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4.4.2 第2课时 对数函数的图象和性质
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.进一步理解对数函数的性质(重点). 2.能运用对数函数的性质解决相关问题(重、难点). 1.数形结合 2.数学运算
【自主学习】
1.对数型复合函数的单调性
复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为__ __；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为__ _.
对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．
2.数型复合函数的值域
对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；
(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；
(3)求u的取值范围；
(4)利用y＝logau的单调性求解．
【小试牛刀】
1．函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是(　 　)
A．(0，＋∞)　　　　　 B．(－∞，1)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
2．已知函数f(x)＝2x的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域是(　　)
A． B．[－1,1]
C． D．∪[，＋∞)
【经典例题】
题型一　比较对数值的大小
例1 比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；
(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.14(a>0，a≠1).
[跟踪训练]1下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)(　　)
A.loga5.1log2.2
C.log1.1(a＋1)题型二　对数型复合函数的单调性
1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性．
2．复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调性之间的关系(见下表).
函数 单调性
y＝f(μ) 增函数 增函数 减函数 减函数
μ＝g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数
y＝f[g(x)] 增函数 减函数 减函数 增函数
例2 求函数y＝log0.3(3－2x)的单调区间；
例3 讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．
注意：求复合函数的单调性时，必须首先考虑函数的定义域，单调区间必须是定义域的子集．
[跟踪训练]2 (1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A.(－∞，－2) B.(－∞，1)
C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)
（2）函数f(x)＝log(3x2－ax＋7)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围.
题型三　对数型复合函数的奇偶性
注意：判断函数的奇偶性时，首先要注意求函数的定义域，函数具有奇偶性，其定义域必须关于原点对称．
例4 已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明．
[跟踪训练]3 设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　 　)
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
题型四　对数型复合函数的值域
1.与对数函数有关的复合函数值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)．
2．对于形如y＝loga f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的求法的步骤：①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解．
例5 求下列函数的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)；
(2)y＝(3＋2x－x2)．
[跟踪训练]4 函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　 　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
题型五　解对数不等式
注意：两类对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)①当0g(x)>0；
②当a>1时，可转化为0(2)形如logaf(x)①当0ab；
②当a>1时，可转化为0例6 已知log0.3(3x)A. B.
C. D.
[跟踪训练]5 不等式log(2x＋3)A.(－∞，3) B.
C. D.
【当堂达标】
1.设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则(　　)
A.aC.a2．函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,3]上的最大值为1，则a＝__ __.
3.函数y＝log(x2－6x＋11)的值域为________.
4.函数f(x)＝log2x2的单调递增区间是________.
5.判断函数f(x)＝log2(＋x)的奇偶性.
【参考答案】
【自主学习】
增函数 减函数
【小试牛刀】
1. C [解析]　由对数函数的单调知识易知02. A [解析]　由－1≤2x≤1，得－1≤－2log2x≤1.解得≤x≤.
【经典例题】
例1 解　(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log31.9(2)因为log23>log21＝0，log0.32log0.32.
(3)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则有logaπ>loga3.14；
当0综上所得，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0[跟踪训练]1 B 对于选项A，因为a和1大小的关系不确定，无法确定指数函数和对数函数的单调性，故A不成立；对于选项B，因为以为底的对数函数是减函数，所以成立；对于选项C，因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于选项D，log32.9>0，log0.52.2<0，故不成立，故选B.
例2 解　(1)由3－2x>0，解得x<，设t＝3－2x，x∈，∵函数y＝log0.3t是减函数，且函数t＝3－2x是减函数，∴函数y＝log0.3(3－2x)在上是增函数，即函数y＝log0.3(3－2x)的单调递增区间是，没有单调递减区间.
例3 [解析]　由3x2－2x－1>0，得函数的定义域为{x|x>1或x<－}．
当a>1时，若x>1，∵y＝logau为增函数，又u＝3x2－2x－1为增函数，
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
若x<－，∵u＝3x2－2x－1为减函数，
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数．
当01，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数，
若x<－，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
[跟踪训练]2（1）D 解析　要使函数有意义，则：x2－2x－8>0，解得：x<－2或x>4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则，可得函数的单调增区间为(4，＋∞)，故选D.
(2)解　令t＝3x2－ax＋7，则y＝logt单调递减，故t＝3x2－ax＋7在[－1，＋∞)上单调递增且t>0.因为t＝3x2－ax＋7的对称轴为x＝，所以
解得－10例4 [解析]　(1)由题意得，∴－1∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)由(1)知函数f(x)的定义域为(－1,1)关于原点对称．∴f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
[跟踪训练]3 A [解析]　由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(x)＝ln＝ln(－1)，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，选A．
例5 [解析]　(1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R.
∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2.∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．
(2)设u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4.
∵u>0，∴0∴y＝(3＋2x－x2)的值域为{y|y≥－2}．
[跟踪训练]4 A [解析]　∵3x＋1>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴log2(3x＋1)>log21＝0，故该函数的值域为(0，＋∞)．
例6 A 解析　因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于解得x>.
[跟踪训练]5 D 解析　由题意可得解得【当堂达标】
1. D 解析　∵1＝log55>log54>log53>log51＝0，
∴1>a＝log54>log53>b＝(log53)2.
又∵c＝log45>log44＝1.∴c>a>b.
2. 3 [解析]　当a＞1时，f(x)的最大值是f(3)＝1，则loga3＝1，∴a＝3＞1，∴a＝3符合题意；
当0＜a＜1时，f(x)的最大值是f(2)＝1，则loga2＝1，∴a＝2＞1.∴a＝2不合题意．
3.(－∞，－1] 解析　∵x2－6x＋11＝(x－3)2＋2≥2，∴log(x2－6x＋11)≤log2＝－1，故所求函数的值域为(－∞，－1].
4. (0，＋∞) 解析　令t＝x2，易知t＝x2在(0，＋∞)上单调递增，而y＝log2t在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞).
5.解　易知f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，又f(－x)＋f(x)＝log2(－x)＋log2(＋x)＝log2(x2＋1－x2)＝log21＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.

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