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目录
CH1. 伯努利不等式 ............................................................................................................................................ 2
CH2. 均值不等式 ................................................................................................................................................ 2
CH3.幂均不等式 .................................................................................................................................................. 2
CH4. 柯西不等式 ................................................................................................................................................ 3
CH5. 切比雪夫不等式 ....................................................................................................................................... 4
CH6. 排序不等式 ................................................................................................................................................ 5
CH6. 排序积不等式（新加） .......................................................................................................................... 6
CH7. 琴生不等式 ................................................................................................................................................ 6
CH8. 波波维奇亚不等式 ................................................................................................................................... 7
CH9. 加权不等式 ................................................................................................................................................ 8
CH10. 赫尔德不等式 ......................................................................................................................................... 8
CH11.闵可夫斯基不等式 ................................................................................................................................ 10
CH12.牛顿不等式 .............................................................................................................................................. 10
CH13.麦克劳林不等式 ..................................................................................................................................... 11
CH14.定义多项式 .............................................................................................................................................. 11
CH15.舒尔不等式 .............................................................................................................................................. 12
CH16. 定义序列 ................................................................................................................................................ 14
CH17.缪尔海德不等式 ..................................................................................................................................... 14
CH18.卡拉玛塔不等式 ..................................................................................................................................... 15
CH19.单调函数不等式 ..................................................................................................................................... 16
CH20. 3个对称变量 pqr 法........................................................................................................................... 16
CH21. 3个对称变量 uvw法 .......................................................................................................................... 17
CH22. ABC 法 .................................................................................................................................................. 18
CH23. SOS 法 ................................................................................................................................................... 18
CH24. SMV 法 ................................................................................................................................................. 19
CH25.拉格朗日乘数法 ..................................................................................................................................... 20
CH26.三角不等式 .............................................................................................................................................. 21
CH27.习题 ........................................................................................................................................................... 22
CH27.习题解析 .................................................................................................................................................. 23
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Ch1. 伯努利不等式
1.1 若实数 x （ i 1,2, ...,n）各项符号相同，且 x 1，则： i i
(1 x )(1 x )...(1 x ) 1 x x ... x (1) 1 2 n 1 2 n
(1)式为伯努利不等式.
当 x x ... x x时， (1)式变为： n1 2 n (1 x) 1 nx (2)
Ch2. 均值不等式
2.1 若a ,a , ...,a 为正实数，记：
1 2 n
2 2
a a 2... a
⑴ Q 1 2 n ，为平方平均数，简称平方均值；
n
n
a a ... a
⑵ A 1 2 n ，为算术平均数，简称算术均值；
n
n
⑶ G n a a ...an 1 2 n ，为几何平均数，简称几何均值；
n
⑷ H ，为调和平均数，简称调和均值.
n 1 1 1
...
a a a
1 2 n
则： Q A G H
n n n n (3)
iff a a ... a 时，等号成立. （注： iff if and only if 当且仅1 2 n
当.）
(3)式称为均值不等式.
Ch3.幂均不等式
3.1 设a (a ,a , ...,a )1 2 n 为正实数序列，实数 r 0 ，则记：
1
r r ra a ... a r
M (a) 1 2 n
r (4)
n
(4)式的 M (a)r 称为幂平均函数.
3.2 若a (a ,a , ...,a ) r 01 2 n 为正实数序列，且实数 ，则：
M (a) M (a)
r s (5)
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当 r s时， (5)式对任何 r 都成立，即 M (a)关于 r 是单调递增函数. r
(5)式称为幂平均不等式，简称幂均不等式.
3.3 设 m (m ,m , ...,m ) 为非负实数序列，且 m m ... m 1 ，若
1 2 n 1 2 n
a (a ,a , ...,a )为正实数序列，且实数 r 0 ，则：
1 2 n
1
m r r rM (a) (m a m a ... m a )r
r 1 1 2 2 n n (6)
(6)式称为加权幂平均函数.
3.4 若 a (a ,a , ...,a ) 为 正 实 数序 列 ，且 实数 r 0 ， 对 mM (a) 则 ：
1 2 n r
m
M (a) mM (a)
r s
1 1
即： r(m a r rm a ... m a )r s s(m a m a s... m a ) s
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n (7 )
当 时， 式对任何 都成立，即 mr s (7 ) r M (a)关于 r 是单调递增函数. r
(7 )式称为加权幂平均不等式，简称加权幂均不等式.
Ch4. 柯西不等式
4.1 若a ,a , ...,a 和b ,b , ...,b 均为实数，则：
1 2 n 1 2 n
2 2 2 2 2 2 2(a a ... a )(b b ... b ) (a b a b ... a b )
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n (8)
a a a
iff 1 2 ... n 时，等号成立.（注： iff if and only if 当且仅
b b b
1 2 n
当.）
(8)式为柯西不等式.
4.2 柯西不等式还可以表示为：
2 2a a 2 2 2 2... a b b ... b a b a b ... a b
( 1 2 n )( 1 2 n ) ( 1 1 2 2 n n 2)
n n n
(9)
简称：“平方均值两乘积，大于积均值平方”
a b a b ... a b
我 们 将 1 1 2 2 n n 简 称 为 积 均 值 ， 记 ：
n
a b a b ... a b
D 1 1 2 2 n n
n .
n
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则： 2 2 4[Q (a)] [Q (b)] [D (ab)] ，即： Q (a)Q (b) D (ab)
n n n n n n (10)
4.3 推论 1：若a,b,c, x, y, z 为实数， x, y, z 0 ，则：
2 2 2 2a a a (a a ... a )
1 2 ... n 1 2 n (11)
b b b b b ... b
1 2 n 1 2 n
a a a
iff 1 2 ... n 时，等号成立.
b b b
1 2 n
(11)式是柯西不等式的推论，称权方和不等式.
4.4 推论 2：若a ,a , ...,a 和b ,b , ...,b 均为实数，则：
1 2 n 1 2 n
2 2 2 2 2 2 2 2a b a b ... a b (a a ... a ) (b b ... b )
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
(12)
a a a
iff 1 2 ... n 时，等号成立.
b b b
1 2 n
4.5 推论 3：若a,b,c, x, y, z 为正实数，则：
x y z
(b c) (c a) (a b) 3(ab bc ca) (13)
y z z x x y
Ch5. 切比雪夫不等式
5.1 若a a ... a ；b b ... b ，且均为实数.则：
1 2 n 1 2 n
(a a ... a )(b b ... b ) n(a b a b ... a b )
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n (14)
iff a a ... a 或 b b ... b 时，等号成立. 1 2 n 1 2 n
(12)式为切比雪夫不等式.
由于有 a a ... a ，b b ... b1 2 n 条件，即序列同调， 1 2 n
所以使用时，常采用WLOG a a ... a1 2 n ……
(注：WLOG Without Loss Of Generality 不失一般性)
5.2 切比雪夫不等式常常表示为：
a a ... a b b ... b a b a b ... a b
( 1 2 n )( 1 2 n ) ( 1 1 2 2 n n ) (15)
n n n
简称：“切比雪夫同调数，均值积小积均值”.
即：对切比雪夫不等式采用同单调性的两个序列表示时，两个序列数的均
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值之积不大于两个序列数各积之均值. 则： 2A (a)A (b) [D (ab)]
n n n
即： A (a)A (b) D (ab)
n n n (16)
Ch6. 排序不等式
6.1 若a a ... a ；b b ... b 为实数，对于 (a ,a , ...,a )的任何轮换
1 2 n 1 2 n 1 2 n
(x , x , ..., x )，都有下列不等式：
1 2 n
a b a b ... a b x b x b ... x b a b a b ... a b
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n n 1 n 1 2 1 n
(17 )
(17 )式称排序不等式（也称重排不等式）.
其中， a b a b ... a b 称正序和， a b a b ... a b 称反序和，
1 1 2 2 n n n 1 n 1 2 1 n
x b x b ... x b 称乱序和. 故 (17 )式可记为： 1 1 2 2 n n
正序和 乱序和 反序和 (18)
6.2 推论：若a ,a , ...,a 为实数，设 (x , x , ..., x )为 (a ,a , ...,a )的一个排序，
1 2 n 1 2 n 1 2 n
则：
2 2 2
a a ... a a x a x ... a x
1 2 n 1 1 2 2 n n (19)
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Ch6. 排序积不等式（新加）
设a1 a2 ..... an ,b1 b2 ..... bn ,
xi 是 ai的一个排列， yi 是 bi的一个排列,
ai bi 0, xi yi 0, (i 1,2...n,n 2)
n n
求证 (ai bi ) (xi yi )
i 1 i 1
证明：不妨设xi =ai，(i 1,2...n),设yt最小，如果t 1,
(x1 y1)(xt yt ) (a1 y1)(at yt )，现在我们交换
y1和yt，得到新的乘积(a1 yt )(at y1),由于，
(a1 yt )(at y1)-(a1 y1)(at yt )=a1y1 at yt a1yt at y1
有排序不等式，上式大于等于0，也就是交换yt和y1的
n
位置 (xi yi )不会变小，同时新的两数大小在旧的两
i 1
数之间，依然是大于等于0的，这样我们把b1=yt调整到
第一个位置，类似的我们可以将bk (k 2,...n)调整到第
n
k个位置变成 (ai bi )，于是我们有
i 1
n n
(ai bi ) (xi yi ) 证毕。
i 1 i 1
类似的可以证明如下结论：
设a1 a2 ..... an 0,b1 b2 ..... bn 0,
xi 是 ai的一个排列， yi 是 bi的一个排列,
n n
求证 (xi yi ) (ai bi )
i 1 i 1
Ch7. 琴生不等式
7.1 定义凸函数：对一切 x, y [a,b]， (0,1)，若函数 f :[a,b] R是向下
凸函数，则：
f ( x (1 )y) f (x) (1 ) f ( y) (20)
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(20)式是向下凸函数的定义式.
注： f :[a,b] R表示区间[a,b]和函数 f (x)在[a,b]区间都是实数.
7.2 若 f : (a,b) R对任意 x (a,b)，存在二次导数 f ''(x) 0 ，则 f (x) 在
(a,b)区间为向下凸函数；iff x (a,b)时，若 f ''(x) 0，则 f (x)在(a,b)
区间为严格向下凸函数.
7.3 若 f , f , ..., f 在
1 2 n (a,b)区间为向下凸函数，则函数c f c f ... c f 在1 1 2 2 n n
在 (a,b)区间对任何 c ,c , ...,c (0, )也是向下凸函数. 1 2 n
7.4 若 f : (a,b) R 是 一 个 在 (a,b) 区 间 的 向 下 凸 函 数 ， 设 n N ，
, , ..., (0,1) 为 实 数 ， 且 ... 1 ， 则 对 任 何
1 2 n 1 2 n
x , x , ..., x (a,b)，有：
1 2 n
f ( x x ... x ) f (x ) f (x ) ... f (x )
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n (21)
(21)式就是加权的琴生不等式.
简称：“对于向下凸函数，均值的函数值不大于函数的均值”.
Ch8. 波波维奇亚不等式
8.1 若 f :[a,b] R是一个在[a,b]区间的向下凸函数，则对一切 x, y, z [a,b]，
有：
x y z f (x) f ( y) f (z) 2 x y y z z x
f ( ) [ f ( ) f ( ) f ( )]
3 3 3 2 2 2
(22)
(22)式就是波波维奇亚不等式.
8.2 波波维奇亚不等式可以写成：
x y z f (x) f ( y) f (z) x y y z z x
f ( ) f ( ) f ( ) f ( )
3 3 2 2 2
2 3
(23)
简称：“对于向下凸函数的三点情况，三点均值的函数与函数的均值之平
均值，不小于两点均值的函数值之平均值”.
8.3 若 f :[a,b] R是一个在[a,b]区间的向下凸函数，a ,a , ...,a [a,b]1 2 n ，则：
f (a ) f (a ) ... f (a ) n(n 2) f (a) (n 1)[ f (b ) f (b ) ... f (b )]
1 2 n 1 2 n
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(24)
a a ... a 1
其中： a 1 2 n ，b a （对所有的 i ） i j
n n 1 i j
(24)式是普遍的波波维奇亚不等式.
x y z y z z x
当 a x，a y ，a z ，n 3时，a ，b ，b ，
1 2 3 1 2
3 2 2
x y
b
3
2
代入 (23)式得：
x y z y z z x x y
f (x) f ( y) f (z) 3 f ( ) 2[ f ( ) f ( ) f ( )]
3 2 2 2
x y z f (x) f ( y) f (z) 2 x y y z z x
即： f ( ) [ f ( ) f ( ) f ( )]
3 3 3 2 2 2
(25)
(25)式正是 (22)式.
Ch9. 加权不等式
9.1 若a (0, )， [0,1]（ i 1,2, ...,n），且 ... 1，则： i i 1 2 n

