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4.4.3　不同函数增长的差异
【学习目标】
课程标准 学科素养
1．尝试将实际问题转化为函数模型． 2．了解指数函数、对数函数及一次函数等函数模型的增长差异． 3．会根据函数的增长差异选择函数模型． 1.数学建模 2.数学运算 3.直观想象
【自主学习】
1.函数模型
一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.
2.三种常见函数模型的增长差异
指数函数 对数函数 一元一次函数
解析式 y＝ax(a>1) y＝logax_ __ y＝kx(k>0)
单调性 在(0，＋∞)上单调__ __
图象(随x的增大) 逐渐与y轴平行 逐渐与x轴平行 直线逐渐上升
增长速度 (随x的增大) y的增长速度越来越____ y的增长速度越来越____ y值逐渐增加
增长关系 存在一个x0，当x>x0时，ax>kx>logax
思考：已知函数f(x)＝2x，g(x)＝2x，h(x)＝log2x.
(1)函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？
(2)函数f(x)，g(x)，h(x)增长的速度有什么不同？
【小试牛刀】
1．下列说法正确的个数是(　 　)
(1)函数y＝x的衰减速度越来越慢．
(2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．
(3)若a>1，n>0，对于任意x0∈R，一定有ax0>x.
A．0　　 B．1　　
C．2　　 D．3
2．甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如图所示，则下列说法正确的是(　 　)
A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点
【经典例题】
题型一　函数模型的增长差异
三种函数模型的增长规律：
(1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．
(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)．
(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.
例1 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数函数变化的变量是__ __.
[跟踪训练]1 (1)下列函数中，增长速度最慢的是(　　)
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
(2)有一组数据如下表：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　)
A．v＝log2t
C．v＝ D．v＝2t－2
题型二　函数模型的选取
不同函数模型的选取标准
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．
(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．
年份 2016 2017 2018
产量(万) 8 18 30
例2　某汽车制造商在2019年初公告：公司计划2019年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
如果我们分别将2016,2017,2018,2019年定义为第一、二、三、四年，现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系？
[跟踪训练]2 某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
【当堂达标】
1．下图反映的是下列哪类函数的增长趋势(　　)
A．一次函数 B．幂函数
C．对数函数 D．指数函数
2.下列函数中随x的增长而增长最快的是(　　)
A.y＝ex B.y＝ln x C.y＝x10 D.y＝2x
3.能使不等式log2xA.(0，＋∞) B.(2，＋∞) C.(－∞，2) D.(4，＋∞)
4．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)
5.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________.(填序号)
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.
6.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只.
【参考答案】
【自主学习】
(a> 1) 递增 快 慢
思考答案:(1)函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值增大
(2)各函数增长的速度不同，其中f(x)＝2x增长得最快，其次是g(x)＝2x，最慢的是h(x)＝log2x
【小试牛刀】
1.C [解析]　对于(1)，由函数y＝x的图象可知其衰减速度越来越慢，正确；对于(2)，一次函数的图象是直线，因此其增长速度不变，正确；对于(3)，如23<32，错误．故选C．
2. D
【经典例题】
例1 y2 [解析]　以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速率不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．
[跟踪训练]1 （1）B [解析]　对数函数的增长速度越来越慢．选B.
(2) C [解析]　从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D，选C.
例2 解　建立生产量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30).
(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点的坐标代入，
可得
解得a＝1，b＝7，c＝0，
则f(x)＝x2＋7x，
故f(4)＝44，与计划误差为1.
(2)构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，
将点的坐标代入，可得解得a＝，b＝，c＝－42，
则g(x)＝×x－42，故g(4)＝×4－42＝44.4，与计划误差为1.4.
由(1)(2)可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系.
[跟踪训练]2 [解]　作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如下图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
【当堂达标】
1. C [解析]　从图象可以看出这个函数的增长速率越来越慢，反映的是对数函数的增长趋势．
2. A
3.　D
D [解析]　设该林区的森林原有蓄积量为a，
由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，
∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．
5.　①
6.　300

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