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3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大（小）值
第1课时 函数的单调性
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.理解单调函数的定义，理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义． 2．掌握定义法证明函数单调性的步骤（重点、难点）． 3．掌握求函数单调区间的方法(重点). 1、逻辑推理 2、数学抽象 3、直观想象
【自主学习】
1、增函数与减函数的定义
条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时
都有_________________ 都有______________
结论 那么就说函数f(x)在区间D上是___函数 那么就说函数f(x)在区间D上是_____函数
图示
注意：(1)函数f(x)在区间D上是增函数，x1，x2∈D，
且x1≠x2 (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 ＞0.
(2)函数f(x)在区间D上是减函数，x1，x2∈D，
且x1≠x2 (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0 ＜0.
2、函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是____________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的_____________.
3、基本初等函数的单调区间如下表所示：
函数 条件 单调递增区间 单调递减区间
正比例函数(y＝kx，k≠0)与一次函数(y＝kx＋b，k≠0) k＞0 R 无
k＜0 无 R
反比例函数(y＝，k≠0) k＞0 无 (－∞，0)和 (0，＋∞)
k＜0 (－∞，0)和(0，＋∞) 无
二次函数(y＝ax2＋bx＋c，a≠0) a＞0 [－，＋∞) (－∞，－]
a＜0 (－∞，－] [－，＋∞)
【小试牛刀】
1、判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)因为f(－1)(2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．(　　)
(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．(　　)
2.函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，且x1＜x2，则有 (　　)
A．f(x1)C．f(x1)＝f(x2) D．以上都有可能
3．下列命题正确的是 (　　)
A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1那么f(x)在(a，b)上为增函数
B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1C．若f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为减函数
D．若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)4、函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．
【经典例题】
题型一 求函数的单调区间
注意：
1．求函数单调区间的方法：(1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象．
2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开．
例1 如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间.
[跟踪训练] 1：据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间．
例2求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)f(x)＝－； (2)f(x)＝
[跟踪训练] 2 函数f(x)＝－x2＋2ax＋3(a∈R)的单调减区间为________.
题型二 函数单调性的判定与证明
利用定义证明函数单调性的4个步骤：
例3 用定义证明：函数f(x)＝x＋在(－1,0)上是减函数．
[跟踪训练] 3
(1)用定义证明函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是单调减函数．
(2)用定义证明，函数y＝在(－1，＋∞)上为增函数．
题型三 函数单调性的应用
已知函数的单调性求参数的取值范围的方法：
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)依据常见函数的单调性，如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解．
(3)要注意：“函数f(x)的增区间是(a，b)”与“函数f(x)在区间(a，b)上单调递增”是不同的，后者意味着区间(a，b)是函数f(x)的增区间的一个子集．
例4　(1)f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，a∈R，则(　　)
A．f(a)＜f(2a) B．f(a2)＜f(a)
C．f(a2＋1)＜f(a) D．f(a2＋a)＜f(a)
(2)如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为(　　)
A．b＝3 B．b≥3
C．b≤3 D．b≠3
[跟踪训练] 4 已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，且f(x)在区间[－2,2]上是减函数，且f(1－m)＞f(m)，求实数m的取值范围．
【当堂达标】
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是 (　　)
A．[0,1] B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1] D．[－3,4]
2．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，)　　 　B．(，＋∞)
C．(－∞，] D．[，＋∞)
3．已知函数f(x)＝8＋2x－x2，那么下列结论正确的是 (　　)
A．f(x)在(－∞，1]上是减函数
B．f(x)在(－∞，1]上是增函数
C．f(x)在[－1，＋∞)上是减函数
D．f(x)在[－1，＋∞)上是增函数
4．已知函数f(x)＝ax＋2是减函数，则实数a的取值范围是________．
5.若函数f(x)＝x2－2ax＋3在(2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是 。
6．已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，求实数x的取值范围为________．
7、画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
8．求证：函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0)上是增函数.