a 1a 2 ...a n a a ... a
1 2 n 1 1 2 2 n n (26)
(26)式就是加权的均值不等式，简称加权不等式.
(26)式形式直接理解为：几何均值不大于算术均值.
Ch10. 赫尔德不等式
p q
1 1 a b
10.1 若实数a,b 0，实数 p,q 1且 1，则：ab (27 )
p q p q
p q
iff a b 时，等号成立.
(27 )式称为杨氏不等式.
1 1
10.2 若a ,a , ...a 和b ,b , ...b1 2 n 1 2 n为正实数， p,q 1且 1，则：
p q
1 1
p p pa b a b ... a b (a a ... a ) p q q q(b b ... b )q
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
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(28)
(28)式称为赫尔德不等式.
p p p
a a a
iff 1 2 ... n 时，等号成立.
q q q
b b b
1 2 n
10.3 赫尔德不等式还可以写成：
p p
1
p q q q
1
a b a b ... a b a a ... a p b b ... b1 1 2 2 n n ( 1 2 n ) ( 1 2 n )q
n n n
(29)
即： 2[D (ab)] M (a)M (b)n p q ，即： M (a)M (b) D (ab) (30) p q n
简称：“幂均值的几何均值不小于积均值”.
1 1
（注：赫尔德与切比雪夫的不同点：赫尔德要求是 1，切比雪夫要
p q
求是同调；赫尔德的积均值小，切比雪夫的积均值大.）
10.4 若 a ,a , ...a 、 b ,b , ...b 和 m ,m , ...m 为三个正实数序列， p,q 1 且1 2 n 1 2 n 1 2 n
1 1
1，则：
p q
1 1
n n p p
n
q q a b m a m b m i i i i i i i (31)
i 1 i 1 i 1
(31)式称为加权赫尔德不等式.
p p p
a a a
iff 1 2 ... n 时，等号成立.
q q q
b b b
1 2 n
10.5 若 aij ( i 1,2, ...,m ; j 1,2, ...,n ) ， , , ..., 为 正 实 数 且1 2 n
... 1，则：
1 2 n
m n n m

