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考 前 必 背
一、集合
元素与集合 集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性
集合间的 基本关系 相等:如果两个集合所含的元素完全相同,那么称这两个集合相等
子集:若对任意a∈A,都有a∈B,则A B(或B A)
真子集:若A B,且A≠B,则A B(或B A)
集合的基本 运算 补集: UA={x|x∈U,且x A},A B UA UB
交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B},A B A∩B=A
并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B},A B A∪B=B
二、充分条件与必要条件
推出关系 由p能推出q,记作p q 由p不能推出q,记作p /q
条件关系 p是q的充分条件 p不是q的充分条件
q是p的必要条件 q不是p的必要条件
三、充要条件
如果p q,且q p,那么称p是q的充分且必要条件,简称为p是q的充要条件,也称q的充要条件是p.
四、从集合的角度理解充分条件、必要条件
如果集合A={x|x满足条件p},集合B={x|x满足条件q},则有:
1.若A B,则p q,即p是q的充分条件;
2.若A B,则q p,即p是q的必要条件;
3.若A=B,则p q,即p是q的充要条件;
4.若A B且B A,则p是q的既不充分又不必要条件.
五、全称量词与全称量词命题
全称量词 全称量词命题 全称量词命题 的真假判断
“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词,通常用符号 “ x”表示 “对任意x” 含有全称量词的命题称为全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为“ x∈M,p(x)” 全真为真,一假为假
六、存在量词与存在量词命题
存在量词 存在量词命题 存在量词命题 的真假判断
“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词,通常用符号“ x”表示“存在x” 含有存在量词的命题称为存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为“ x∈M,p(x)” 一真为真,全假为假
七、全称量词命题与存在量词命题的否定
命题的类型 命题的符号表示 命题的否定 的符号表示 命题的否定 的类型
全称量词命题 p: x∈M,p(x) p: x∈M, p(x) 存在量词命题
存在量词命题 p: x∈M,p(x) p: x∈M, p(x) 全称量词命题
八、不等式的基本性质
性质1:若a>b,则b性质2:若a>b,b>c,则a>c.
性质3:若a>b,则a+c>b+c.
性质4:若a>b,c>0,则ac>bc;若a>b,c<0,则ac性质5:若a>b,c>d,则a+c>b+d.
性质6:若a>b>0,c>d>0,则ac>bd.
九、基本不等式
如果a,b是正数,那么≤(当且仅当a=b时,等号成立).
十、二次函数与一元二次方程、不等式
设一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数解为x1,x2,且x1≤x2,Δ=b2-4ac,则不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的实数解的情况如下表:
Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
ax2+bx+c=0 (a>0)的解 有两个相异 的实数解 x1,2= (x1ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 (-∞,x1)∪ (x2,+∞) ∪ R
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 (x1,x2)
十一、指数与对数
1.正数的分数指数幂
概念 (a>0,m,n均为正整数) (a>0,m,n均为正整数)
运算性质 asat=as+t,(as)t=ast,(ab)t=atbt,其中s,t∈Q,a>0,b>0
2.对数的概念与运算(a>0,a≠1,M>0,N>0)
概念 一般地,如果ab=N(a>0,a≠1),那么就称b是以a为底N的对数,记作logaN=b,其中,a叫作对数的底数,N叫作真数
常用对数 以10为底的对数称为常用对数,对数log10N简记为lg N
自然对数 以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,正数N的自然对数logeN一般简记为ln N
性质 loga1=0;logaa=1;=N;logaab=b
运算性质 ①loga(MN)=logaM+logaN;②loga=logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM(n∈R)
换底公式 logaN=(c>0,c≠1)
换底公式 的推论 ①logab·logba=1;②lologab
十二、函数的概念及其表示
函数 一般地,给定两个非空实数集合A和B,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的每一个实数x,在集合B中都有唯一的实数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫作自变量,集合A叫作函数的定义域
表示方法 列表法、解析法和图象法
十三、函数的单调性与奇偶性
1.函数的单调性
增函数 减函数
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.如果对于区间I内的任意两个值x1,x2
当x1f(x2),那么称y=f(x)在区间I上是减函数,I称为y=f(x)的减区间
2.函数的最大(小)值
一般地,设y=f(x)的定义域为A.
(1)最大值:如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有f(x)≤f(x0),那么称f(x0)为y=f(x)的最大值,记为ymax=f(x0);
(2)最小值:如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有f(x)≥f(x0),那么称f(x0)为y=f(x)的最小值,记为ymin=f(x0).
3.函数的奇偶性
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A.
(1)偶函数:如果对于任意的x∈A,都有-x∈A,并且f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数.
(2)奇函数:如果对于任意的x∈A,都有-x∈A,并且f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数.
十四、幂函数
概念 一般地,把形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数
常见五种 幂函数的 图象
性质 幂函数在(0,+∞)上都有定义
当α>0时,图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增
当α<0时,图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减
十五、指数函数
概念 一般地,函数y=ax(a>0,a≠1)叫作指数函数,它的定义域是R
底数的 范围 a>1 0图象
性质 定义域:R;值域:(0,+∞)
过定点(0,1),即x=0时,y=1
x>0时,y>1;x<0时,01;x>0时,0在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数
十六、对数函数
概念 一般地,函数y=logax(a>0,a≠1)叫作对数函数,它的定义域是(0,+∞)
底数的 范围 a>1 0图象
性质 定义域:(0,+∞);值域:R
过定点(1,0),即x=1时,y=0
x>1时,y>0;01时,y<0;00
在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
十七、三角函数
1.同角三角函数的基本关系式
(1)sin2α+cos2α=1.
(2)tan α=.
(3)常见变形:
①(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α.
②(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α.
③(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2.
④(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin αcos α.
2.诱导公式
记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限.
公式一:
sin(α+2kπ)=sin α(k∈Z),cos(α+2kπ)=cos α(k∈Z),tan(α+2kπ)=tan α(k∈Z).
公式二:
sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α.
公式三:
sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α.
公式四:
sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α.
公式五:
sin=cos α,cos=sin α.
公式六:
sin=cos α,cos=-sin α.
3.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y=sin x y=cos x y=tan x
图象
定义域 R R xx≠kπ+,k∈Z
值域 [-1,1] [-1,1] R
单调性 单调递增区间:2kπ-,k∈Z; 单调递减区间:2kπ+,k∈Z 单调递增区间:[2kπ-π,2kπ],k∈Z; 单调递减区间: [2kπ,2kπ+π], k∈Z 单调递增区间:kπ-,k∈Z
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心: (kπ,0),k∈Z 对称中心: kπ+,0,k∈Z 对称中心: ,k∈Z
对称轴: 直线x=kπ+,k∈Z 对称轴: 直线x=kπ,k∈Z
最小 正周期 2π 2π π
4.三角函数的图象变换
由函数y=sin x的图象通过变换得到函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种方法:
十八、函数与方程
1.函数的零点
概念 一般地,把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点
等价关系 方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数零点 存在定理 一般地,若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点
2.二分法
(1)二分法的概念:
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫作二分法.
(2)用二分法求方程的一个近似解的步骤:
①方程f(x)=0的解②函数f(x)的零点③确定f(x)的零点x0∈(a,b)④取a,b的平均数c=⑤确定f(x)的零点x0∈(a1,b1)⑥an,bn的近似值都为m⑦方程的一个近似解为m.
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