2022-2023学年高中数学人教A版(2019)必修一同步学案3.1.1 函数的概念(Word含答案)

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2022-2023学年高中数学人教A版(2019)必修一同步学案3.1.1 函数的概念(Word含答案)

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3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.理解函数的概念(重点、难点). 2.了解构成函数的三要素(重点). 3.正确使用函数、区间符号. 1、直观想象 2、数学运算 3、数学抽象
【自主学习】
函数的概念
(1)函数的定义
设A,B是 ,如果对于集合A中的 ,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有 和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作 .
(2)函数的定义域与值域
函数y=f(x)中,x叫做 , A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做 ,函数值的集合 叫做函数的值域.显然,值域是集合B的 .
(3)对应关系f:除解析式、图象表格外,还有其他表示
对应关系的方法,引进符号f统一表示对应关系.
注意:判断对应关系是否为函数的2个条件
①A、B必须是非空数集.
②A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应.
2.函数的三要素
由函数的定义可知,一个函数的构成要素为: 、 和 。
3.相同函数
值域是由 和 决定的,如果两个函数的定义域和 相同,我们就称这两个函数是同一函数.两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们 相同的函数.
4. 区间及有关概念
(1)一般区间的表示.
设a,b∈R,且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间
{x|a{x|a≤x{x|a(2)特殊区间的表示.
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x符号
【小试牛刀】
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)根据函数的定义,定义域中的一个x可以对应着不同的y.(  )
(2)函数的定义域和值域一定是无限集合.(  )
(3)函数的定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了.(  )
(4)两个函数相同指定义域和值域相同的函数.(  )
(5)f(x)=3x+4与f(t)=3t+4是相同的函数.(  )
(6)函数值域中每一个数在定义域中有唯一的数与之对应.(  )
(7)函数f(2x-1)的定义域指2x-1的取值范围.(  )
【经典例题】
题型一 函数关系的判定
例1(1) 若集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤3},则下列图形给出的对应中能构成从M到N的函数f:M→N的是(  )
(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数?为什么?
①f:把x对应到3x+1; ②g:把x对应到|x|+1;
③h:把x对应到; ④r:把x对应到.
[跟踪训练] 1 设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数y=f(x)的定义域为M,值域为N,对于下列四个图象,不可作为函数y=f(x)的图象的是(  )
题型二 已知函数的解析式求定义域
求函数定义域的几种类型
(1)若f(x)是整式,则函数的定义域是R.
(2)若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零.
(3)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零.
(4)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域是几个部分定义域的交集.
(5)若f(x)是实际情境的解析式,则应符合实际情境,使其有意义.
例2  求下列函数的定义域.
(1)y=2+; (2)y=;
(3)y=·; (4)y=(x-1)0+;
[跟踪训练] 2 求下列函数的定义域:
(1)y=-. (2)y=.
题型三 函数相同
判断两个函数为同一函数的方法
判断两个函数是否为同一函数,要先求定义域,若定义域不同,则不是同一函数;若定义域相同,再化简函数的解析式,看对应关系是否相同.
注意:(1)在化简解析式时,必须是等价变形.(2)函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
例3 下列各组函数:
①f(x)=,g(x)=x-1;
②f(x)=,g(x)=;
③f(x)=,g(x)=x+3;
④f(x)=x+1,g(x)=x+x0;
⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x≤5).
其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号).
[跟踪训练] 3 (1)与函数y=x-1为同一函数的是(  )
A.y= B.m=()2
C.y=x-x0 D.y=
(2)判断以下各组函数是否表示相等函数:
①f(x)=()2;g(x)=.
②f(x)=x2-2x-1;g(t)=t2-2t-1.
题型四 求抽象函数的定义域
两类抽象函数的定义域的求法
(1)已知f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域:若f(x)的定义域为[a,b],则f(g(x))中a≤g(x)≤b,从中解得x的取值集合即为f(g(x))的定义域.
(2)已知f(g(x))的定义域,求f(x)的定义域:若f(g(x))的定义域为[a,b],即a≤x≤b,求得g(x)的取值范围,g(x)的值域即为f(x)的定义域.
例4 (1)设函数f(x)=,则f(x+1)等于什么?f(x+1)的定义域是什么?
(2)若函数y=f(x)的定义域是[0,+∞),那么函数y=f(x+1)的定义域是什么?
[跟踪训练] 4 已知函数f(x)的定义域为[1,3],求函数f(2x+1)的定义域.
注意:定义域是x的取值范围,f(x)中的x与f(2x+1)中的2x+1是相对应的.