( a j ) ( a ) jij ij (32)
i 1 j 1 j 1 i 1
(32)式称为普遍的赫尔德不等式.
10.6 推论：若 a ,a ,a N ，b ,b ,b N ，c ,c ,c N1 2 3 1 2 3 1 2 3 ，则：
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3(a a a )(b b b )(c c c ) (a b c a b c a b c )
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3
(33)
简称：“立方和的乘积不小于乘积和的立方”.
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Ch11.闵可夫斯基不等式
11.1 若a ,a , ...,a ；b ,b , ...,b 为正实数，且
1 2 n 1 2 n p 1，则：
n 1 n 1 n 1
p p p p( (a b ) ) ( a ) p ( b ) p (34) i i i i
i 1 i 1 i 1
a a a
iff 1 2 ... n 时，等号成立.
b b b
1 2 n
(34)式称为第一闵可夫斯基不等式.
11.2 若a ,a , ...,a ；b ,b , ...,b 为正实数，且 p 1，则： 1 2 n 1 2 n
1
n n p n
1
p p p p( a ) ( b ) (a b ) p i i i i (35)
i 1 i 1 i 1
a a a
iff 1 2 ... n 时，等号成立.
b b b
1 2 n
(35)式称为第二闵可夫斯基不等式.
11.3 若a ,a , ...,a ；b ,b , ...,b ；m ,m , ...,m 为三个正实数序列，且 ，
1 2 n 1 2 n 1 2 n p 1
则：
n 1 n 1 n 1
p( (a b ) m ) p p( a m ) p (i i i i i
p
b m ) p (36)
i i
i 1 i 1 i 1
a a a
iff 1 2 ... n 时，等号成立.
b b b
1 2 n
(36)式称为第三闵可夫斯基不等式.
Ch12.牛顿不等式
12.1 若a ,a , ...,a1 2 n为任意实数，考虑多项式：
n n 1P(x) (x a )(x a )...(x a ) c x c x ... c x c
1 2 n 0 1 n 1 n (37 )
的系数 c ,c , ...,c0 1 n 作为a ,a , ...,a1 2 n 的函数可表达为：
c 1
0 ；
c a a ... a
1 1 2 n ；
c a a a a ... a a a a2 1 2 1 3 n 1 n i j ；（ i j n）
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c a a a ；（ ） 3 i j k i j k n
……
c a a ...a .
n 1 2 n
c
k k !(n k)!对每个 k 1,2, ...,n，我们定义 p c k k (38) k
C n!
n
则 (37 )式类似于二项式定理，系数为： kc C p . k n k
12.2 若a ,a , ...,a 为正实数，则对每个
1 2 n k 1,2, ...,n 1有：
2p p p
k 1 k 1 k (39)
iff a a ... a 时，等号成立. 1 2 k
(39)式称为牛顿不等式.
Ch13.麦克劳林不等式
13.1 若a ,a , ...,a 为正实数，按
1 2 n (38)定义，则：
1 1 1
p p 2 ... p k ... p n
1 2 k n (40)
iff a a ... a 时，等号成立. 1 2 k
(40)称麦克劳林不等式.
Ch14.定义多项式
14.1 若 x , x , ..., x 为正实数序列，并设 , , ..., 为任意实数.
1 2 n 1 2 n
记： F(x , x , ..., x ) x 1 x 2 ...x n ；
1 2 n 1 2 n
T[ , , ..., ]为F(x , x , ..., x )所有可能的积之和，遍及 , , ..., 1 2 n 1 2 n 1 2 n 的所
有轮换.
14.2 举例说明
⑴ T[1,0,0]：表示共有 3个参数的所有积之和，共有3! 6 项.第1个参数
的指数是1，第 2和第 3个参数的指数是0 .
故：T[1,0,0] 1 0 0 1 0 0 1 0 0(3 1)! (x y z y x z z y x ) 2(x y z) .
⑵ T[1,1]：表示共有 2个参数的所有积之和，共有 2! 2项.第1个和第2
个参数的指数是1.
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故： 1 1T[1,1] (2 1)! (x y ) 2xy .
⑶ T[1,2]：表示共有 2个参数的所有积之和，共有2! 2项.第1个参数的
指数是 1，第 2个参数的指数是 2 .
故： 1 2 1 2 2 2T[1,2] (2 1)! (x y y x ) xy x y .
⑷ T[1,2,1]：表示共有 3个参数的所有积之和，共有3! 6 项.第1个参数
的指数是1，第 2个参数的指数是 2，第 3个参数的指数是
1.
故： 2 2 2T[1,2,1] 2(xy z x yz xyz ).
即：T[1,2,1] T[2,1,1]
⑸ T[2,1,0]：表示共有 3个参数的所有积之和，共有3! 6 项.第1个参数
的指数是 2，第 2个参数的指数是1，第 3个参数的指数是
0 .
故： 2 2 2 2 2 2T[2,1,0] x y x z y x y z z x z y .
⑹ T[3,0,0]：表示共有 3个参数的所有积之和，共有3! 6 项.第1个参数
的指数是 3，第 2个和第 3个参数的指数是0 .
故： 3 3 3T[3,0,0] 2(x y z ).
⑺ T[a,b,c]：表示共有 3个参数的所有积之和，共有3! 6 项.第1个参数
的指数是a ，第 2个参数的指数是b ，第 3个参数的指数是
c .
故： a b c a c b b c a b a c c a b c b aT[a,b,c] x y z x y z x y z x y z x y z x y z .
由于 T[a,b,c] T[b,c,a] T[c,a,b] T[c,b,a] T[b,a,c] ... 表达式 比较
多，
所以我们规定：T[a,b,c]（ a b c）.
Ch15.舒尔不等式
15.1 若 R，且 0，则：
T[ 2 ,0,0] T[ , , ] 2T[ , ,0] (41)
(41)式称为舒尔不等式.
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15.2 解析 (41)式
T[ 2 2 2 2 ,0,0] 2(x y z )；

