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3.2.2 奇偶性
【学习目标】
课程标准 学科素养
1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(难点). 2、掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系(重点). 3、会利用函数的奇偶性解决简单问题(重点). 1、数学抽象 2、数学运算 3、直观想象
【自主学习】
1、函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是偶函数 关于 对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是奇函数 关于 对称
注意：（1）定义在R上的奇函数，必有f(0)＝ .
（2）若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是 函数，且有 －M.
（3）若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
2、奇偶性与单调性
一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
3、奇偶性的推广
一般地，对于定义域内任意x，
(1)若f(a－x)＝2b－f(a＋x)，则f(x)的图象关于点(a，b)对称.当a＝b＝0时，即为奇函数的定义．
(2)若f(a－x)＝f(a＋x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称，当a＝0时，即为偶函数的定义．
【小试牛刀】
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.(　　)
(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(　　)
(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数.(　　)
(4)若存在x0使f(1－x0)＝f(1＋x0)，则f(x)关于直线x＝1对称．(×)
(5)对于定义域内任意x，有f(1－x)＝f(1＋x)，则y＝f(1－x)与y＝f(1＋x)关于直线x＝1对称．(×)
2．下列函数为奇函数的是(　　)
A．y＝|x|　　　 B．y＝3－x　　 C．y＝　　 D．y＝－x2＋14
3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为(　　)
A．－2 B．2 C．0 D．不能确定
4．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)
【经典例题】
题型一　函数奇偶性的判断
函数奇偶性判断的方法
(1)定义法：
(2)图象法：
例1　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x；　　 (2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝； (4)f(x)＝
[跟踪训练]1　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2(x2＋2); (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(3)f(x)＝； (4)f(x)＝
题型二　奇、偶函数的图象问题
图象应用：根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征求解问题．
例2 已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示.
(1)画出f(x)在区间[－5，0]上的图象；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.
[跟踪训练]2 如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．
题型三　用奇偶性求解析式
1、已知区间[a，b]上的解析式，求[－b，－a]上的解析式
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数,未必有f(0)＝0.
例3 函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．
[跟踪训练]3已知y＝f(x)是定义在 R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2，求y＝f(x)的解析式．
已知一奇一偶两函数之和，求这两个函数的解析式
已知一奇一偶两函数之和，对x赋值，令x＝－x.f(x)，g(x)一奇一偶，才能把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)．
设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
[跟踪训练]4设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)
的解析式．
题型四　函数奇偶性的应用
1、利用奇偶性求函数值
例5 已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝(　　)
A.26 B.18
C.10 D.－26
2、利用奇偶性求参数值
例6 若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
[跟踪训练]5　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2,2a]，则a＝_______，b＝_______；
已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.
题型五 函数的奇偶性和单调性的综合应用
利用单调性和奇偶性解不等式的方法：
(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．
例7 已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围；
[跟踪训练]6定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)【当堂达标】
1．对于定义在R上的任何奇函数f(x)都有(　　)
A．f(x)－f(－x)>0 B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·[－f(－x)]≤0 D．f(x)·[－f(－x)]≥0
2．函数f(x)＝的图象关于(　　)
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线y＝x对称
3．若奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[－3，－1]上(　　)
A．是减函数，有最小值0 B．是增函数，有最小值0
C．是减函数，有最大值0 D．是增函数，有最大值0
4．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，
f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A. B. C. D.
6．定义在(－1,1)上的奇函数f(x)＝，则常数m、n的值分别为________．
7．若f(x)是偶函数，其定义域为R且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f(a2－a＋1)的大小关系是________．
8．已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝x2－x＋2，求f(x)，g(x)的解析式．
9．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
【参考答案】
【自主学习】
f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点 0 增 最小值
【小试牛刀】
1、（1）×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2．C【解析】A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．
3．B【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.
4．(2)(4)　(1)(3)【解析】(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．
【经典例题】
例1　解：　(1)函数的定义域为R，关于原点对称．
又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数．
(2)由得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．
又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
f(－x)＝即f(－x)＝于是有f(－x)＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
[跟踪训练]1 解：(1)∵x∈R，∴－x∈R.
又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(2)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]．即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1，且－x≠0，
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
例2 解　(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称.由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示.
(2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5).
[跟踪训练]2 解：方法一　因函数f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，补全图如图．
由图象可知f(1)方法二　由图象可知f(－1)故f(1)例3 解　设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴当x<0时，f(x)＝－x－1.
[跟踪训练]3 解　设x<0，则－x>0，因为f(x)是奇函数，所以当x<0时，
f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2.
因为y＝f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.所以f(x)＝
例4 解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝.① 用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝，∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；
(①－②)÷2，得g(x)＝.
[跟踪训练]4 解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.① 用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
例5 D 解析　法一　由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，得f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx.
令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8，∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，
∴G(x)是奇函数，∴G(－3)＝－G(3)，即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10，
∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26.
法二　由已知条件，得
①＋②得f(3)＋f(－3)＝－16，又f(－3)＝10，∴f(3)＝－26.
例6 －1 解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，解得a＝－1.
[跟踪训练]5 (1)　0　(2)0
【解析】(1)由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，故有a－2＋2a＝0，解得a＝.
又f(x)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，即－＝0，解得b＝0.
(2)由f(x)为奇函数得f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝0，所以a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝0.
即2ax2＝0，所以a＝0.
例7 解：(1)由f(1－a2)＋f(1－a)<0，得f(1－a2)<－f(1－a)．
∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)又f(x)在[－1,1]上单调递减，
∴解得∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0,1)．
[跟踪训练]6∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．
∴原不等式等价于解得－1≤m<.∴实数m的取值范围是.
【当堂达标】
1．D解析　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·[－f(－x)]＝f2(x)≥0.
2．B
3.D解析　由于奇函数的图象关于原点成中心对称，故奇函数的图象在对称区间上具有相同的单调性，且一侧的最小值对应另一侧的最大值，故选D.
4.A解析　因为当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，所以有f(2)5.A解析　∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．则f(|2x－1|)∴|2x－1|<，解得6.　0、0解析　由f(0)＝0知m＝0.由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，即＝－，
∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，∴n＝0.
7.　f(a2－a＋1)≤f解析　显然a2－a＋1≥.又∵f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
∴f(a2－a＋1)≤f.又f(x)是偶函数，∴f＝f，∴f(a2－a＋1)≤f.
8.解　∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
又∵f(x)＋g(x)＝x2－x＋2，①∴f(－x)＋g(－x)＝x2＋x＋2，
即－f(x)＋g(x)＝x2＋x＋2② 由①、②得g(x)＝x2＋2，f(x)＝－x.
9.(1)解　∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝.
∴b＝－b，∴b＝0.∵f＝，∴＝，∴a＝1.∴函数解析式为f(x)＝ (－1(2)证明　任取x1，x2∈(－1,1)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝，
∵－10，(1＋x)(1＋x)>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(3)解　∵f(t－1)＋f(t)<0，∴f(t－1)<－f(t)．
∵f(x)是(－1,1)上的奇函数，∴f(－t)＝－f(t)，∴f(t－1)∵f(x)为(－1,1)上的增函数，∴　解得0∴不等式的解集为.

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