例5 (1)已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],求函数y=f(2x-3)的定义域;
(2)已知函数y=f(2x-3)的定义域是[-2,3],求函数y=f(x+2)的定义域.
[跟踪训练] 5(1)函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(x)的定义域.
(2)函数f(1-x)的定义域为[1,3],求函数f(2x+1)的定义域。
题型五 求函数值及值域
求函数值的方法
①已知f(x)的表达式时,只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.
②求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则.
求函数值域常用的4种方法
①观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到;
②配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时,可利用配方法求其值域;
③分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域;
④换元法:即运用新元代换,将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得原函数的值域.对于f(x)=ax+b+(其中a,b,c,d为常数,且a≠0)型的函数常用换元法.
例6 已知f(x)=(x∈R,且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R).
(1)求f(2),g(2)的值; (2)求f(g(3))的值.
[跟踪训练] 6已知函数f(x)=.
(1)求f(2);(2)求f(f(1)).
例7 求下列函数的值域:
y=x+1,x∈{1,2,3,4,5}; (2)y=x2-2x+3,x∈[0,3);
(3)y=; (4)y=x+.
[跟踪训练] 7 求下列函数的值域:
(1)y=-1;
(2)y=;
(3)y=2x-.
【当堂达标】
1.下列各组函数中,表示同一个函数的是(  )
A.y=x-1和y= B.y=x0和y=1
C.f(x)=(x-1)2和g(x)=(x+1)2 D.f(x)=和g(m)=
2.已知函数f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是(  )
A.[0,1] B.[0,1)
C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)
3.下列函数中,值域为(0,+∞)的是(  )
A.y= B.y=
C.y= D.y=x2+1
4.已知全集U=R,A={x|1若函数f(x)的定义域是[0,1],则函数f(2x)+f的定义域为________.
6..已知区间[-2a,3a+5],则a的取值范围为________.
7.设函数f(x)=x2-2x-1,若f(a)=2,则实数a=________.
8.已知函数f(x)=x2+x-1.
(1)求f(2),f;
(2)若f(x)=5,求x的值.
9.试判断函数y=·与函数y=是否相等,并说明理由.
10.已知函数y=的定义域是R,求实数m的取值范围.
【参考答案】
【自主学习】
1.非空的实数集 任意一个数x 唯一确定的数y y=f(x),x∈A 自变量 x的取值范围 函数值 {f(x)|x∈A} 子集
2.定义域 对应关系 值域
3.定义域 对应关系 对应关系 不是
4. [a,b] (a,b) (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a)
【小试牛刀】
(1)× (2)×(3)√ (4)× (5)√ (6)× (7)×
【经典例题】
例1 (1) D [解析] A中的对应不满足函数的存在性,即存在x∈M,但N中无与之对应的y;B、C均不满足函数的唯一性,只有D正确.
(2)解 ①是实数集R上的一个函数.它的对应关系f是:把x乘3再加1,对于任意x∈R,3x+1都有唯一确定的值与之对应,如当x=-1时,有3x+1=-2与之对应.
同理,②也是实数集R上的一个函数.
③不是实数集R上的函数.因为当x=0时,的值不存在.
④不是实数集R上的函数.因为当x<0时,的值不存在.
[跟踪训练] 1 C 由函数定义可知,任意作一条直线x=a,则与函数的图象至多有一个交点,结合选项可知C中图象不表示y是x的函数.
例2 [解] (1)当且仅当x-2≠0,即x≠2时,函数y=2+有意义,所以这个函数的定义域为{x|x≠2}.
(2)要使函数有意义,需x2-2x-3≥0,即(x-3)(x+1)≥0,所以x≥3或x≤-1,即函数的定义域为{x|x≥3或x≤-1}.
(3)函数有意义,当且仅当解得1≤x≤3,所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}.
(4)函数有意义,当且仅当解得x>-1,且x≠1,所以这个函数的定义域为{x|x>-1且x≠1}.
[跟踪训练] 2 (1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足即即解得-3≤x≤2且x≠-1,即函数定义域为{x|-3≤x≤2且x≠-1}.
(2)要使函数有意义,则解得-≤x≤,且x≠±3,即定义域为{x|-≤x≤,且x≠±3}.
例3 ⑤ 解析 ①f(x)与g(x)的定义域不同,不是相等函数;②f(x)与g(x)的解析式不同,不是相等函数;③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是相等函数;④f(x)与g(x)的定义域不同,不是相等函数;⑤f(t)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,故是相等函数.
[跟踪训练] 3(1) D [解析] A中的x不能取0;B中的n≥1;C中的x不能取0;D化简以后为y=t-1.