T[ , , ] 2(x y z x y z x y z )；
T[ , ,0] x y x y y z y z x z x z
将上式代入 (41)式得：
2 2 2 x y z x y z x y z x y z
x y x y y z y z x z x z
即： 2 2 2 x y z x y z x y z x y z
x y x y y z y z x z x z 0
即： 2 2 x (x y z x y x z ) y ( y x z x y y z )
2 z (z x y y z x z ) 0
即 ：
x (x y )(x z ) y ( y z )( y x ) z (z x )(z y ) 0 (42)
(42)式与 (41)式等价，称为舒尔不等式.
15.3 若实数 x, y, z 0 ，设 t R，则：
t t t
x (x y)(x z) y ( y z)( y x) z (z x)(z y) 0 (43)
iff x y z或 x y, z 0 及轮换，等号成立.
按照 (41)式写法，即： t， 1，则：
T[t 2,0,0] T[t,1,1] 2T[t 1,1,0] (44)
(43)式是我们最常见的舒尔不等式形式.
15.4 推论：设实数 x, y, z 0 ，实数a,b,c 0且a b c或a b c，则：
a(x y)(x z) b( y z)( y x) c(z x)(z y) 0 (45)
式中， t(43) x a ， t ty b， z c，就得到 (45) 式.
15.5 推论：设实数 x, y, z 0 ，则：
3 3 3
3xyz 3 3 3x y z 2[(xy)2 ( yz)2 (zx)2 ] (46)
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15.6 推论：若 k (0,3]，则对于一切a,b,c R ，有：
2
2 2 2(3 k) k(abc)k a b c 2(ab bc ca) (47 )
Ch16. 定义序列
16.1 设存在两个序列 n n( i )i 1 ( 1, 2 , ..., n)和 ( i )i 1 ( 1, 2 , ..., n)，当满
足下列条件：
⑴ 1 2 ... n 1 2 ... n ①
⑵ 1 2 ... n且 1 2 ... n ②
⑶ 1 2 ... s 1 2 ... s ③
对一切 s [1,n]，③式都成立.
则： n n( i )i 1就是 ( i )i 1的优化值，记作： ( i ) ( i ).
注：这里的序列只有定性的比较，没有定量的比较.
Ch17.缪尔海德不等式
17.1 若 x1, x2 , ..., xn 为非负实数序列，设 ( i ) 和 ( i ) 为正实数序列，且
( i ) ( i )，则：
T[ i ] T[ i ] (48)
iff ( i ) ( i )或 x1 x2 ... xn 时，等号成立.
(48)式就缪尔海德不等式.
17.2 解析 (48)式
若 实数 a1 a2 a3 0 ， 实 数 b1 b2 b3 0 ， 且满 足 a1 b1 ，
a1 a2 b1 b2 ，a1 a2 a3 b1 b2 b3；设 x, y, z 0 ，则：满足序列
(b1,b2 ,b3 ) (a1,a2 ,a3 )条件，
则 ：
b b b b b b b b b b b b b b b b b b
T[b1,b2 ,b3] x
1 y 2 z 3 x 1 y 3 z 2 x 2 y 1 z 3 x 2 y 3 z 1 x 3 y 1 z 2 x 3 y 2 z 1
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
T[a1,a2 ,a3] x
1 y 2 z 3 x 1 y 3 z 2 x 2 y 1 z 3 x 2 y 3 z 1 x 3 y 1 z 2 x 3 y 2 z 1
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即 (48)式为： T[b1,b2 ,b3] T[a1,a2 ,a3]
用通俗的方法表达即： a a a b b b x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 (49)
sym sym
(49)式就缪尔海德不等式的常用形式.
17.3 例题：设 (x, y, z)为非负变量序列，考虑 (2,2,1)和 (3,1,1) .
由 16.1 中的序列优化得： (2,2,1) (3,1,1)
由缪尔海德不等式 (48)式得：T[2,2,1] T[3,1,1] ①
2 2 2 2 2 2
T[2,2,1] 2(x y z x yz xy z ) ②
3 3 3
T[3,1,1] 2(x yz xy z xyz ) ③
将②③代入①得： 2 2 2 2 2 2 3 3x y z x yz xy z x yz xy z 3xyz
即： 2 2 2xy yz zx x y z ④
由柯西不等式： 2 2 2 2 2 2 2(x y z )( y z x ) (xy yz zx)
即： 2 2 2 2 2(x y z ) (xy yz zx)
即： 2 2 2x y z xy yz zx ⑤
⑤式④式等价，这就证明了④式是成立的，而缪尔海德不等式直接得到
①式是成立的.
⑤式可以用T[2,0,0] T[1,1,0]来表示，这正是缪尔海德不等式的(48)式.
Ch18.卡拉玛塔不等式
18.1 设在实数区间 I R的函数 f 为向下凸函数，且当ai ,bi I（ i 1,2, ...,n）
两个序列 n 和 n(ai )i 1 (bi )i 1满足 (ai ) (bi )，则：
f (a1) f (a2 ) ... f (an) f (b1) f (b2 ) ... f (bn) (50)
(50)式称为卡拉玛塔不等式.
18.2 若函数 f 为严格向下凸函数，即不等取等号， (ai ) (bi ) ，且(ai ) (bi )，
则：
f (a1) f (a2 ) ... f (an) f (b1) f (b2 ) ... f (bn) (51)
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若函数 f 为严格向上凸函数，则卡拉玛塔不等式反向.
Ch19.单调函数不等式
19.1 若实数函数 f : (a,b) R在区间 (a,b)对一切 x, y (a,b)为单调增函数，
则当 x y时，有 f (x) f ( y)；若 f 在区间 (a,b)对一切 x, y (a,b)为严
格单调增函数，当 x y 时，有 f (x) f ( y).
19.2 若实数函数 f : (a,b) R在区间 (a,b)对一切 x, y (a,b)为单调减函数，
则当 x y时，有 f (x) f ( y)；若 f 在区间 (a,b)对一切 x, y (a,b)为严
格单调减函数，当 x y 时，有 f (x) f ( y).
19.3 若实数函数 f : (a,b) R在区间 (a,b)为可导函数，当对一切 x (a,b)，
f '(x) 0 ，则 f 在区间 (a,b) 为单调递增函数；当对一切 x (a,b) ，
f '(x) 0，则 f 在区间 (a,b)为单调递减函数.
19.4 设两个函数 f :[a,b] R和 g :[a,b] R满足下列条件：
⑴ 函数 f 和 g 在[a,b]区间是连续的，且 f (a) g(a)；
⑵ 函数 f 和 g 在[a,b]区间可导；
⑶ 导数 f '(x) g '(x)对一切 x (a,b)成立，
则对一切 x (a,b)有： f (x) g(x) (52)
(52)式就是单调函数不等式.
Ch20. 3个对称变量 pqr法
20.1 设 x, y, z R ，对于具有变量对称形式的不等式，采用下列变量代换：
p x y z ； q xy yz zx； r xyz，则 p,q,r R .
代换后的不等式 f ( p,q,r)，很容易看出其满足的不等式关系，这样证明
不等式的方法称为 pqr 法.
20.2 常用的代换如下：
⑴ 2x 2p 2q
cyc
⑵ 3x 2p( p 3q) 3r
cyc
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⑶ 2 2 2x y q 2 pr
cyc
⑷ (x y)( y z)(z x) pq r
⑸ (x y)( y 2z) p q
cyc
⑹ xy(x y) pq 3r
cyc
⑺ (1 x)(1 y)(1 z) 1 p q r
⑻ (1 x)(1 y) 3 2 p q
cyc
⑼ 2x ( y z) xy(x y) pq 3r
cyc cyc
20.3 常用的 pqr 法的不等式
若 x, y, z 0 ，则：
⑴ 3p qr 4 pq
⑵ pq 9r
⑶ 2p 3q
⑷ 3p 27r
⑸ 3 2q 27r
⑹ 2q 3 pr
⑺ 32 p 9r 7 pq
⑻ 32 p 29r 7 pqr
⑼ 2 2p q 3 pr 4q
Ch21. 3个对称变量 uvw法
21.1 在a,b,c R的不等式中，采用下列变量代换：
3u a b c ； 2 33v ab bc ca； w abc .
上述变换强烈含有“平均”的意味：
u对应“算术平均值”； v 对应“积均值”；w 对应“几何平均值”.
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21.2 当a,b,c 0时，则：u v w (53)
(53)式称为傻瓜不等式.
即：“算术平均值”≥“积均值”≥“几何平均值”.
21.3 若 2 3a,b,c 0，则u,v ,w 0 (54)
(54)式称为正值定理.
21.4 若 2 3 2 2u,v ,w R，任给 a,b,c R，则当且仅当u v ，
且 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3w [3uv 2u 2 (u v ) ,3uv 2u 2 (u v ) ]时，
则： 3u a b c ， 2 33v ab bc ca，w abc 等式成立.
这称为 uvw定理.
Ch22. ABC法
22.1 ABC 法即 Abstract Concreteness Method
设 p x y z ； q xy yz zx； r xyz .
则函数 f (x, y, z)变换为 f (r,q, p).
这与 Ch20. 3个对称变量 pqr 法类似.
22.2 若函数 f (r,q, p)是单调的，则当 (x y)( y z)(z x) 0时， f (r,q, p)达
到极值.
22.3 若函数 f (r,q, p)是凸函数，则当 (x y)( y z)(z x) 0时， f (r,q, p)达
到极值.
22.4 若函数 f (r,q, p) 是 r 的线性函数，则当 (x y)( y z)(z x) 0 时，
f (r,q, p)达到极值.
22.5 若函数 f (r,q, p)是 r 的二次三项式，则当 (x y)( y z)(z x) 0 时，
f (r,q, p)达到极值.
Ch23. SOS法
23.1 SOS法即 Sum Of Squares
23.2 本法的全部思想是将给出的不等式改写成以下形式：
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S 2 2Sa (b c) Sb(a c)
2
Sc(a b) (55)
其中， Sa , Sb , Sc 分别都是a,b,c 的函数.
⑴ 若 Sa , Sb , Sc 0，则 S 0；
⑵ 若 a b c或 a b c，且 Sb , Sb Sa , Sb Sc 0 ，则 S 0；
⑶ 若 a b c或 a b c，且 Sa , Sc , Sa 2Sb , Sc 2Sb 0，则 S 0；
⑷ 若 a b c，且 2 2Sb , Sc ,a Sb b Sa 0，则 S 0；
⑸ 若 Sa Sb 0或 Sb Sc 0 或 Sc Sa 0 ，且 SaSb SbSc ScSa 0 ，
则 S 0.
23.3 常用的形式
1
⑴ 2 2a ab (a b)
2
cyc cyc cyc
1
⑵ 3 2a 3abc a (a b)
2
cyc cyc cyc
1
⑶ 2 2 3a b ab (a b)
3
cyc cyc cyc
1
⑷ 3 2a a b 2(2a b)(a b)
3
cyc cyc cyc
⑸ 3 3
1 3
a b ab a (b a)
3
cyc cyc cyc cyc
⑹ 4 2 2 2 2a a b 2 (a b) (a b)
cyc cyc cyc
Ch24. SMV 法
24.1 SMV 法即 Strong Mixing Variables Method
本法对多于 2个变量的对称不等式非常有用.
24.2 设 (x1, x2 , ..., xn )为任意实数序列，
⑴ 选择 i, j {1,2, ...,n}使 xi min{x1, x2 , ..., xn}， x j max{x1 , x2 , ..., xn}；
xi x j
⑵ 用其平均数 代替 xi 和 x j，经过多次代换后各项 xi（ i 1,2, ...,n）
2
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x
都趋于相同的极限 x 1
x2 ... xn .
n
24.3 设实数空间的函数F 是一个对称的连续函数，满足
F(a1,a2 , ...,an) F(b1,b2 , ...,bn) (56)
其中，(b1,b2 , ...,bn)序列是由 (a1,a2 , ...,an )序列经过预定义变换而得到的.
2
a b a
2
b
预定义变换可根据当前的题目灵活采用，如 ， ab ， 等等.
2 2
24.4 例题说明
a b c 3
例题：设实数a,b,c 0，证明： .
b c c a a b 2
解析：采用 SMV 法.
a b c
设： f (a,b,c) ①
b c c a a b
t t c 2t c
则： f (t, t,c) ②
t c c t t t t c 2t
a b
其中， t .
2
由 ② 得 ：
2t c 1 1 2t c t 1 1 3
f (t, t,c) ( ) ( ) 2
t c 2t 2 2 t c 2t 2 2 2
3
由 (56)式得： f (a,b,c) f (t, t,c) 证毕.
2
Ch25.拉格朗日乘数法
25.1 设 函 数 f (x1, x2 , ..., xn) 在 实 数 空 间 的 I R 连 续 可 导 ， 且
gi (x1, x2 , ..., xn) 0 ，其中（ i 1,2, ....k ），即有 k 个约束条件，则
f (x1, x2 , ..., xn) 的 极 值出 现在 I 区 间 的边 界或 偏 导数 （函 数为
k
L f i gi ）全部为零的点上.
i 1
这就是拉格朗日乘数法.
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Ch26.三角不等式
26.1 设 , , (0, )，且 ，则 , , 就是同一个三角形的内角.
26.2 若 , , 为同一个三角形的内角，则有下列不等式：
3 3
⑴ sin sin sin ；
2
3
⑵ cos cos cos ；
2
3 3
⑶ sin sin sin ；
8
1
⑷ cos cos cos ；
8
2 2 2 9⑸ sin sin sin ；
4
⑹ 2 2 2
3
cos cos cos ；
4
⑺ tan tan tan 3 3（锐角三角形）；
⑻ cot cot cot 3 ；
3
⑼ sin sin sin ；
2 2 2 2
3 3
⑽ cos cos cos ；
2 2 2 2
1
⑾ sin sin sin ；
2 2 2 8
3 3
⑿ cos cos cos ；
2 2 2 8
2 2 2 3⒀ sin sin sin ；
2 2 2 4
9
⒁ 2 2 2cos cos cos ；
2 2 2 4

