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5.4.3 正切函数的性质与图象
【学习目标】
学习目标 学科素养
1.了解正切函数的画法，理解并掌握正切函数的性质. 2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题． 1、直观想象 2、数学抽象
【自主学习】
正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域
值域
最小正周期
奇偶性
单调性
对称性
思考　正切函数y＝tan x的图象与直线x＝kπ＋，k∈Z有公共点吗？
【小试牛刀】
1．正切函数的定义域和值域都是R.(　　)
2．正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心．(　　)
3．正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±，k∈Z.(　　)
4．正切函数是增函数．(　　)
【经典例题】
题型一 正切函数的奇偶性与周期性
与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．
例1　(1)函数的最小正周期为(　　)
A. B. C．π D．2π
(2)函数f(x)＝sin x＋tan x的奇偶性为(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
【跟踪训练】1 (1)函数f(x)＝(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
(2)若函数的最小正周期是，则ω＝________.
题型二 正切函数的单调性及其应用
(1)运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
②运用单调性比较大小关系．
(2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法
y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
例2　(1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)：
①tan ________tan ；
②tan ________.
(2)求函数的单调区间．
【跟踪训练】2求函数的单调递减区间．
题型三 正切函数图象与性质的综合应用
解答正切函数图象与性质问题的注意点
(1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．
(2)单调性：正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增，但不能说其在定义域内单调递增．
例3　(1)求函数的定义域、周期及单调区间.
(2)设求不等式 -1≤f(x)≤的解集.
【跟踪训练】3 求函数的定义域、周期及单调区间.
【当堂达标】
1．函数y＝tan的最小正周期为(　　)
A．2π B．π C. D.
2．函数y＝－2＋tan的单调递增区间是(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
3．函数y＝tan的一个对称中心是(　　)
A．(0,0) B. C. D．(π，0)
答案　C
4．函数y＝tan，x∈的值域为________．
5．比较大小：tan ________tan .
【课堂小结】
1．(1)正切函数图象的画法．
(2)正切函数的性质．
2．方法归纳：整体代换、换元法．
3．常见误区：最小正周期T＝，在定义域内不单调，对称中心为(k∈Z)．
【参考答案】
【自主学习】
【小试牛刀】
× √ × ×
【经典例题】
例1 （1）A
（2）A
【跟踪训练】1 (1)A
(2)
例2 （1）
（2）
【跟踪训练】2
例3 （1）
（2）
【跟踪训练】3
【当堂达标】
1.C
2.A
3.C
4.
5.

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