资源简介

4.3.1 对数的概念
【学习目标】
课程标准 学科素养
1．掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件． 2．掌握换底公式及其推论． 3．能熟练运用对数的运算性质进行化简求值． 1、直观想象 2、数学运算 3、数学抽象
【自主学习】
1.对数的运算性质
若a>0且a≠1，M>0，N>0，则有：
(1)loga(M·N)＝ .
(2)loga＝ .
(3)logaMn＝ (n∈R).
注意：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．
2.换底公式
logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0).
3．由换底公式推导的重要结论
(1)loganbn＝logab.
(2)loganbm＝logab.
(3)logab·logba＝1.
(4)logab·logbc·logcd＝logad.
【小试牛刀】
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差.(　　)
(2)loga(xy)＝logax·logay.(　　)
(3)loga(－2)3＝3loga(－2).(　　)
(4)由换底公式可得logab＝.(　　)
【经典例题】
题型一 对数运算性质的应用
注意：利用对数运算性质化简与求值的原则和方法
(1)基本原则：
①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
(2)两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
例1 求下列各式的值：
(1)log345－log35；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
(3)lg14－2lg＋lg7－lg18；
[跟踪训练]1 计算(1)2log63＋log64；
(2)(lg 25－lg )÷ ；
(3)log2.56.25＋ln－ .
题型二 对数换底公式的应用
注意：(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．
例2 计算：①log29·log34；②.
[跟踪训练]2 （1）log2·log3·log5＝________.
(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值.
题型三　利用对数式与指数式的互化解题
注意：(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
例3　(1)设3a＝4b＝36，求＋的值；
(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.
[跟踪训练]3 已知3a＝5b＝M，且＋＝2，则M＝________.
【当堂达标】
1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)(　　)
A．logax·logay＝loga(x＋y) B．(logax)n＝nlogax
C.＝loga D.＝logax－logay
2.已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是(　　)
A.a－2 B.5a－2
C.3a－(1＋a)2 D.3a－a2
3.若logab·log3a＝4，则b的值为________.
4.lg 0.01＋log216的值是________.
5.计算lg52＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2
6.证明“logab·logbc·logcd＝logad”.
7.设3x＝4y＝6z＝t>1，求证：－＝.
【参考答案】
【自主学习】
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
【小试牛刀】
(1)√　根据对数的运算性质可知(1)正确；
(2)×　根据对数的运算性质可知loga(xy)＝logax＋logay；
(3)×　公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M应为大于0的数.
(4)×
【经典例题】
例1 [解]　(1)log345－log35＝log3＝log39＝log332＝2.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
(3)原式＝lg2＋lg7－2(lg7－lg3)＋lg7－(lg2＋lg9)
＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－lg2－2lg3＝0.
[跟踪训练]1 解　(1)原式＝log632＋log64＝log6(32×4)＝log6(62)＝2log66＝2.
(2)原式＝÷ ＝lg 102÷10－1＝2×10＝20.
(3)原式＝log2.5(2.5)2＋－ ＝2＋－＝.
例2 [解]　①原式＝·＝＝＝4.
②原式＝·＝log·log9＝·＝＝－.
[跟踪训练]2 （1）－12 [解析]　原式＝··＝＝－12.
(2)法一　原式＝·
＝＝log25·(3log52)
＝13log25·＝13.
法二　原式＝
＝
＝＝13.
例3解　(1)由3a＝4b＝36，
得a＝log336，b＝log436，由换底公式得＝log363，＝log364，
∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1.
(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，
由＋＋＝1，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，
∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
[跟踪训练]3 解析　由3a＝5b＝M，得a＝log3M，b＝log5M，故＋＝logM3＋logM5＝logM15＝2，∴M＝.
【当堂达标】
1. C [解析]　根据对数的运算性质知，C正确．
2.A 解析　原式＝log323－2log32－2log33＝log32－2＝a－2.
3. 81 解析　logab·log3a＝·＝＝4，所以lg b＝4lg 3＝lg 34，所以b＝34＝81.
4.　2 解析　lg 0.01＋log216＝－2＋4＝2.
5. 解 原式＝2lg5＋lg23＋lg5·lg(22×5)＋(lg2)2
＝2lg5＋2lg2＋lg5·(2lg2＋lg5)＋(lg2)2
＝2(lg5＋lg2)＋2lg5·lg2＋(lg5)2＋(lg2)2
＝2lg10＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2
＝2＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.
6. [证明]　logab·logbc·logcd
＝··＝
＝logad.
7. 证明　∵3x＝4y＝6z＝t，
∴x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t，
∴＝logt3，＝logt4，＝logt6，
∴－＝logt6－logt3＝logt2.
又＝logt4＝2logt2，即＝logt2，
∴－＝.

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