⒂ tan tan tan 3；
2 2 2

⒃ cot cot cot 3 3 .
2 2 2
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Ch27.习题
1 1 1
27.1 设 ，求证： x x xx , x , ..., x (0,1] n(1 x ) 2 (1 x ) 31 2 n 1 2 ...(1 x
1
n) 2 .
1
27.2 设 x1, x2 , ..., xn 0 ， 且 x1 x2 ... xn ， 求 证 ：
2
1
(1 x1)(1 x2 )...(1 xn) .
2
27.3 设 a1,a2 , ...,an R ， 且 a1a2 ...an 1 ， 求 证 ：
a1 a2 ... an a1 a2 ... an.
27.4 设 a,b,c 0，且 abc 1，求证： 3 3 3a b c ab bc ca .
27.5 设 a,b,c,d 0 ， 求 证 ：
a b c d 2
.
b 2c 3d c 2d 3a d 2a 3b a 2b 3c 3
2
a 2 2bc b ca c ab
27.6 设 a,b,c 0，求证： a b c .
b c c a a b
a b
27.7 设 a,b 0，n N ，求证： (1 n n n 1) (1 ) 2 .
b a
27.8 设 2 2 2x1, x2 , ..., xn R ，且 x1 x2 ... xn 1，若n N ，n 2，求
5 5 5
x x x
f (x1, x
1 2 n
2 , ..., xn) ... n n n
( xi ) x1 ( xi ) x2 ( xi ) xn
i 1 i 1 i 1
的最小值.
1 1 1 3
27.9 设 a,b,c R ，且a b c abc，求证： .
2 2 2
1 a 1 b 1 c 2
27.10 设 a,b,c R，求证： 2 2 2 2 2 2
3 2
a (1 b) b (1 c) c (1 a) .
2
27.11 设 a,b,c R ，且 ab bc ca 3,求证： 2 2 2(1 a )(1 b )(1 c ) 8 .
27.12 设 a,b,c 0，且a b c 1，求证： 3 36(a b 3 2 2 2c ) 1 5(a b c ) .
27.13 设 a,b,c 0，且 4 4 4 3 3 3a b c 2，求证：a b c abc a b c .
27.14 设 a,b,c 0，求证： 3 3 3 3 3 38(a b c ) (a b) (b c) (c a) .
第 22 页 共 49 页
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1
27.15 设 a,b,c 0，求证： 3a 3 3 3b c abc (a b c) .
7
4
27.16 设 a,b,c 0，且 2 2 2a b c 1，求证：a b c 3abc .
9
27.17 设 a1,a2 , ...,an 0 ， 求 证 ：
2 2 2
a a a
(1 a1)(1 a2 )...(1 a ) (1
1
n )(1
2 )...(1 n ).
a2 a3 a1
27.18 设 a,b,c,d 0 ， 且 abcd 1 ， 求 证 ：
1 1 1 1
1 .
2 2 2 2
(1 a) (1 b) (1 c) (1 d )
27.19 设a,b,c,d 0，且 a b c d 4，求证：
2 2 2 2abc bcd cda dab (abc) (bcd) (cda) (dab) 8 .
27.20 设 2 2 2 2 2 2 2 2 2a,b,c 0，且 a b c 3，求证：a b b c c d a b c .
27.21 设 a,b,c R ， 求 证 ：
2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3
3(a ab b )(b bc c )(c ca a ) a b b c c a .
1 1 1 1
27.22 设a,b,c,d 0，且 a b c d abcd 5，求证： 4 .
a b c d
27.23 设不等式：
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ab(a b ) bc(b c ) ca(c a ) M(a b c )
对一切实数a,b,c 都成立，求 M 的最小值.
27.24 设a,b,c 0，且 a b c 3，求证： 2 2 2(a b b c c a)(ab bc ca) 9 .
Ch27.习题解析
1 1 1
27.1 设 x x xx1, x2 , ..., xn (0,1]，求证： (1
n
x1)
2 (1 x2 )
3 ...(1 xn)
1 2 .
1
解析：设： xn 1 x1，则：因为 xi (0,1]，所以 [1, ) （ i 1,2, ...,n）
x
i

由伯努利不等式 (2)：当 x 1且 [1, )时， (1 x ) i 1 xi ① i i i i
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iff x 0或 1时，①式等号成立.
i i
由均值不等式 (3)：1 x 2 x ②
i i i i
iff x 1时，②式等号成立.
i i
由①②式得： (1 x ) i 2 x ③
i i i
iff x 1时， ③式等号成立.
i i
1
1 x
设： ，则由③式得： x(1 x ) i 1 2 i ④
i
x i x
i 1 i 1
1 1 1
x x x x x则： (1 x ) 2 2 1 ； x(1 x ) 3 2 2 ；…； (1 x ) 1 2 n .
1
x 2
n
x x
2 3 1
上面各式相乘得：
1 1 1
x x x n x1 x2 x n(1 x 21) (1 x2 )
3 ...(1 x ) 1n 2 ...
n 2
x . 2 x3 x1
证毕.
1
27.2 设 x1, x2 , ..., xn 0 ， 且 x1 x2 ... xn ， 求 证 ：
2
1
(1 x1)(1 x2 )...(1 xn) .
2
n 1 1
解析：因为 x 0， x ，所以 x [0, ] i i i
i 1 2 2
1
设 y x ，则 y [ ,0] 1
i i i 2
由伯努利不等式 (1)： (1 y )(1 y )...(1 y ) 1 ( y y ... y ) ①
1 2 n 1 2 n
1
将 y x 代入①式，并代入 x1 x2 ... xn 得： i i
2
1 1
(1 x )(1 x )...(1 x ) 1 (x x ... x ) 1 .
1 2 n 1 2 n
2 2
证毕.
27.3 设 a1,a2 , ...,an 0 ， 且 a1a2 ...an 1 ， 求 证 ：
a1 a2 ... an a1 a2 ... an.
解析：因为a1,a2 , ...,an 0，且a1a2 ...an 1，
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所以由均值不等式 (3)： a1 a2 ... a
n
n n a1 a2 ... an n
a1 a即： 2
... an
1 ①
n
iff a1 a2 ... an 1时，①式等号成立.
由柯西不等式 (8)：
2 2 2 2 2 2 2[( a ) ( a ) ... ( a ) ](1 1 ... 1 ) ( a a ... a )
1 2 n 1 2 n
即： 2(a a ... a ) n ( a a ... a )
1 2 n 1 2 n
( a a ... a )
即： 1 2 n(a a ... a ) ( a a ... a ) ②
1 2 n 1 2 n
n
iff a1 a2 ... an 1时，②式等号成立.
将①式代入②式得：a a ... a a a ... a ③
1 2 n 1 2 n
iff a1 a2 ... an 1时， ③式等号成立. 证毕.
27.4 设 a,b,c 0，且 abc 1，求证： 3a 3 3b c ab bc ca .
解析：因为a,b,c 0，且abc 1，
所 以 由 均 值 不 等 式 (3) ：
2 2 2 2 2 22 2 2 a b b c c a
a b c ab bc ca ①
2 2 2
iff a b c 1时，①式等号成立.
a b c
由均值不等式 (3)：a b c 3 3 abc 3，即： 1 ②
3
iff a b c 1时，②式等号成立.
WLOG ，设 a b c，则因为a,b,c 0，所以 2 2 2a b c
由切比雪夫不等式 ： 2 2 2 2 2 2(14) (a b c)(a b c ) 3(a a b b c c )
即： 3 3 3
a b c 2 2 2
a b c (a b c ) ③
3
iff a b c 1时，③式等号成立.
将①②代入③式得： 3 3a b 3c ab bc ca ④
iff a b c 1时， ④式等号成立. 证毕.
27.5 设 a,b,c,d 0 ， 求 证 ：
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a b c d 2
.
b 2c 3d c 2d 3a d 2a 3b a 2b 3c 3
解析：记 A b 2c 3d ，B c 2d 3a，C d 2a 3b，D a 2b 3c
则： aA bB cC dD 4(ab ac ad bc bd cd ) ①
a b c d 2
待证式为： ②
A B C D 3
a b c d
由柯西不等式 2(8)： ( )(aA bB cC dD) (a b c d )
A B C D
a b c d (a b 2c d )
即： ③
A B C D aA bB cC dD
(a b c 2d ) 2
由②③式，只需证明 ④
aA bB cC dD 3
设多项式： P(x) (x a)(x b)(x c)(x d)
4c x 3c x 2c x c x c
0 1 2 3 4
则： c a b c d ⑤
1
c ab ac ad bc bd cd
2
代入①式得：aA bB cC dD 4c ⑥
2
c
根据定义 (38)： p kk k
C
n
c c c c
得： p 1 1 ，即： c 4 p ； p 2 2 ，即：c 6 p
1 1 2 2
C 4 1 1 C 6 2 2
4 4
2 2 2 2
(a b c d ) c 16 p 2 p
则： 1 1 1 ⑦
aA bB cC dD 4c 4 6 p 3 p
2 2 2
1 2p
由麦克劳林不等式 (40)： p p 2 ，即： 1 1
1 2
p
2
(a 2b c d ) 2
代入⑦式得： ，④式得证.
aA bB cC dD 3
iff a b c d 时，等号成立. 证毕.
2 2 2a bc b ca c ab
27.6 设 a,b,c 0，求证： a b c .
b c c a a b
2 2 2
a bc b ca c ab
解析：不等式左边=
b c b c c a c a a b a b
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a(c a) b(a b) c(b c)
不等式右边=a b c
c a a b b c
2 2 2
ac a ab b cb c

