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5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
【学习目标】
学习目标 学科素养
1.会用两点间距离公式推导出两角差的余弦公式； 2.掌握两角差的余弦公式及其应用． 1、数学运算 2、数学抽象
【自主学习】
利用两点间距离公式推导公式
设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cosα，sinα)，A1(cosβ，sinβ)，P(cos(α－β)，sin(α－β))．
连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P1重合．根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而＝，所以AP＝A1P1.
根据两点间的距离公式，得[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝ ，
化简得cos(α－β)＝ .
当α＝2kπ＋β(k∈Z)时，容易证明上式仍然成立．
两角差的余弦公式
1．公式：cos(α－β)＝ .
2．简记符号：
3．使用条件：α，β都是 ．
思考：两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？
【小试牛刀】
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.(　　)
(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．（ ） (　　)
(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．（ ） (　　)
(4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.(　　)
【经典例题】
题型一　两角差的余弦公式的正用和逆用
【跟踪训练】1
题型二　给值求值
[探究问题]
若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？
利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？
【跟踪训练】2
题型三 给值求角
例3 已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求β的值．
【跟踪训练】3
已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．
【当堂达标】
1．sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°的值为(　　)
A.　 B． C. D．
2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为(　　)
A．－　　　B．－　　　C.　 D．
3．已知cos＝cos α，则tan α＝ .
4．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝ .
5．已知sin α＝－，sin β＝，且180°＜α＜270°，90°＜β＜180°，求cos(α－β)的值．
【课堂小结】
1．给角求值或给值求值问题，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．
注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值．
【参考答案】
【自主学习】
(cosα－cosβ)2＋(sinα＋sinβ)2 cosαcosβ＋sinαsinβ cosαcosβ＋sinαsinβ C(α－β) 任意角
提示：公式巧记为：两角差的余弦等于两角的同名三角函数值乘积的和，即余·余＋正·正
【小试牛刀】
【经典例题】
例1
【跟踪训练】1
探究问题
例2
【跟踪训练】2
例3
【跟踪训练】3
【当堂达标】
1.
2.
3.
4.
5.

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