单位向量，
所以在的角平分线上，
由，得,
由，得，
所以为等腰非等边三角形，
故选：A
33．A【分析】利用向量的线性运算，结合数量积，可求得，确定其取值范围，再根据平方后的式子，即可求得答案.
【详解】因为，所以，
所以，即，则．
因为点P是圆O内部一点，所以，所以，
则，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是3,
故选：A.
34．A【分析】利用向量知识可得，两边平方可得，再利用不等式知识可求得结果.
【详解】因为，所以，所以，
所以，
所以，整理得，
所以，
因为，所以，
所以，解得.
所以的最大值为
故选：A
【点睛】关键点点睛：将向量条件化为，利用向量数量积的运算律运算得到是解题关键.
35．A【分析】根据向量的加法和减法运算由条件，可得出，然后即可得到是的重心，从而可得出答案.
【详解】，
所以是的重心，所以.
故选：A.
36．A【分析】设的外接圆圆心为O，由题设可知为正三角形，则，，由，知，计算可求解.
【详解】如图设的外接圆圆心为O，
的边，的外接圆半径为2，
为正三角形，且，
则
，，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题的关键是将未知的通过向量的加法及数量积运算转化为已知的向量，本题将的最小值转化为的最小值，结合数量积及余弦函数即可求解，考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力.
37．B【分析】先根据向量等式推导出甲中P为△ABC的重心，乙中△ABC为直角三角形，丙中P为△ABC的外心，丁中P为△ABC的垂心，故得到当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.
【详解】甲：，则，故P为△ABC的重心；
乙：，则，故，即△ABC为直角三角形；
丙：点P到三角形三个顶点距离相等，故P为△ABC的外心；
丁：，则，同理可得：，即P为△ABC的垂心，
当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个均不一定成立.
故选：B．
38．C【分析】由平面向量的加法法则可得就是点A到BC的距离，结合已知得△ABC为等腰直角三角形，由于，，P、B、C三点共线且P在BC两个四等分点之间运动，由图易得最小值.
【详解】由平面向量的加法法则可得就是点A到BC的距离，依题意得△ABC为等腰直角三角形，斜边，D，E为斜边BC的两个四等分点，因为，，且，得点P在线段DE上运动，由下图易得，当点P在点D处时，取得最小值，根据余弦定理解得，所以.
故选：C.
【点睛】(1) 首尾相接的几个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
(2) 平面向量，若，则A、B、C三点共线，反之亦成立.
39．AD【分析】根据向量的线性运算法则，结合图形，可判断A、B的正误，根据线性运算及数量积公式，可判断C、D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：，，
所以，即，故A正确；
对于B：由题意可得，
所以，
所以，故B错误；
对于C：
，故C错误；
对于D：
=，故D正确；
故选：AD
40．ACD【分析】由数量积的运算判断A，根据向量的夹角公式判断C，由垂直的向量表示判断D，根据向量线性运算判断B．
【详解】由，得，即，故A对；
由，取中点，连接，则，
所以共线，且在线段上，，即为重心，故B错；
由，得为锐角，为钝角故C对；
由，，得，知为的垂心，所以，故D对.
故选：ACD.
41．ACD【分析】由，化简得到，可判定A正确，B错误；延长使得，得出，得到为的重心，设的面积为，求得，，，可判定C正确；由，可判定D正确.
【详解】由题意，点O为所在平面内一点，，
可得，
即，即，可得，
所以A正确，B错误；
如图所示，分别延长于点，使得，
因为，可得，所以为的重心，
设的面积为，
可得，，
，
所以，可得，所以C正确；
若，可得，
因为，可得，所以，
可得，即，即，
则，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】平面向量的线性运算问题的求解策略：
（1）进行向量的线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量，运用向量的加法、减法运算及数乘运算来求解；
（2）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形的中位线，相似三角形对应边的比例关系等平面几何的性质，把未知向量转化为已知向量有直接关系的向量来求解.
42．BCD【分析】A选项先利用，再按照数量积运算即可；B选项由平行四边形法则即可判断；
C选项通过解方程组即可；D选项先表示出，再结合正弦函数的范围求出最小值.
【详解】，A错误；
由知，E为弧的中点，又，由平行四边形法则可知则，故，B正确.
由知，，设，则解得故，C正确.
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D正确.
故选：BCD.
43．BCD【分析】由根据数量积的运算律可得,可得为的垂心；结合与三角形内角和等于可证明B选项；结合B选项结论证明即可证明C选项，利用奔驰定理证明可证明D选项．
【详解】解：因为，
同理，，故为的垂心，故A错误；
，所以，
又，所以，
又，所以，故B正确；
故，同理，
延长交与点，则
，
同理可得，所以，故C正确；
，
同理可得，所以，
又，所以，故D正确．
故选：BCD．
44．【分析】利用向量的加法运算法则求解即可.
【详解】
45．【分析】根据锐角三角函数定义、平行线的性质，结合平面共线的性质、平面向量减法的几何意义进行求解即可.
【详解】因为是等边三角形，所以，，
因为，所以，
，
因为，所以，
，代入可得，
，
所以，
故答案为：.
46．##【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示即可求出的值
【详解】因为，所以为的中点，
因为是的中点，
所以，
所以,
因为，
所以，
故答案为：
47．【分析】由条件可得,，结合向量的加法将化为，结合均值不等式可得答案.
【详解】在中，，,设
则，,
，当且仅当时等号成立.
故答案为：
48．【分析】取线段MN的中点P，结合向量数量积求出边AB上的高CO，进而求出的正余弦即可求解作答.
【详解】取线段MN的中点P，连接CP，过C作于O，如图，，
依题意，，
因的最小值为3，则的最小值为2，因此，
在中，，，在中，，，
所以.
故答案为：
【点睛】关键点睛：涉及定长的线段两端点向量数量积，取线段的中点，借助向量数量积的计算公式求解是关键.
49．(1)，；
(2).
【分析】（1）直接利用平面向量的三角形法则求解；
（2）求出，即得解.
(1)
解：，．
(2)
解：
．
，
同理，
∴．
50．(1)，
(2)
【分析】（1）利用平面向量加法、减法的平行四边形法则和向量运算、模长的坐标表示进行求解；
（2）利用平面向量运算的坐标表示和平面向量垂直的坐标表示进行求解.
(1)
解：因为，，
所以，，
所以，，
即以，为邻边的平行四边形的两条对角线的长为，；
(2)
解：因为，所以，
因为，所以，
即，解得.
51．(1)2；
(2).
【分析】（1）由、，应用向量数量积的运算律及向量位置关系求即可.
（2）令且，同（1）应用向量数量积的运算律得到关于的表示式，即可求值.
(1)
由图知：，，
所以，
所以，
又，，，
所以.
(2)
由（1）知：，
令且，则，，
所以.
则.
52．(1)，；
(2)，.
【分析】（1）根据向量加法、数乘、相反向量的几何意义，将、用表示即可.
（2）由题图知，，结合已知条件求得，根据平面向量的基本定理可得的值.
(1)
由题设，，.
(2)
设，
所以，且，
所以，则，可得，
所以，故，.
53．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形法则及向量的线性运算即可求解；
（2）利用向量的线性运算可知，再利用向量的数量积即可求解.
(1)
(2)
设，
由于与共线，则，即，
即，则，解得，即，
所以
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