c a c a a b a b b c b c
2 2 2 2 2 2
a b c c a b
则不等式其实就是： ①
b c c a a b b c c a a b
由于是对称不等式，WLOG ，假设a b c，则 2a 2 2b c ②
1 1 1
且 b c a c a b，即： ③
b c c a a b
2 2 2 2 2 2
a b c c a b
则有排序不等式 (18)：
b c c a a b b c c a a b
2 2 2 2 2 2
a b c c a b
其中， 为正序和； 为乱序和.
b c c a a b b c c a a b
iff a b c 时，等号成立. 证毕.
a b
27.7 设 a,b 0， n n n 1n N 证： (1 ) (1 ) 2 .
b a
a b
解析：当n 0时， 0 0(1 ) (1 ) 2 ， 0 12 2，不等式成立；
b a
a 1 b 1 a b当 n 1时， (1 ) (1 ) 2 4 ， 1 12 4 ，不等式成立；
b a b a
当 n 2时，构建函数 nf (x) x .
则函数的导数 n 1f '(x) nx ；
二次导数 n 2f ''(x) n(n 1)x 0 ，故在 x 0时函数为向下凸函数.
f (x ) f (x ) x x
由琴生不等式 (20)： 1 2 f ( 1 2 ) ①
2 2
a
将 n
b
f (x1) (1 ) ， f (x2 )
n
(1 ) ，
b a
b a
(1 ) (1 )
x1 x2 n 1 b af ( ) [ a b ] [1 ( n n)] 2
2 2 2 a b
a
n
b
n(1 ) (1 )
带入①式得： b a
a b
n2 ，即： n n n 1(1 ) (1 ) 2
2 b a
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a b
综上，当 和 时， n n n 1n 0、n 1 n 2 (1 ) (1 ) 2 都成立,
b a
a b
即 n n n n 1N 时， (1 ) (1 ) 2 成立. 证毕.
b a
27.8 设 x1, x2 , ..., xn R ，且
2 2 2
x1 x2 ... xn 1，若n N ，n 2，求
5 5 5
x x x
f (x1, x2 , ..., xn)
1 2 ... n
n n n
( xi ) x1 ( xi ) x2 ( xi ) xn
i 1 i 1 i 1
的最小值.
n
解析：记 S x ，（ i 1,2, ...,n）. i
i 1
5 5 5
x x x
则 f (x1 , x2 , ..., xn )
1 2 ... n ①
S x1 S x2 S xn
WLOG 假设 x x ... x ，则 4 4 4x x ... x ②
1 2 n 1 2 n
n n x
由于 S x ，所以 S
k
x ( x ) x 与 x 无关，则 与 x 同单
i k i k k
i 1 i 1 S x
k
k
调性.
x x x
即： 1 2 ... n ③
S x S x S x
1 2 n
由切比雪夫不等式 (14)：若 (a ,a , ...,a )与 (b ,b , ...,b )同单调性，则有：
1 2 n 1 2 n
(a a ... a )(b b ... b ) n(a b a b ... a b ) ④
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
x
设： 4a x ， b n ，（ i 1,2, ...,n），则满足{a }与{b }同单调性.
i i i S x i i
n
代入④式得：
4 x x x x
(x 4 4 4... x )( 1 ... n ) n(x 1 ... x n )
1 n 1 n
S x S x S x S x
1 n 1 n
5 5 4 4x x x ... x x x
即： f 1 ... n ( 1 n ) ( 1 ... n ) ⑤
S x S x n S x S x
1 n 1 n
4 4 2 2
x ... x x ... x 1
由均值不等式 (3)：Q A ，即： 1 n 1 n
n n n n n
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故： 4 4
1
x ... x ⑥
1 n
n
x
构建函数： g(x) ⑦
S x
S 2S
则导函数： g '(x) ， g ''(x) 0
2 3
(S x) (S x)
故 g(x)为向下凸函数.
由 琴 生 不 等 式 (21) ：
g( x x ... x ) g(x ) g(x ) ... g(x )
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n
1
取加权 （ i 1,2, ...,n）时，上式变为：
i
n
x x ... x g(x ) g(x ) ... g(x )
g( 1 2 n ) 1 2 n ⑧
n n
x x ... x
即： g(x ) g(x ) ... g(x ) n g( 1 2 n )
1 2 n
n
x x ... x
1 2 n S
x x
1 n n n n即： ... n n ⑨
S x S x x x ... x S1 2 n n 11 n S S
n n
将⑥和⑨式代入⑤式得：
5 5
x x
1 n 1 1 n 1f ...
S x S x n n n 1 n(n 1)
1 n
1
故： f (x1, x2 , ..., xn)的最小值是 .
n(n 1)
1 1 1 3
27.9 设 a,b,c R ，且a b c abc，求证： .
1 2 2 2a 1 b 1 c 2
2 2
x y
解析：在圆锥曲线里，椭圆方程为： 1时，常常采用的参数方程是：
2 2
a b
x acos ， y bsin ，因为将它带入方程时满足 2cos 2sin 1，这
个三角函数的基本关系. 对于三角形的内角 A, B,C ，同样有关系
A B C 和 tan A tanB tanC tan Atan BtanC . 而本题初始条
件 a b c abc.
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设 a tan A. b tan B，c tanC ，因为a,b,c R ，所以 A, B,C (0, )
2
①
则当 A, B,C为三角形的内角时， A B C ，
tan A tanB tanC tan Atan BtanC满足条件.
带入不等式左边得：
1 1 1

2 2 2
1 a 1 b 1 c
1 1 1

2 2 21 tan A 1 tan B 1 tan C
cos A cos B cosC ②

构建函数 f (x) cos x，则在 x (0, )区间函数 f (x) 为向下凸函数，
2
故由琴生不等式 (21)得：函数值的均值不小于均值的函数值.
f ( x x ... x ) f (x ) f (x ) ... f (x ) ③
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n
1
当加权 ... 时，③式变为：
1 2 n
n
f (x ) f (x ) ... f (x ) x x ... x
1 2 n f ( 1 2 n )
n n
f (A) f (B) f (C) A B C
即： f ( ) ④
3 3
cos A cos B cosC A B C 1
即： cos( ) cos
3 3 3 2
3
即： cos A cos B cosC ⑤
2
1 1 1 3
将⑤式带入②式得： . 证毕.
1 2 2 2a 1 b 1 c 2
3 2
27.10 设 a,b,c R，求证： 2 2 2 2 2 2a (1 b) b (1 c) c (1 a) .
2
解析：因为a,b,c R，由柯西不等式 (12)式
2 2 2 2 2 2 2 2a b ... a b (a ... a ) (b ... b )
1 1 n n 1 n 1 n
则： 2a 2 2 2 2 2(1 b) b (1 c) c (1 a)
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2
a 2 2 2 2 2 2(1 b) (1 b) a b (1 c) (1 c) 2b

2
2 2 2 2
c (1 a) (1 a) c

2
1
2 2[a (1 b) b (1 c) c (1 a)] [(1 b) a (1 c) b (1 a) c)]
2
1 2 2 3 2 3 3
2 2 .
即： 2 2 2 2 2 2
3 2
a (1 b) b (1 c) c (1 a) . 证毕.
2
27.11 设 a,b,c R ，且 ab bc ca 3,求证： 2 2 2(1 a )(1 b )(1 c ) 8 .
解析：对赫尔德不等式 (32)：
m n n m j

