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3.1.2函数的表示法
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点. 2.掌握求函数解析式的常见方法(重点、难点). 3.会用解析法及图象法表示分段函数． 4．给出分段函数，能研究有关性质（重点）． 1、数形结合 2、数学运算 3、直观想象
【自主学习】
　1.函数的三种表示方法
表示法 定义
解析法 用 表示两个变量之间的对应关系
图象法 用 表示两个变量之间的对应关系
列表法 列出 来表示两个变量之间的对应关系
注意：同一个函数可以用不同的方法表示．
2.分段函数
（1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数．
（2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是 ．
注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画．
【小试牛刀】
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以用列表法表示.(　　)
(2)任何一个函数都可以用图象法表示.(　　)
(3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线.(　　)
(4)函数f(x)＝2x＋1可以用列表法表示．(　　)
(5)分段函数由几个函数构成．(　　)
(6)函数f(x)＝是分段函数．(　　)
(7)分段函数的图象不一定是连续的．(　　)
(8)y＝|x－1|与y＝是同一函数．(　　)
【经典例题】
题型一 函数的表示法
注意：(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)在实际操作中，仍以解析法为主．
例1 公司生产了10台机器，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
注意：把自变量与函数值的对应关系分别用表格、图象和数学表达式加以刻画．
[跟踪训练] 1　　已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
g(x) 3 2 1
(1)f(g(3))＝__________； (2)若g(f(x))＝2，则x＝__________.
题型二　函数图象的画法及其应用
注意：　作函数图象的步骤及注意点
(1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.
作图象时应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.
(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等.
例2 作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝，x∈[2，＋∞)；
(2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
注意：通过“列表→描点→连线”作出函数图象，借助图象求出函数值域．
[跟踪训练] 2　画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x>1或x<－1).
题型三 分段函数求值
注意：(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理．
（2）已知函数值，求自变量的值时，要先将“f”脱掉，转化为关于自变量的方程求解．
（3）求解函数值得的不等式时，直接转化为不等式求解，也可通过图象。
例3　已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(－2)))的值；
(2)若f(a)＝，求a.
注意：根据自变量取值范围代入对应解析式求值．
[跟踪训练] 3 已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)若f(x)≥，求x的取值范围；
(3)求f(x)的值域．
题型四 求函数解析式
方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．
(2)已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，常用的有两种方法：
①换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围.
②配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可.
(3)方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
例4 （1）已知函数f(x)是一次函数，若f[f(x)]＝4x＋8，求f(x)的解析式．
（2）已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为________.
[跟踪训练] 4
已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，则函数f(x)的解析式为________；
(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式。　
例5 已知函数f(＋1)＝x＋2＋1，求f(x)的解析式；
[跟踪训练] 5
已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)．
（2）　f＝－1，求f(x)的解析式。
例6 (1)已知函数f(x)满足2f(x)＋f＝3x，求f(x)的解析式．
（2）已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x).
[跟踪训练] 6 f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式。
【当堂达标】
1．设函数f(x)＝则f[f(3)]＝(　　)
A. B．3 C. D.
2．y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为(　　)
A．y＝ B．y＝－
C．y＝ D．y＝－
3 .已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是(　　)
A.f(x)＝x2＋6x B.f(x)＝x2＋8x＋7
C.f(x)＝x2＋2x－3 D.f(x)＝x2＋6x－10
4．已知函数f(x)＝若f(x)＝－3，则x＝________.
5．设函数f(x)＝若f(a)>1，则实数a的取值范围是________．
6、作出函数y＝x＋1(x∈Z)的图象：
7.已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2).
(1)画出f(x)图象的简图；
(2)根据图象写出f(x)的值域.
8．已知f(x)＝x＋b，f(ax＋1)＝3x＋2，求a，b的值．
9．已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解析式和f[f(－3)]的值．
【参考答案】
【自主学习】
1、数学表达式 图象 表格
2、对应关系 并集 空集
【小试牛刀】
(1)×　如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示；
(2)×　有些函数的是不能画出图象的，如f(x)＝
(3)×　反例：f(x)＝的图象就不是连续的曲线.
