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4.5.2 用二分法求解方程的近似解
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件； 2.了解二分法求解方程近似解的步骤； 3.进一步加深对函数零点存在定理的理解。 数学运算 逻辑推理
【自主学习】
1.二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且________＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_________，使区间的两个端点逐步逼近_____，进而得到零点_______的方法叫做二分法．
2．用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤
(1)确定区间[a，b]，验证___________，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)：
若f(c)＝__，则c就是函数的零点；
若f(a)·f(c)__0，则令b＝c[此时零点x0∈(a，c)]；
若f(c)·f(b)__0，则令a＝c[此时零点x0∈(c，b)]．
(4)判断是否达到精确度ε：
即若|a－b|__ε，则得到零点的近似值为a(或b)；否则重复(2)～(4)．
3．二分法的应用
由函数的零点与相应方程根的关系，可以用二分法来求方程的_______．
【小试牛刀】
1. 下面关于二分法的叙述，正确的是(　　)
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循
D．只有在求函数的零点时才用二分法
2．下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)
A．f(x)＝2x＋3　　　　B．f(x)＝mx＋2x－6
C．f(x)＝x2－2x＋1 D．f(x)＝2x－1
3．方程3x＋m＝0的根在(－1,0)内，则m的取值范围为________.
4.下列选项中，每个函数都有零点，但不能用二分法求图中函数零点的是(　　)
【经典例题】
1.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　)
用二分法求方程x2－5＝0的一个近似解(精确度为0.1).
用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 25)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060
据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度0.01)为________．
【当堂达标】
1．二分法求函数的零点的近似值适合于(　　)
A．零点两侧函数值符号相反
B．零点两侧函数值符号相同
C．都适合
D．都不适合
2．下列函数不能用二分法求零点的是(　　)
A．f(x)＝3x－2
B．f(x)＝log2x＋2x－9
C．f(x)＝(2x－3)2
D．f(x)＝3x－3
3．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上的近似零点(精确度为0.01)，验证f(2)·f(4)<0，取区间[2,4]的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是________.
4.已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.
(1)证明f(x)有且只有一个零点；
(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于.
【参考答案】
【自主学习】
1.f(a)·f(b) 一分为二 零点 近似值
2.f(a)·f(b)＜0 0 ＜ ＜ ＜
3.近似解
【小试牛刀】
B 2.C 3.(0，3) 4.C
【经典例题】
A [解析]由图象可得，A中零点左侧与右侧的函数值符号不同，故可用二分法求零点．
2.[解析]　令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝2.22－5＝－0.16<0，
f(2.4)＝2.42－5＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0.说明函数f(x)在区间(2.2,2.4)内有零点x0.
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，
f(2.3)＝0.29>0.
因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)．
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.0625>0，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)．
由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，所以原方程的近似解可取为2.25.
3.1.562 5 [解析]　由参考数据知，f(1.562 5)≈0.003>0，f(1.556 25)≈－0.029<0，即f(1.562 5)·f(1.556 25)<0，且1.562 5－1.556 25＝0.006 25<0.01，∴f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值可取为1.562 5.
【当堂达标】
A[解析]　利用二分法求函数的零点，必须满足函数图象连续不断且在零点两侧函数值符号相反．
2.C [解析]　因为f(x)＝(2x－3)2≥0，即含有零点的区间[a，b]不满足f(a)·f(b)<0.
3.(2,3) [解析]　∵f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，∴f(3)·f(4)>0，∴x0∈(2,3)．
[解析]　(1)证明：f(x)＝lnx＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)至多有一个零点．
由于f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，∴f(2)·f(3)<0.
∴f(x)在(2,3)内有一个零点．
∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．
(2)∵f(2)<0，f(3)>0，取x1＝＝，f()＝ln＋5－6＝ln－1<0，
∴f(3)·f()<0.
∴f(x)零点x0∈(，3)．取x2＝＝，则f()＝ln＋2×－6＝ln－>0.
∴f()·f()<0.∴x0∈(，)．
∵|－|＝≤，∴满足题意的区间为(，)．

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