资源简介

2.2 基本不等式
第2课时 基本不等式的综合应用
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.能够运用基本不等式解决生活中的最值问题(难点)； 2.会用基本不等式解决恒成立问题(重点)。 1、逻辑推理 2、数学运算 3、数学建模
【自主学习】
1、设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当 时，积xy有最大值，且这个值为.
设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当 时，和x＋y有最小值，且这个值为2.
2.基本不等式求最值的条件：
(1)x，y必须是 ；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为 ；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为 .
(3)等号成立的条件是否满足.
3.利用基本不等式求最值需注意的问题：
(1)各数(或式)均为正；和或积为定值；判断等号能否成立即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可.
(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性.
【小试牛刀】
　判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.(　　)
(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2.(　　)
(3)当x>1时，函数y＝x＋≥2，所以函数y的最小值是2.(　　)
(4)若x∈R，则x2＋2＋≥2.(　　)
　
【经典例题】
题型一 对基本不等式的理解
例1 (1)已知0＜x＜，求f(x)＝x(1－2x)的最大值；
(2)已知x＞1，求函数y＝的最小值.
[跟踪训练] 1（1）已知x，y>0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
（2）若x<3，则实数f(x)＝＋x的最大值为________．
题型二 利用基本不等式解决实际问题
例2 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围 36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
[跟踪训练] 2 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
题型三 基本不等式的综合应用
例3（1）已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________.
（2）已知x＞0，y＞0且＋＝1，则x＋y的最小值为________.
[跟踪训练] 3 已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　)
A.10 B.9
C.8 D.7
【当堂达标】
1．已知p>0，q>0，p＋q＝1，且x＝p＋，y＝q＋，则x＋y的最小值为(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
2．设x，y为正数，则(x＋y)的最小值为(　　)
A．6 B．9 C．12 D．15
3.函数y＝(x＞1)在x＝t处取得最小值，则t等于(　　)
A.1＋ B.2 C.3 D.4
4．当x>0时，y＝＋4x的最小值为(　　)
A．4 B．8 C．8 D．16
5.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　)
A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m
6．若a<1，则a＋有最________(填“大”或“小”)值，为________．
7．已知正数x，y满足x＋2y＝1，则＋的最小值为________．
8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
9．(1)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值；
(2)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．
10．已知a，b，x，y>0，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a,b.
【参考答案】
【自主学习】
x＝y x＝y 正数 定值 定值
【小试牛刀】
(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
【经典例题】
例1 解 （1）因为0＜x＜，所以1－2x＞0，f(x)＝x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时等号成立，所以f(x)的最大值为.
(2)因为x＞1，所以x－1＞0.设t＝x－1(t＞0)，则x＝t＋1，所以y＝＝＝t＋＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当t＝，即t＝，x＝＋1时等号成立，所以f(x)的最小值为2＋2.
[跟踪训练] 1（1）3　 [解析]∵x，y>0，
∴＋＝1≥2 ，得xy≤3，当且仅当＝即x＝，y＝2时，取“＝”号，
∴xy的最大值为3.
（2）－1 [解析]　∵x<3，∴x－3<0，
∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3＝－＋3≤－2 ＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，即x＝1时取“＝”号．
∴f(x)的最大值为－1.
例2 [解]　(1)设每间虎笼长x m，宽为y m，则由条件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
由于2x＋3y≥2＝2，
∴2≤18，得xy≤，
即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大．
(2)由条件知S＝xy＝24.
设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
∵2x＋3y≥2＝2＝24，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
[跟踪训练] 2 解　设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.
由题意可知，面粉的保管等其他费用为
3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1).
设平均每天所支付的总费用为y1元，
则y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋＋10 809≥2＋10 809＝10 989(元)，
当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立.
所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.
例3 （1） 解析　正数x，y满足x＋y＝1，
即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，
则＋＝[(x＋2)＋(y＋1)]
＝≥＝×(5＋4)＝，
当且仅当x＝2y＝时，取得最小值.
（2）16 解析　法一　(1的代换)：因为＋＝1，
所以x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋.
因为x＞0，y＞0，所以＋≥2＝6，
当且仅当＝，即y＝3x　①时，取“＝”.
又＋＝1，②
解①②可得x＝4，y＝12.
所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.
法二　(消元法)：由＋＝1，得x＝.
因为x＞0，y＞0，所以y＞9.
所以x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1＝
(y－9)＋＋10.
因为y＞9，所以y－9＞0，
所以(y－9)＋≥2＝6.
当且仅当y－9＝，即y＝12时，取“＝”，此时x＝4，
所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.
[跟踪训练] 3 B 解析　因为a＞0，b＞0，所以2a＋b＞0，所以要使＋≥恒成立，只需m≤(2a＋b)恒成立，而(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b
时，等号成立，所以m≤9.
【当堂达标】
B [解析]　由p＋q＝1，
∴x＋y＝p＋＋q＋＝1＋＋＝1＋(p＋q)＝1＋2＋＋≥3＋2＝5，
当且仅当＝即p＝q＝时取等号，
2.B [解析]　(x＋y)＝x·＋＋＋y·＝1＋4＋＋≥5＋2 ＝9.
3.B 解析　y＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立.
4.C [解析]　∵x>0，∴>0,4x>0.∴y＝＋4x≥2＝8.当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，∴当x>0时，y的最小值为8.
5.C 解析　设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m).∵要求够用且浪费最少，故选C.
6.大　－1 [解析]　∵a<1，∴a－1<0，
∴－＝(1－a)＋≥2，
∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1.
当且仅当a＝0时取等号．
7. 3＋2 [解析]　∵x，y为正数，且x＋2y＝1，
∴＋＝(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当＝，即当x＝－1，y＝1－时等号成立．
∴＋的最小值为3＋2.
8.　20 [解析]　每年购买次数为次．
∴总费用＝·4＋4x≥2＝160，
当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立．
9. [解]　(1)∵x<3，∴x－3<0.
∴f(x)＝＋x＝＋x－3＋3
＝－＋3
≤－2 ＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号，
∴f(x)的最大值为－1.
(2)由2x＋8y－xy＝0，
得y(x－8)＝2x，
∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，
∴x＋y＝x＋＝x＋
＝(x－8)＋＋10
≥2 ＋10
＝18.
当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立．
∴x＋y的最小值是18.
10.[解]　x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
当且仅当＝时取等号．
故(x＋y)min＝(＋)2＝18，
即a＋b＋2＝18，①
又a＋b＝10，②
由①②可得或

展开更多......

收起↑