资源简介

5.1.1 任意角
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角. 2.理解象限角的概念.（重点） 3.理解并掌握终边相同的角的概念，能熟练写出终边相同的角所组成的集合.（重点、难点） 1.直观想象 2.数学运算
【自主学习】
一. 任意角
1.角的概念：
角可以看成平面内一条 绕着它的端点 所成的 .
2.角的表示：
如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边： ，终边： ，顶点 .
3.角的分类：
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
零角 一条射线 做任何旋转形成的角
二.　角的加法与减法
设α，β是任意两个角， 为角α的相反角.
α＋β：把角α的 旋转角β.
α－β：α－β＝ .
三.　象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与 重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是第几_______；如果角的终边在 ，就认为这个角不属于任何一个象限.
四.　终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
【小试牛刀】
1.第二象限角是钝角.(　　)
2.终边与始边重合的角为零角.(　　)
3.终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.(　　)
【经典例题】
题型一 任意角的概念
例1　 (多选)下列说法，不正确的是
A.三角形的内角必是第一、二象限角
B.始边相同而终边不同的角一定不相等
C.钝角比第三象限角小
D.小于180°的角是钝角、直角或锐角
【跟踪训练】经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是
A.60°，720° B.－60°，－720°
C.－30°，－360° D.－60°，720°
题型二 终边相同角的表示
例2　在0°~360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角。
例3　写出终边在y轴上的角的集合。
例4　写出终边在直线y=x上的角的集合S.S中满足不等式-360°≤β<720°的元素β有哪些？
【跟踪训练】(1)若角2α与240°角的终边相同，则α等于
A.120°＋k·360°，k∈Z B.120°＋k·180°，k∈Z
C.240°＋k·360°，k∈Z D.240°＋k·180°，k∈Z
(2)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是
A.－37° B.143° C.379° D.－143°
题型三 象限角及区域角的表示
例5　(1)(多选)下列四个角为第二象限角的是
A.－200° B.100° C.220° D.420°
(2)如图所示.
　①写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
【跟踪训练】已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.
【当堂达标】
1.与－30°终边相同的角是
A.－330° B.150° C.30° D.330°
2.(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是
A.160° B.480° C.－960° D.1 530°
3.与－460°角终边相同的角可以表示成
A.460°＋k·360°，k∈Z B.100°＋k·360°，k∈Z
C.260°＋k·360°，k∈Z D.－260°＋k·360°，k∈Z
4.在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为____________.
5.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是_________________________________________.
【参考答案】
【自主学习】
射线 旋转 图形 OA.OB.O逆时针 顺时针 没有 －α 终边 α＋(－β)
原点 终边 象限角 坐标轴上 {β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
【小试牛刀】
× × √
【经典例题】
例1 ACD 解析 A中90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A不正确；
B中始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确；
C中钝角是大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故C不正确；
D中零角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D不正确.
[跟踪训练] B 解析　钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.
例2、例3、例4 ：课本例题
[跟踪训练] （1）B 解析　角2α与240°角的终边相同，
则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.
（2）D 解析　与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°.
例5 (1)AB 解析　－200°＝－360°＋160°，在0°～360°范围内，与－200°终边相同的角为160°，它是第二象限角，同理100°为第二象限角，220°为第三象限角，420°为第一象限角.
(2)①解 终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.
②解　终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.
[跟踪训练] 解　终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，
终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，
因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α< 105°＋k·180°，k∈Z}.
【当堂达标】
D 解析　因为所有与－30°终边相同的角都可以表示为α＝k·360°＋(－30°)，k∈Z，取k＝1，得α＝330°.
ABC解析　160°是第二象限角；480°＝120°＋360°是第二象限角；
－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角.
3.C 解析　因为－460°＝260°＋(－2)×360°，故与－460°角终边相同的角可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.
4. 120°，300° 解析　与角－60°的终边在同一条直线上的角可表示为β＝－60°＋k·180°，k∈Z.
∵所求角在0°～360°范围内，∴0°≤－60°＋k·180°≤360°，解得≤k≤，k∈Z，
∴k＝1或2，
当k＝1时，β＝120°，当k＝2时，β＝300°.
5.{α|k·360°＋45°<α解析　观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α

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