(4)×　该函数是连续的，则该函数就不能用列表法表示。
(5)×分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
(6)√对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数　
(7)√定义域不连续，图像不连续
(8)√ 定义域和对应关系相同
【经典例题】
例1 ①列表法
x(台) 1 2 3 4 5
y(元) 3000 6000 9000 12000 15000
x(台) 6 7 8 9 10
y(元) 18000 21000 24000 27000 30000
②图象法：如图所示．
③解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．
[跟踪训练] 1 (1)2　(2)1
解析　(1)由表知g(3)＝1，∴f(g(3))＝f(1)＝2；
(2)由表知g(2)＝2，又g(f(x))＝2，得f(x)＝2，再由表知x＝1.
例2 (1)列表：
x 2 3 4 5 …
y 1 …
画图象，当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1]．
　　
(2)列表：
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分(图2)．由图可得函数的值域是[－1,8]．
[跟踪训练] 2 解　(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1).
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).
例3 [解]　(1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，∴f[f(－2)]＝f(－1)＝2，∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝.
(2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，∴a＝2>1；
当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，∴a＝±∈[－1,1]；
当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，∴a＝－>－1(舍去)．
综上，a＝2或a＝±.
[跟踪训练] 3 [解]　(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
（2）由于f＝，结合此函数图象可知，使f(x)≥的x的取值范围是∪.
(3)由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]；当x>1或x<－1时，f(x)＝1.
所以f(x)的值域为[0,1].
例4 解（1）设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f[f(x)]＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即解得或
∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.
（2）设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1，f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x.
故得解得a＝1，b＝－1，故得f(x)＝x2－x＋1.
[跟踪训练] 4 解 (1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，所以解得k＝4，b＝－5或k＝－4，b＝，所以f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋.
(12)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝1，∴c＝1.
∴f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b.又f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴∴∴f(x)＝x2－x＋1.
例5 解 配凑法：∵f(＋1)＝x＋2＋1＝(＋1)2，
∴f(x)＝x2.又＋1≥1，∴f(x)＝x2(x≥1)．
换元法：令t＝＋1，则x＝(t－1)2.由于x≥0，所以t≥1.
代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＋1＝t2，所以f(x)＝x2(x≥1)．
[跟踪训练] 5 解 （1）　配凑法：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6.
换元法：令t＝x＋1，则x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，即f(x)＝x2－5x＋6.
(2)f＝2－2，所以f(x)＝x2－2x.
因为≠0，所以＋1≠1，所以f(x)＝x2－2x(x≠1)．
例6 解 （1）∵2f(x)＋f＝3x，①∴将x用替换，得2f＋f(x)＝，②
联立①②得解得f(x)＝2x－(x≠0)，即f(x)的解析式是f(x)＝2x－(x≠0)．
(2)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②
∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝x2－2x.
[跟踪训练] 6 解 由条件知，f(－x)－2f(x)＝－9x＋2，则
解得f(x)＝3x－2.
【当堂达标】
1.D [解析]　∵f(3)＝<1，∴f[f(3)]＝2＋1＝.
2. C [解析]　设y＝，当x＝2时，y＝1，所以1＝，得k＝2.故y＝.
3. A 解析　法一　设t＝x－1，则x＝t＋1.∵f(x－1)＝x2＋4x－5
∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x；
法二　∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，∴f(x)＝x2＋6x，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.
－4或2 [解析]　若x≤1，由x＋1＝－3得x＝－4.
若x>1，由1－x2＝－3得x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)．
综上可得，所求x的值为－4或2.
5.(4，＋∞)[解析]当a≥0时，f(a)＝a－1>1，解得a>4，符合a≥0；当a<0时，f(a)＝>1，无解．
6、解　这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示.
7. 解　(1)f(x)图象的简图如图所示.
(2)由f(x)的图象可知，f(x)所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f(x)的值域是[－1，3].
8.[解]　由f(x)＝x＋b，得f(ax＋1)＝ax＋1＋b.
∴ax＋1＋b＝3x＋2，∴a＝3，b＋1＝2，即a＝3，b＝1.
9.[解]　因为f(2)＝1，所以＝1，即2a＋b＝2，①
又因为f(x)＝x有唯一解，即＝x有唯一解，所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1.代入①得a＝.所以f(x)＝＝.
所以f[f(－3)]＝f＝f(6)＝＝.

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