资源简介

4.4.1 对数函数的概念 4.4.2 对数函数的图象和性质
第1课时
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.理解对数函数的概念. 2.掌握掌握对数函数的图象和简单性质． 3.了解对数函数在生产实际中的简单应用. 1、直观想象 2、数学运算 3、数形结合
【自主学习】
对数函数的概念
一般地，把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 .
对数函数的图象与性质
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
定义 y＝logax (a>0，且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过定点 ，即x＝1时，y＝0
函数值特点 x∈(0,1)时， y∈ ； x∈[1，＋∞)时， y∈ x∈(0,1)时， y∈ ； x∈[1，＋∞)时， y∈
对称性 函数y＝logax与y＝ 的图象关于 对称
【小试牛刀】
1．下列函数是对数函数的是( 　)
A．y＝2＋log3x
B．y＝loga(2a)(a＞0，且a≠1)
C．y＝logax2(a＞0，且a≠1)
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对数函数的定义域为R.(　　)
(2)y＝log2x2与logx3都不是对数函数．(　　)
(3)对数函数的图象一定在y轴的右侧．(　　)
(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)，在定义域上是增函数．(　　)
【经典例题】
题型一 对数函数的概念
注意：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
例1 指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；
(3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1.
[跟踪训练]1（1）对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为 。
（2）若对数函数y＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为(　　)
A．y＝log2x B．y＝2log4x
C．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定
题型二　对数型函数的定义域
注意：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.
例2　求下列函数的定义域.
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；
(2)y＝log2(16－4x).
[跟踪训练]2 求下列函数的定义域．
(1)y＝；(2)y＝；
(3)y＝；(4)y＝log(x＋1)(2－x)．
题型三 对数函数的图象
注意：(1)明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0(3)牢记特殊点．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和.
例3　画出函数y＝lg|x－1|的图象.
例4 （1）函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的(　　)
(2)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
[跟踪训练] 3 （1） 已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是(　　)
(2)y＝loga＋2图象恒过定点坐标是________．
【当堂达标】
1.下列函数为对数函数的是(　　)
A.y＝logax＋1(a＞0且a≠1)
B.y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)
C.y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)
D.y＝2logax(a＞0且a≠1)
2.函数y＝lg(3x－2)的定义域是(　 　)
A．[1，＋∞)　　　　　 B．(1，＋∞)
C．[，＋∞) D．(，＋∞)
3.函数f(x)＝＋lg(x＋1)的定义域为(　　)
A.[－1,3) B.(－1,3) C.(－1,3] D.[－1,3]
4.已知函数f(x)＝log3(x＋1)，若f(a)＝1，则a等于(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
5.函数y＝lg(x＋1)的图象大致是(　　)
6．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
7.　已知函数f(x)＝
(1)求f 的值；
(2)若f(a)＝，求a的值.
8．已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
【参考答案】
【自主学习】
＋∞) (0，＋∞) (1,0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] x轴
【小试牛刀】
1. D [解析]　判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A，B，C全错，D正确．
2.(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
【经典例题】
例1 (1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．
(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．
(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．
(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．
[跟踪训练]1 （1） y＝log2x [解析]　设对数函数为y＝logax，则4＝loga16，∴a4＝16，
∴a＝2，∴y＝log2x.
（2）A [解析]　设对数函数的解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)，由题意可知loga4＝2，
∴a2＝4，∴a＝2.
∴该对数函数的解析式为y＝log2x.
例2 解　(1)由得－3∴函数的定义域是(－3,3).
(2)由16－4x>0，得4x<16＝42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为(－∞，2).
[跟踪训练]2 [解]　(1)定义域为(0，＋∞)．
(2)由解得(3)由解得(4)由解得－1例3 解　(1)先画出函数y＝lg x的图象(如图).
(2)再画出函数y＝lg|x|的图象(如图).
(3)最后画出函数y＝lg|x－1|的图象(如图).
例4 （1）　C
(2)(0，－2) 因为函数y＝logax (a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)．
[跟踪训练] 3 (1) B 若01，则函数y＝ax的图象上升且过点(0,1)，而函数y＝loga(－x)的图象下降且过点(－1,0)，只有B中图象符合．
(2)(－2,2) [解析]　令＝1，得x＝－2，此时y＝2，∴函数y＝loga＋2过定点(－2,2)．
【当堂达标】
1.C
2. D [解析]　要使函数y＝lg(3x－2)有意义，应满足3x－2>0，∴x>，故选D．
3.　C
4.　C 解析　∵f(a)＝log3(a＋1)＝1，∴a＋1＝3，∴a＝2.
5.C [解析]　由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lgx的图象向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)
6.(4，－1) [解析]　y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.
7.解　(1)∵f ＝log3＝－3，∴f ＝f(－3)＝2－3＝.
(2)当a>0时，由f(a)＝，得log3a＝.∴a＝＝.
当a≤0时，由f(a)＝，得2a＝，∴a＝－1，
综上所述a的值为－1或.
8.[解]　因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，故f(x)＝log5|x|＝
所以函数y＝log5|x|的图象如下图所示．

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