①由于函数f(x)=()2的定义域为{x|x≥0},而g(x)=的定义域为{x|x∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示相等函数.
②两个函数的定义域和对应关系都相同,所以它们表示相等函数.
例4 解(1)f(x+1)=.令x+1≥0,解得x≥-1,所以f(x+1)=的定义域为[-1,+∞).
(2)函数y=f(x)的定义域是[0,+∞),所以令x+1≥0,解得x≥-1,所以函数y=f(x+1)的定义域是[-1,+∞).
[跟踪训练] 4 [解] 因为函数f(x)的定义域为[1,3],即x∈[1,3],函数f(2x+1)中2x+1的范围与函数f(x)中x的范围相同,所以2x+1∈[1,3],所以x∈[0,1],即函数f(2x+1)的定义域是[0,1].
例5 解 (1)因为函数y=f(x)的定义域为[-2,3],即x∈[-2,3],函数y=f(2x-3)中2x-3的范围与函数y=f(x)中x的范围相同,所以-2≤2x-3≤3,解得≤x≤3,
所以函数y=f(2x-3)的定义域为.
(2)因为x∈[-2,3],所以2x-3∈[-7,3],即函数y=f(x)的定义域为[-7,3].
令-7≤x+2≤3,解得-9≤x≤1,所以函数y=f(x+2)的定义域为[-9,1].
[跟踪训练] 5 [解] (1)因为x∈[1,3],所以2x+1∈[3,7],即函数f(x)的定义域是[3,7].
(2)因为函数f(1-x)的定义域为[1,3],所以x∈[1,3],所以1-x∈[-2,0],所以函数f(x)的定义域为[-2,0].
由2x+1∈[-2,0],得x∈,所以f(2x+1)的定义域为.
例6 解 (1)∵f(x)=,∴f(2)==. 又∵g(x)=x2+2,∴g(2)=22+2=6.
(2)∵g(3)=32+2=11,∴f(g(3))=f(11)==.
[跟踪训练] 6 解 (1)∵f(x)=,∴f(2)==.
(2)f(1)==,f(f(1))=f==.
例7 (1)(观察法)∵x∈{1,2,3,4,5},分别代入求值,可得函数的值域为{2,3,4,5,6}.
(2)(配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),可得函数的值域为[2,6).
(3)(分离常数法)y===2+,显然≠0,∴y≠2.
故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).
(4)(换元法)
设u=,则x=(u≥0),∴y=+u=(u≥0)
由u≥0知(u+1)2≥1,∴y≥.∴函数y=x+的值域为.
[跟踪训练] 7 [解] (1)(观察法)∵≥0,∴-1≥-1.∴y=-1的值域为[-1,+∞).
(2)(分离常数法)
y====-.
∵≠0, ∴y≠. ∴函数的值域为.
(3)(换元法)设=t,
则t≥0,且x=t2+1. ∴y=2(t2+1)-t=2t2-t+2=22+.∵t≥0,∴y≥.
故函数的值域为.
【当堂达标】
1.D [解析] A中的函数定义域不同;B中y=x0的x不能取0;C中两函数的对应关系不同.
2. B [解析] 由f(x)的定义域是[0,2]知,解得0≤x<1,所以g(x)=的定义域为[0,1).
3. B y=的值域为[0,+∞),y=的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),y=x2+1的值域为[1,+∞).
4. (-∞,1]∪(3,+∞) UA={x|x≤1或x>3},用区间可表示为(-∞,1]∪(3,+∞).
5. [解析] 由得0≤x≤,所以函数f(2x)+f的定义域为.
6. (-1,+∞) [解析] 由题意可知3a+5>-2a,解得a>-1.故a的取值范围是(-1,+∞).
7.-1或3 [解析] 由f(a)=2,得a2-2a-1=2,解得a=-1或a=3.
8.解 (1)f(2)=22+2-1=5, f=+-1=.
(2)∵f(x)=x2+x-1=5,∴x2+x-6=0, ∴x=2或x=-3.
9. 解 不相等.对于函数y=·,由解得x≥1,故定义域为{x|x≥1},对于函数y=,由(x+1)(x-1)≥0解得x≥1或x≤-1,故定义域为{x|x≥1或x≤-1},显然两个函数定义域不同,故不是相等函数.
10. [解] ①当m=0时,y=,其定义域是R.
②当m≠0时,由定义域为R可知,mx2-6mx+m+8≥0对一切实数x均成立,于是有解得0由①②可知,m∈[0,1].

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