( a j ) ( a ) ij ij (32)
i 1 j 1 j 1 i 1
1
当 n 4， m 4 ， 时， (32) 式为：
1 2 3 4
4
1 1 1 1
(a a a a )4 (a a a a )4 (a a a a )4 (a a a a )4
11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44
1
[(a a a a )(a a a a )(a a a a )(a a a a )]4
11 21 31 41 12 22 32 42 13 23 33 43 14 24 34 44
即 ：
(a a a a )(a a a a )(a a a a )(a a a a )
11 21 31 41 12 22 32 42 13 23 33 43 14 24 34 44
1 1 1 1
4[(a a a a )4 (a a a a )4 (a a a a )4 (a a a a )4 ]
11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44
①
设： a 1， 2a a ，a 2b ， 2 2a a b ；
11 21 31 41
a 1， 2 2a c a ， a 2 ， 2c a a ；
12 22 32 42
a 1， 2a c ， 2 2 2a b c ， a b ；
13 23 33 43
a 1， a 1， a 1， a 1.
14 24 34 44
代入①式得：
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2(1 a 2 2 2 2 2 2b a b ) (1 c a c 2 2 2 2 2a ) (1 c b c b ) (1 1 1 1)
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4[(1 1 1 1)4 (a c a c 1)4 (b c b c 1)4 (a b a b 1)4 ]
4(1 ac bc ab) ②
②式就是赫尔德不等式.
2 2 2 2 2 2(1 a ) (1 b ) (1 c )
2 2 2 2 2 2(1 a )(1 b ) (1 c )(1 a ) (1 b )(1 c )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(1 a b a b ) (1 c a c a ) (1 b c 2 2b c )
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(1 a b a b ) (1 c a c a ) (1 b c b c ) (1 2 2 21 1 1 )
4
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(1 a b a b ) (1 c a c a ) (1 c b c b ) (1 1 1 1 )
4
将②式代入上式得：
2 2 2 2 2 2
1 4
(1 a ) (1 b ) (1 c ) (1 ac bc ab)
4
1
开方出来即： (1 2 2 2a )(1 b )(1 c ) (1 2ac bc ab) ③
2
将 ab bc ca 3代入③式得： 2 2
1
(1 a )(1 b )(1 2 2c ) (1 3) 8 .
2
iff a b c 1时等号成立. 证毕.
27.12 设 a,b,c 0，且a b c 1，求证： 3 3 3 2 2 26(a b c ) 1 5(a b c ) .
解析：采用 pqr 法.
设： p a b c， q ab bc ca ， r abc，则： p 1
在 20.2 常用的代换如下：
⑴ 2 2 3 2x p 2q ； ⑵ x p( p 3q) 3r
cyc cyc
则： 2 2 2 2a b c p 2q ；
3 3 3
a b c 2p( p 3q) 3r 1 3q 3r
于是，待证式变为： 26(1 3q 3r) 1 5( p 2q)
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即： 32 8q 18r 0，即：1 4q 9r 0 ，即： p 4 pq 9r 0 ①
在 20.3 常用的 pqr 法的不等式
⑴ 3p qr 4 pq，即： 3p 4 pq 9r 0
故：①式成立，即待证式成立. 证毕.
27.13 设 a,b,c 0，且 a b c 2，求证： 4 4 4 3 3 3a b c abc a b c .
解析：由舒尔不等式 (43)：
t
x (x y)(x z) t ty ( y z)( y x) z (z x)(z y) 0 ①
即： t 2 t 2 t 2x (x xy xz yz) y ( y yz xy zx) z (z zx yz xy) 0
即 ：
t 2 t 2 t 2 t 1 t 1 t 1x (x yz) y ( y zx) z (z xy) x ( y z) y (z x) z (x y)
即 ：
t 2 t t 2 t t 2 t t 1 t 1 t 1x x yz y xy z z xyz x ( y z) y (z x) z (x y)
即 ：
t 2 t 2 t 2 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1x y z (x y z )xyz x ( y z) y (z x) z (x y)
两边都加 t 2 t 2 t 2x y z 得：
t 2 t 2 t 2 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t 12(x y z ) (x y z )xyz (x y z )(x y z)
②
②式就是舒尔不等式.
设 t 2 ， 代 入 ② 式 得 ：
4 4 4 3 3 32(x y z ) (x y z)xyz (x y z )(x y z)
将 a b c 2代入上式得： 4 4 4 3 3 32(x y z ) 2xyz 2(x y z )
即： 4 4 4 3 3 3a b c abc a b c ③
③式就是我们要证明的不等式. 证毕.
27.14 设 a,b,c 0，求证： 3 3 3 3 3 38(a b c ) (a b) (b c) (c a) .
解 析 ： 待 证 式 化 为 ：
3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2
8(a b c ) 2(a b c ) 3(a b ab b c bc c a ca )
即： 3 3 3 2 2 2 2 2 22(a b c ) a b ab b c bc c a ca ①
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解析 1：缪尔海德不等式 (48)：T[ i ] T[ i ] (48)
iff ( i ) ( i )或 x1 x2 ... xn 时，等号成立.
由于 3 3 3T[3,0,0] 2(a b c )，T[2,1,0] 2 2 2 2 2 2a b ab b c bc c a ca
满足缪尔海德不等式的条件，即：
(b1,b2 ,b3) (2,1,0) ， (a1,a2 ,a3) (3,0,0) ， 故 满 足 序 列
(b1,b2 ,b3 ) (a1,a2 ,a3 ) .
则：T[2,1,0] T[3,0,0]，即：①式成立. 证毕.
解析 2：采用 pqr 法.
设： p a b c， q ab bc ca， r abc .
在 20.2 常用的代换如下：
⑵ 3 2x p( p 3q) 3r ， ⑼ 2x ( y z) xy(x y) pq 3r
cyc cyc cyc
即①式等价于： 3 22 x x ( y z)
cyc cyc
即： 2 32[ p( p 3q) 3r] pq 3r，即： 2 p 6 pq 6r pq 3r
即： 32 p 9r 7 pq ②
②式是与①式等价的.
在 20.3 常用的 pqr 法的不等式：⑺ 32 p 9r 7 pq是成立的，故②式成
立. 证毕.
解析 3：采用琴生不等式.
构建函数 3f (x) x ③
则 f (x)为向下凸函数.
f (x ) f (x ) x x
采用琴生不等式 (21)式： 1 2 f ( 1 2 )
2 2
f (a) f (b) a b f (b) f (c) b c
则 ： f ( ) ； f ( ) ；
2 2 2 2
f (c) f (a) c a
f ( )
2 2
a b b c c a
上 面 三 式 相 加 得 ： f (a) f (b) f (c) f ( ) f ( ) f ( )
2 2 2
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④
3 3 3 a b b c c a将③带入④得： 3 3 3a b c ( ) ( ) ( )
2 2 2
即： 3 3 3 3 3 38(a b c ) (a b) (b c) (c a) . 证毕.
1
27.15 设 a,b,c 0，求证： 3a 3b 3c 3abc (a b c) .
7
解析：待证式： 3 37(a b 3 3c ) 7abc (a b c) ①
即： 3 3 3 27 a 7abc (a b c) a 3 a b 6abc
cyc cyc sym
即： 3 2
1
6 a abc 3 a b，即： 3 22 a abc a b ②
3
cyc sym cyc sym
由排序不等式 3 2(17 )得： 2 a a b
cyc sym
3 1所以： 2 a abc
3 2
2 a a b
3
cyc cyc sym
②式得证. 证毕.
4
27.16 设 a,b,c 0，且 2 2 2a b c 1，求证：a b c 3abc .
9
解析：待证式： 2 2 29(a b c ) 27abc 4 ①
将①式齐次化： 2 2 2 39(a b c )(a b c) 27abc 4(a b c) ②
化简②式：
2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3(a b c )(a b c) a ab ac a b b bc ca b c c
3 3 3 2 2 2 2 2 2a b c ab ac a b bc ca b c
3 2a a b ③
cyc sym
3 3 2(a b c) a 3 a b 6abc ④
cyc sym
将③④式代入②式：

9 3a 2a b 27abc 4 3a 23 a b 6abc
cyc sym cyc sym
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即待证式为： 3 25 a 3abc 3 a b ⑤
cyc sym
由舒尔不等式 (43)：
a(a b)(a c) b(b c)(b a) c(c a)(c b) 0
即： 2 2 2 2 2 2a(a bc) b(b ca) c(c ab) a (b c) b (c a) c (a b)
即： 3 2a 3abc a b ⑥
cyc sym
由缪尔海德不等式 (47 )：
a a a b b b
x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 (49)
sym sym
取： 3 0 0 0 3 0 0 0 32(a b c a b c a b c )
2 1 0 2 0 1 1 2 0 0 2 1 0 1 2 1 0 2a b c a b c a b c a b c a b c a b c
即： 3 3 3 2 2 2 2 2 22(a b c ) a b a c ab b c bc ac
即： 32 a 2a b ⑦
cyc sym
由⑥+2×⑦两式相加得： 3 25 a 3abc 3 a b ⑧
cyc sym
⑧式是由舒尔不等式和缪尔海德不等式相加得到的结果，而⑧式就是待证
式⑤，
这证明，⑤式即①式是成立的. 证毕.
27.17 设 a1,a2 , ...,an 0 ， 求 证 ：
2 2 2
a a a
(1 a1)(1 a2 )...(1 a
1 2 n
n ) (1 )(1 )...(1 ).
a2 a3 a1
解析：因为 xa ,a , ...,a 0，所以设a e i1 2 n i （ i 1, 2, ...,n）
待 证 式 变 为 ：
x x x 2x x 2x x 2x x
(1 e 1 )(1 e 2 )...(1 e n ) (1 e 1 2 )(1 e 2 3 )...(1 e n 1 )
因为待证式两边都是正数，所以取对数后为：
x x 2x x 2x x
ln(1 e 1 ) ... ln(1 e n ) ln(1 e 1 2 ) ... ln(1 e n 1 ) ①
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WLOG ， 假设 2x1 x2 2x2 x3 ... 2xn x1 ，且 x1 x2 ... xn
②
n n n n
设 xn 1 x1，则： (2xk xk 1) 2 xk xk xk ③
k 1 k 1 k 1 k 1
而且 2xk xk 1 xk (xk xk 1) xk ( k 1, 2, ...,n，) ④
由②③④，根据 Ch16. 定义序列，则： n n(xk )k 1就是 (2xk xk 1)k 1的优
化值，
于是序列 (xk ) (2xk xk 1) ⑤
构建函数： xf (x) ln(1 e ) ⑥
x x
e e
函数的导函数为：f '(x) ，其二次导函数为：f ''(x) 0
x x 21 e (1 e )
⑦
由⑦式，函数 xf (x) ln(1 e ) 是向下凸函数，对于两个序列 (xk ) 和
(2xk xk 1)
由卡拉玛塔不等式 (50)得：
f (x1) f (x2 ) ... f (xn) f (2x1 x2 ) f (2x2 x3) ... f (2xn x1)
⑧
将⑥带入⑧得：
x x 2x x 2x x
ln(1 e 1 ) ... ln(1 e n ) ln(1 e 1 2 ) ... ln(1 e n 1 )
而这正是待证式①式. 证毕.
27.18 设 a,b,c,d 0 ， 且 abcd 1 ， 求 证 ：
1 1 1 1
1 .
2 2 2 2
(1 a) (1 b) (1 c) (1 d )
解析：先介绍一个不等式：
1 1 1
若 x, y R，则 ①
(1 2 2x) (1 y) 1 xy
证明如下：
2 2 2 21 1 1 [(1 x) (1 y) ](1 xy) (1 x) (1 y)

