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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
【学习目标】
课程标准 学科素养
1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系． 2．掌握图象法解一元二次不等式．(重点) 3．通过解不等式，体会数形结合、分类讨论的思想方法．（难点） 1、数学抽象 2、数学运算
【自主学习】
1.　一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有 未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是 或 ，其中a，b，c均为常数，a≠0.
2．二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的 叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
注意：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．
(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．
3．“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2 有两个相等的实数根x1，x2 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
注意：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．
(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．
【小试牛刀】
1.不等式x2－3x－10＜0的解集是___ _____.
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　　)
(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．(　　)
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.(　　)
【经典例题】
题型一 一元二次不等式的解法
注意：解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零.
(2)计算相应的判别式.
(3)当Δ＞0时求出相应的一元二次方程的两根.
(4)根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集.
注意：解含参数的一元二次不等式的步骤
例1 解下列不等式：
(1)－x2＋7x>6；
(2)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)；
(3)(2－x)(x＋3)<0．
例2 解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．
注意：先求出方程x2－ax－2a2＝0的两根x1＝2a，x2＝－a，再通过比较2a与－a的大小写出不等式的解集．
[跟踪训练] 1 解关于x的不等式(a∈R)：x2－(a＋a2)x＋a3＞0.
题型二 三个“二次”关系的应用
例3 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10
的解集．
注意：由x2＋ax＋b<0的解集为{x|1[跟踪训练] 2已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(α，β)，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.
【当堂达标】
1．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7A．1 B．2 C．3 D．4
2.下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定为一元二次不等式的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.若不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为，则a，c的值为(　　)
A.a＝6，c＝1 B.a＝－6，c＝－1
C.a＝1，c＝6 D.a＝－1，c＝－6
4．已知集合M＝{x|－4A．{x|－4C．{x|－25．若00的解集是(　　)
A. B.
C. D.
6．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a－b的值为(　　)
A．14 B．－14 C．10 D．－10
7．不等式x2＋3x－4＜0的解集为__ ______.
8.当a>－1时，关于x的不等式x2＋(a－1)x－a>0的解集是________．
9．解不等式：0≤x2－x－2≤4.
10．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
【参考答案】
【自主学习】
1. 一个 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0
2. 实数x
3. {x|x＜x1或x＞x2} {x|x1＜x＜x2} R
【小试牛刀】
1.{x|－2＜x＜5} 解析　由于x2－3x－10＝0的两根为－2，5，故x2－3x－10＜0的解集为{x|－2＜x＜5}.　
2.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
【经典例题】
例1 [解]　(1)原不等式可化为x2－7x＋6<0.
解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为{x|1(2) (3)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为.
（3）原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.
方程(x－2)(x＋3)＝0两根为2和－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}．
例2 [解]　原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0，对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.
①当2a>－a，即a>0时，不等式的解集为{x|－a②当2a＝－a，即a＝0时，原不等式化为x2<0，无解；
③当2a<－a，即a<0时，不等式的解集为{x|2a综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|－a[跟踪训练] 1 解　将不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0变形为(x－a)(x－a2)＞0.
当a＜0时，有a＜a2，所以不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；
当a＝0时，a＝a2＝0，所以不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；
当0＜a＜1时，有a＞a2，所以不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；
当a＝1时，a＝a2＝1，所以不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a＞1时，有a＜a2，所以不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}.
例3 [解]　∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根．
由韦达定理有得
代入所求不等式bx2＋ax＋1>0，得2x2－3x＋1>0.
由2x2－3x＋1>0 (2x－1)(x－1)>0 x<或x>1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为.
[跟踪训练] 2 解 由题意可得a＜0，且α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴由根与系数的关系得
∵a＜0，0＜α＜β，∴由②得c＜0，
则cx2＋bx＋a＜0可化为x2＋x＋＞0.
①÷②，得＝＝－＜0.
由②得＝＝·＞0.
∴，为方程x2＋x＋＝0的两根.
又∵0＜α＜β，∴0＜＜，
∴不等式x2＋x＋＞0的解集为，
即不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为.
【当堂达标】
1. C [解析]　由题可知－7和－1为ax2＋8ax＋21＝0的两个根，∴－7×(－1)＝，a＝3.
2.B 解析　②④一定是一元二次不等式.
3. 解析　易知a＜0，且
4. C [解析]　由题意得N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－25. A [解析]　不等式(a－x)>0化为(x－a)<0，因为06.D [解析]　不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，可得－，是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两个实数根，
∴－＋＝－，－×＝，
解得a＝－12，b＝－2，
∴a－b＝－12－(－2)＝－10，
7. (－4，1) 解析　易得方程x2＋3x－4＝0的两根为－4，1，所以不等式x2＋3x－4＜0的解集为(－4，1).
8. {x|x<－a或x>1} [解析]　原不等式可化为(x＋a)(x－1)>0，
方程(x＋a)(x－1)＝0的两根为－a,1，
∵a>－1，
∴－a<1，故不等式的解集为{x|x<－a或x>1}．
9.[解]　原不等式等价于
解x2－x－2≥0，得x≤－1或x≥2；
解x2－x－2≤4，得－2≤x≤3.
所以原不等式的解集为{x|x≤－1或x≥2}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－2≤x≤－1或2≤x≤3}．
10.[解]　①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1.
②当a<0时，原不等式化为(x－1)>0，解得x<或x>1.
③当a>0时，原不等式化为(x－1)<0.
若a＝1，即＝1时，不等式无解；
若a>1，即<1时，解得若01时，解得1综上，当a<0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；
当0当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a>1时，不等式的解集为.

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