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3.2.1 单调性与最大（小）值
第2课时 函数的最大（小）值
【学习目标】
课程标准 学科素养
1、理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.（难点） 2、会借助单调性求最值.（重点） 3.掌握求二次函数在闭区间上的最值．（重点） 1、逻辑推理 2、数学运算 3、直观想象
【自主学习】
1、函数的最大值与最小值定义
2、函数的最大(小)值的几何意义
一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．
【小试牛刀】
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）因为f(x)＝x2＋1≥0恒成立，所以f(x)的最小值为0.( )
（2）f(x)＝(x>0)的最小值为0.( )
（3）函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个．( )
（4）如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为[m，M]．( )
2．函数f(x)＝在[1，＋∞)上(　　)
A．有最大值无最小值　　B．有最小值无最大值
C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值
3．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为(　　)
A．3,5 B．－3,5
C．1,5 D．－5,3
【经典例题】
题型一　图象法求函数的最值
图象法求最值的一般步骤
例1　如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
[跟踪训练] 1　已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．
题型二　利用单调性求函数的最大（小）值
1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
例2　已知f(x)＝，
(1)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．
(2)求f(x)在[2,6]上的最大值和最小值．
[跟踪训练] 2　已知函数f(x)＝，求函数f(x)在[1,5]上的最值．
题型三　求二次函数的最值
求二次函数在闭区间[m，n]上的最值：
①确定二次函数的对称轴x＝a；
②根据a③写出最值．
例3（定轴定区间类型）已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值。
例4 （定轴动区间类型）已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值；
例5 （动轴定区间）求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；
[跟踪训练] 3（1）已知函数f(x)＝x－2－3，求函数f(x)的最值．
（2）已知函数f(x)＝x4－2x2－3，求函数f(x)的最值。
类型四　函数最值的应用
注意：恒成立的不等式问题，任意x∈D，f(x)>a恒成立，一般转化为最值问题：f(x)min>a来解决．任意x∈D，f(x)0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
例6 已知x2－x＋a>0对任意x∈恒成立，求实数a的取值范围．
[跟踪训练] 4　已知ax2＋x≤1对任意x∈(0,1]恒成立，求实数a的取值范围．
【当堂达标】
1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是(　　)
A．y＝＋2　 B．y＝3x－2
C．y＝x2 D．y＝1－x
2．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为(　　)
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
3．若函数y＝x2－6x－7，则它在[－2,4]上的最大值、最小值分别是(　　)
A．9，－15 B．12，－15
C．9，－16 D．9，－12
4．已知函数f(x)＝，x∈[－8，－4)，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)有最大值，无最小值 B．f(x)有最大值，最小值
C．f(x)有最大值，无最小值 D．f(x)有最大值2，最小值
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
6．函数f(x)＝的最大值为________．
7．函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________.
8、已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．
9、求函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值．
10．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；
(2)求该函数的最大值和最小值．
【参考答案】
【小试牛刀】
1．× × √ ×
2．A【解析】函数f(x)＝是反比例函数，当x∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上f(x)为减函数，f(1)为f(x)在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)
上没有最小值．故选A.
3．B【解析】因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.
【经典例题】
例1　解：观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，
所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3.
当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2.
函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)，
单调递减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．
[跟踪训练] 1 解析　f(x)的图象如图：
则f(x)的最大值为f(2)＝2.
例2　解：(1)函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
证明：任取x2>x1>1，则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
(2)由(1)可知f(x)在(1，＋∞)上是减函数，所以f(x)在[2,6]上是减函数，
所以f(x)max＝f(2)＝1，f(x)min＝f(6)＝，即f(x)min＝，f(x)max＝1.
[跟踪训练] 2 解析：先证明函数f(x)＝的单调性，设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1>，f(x1)－f(x2)＝－＝.
由于x2>x1>，所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即
f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝在区间上是减少的，所以函数f(x)在[1,5]上是减少的，因此，函数f(x)＝在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝.
例3 解　(1∵函数f(x)＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f(0)＝f(2)．∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4.
例4 ∵对称轴x＝1，
①当1≥t＋2即t≤－1时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3.
②当≤1③当t≤1<，即0④当11时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.
设函数f(x)的最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有
g(t)＝φ(t)＝
例5 解∵函数图象的对称轴是x＝a，∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
∴f(x)min＝
[跟踪训练] 3解（1）设＝t(t≥0)，则x－2－3=t2－2t－3.由(1)知y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．∴当t＝1即x＝1时，f(x)min＝－4，无最大值．
(2)设x2＝t(t≥0)，则x4－2x2－3＝t2－2t－3.y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．
∴当t＝1即x＝±1时，f(x)min＝－4，无最大值．
例6解　f(x)＝－x2＋x在上为减函数，∴f(x)的值域为，
要使a>－x2＋x对任意x∈恒成立，只需a≥，∴a的取值范围是.
[跟踪训练] 4 解　∵x>0，∴ax2＋x≤1可化为a≤－.要使a≤－对任意x∈(0,1]恒成立，
只需a≤min. 设t＝，∵x∈(0,1]，∴t≥1.－＝t2－t＝2－.
当t＝1时，(t2－t)min＝0，即当x＝1时，min＝0，
∴a≤0.∴实数a的取值范围是(－∞，0].
【当堂达标】
1．A【解析】B，C在[1,4]上均为增函数，A，D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值.
2．A【解析】当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，
当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10.∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.
3．C【解析】函数的对称轴为x＝3，所以当x＝3时，函数取得最小值为－16，当x＝－2时，函数取得最大值为9，故选C.
4．A【解析】f(x)＝＝2＋，它在[－8，－4)上单调递减，因此有最大值f(－8)＝，无最小值
5．C【解析】∵f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，
∴函数f(x)图象的对称轴为x＝2.∴f(x)在[0,1]上单调递增．又∵f(x)min＝－2，∴f(0)＝－2，即a＝－2.
∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
6．2【解析】当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
7．4【解析】因为f(x)在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，所以b＝4.
解：y＝－|x－1|＋2＝图象如图所示．
由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，
所以其值域为(－∞，2]．
利用x的不同取值先去绝对值，再画图．
9、f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.
设f(x)在[t，t＋1]上的最小值为g(t)．
当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；
当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8；
当t＋1<2即t<1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
综上，g(t)＝
10．解：(1)函数f(x)在[3,5]上是增加的，
证明：设任意x1，x2，满足3≤x1因为f(x1)－f(x2)＝－＝＝，
因为3≤x10，x2＋1>0，x1－x2<0.所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)＝在[3,5]上是单调递增的．
(2)f(x)min＝f(3)＝＝，f(x)max＝f(5)＝＝.

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