资源简介

5.1.2 弧度制
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.理解弧度制的概念； 2.能进行角度与弧度的互化； 3.会利用弧度制证明并应用扇形周长及面积公式. 1.直观想象 2.数学运算
【自主学习】
一．度量角的两种制度
角度制：1度角等于周角的
：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做
二．弧度数的计算
三．角度与弧度的互化
180°＝ rad
1°＝ rad；1 rad＝（ ）°
四．弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝
(2)面积公式：S= ＝
【小试牛刀】
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
【经典例题】
题型一 角度制与弧度制的互化
例1 .
【跟踪训练】1 已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小.
题型二 用弧度制表示有关的角
例2　将－1125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判断它是第几象限角？
【跟踪训练】2 用弧度制表示终边落在如图（右）所示阴影部分内的角θ的集合.
利用弧度制证明并利用扇形公式：
例3
【跟踪训练】 3 (1)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积.
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数.
【当堂达标】
1．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数( )
A. B. C. D.
2.(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z) D.2kπ＋(k∈Z)
3.－135°化为弧度为______，化为角度为________.
4.已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？
最大值是多少？
【参考答案】
【自主学习】
度 弧度 半径长正 负 0
2π 360° π 180° αR
【小试牛刀】
√ × √ √
【经典例题】
例1 课本例题
【跟踪训练】1 解　α＝15°＝15×＝，θ＝105°＝105×＝，
∵<<1<，∴α<β<γ<θ＝φ.
例2 解　－1 125°＝－1 125×＝－＝－8π＋.
其中<<2π，因为是第四象限角，所以－1 125°是第四象限角.
【跟踪训练】2 解　终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z，
即θ＝＋2kπ，k∈Z.
终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，即θ＝－＋2kπ，k∈Z，
故终边落在阴影部分的角θ的集合为
例3 课本例题
【跟踪训练】3 （1）解　设扇形弧长为l，
因为圆心角72°＝72×＝ rad，所以扇形弧长l＝|α|·r＝×20＝8π，
于是，扇形的面积S＝l·r＝×8π×20＝80π.
（2）解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm，
依题意有
①代入②得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.
当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad>2π rad舍去.
当R＝4时，l＝2，此时，θ＝＝(rad).
综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad.
【当堂达标】
1.B 解析　由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，小链轮转过的弧度是×2π＝.
2.CD 解析　A，B中弧度与角度混用，不正确；＝2π＋，所以与终边相同.
－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同，即与终边相同.
3. － 660°解析　－135°＝－135×＝－；＝×180°＝660°.
4.解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，
则l＋2r＝4，所以l＝4－2r，
所以S＝l·r＝×(4－2r)×r＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，
所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1，
因此，θ＝＝＝2(rad).

展开更多......

收起↑