资源简介

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第2课时 一元二次不等式的综合应用
【学习目标】
课程标准 学科素养
会解可化为一元二次不等式的简单分式不等式； 2.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法(重、难点)； 3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决(难点)。 1、数学抽象 2、数学运算 2、数学建模
【自主学习】
1.分式不等式的解法---化分式不等式为整式不等式
类型 转化
＞0(＜0) f(x)·g(x)＞0(＜0)
≥0(≤0)
＞a 先移项转化为上述两种形式
2.一元二次不等式恒成立问题
（1）不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 的条件为
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立 k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立 k≤f(x)min.
【小试牛刀】
1.不等式＜0的解集为________.
2.对任意的x∈R，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为________.
【经典例题】
题型一 简单的分式不等式求解
例1 解下列不等式：
(1)≥0； (2)>1.
[跟踪训练]1　解不等式：
(1)＜0；
(2)≥0；
(3)＞1.
题型二 一元二次不等式恒成立的问题
例2 设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围.
[跟踪训练] 2 二次不等式ax2＋2x－1＜0的解集为R，则a的取值范围是________.
题型二 三个“二次”关系的应用
例3在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任.
[跟踪训练] 3 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x＞0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.
(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.
【当堂达标】
1.不等式≥0的解集为(　　)
A.{x|－1＜x≤1} B.{x|－1≤x＜1}
C.{x|－1≤x≤1} D.{x|－1＜x＜1}
2．不等式<1的解集是(　　)
A．{x|x>1} B．{x|－1C. D.
3．不等式≥2的解集是(　　)
A. B.
C. D.
4.若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|≤0}，则A∩B等于(　　)
A.{x|－1≤x＜0} B.{x|0＜x≤1}
C.{x|0≤x＜2} D.{x|0≤x≤1}
5.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　)
A.100台 B.120台 C.150台 D.180台
6．不等式≤3的解集为________．
7．若不等式x2－4x＋3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是________．
8.不等式x2＋x＋k＞0恒成立时，则k的取值范围为________.
9.若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，求实数a的取值范围.
10. 已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1<0对于所有的实数x都成立，求a的取值范围．
【参考答案】
【小试牛刀】
1. 解析　不等式等价于x(2x－1)＜0，对应方程的两个根为x1＝0，x2＝.根据对应的二次函数的图象，可得原不等式的解集为.
2. (－2，2) 解析　由题意知，f(x)开口向上，故要使f(x)＞0恒成立，
只需Δ＜0即可，即(a－4)2－4(5－2a)＜0，解得－2＜a＜2.
【经典例题】
例1 [解]　(1)原不等式可化为
解得
∴x<－或x≥，∴原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为>0，
化简得>0，即<0，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3[跟踪训练] 1 解　(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)＜0，
∴－1＜x＜，故原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为≤0，∴∴
即－＜x≤1.故原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为－1＞0，∴＞0，∴＞0，则x＜－2.
故原不等式的解集为{x|x＜－2}.
例2 解　(1)若m＝0，显然－1＜0恒成立；
若m≠0，则 －4＜m＜0. ∴m的取值范围为(－4，0].
(2)要使f(x)＜－m＋5恒成立，就要使m＋m－6＜0，x∈[1，3].
令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3].
当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，
∴g(x)max＝g(3)＝7m－6.∴7m－6＜0，解得m＜.∴0＜m＜.
当m＝0时，－6＜0恒成立.
当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数.
∴g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，解得m＜6，∴m＜0.
综上所述，m的取值范围为.
[跟踪训练] 2 (－∞，－1) 解析　 a＜－1.
例3 解　由题意列出不等式S甲＝0.1x＋0.01x2>12，
S乙＝0.05x＋0.005x2>10.
分别求解，得x<－40或x>30.x<－50或x>40.
由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任.
[跟踪训练] 3 解　(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元.依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
＝a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10).
(2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元).
依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.
又因为0＜x＜10，所以0＜x≤2.即x的取值范围为(0，2].
【当堂达标】
1. B [解析] 原不等式 ∴－1≤x＜1.
2.C [解析]　原不等式等价于－1<0 <0 (x＋1)·(1－2x)<0 (2x－1)(x＋1)>0，解得x<－1或x>.
3. D [解析] ∵原不等式等价于∴
∴即.
4. B [解析]　∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}，∴A∩B＝{x|0＜x≤1}.
5. C [解析]　y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，即x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去).
6. [解析]　≤3 －3≤0 ≥0 x(2x－1)≥0且x≠0，解得x<0或x≥.
7. m≥ [解析]　由题意，知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m≤0，解得m≥.
8. [解析]　由题意知Δ＜0，即1－4k＜0，得k＞，即k∈.
9. 解　当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；
当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需解得a＞.
综上，所求实数a的取值范围为.
10. 解　若a＝0，则原不等式为－x－1<0，即x>－1，不合题意，故a≠0.
令y＝ax2＋(a－1)x＋a－1，
∵原不等式对任意x∈R都成立，∴二次函数y＝ax2＋(a－1)x＋a－1的图象在x轴的下方，
∴a<0且Δ＝(a－1)2－4a(a－1)<0，即
∴a<－.

展开更多......

收起↑