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4.5.1 函数的零点与方程的解
【学习目标】
课程标准 学科素养
1．结合二次函数的图象，了解二次函数与一元二次方程间的关系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数； 2．了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数零点与方程根的关系确定方程根的个数； 3．能够利用零点的存在解决含参问题． 1.数形结合 2.数学运算 3.逻辑推理
【自主学习】
1.函数的零点
(1)函数f(x)的零点是使f(x)＝0的__ __.
(2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系．
思考1：(1)函数的零点是点吗？
(2)函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)＝0根的个数有什么关系？
2.函数的零点存在定理
(1)条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是__ __，f(a)f(b)<0；
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．
思考2：(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)<0
【小试牛刀】
(1)函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,f(a)f(b)>0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上没有零点.(　　)
(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,则f(a)f(b)<0.(　　)
(3)函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线.若f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上只有一个零点. (　　)
【经典例题】
题型一　求函数的零点(方程的根)
例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－x2－4x－4；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝4x＋5；
(4)f(x)＝log3(x＋1)．
总结: 函数零点的求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
[跟踪训练]1 (1)求下列函数的零点：
①f(x)＝x2－2x－3零点为__ _；
②g(x)＝lgx＋2零点为__ __.
(2)已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则f(1)＝__ __.
题型二　判断零点所在的区间
例2 f(x)＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为(　 　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[跟踪训练]2 函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　 　)
A．(－2，－1)　　 B．(－1,0)
C．(0,1)　　 D．(1,2)
题型三　函数零点个数的判断
例3 函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x1A．x1<2,22且x2>5
C．x1<2，x2>5 D．25
[跟踪训练]3 若x0是方程()x＝x的根，则x0属于区间( 　)
A．(，1) B．(，)
C．(，) D．(0，)
题型四　一元二次方程根的分布问题
例4 已知函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.
(1)若f(x)有且只有一个零点，求实数m的值；
(2)若f(x)有两个零点，且均比－1大，求m的取值范围．
[跟踪训练]4 函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．
【当堂达标】
1．函数f(x)＝4x－6的零点是(　 　)
A．　　 B．(，0)
C．　　 D．－
2． 函数f(x)＝x－2＋log2x，则f(x)的零点所在区间为(　 　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(　 　)
A．a＜1 B．a＞1
C．a≤1 D．a≥1
4．已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下x，f(x)的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 15 10 －7 6 －4 －5
则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
5．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
方程2|x|＋x＝2的实根的个数为 .
已知m∈R时，函数f(x)＝m(x2－1)＋x－a恒有零点，求实数a的取值范围．
【参考答案】
【自主学习】
实数x
思考1 (1)不是，是使f(x)＝0的实数x，是方程f(x)＝0的根．
连续不断的曲线
思考2 (1)只能判断有无零点，不能判断零点的个数．
(2)不一定，如f(x)＝x2在区间(－1,1)上有零点0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1>0.
【小试牛刀】
×××
【经典例题】
例1 [解析]　(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，
所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝－2.
(2)令＝0，解得x＝1，
所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝1.
(3)令4x＋5＝0，显然方程4x＋5＝0无实数根，所以函数f(x)不存在零点．
(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝0.
[跟踪训练]1 [解析]　(1)①f(x)＝(x－3)·(x＋1)，令f(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴f(x)的零点为3和－1，
②由lgx＋2＝0得，lgx＝－2，∴x＝.故g(x)的零点为.
(2)由条件知，∴，∴，
∴f(1)＝a＋b－4＝－6.
例2 C [解析]　f(1)＝1－9＝－8<0，
f(2)＝ln2＋8－9＝ln2－1<0，
f(3)＝ln3＋27－9＝ln3＋18>0，
∴f(2)·f(3)<0，∴函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)．
[跟踪训练]2 [解析]　f(－2)＝e－2－2－2＝e－2－4＝－4<0，f(－1)＝e－1－1－2＝－3<0，
f(0)＝e0－2＝1－2<0，f(1)＝e－1>0，
∴f(0)·f(1)<0，∴函数f(x)的零点所在的一个区间为(0,1)．
例3 C [解析]　作出函数g(x)＝(x－2)(x－5)的图象如图，将y＝g(x)的图象向下平移1个单位即得y＝f(x)的图象，由图象易知x1<2，x2>5，故选C．
[跟踪训练]3　C [解析]　构造函数f(x)＝()x－x，则函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，又f(0)＝()0－0＝1>0，f()＝()－()>0，f()＝()－()<0，f()＝()－()<0，f(1)＝－1＝－<0，结合选项，因为f()·f()<0，
故函数f(x)的零点所在的区间为(，)，
即方程()x＝x的根x0属于区间(，)．
例4 [解析]　(1)由题意可知方程x2＋2mx＋3m＋4＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，
∴m＝－1或m＝4.
(2)由题意得，
解得－5∴实数m的取值范围是(－5，－1)．
总结：解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合，结合判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解．
[跟踪训练]4 解　由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，
因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，
所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，
画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示，
观察图象可知，0【当堂达标】
1. C [解析]　令4x－6＝0，得x＝，∴函数f(x)＝4x－6的零点是.
2. B [解析]　f(1)＝－1＋log21＝－1，f(2)＝log22＝1，∴f(1)·f(2)<0，故选B．
3. B [解析]　函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，即方程x2＋2x＋a＝0没有实数根，所以Δ＝4－4a＜0，得a＞1.
B 解析：由题表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，又函数f(x)的图象是连续不断的曲线，故f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点．
B 解析：由f(x)＝2x＋x3－2得f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，
∴f(0)f(1)<0.
又∵y1＝2x，y2＝x3在(0,1)上单调递增，
∴f(x)在(0,1)上单调递增，
∴函数f(x)在(0,1)内有唯一的零点，故选B.
6. 2 解析：由2|x|＋x＝2得2|x|＝2－x.
所以方程2|x|＋x＝2的实根的个数就是函数f(x)＝2|x|与g(x)＝2－x图象交点的个数．在同一坐标系中作出函数f(x)与g(x)的图象(略)，由图知，两个函数的图象有两个交点，即原方程有两个实数解．
7.解：(1)当m＝0时，由f(x)＝x－a＝0，得x＝a，此时a∈R.
(2)当m≠0时，令f(x)＝0，即mx2＋x－m－a＝0恒有解，
即Δ1＝1－4m(－m－a)≥0恒成立，
即4m2＋4am＋1≥0恒成立，
则Δ2＝(4a)2－4×4×1≤0，即－1≤a≤1.
所以对m∈R，函数f(x)恒有零点时，实数a的取值范围是[－1,1]．

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