【参考答案】
【自主学习】
f(x1)＜f(x2)；增；f(x1)＞f(x2)；减
2、增函数或减函数；单调区间
【小试牛刀】
1、　(1) × 函数的单调性强调自变量的任意性而非特殊性．
(2) √ 由减函数的定义可知f(0)>f(1)．
(3) × 反例：f(x)＝
2. 　B【解析】　因为函数y＝f(x)在(a，b)上是减函数，且x1f(x2)，故选B.
3．D【解析】　A错误，x1，x2只是区间(a，b)上的两个值，不具有任意性；B错误，无穷并不代表所有、任意；C错误，例如函数y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上分别递减，但不能说y＝在(－∞，1)∪(1，＋∞)上递减；D正确，符合单调性定义．
4、　(－∞，1)【解析】　因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，
所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1)．
【经典例题】
例1解：函数的单调增区间为[－1.5,3)、[5,6)，单调减区间为[－4，－1.5)、[3,5)、[6,7]．
[跟踪训练] 1：解：由图象(1)知此函数的增区间为(－∞，2]，[4，＋∞)，减区间为[2,4]．
由图象(2)知，此函数的增区间为(－∞，－1]、[1，＋∞)，减区间为[－1,0)、(0,1].
例2 (1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．
(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，
[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
[跟踪训练] 2　(a，＋∞)【解析】　因为函数f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴为x＝a，所以f(x)的单调减区间为(a，＋∞)．
例3 证明：设－1＜x1＜x2＜0，
则有f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝，
由于－1＜x1＜x2＜0,0＜x1x2＜1，x1x2－1＜0，又x1x2＞0，x1－x2＜0，
则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函数在(－1,0)上为减函数．
[跟踪训练] 3（1）证明：(1)设x1f(x1)－f(x2)＝(2x＋4x1)－(2x＋4x2)＝2(x－x)＋4(x1－x2)＝2(x1－x2)(x1＋x2＋2)．
∵x10，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－1]上是减函数．
(2)设x1>x2>－1，
y1－y2＝－＝>0，
∴y1>y2，∴函数y＝在(－1，＋∞)上为增函数．
例4　(1) C 因为a∈R，所以a－2a＝－a与0的大小关系不定，无法比较f(a)与f(2a)的大小，故A错；而a2－a＝a(a－1)与0的大小关系也不定，也无法比较f(a2)与f(a)的大小，故B错；
又因为a2＋1－a＝2＋＞0，所以a2＋1＞a.又f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，故有f(a2＋1)＜f(a)，故C对；易知D错．
(2) C【解析】分析函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象和性质，利用二次函数的单调性即可得出b的取值范围．函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，
若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3，故选C.
跟踪训练4：解：因为f(x)在区间[－2,2]上单调递减，所以当－2≤x1＜x2≤2时，总有f(x1)>f(x2)成立，反之也成立，即若f(x1)>f(x2)，则－2≤x1＜x2≤2.
因为f(1－m)＞f(m)，所以解得＜m≤2.
【当堂达标】
1．C【解析】　结合图象分析可知，函数图象在区间[－3,1]是上升的，故其增区间是[－3,1]．
2．B【解析】　f(x)＝(3a－1)x＋b为增函数，应满足3a－1＞0，即a＞，故选B.
3．B【解析】　由二次函数f(x)＝8＋2x－x2＝－(x－1)2＋9的图象知B对，故选B.
4．(－∞，0)【解析】易知函数f(x)＝ax＋2是一次函数，又因为它是减函数，所以a<0.
a≤2 因为函数f(x)＝x2－2ax＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝a，
所以其单调增区间为(a，＋∞)，由题意可得(2，＋∞) (a，＋∞)，所以a≤2.
6.(－∞，－3)【解析】∵f(x)是R上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，
∴2x－3>5x＋6，即x<－3.
7、解：y＝－x2＋2|x|＋3＝
函数图象如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数；函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
8．证明：对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，
有f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
因为x1＜x2＜0，所以x2－x1＞0，x1＋x2＜0，xx＞0.所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
所以函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．
对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，有
f(x1)－f(x2)＝.
因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x2＋x1＞0，xx＞0.所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
所以函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．

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