2 2 2 2
(1 x) (1 y) 1 xy (1 x) (1 y) (1 xy)
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②
②式得分子为：
2
[2 2(x y) (x 2 2 2y )](1 xy) (1 2x x )(1 2y y )
2 2 2 2[2 2(x y) (x y )] [2xy 2xy(x y) xy(x y )]
2 2 2 2[(1 2x x ) 2y(1 2x x ) y (1 2x x )]
2 2 2 2 3 3[2 2x 2 y x y 2xy 2x y 2xy x y xy ]
2 2 2 2 2 2[1 2x x 2 y 4xy 2x y y 2xy x y ]
1 2xy 3 3 2 2x y xy x y
2 2 3 3 2 2(1 2xy x y ) (x y xy 2x y )
2(1 xy) 2 2xy(x y 2xy)
2 2(1 xy) xy(x y) 0
1 1 1
带入②式得： 0 ，则：①式成立.
2 2(1 x) (1 y) 1 xy
1 1 1 1 1 1
由①式得： ； ③
2 2(1 a) (1 b) 1 ab 2 2(1 c) (1 c) 1 cd
1 1 1 1 1 ab
而： 1 ④
1 ab 1 cd 1 ab 1 1 ab ab 1
1
ab
1 1 1 1 1 1
故由③④： 1
2 2 2 2
(1 a) (1 b) (1 c) (1 d ) 1 ab 1 cd
iff a b c d 1时等号成立. 证毕.
27.19 设a,b,c,d 0，且 a b c d 4，求证：
2 2 2 2
abc bcd cda dab (abc) (bcd) (cda) (dab) 8 .
解析：采用 SMV 法
⑴ 设 ：
2 2 2 2
f (a,b,c,d) abc bcd cda dab (abc) (bcd) (cda) (dab)
a b c 4 d 4
设： t ，则：d 4 3t ， t [0, ]
3 3 3
3 2 2 2 6 4 2 4 2 4 2f (t, t, t,d) t t d t d t d t t d t d t d
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3t 23t (4 3t) 6 4 2t 3t (4 3t)
3 2 3 6 4t 12t 9t t 3t (16 224t 9t )
2 3 6 4 5 612t 8t t 48t 72t 27t
6 5 4 3 24(7t 18t 12t 2t 3t ) ①
⑵ 采用导数法求①的极值点.
由①式的导数为零得： 5 4 3 242t 90t 48t 6t 6t 0
即： 4 3 2t(7t 15t 8t t 1) 0
即： 4 3 3 2t(7t 7t 8t 8t t 1) 0
即： 3 2t(t 1)(7t 8t 1) 0 ②
则极值点为： t1 0 ， t2 1， t3 1.236320209
其中， 3 27t 8t 1 0 ③
采用盛金公式求③式得.
盛金公式：a 7 ,b 8,c 0,d 1；
2 2
A b 3ac 64， B bc 9ad 63，C c 3bd 24
判别式： 2 2B 4AC 63 4 64 24 10113 0
B
Y1 Ab 3a 117.5841653 ；
2
B
Y2 Ab 3a 2229.415835 .
2
b 3 Y 3 Y
③式得实数解为： 1 2t3 1.236320209 .
3a
代入①式得到这些极值点的函数值：
f (t1) 0； f (t2 ) 8； f (t3 ) 7.38889
在边界点的函数值为：
4 4 3 4 6
f (0) 0； f ( ) ( ) ( ) 7.989023063
3 3 3
故： f (t, t, t,d) 8 ④
⑶ 由于 f (t, t, t,d) f (a,b,c,d)
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a b c 3 a b c 2[( ) abc] d[3( ) (ab bc ca)]
3 3
a b c 6 2 a b c 4 2 2 2 2 2 2[( ) (abc) ] d[3( ) (a b b c c a )] 0
3 3
即： f (t, t, t,d) f (a,b,c,d) ⑤
a b c
其中：由 A G 得到： 3( ) abc 0；
n n 3
由 2(a b c) 3(ab bc ca) 得 到 ：
a b c 2
3( ) (ab bc ca) 0 ；
3
由 2 2
a b c 6 2
A G 得到： ( ) (abc) ；
n n 3
a b c
由琴生不等式得到： 4 2 2 2 2 2 23( ) (a b b c c a ) 0 ⑥
3
⑷ 构建函数 4g(x) x
显然 4g(x) x 为向下凸函数，故函数的均值不小于均值的函数值.
a b b c c a a b b c c a
g( ) g( ) g( )
a b c
即： g( ) g( 2 2 2 ) 2 2 2
3 3 3
a b c 4 1 a b b c c a即： 4 4 4( ) [( ) ( ) ( ) ] ⑦
3 3 2 2 2
a b b c c a
再由 A G 得到： ab ， bc ， ca
n n 2 2 2
a b c
代入⑦式得： 4
1
2 2( ) [a b 2 2 2 2b c c a ]
3 3
a b c
即： 4 2 2 2 2 2 23( ) (a b b c c a ) 0 ，⑥式得证.
3
⑸ 故由④⑤式： f (a,b,c,d) f (t, t, t,d) 8 .
iff a b c d 1时等号成立. 证毕.
27.20 设 2a,b,c 0，且 a 2b 2c 3，求证： 2 2 2 2a b b c 2 2c d a b c .
解析：采用 SMV 法.
WLOG ，假设 a b c，则： 2 ， 2 2a 1 b c 2
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故： a 1， b c 2 2b c 2
设： 2 2 2 2 2 2f (a,b,c) (a b c) (a b b c c a ) ①
2 2
b c
设： t ，则： 2 2 4f (a, t, t) (a 2t) (2a t t ) ②
2
2
则： 2 2
3 a
a 2t 3，即： t
2
故： f (a,b,c) f (a, t, t)
2 2 2 2 2 2 4(b c 2t) a (b c 2t ) (b c t )
2
b 2 2 2 2 2c 2 2 2 b c b c (b c 2 ) a (b c 2 ) 2 2 2[b c ( ) ]
2 2 2
2
b 2c
2 2 2( ) b c 2 2b c 2(b c )
2
2
(b 2 2c )
2 2b c 2(b c )
4
2 2 2 2 2(b c) (b c) (b c) 2(b c )

4 2 2b c 2(b c )
2 2 2(b c) (b c) (b c)

4 2 2b c 2(b c )
2 2(b c ) 1
(b 2c) [ ] ③
4 2 2b c 2(b c )
将 2 2b c 2， b c 2 代入③式得：
2 2 1
f (a,b,c) f (a, t, t) (b c) [ ]
4 2 2 2
2 1 1 (b c) [ ] 0
2 2 2
即： f (a,b,c) f (a, t, t) ④
下面只需证明 f (a, t, t) 0 即可.
3 2a
将 t 代入②式： 2 2 4f (a, t, t) (a 2t) (2a t t )
2
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2 22 3 a 2 3 a
f (a, t, t) a 2(3 a ) ( )(2a )
2 2
3
2 2 2a 2(3 a ) (3 a )(1 a )
4
4 23(a 2a 1)
2[(3 a) 2(3 a )]
4
2 2
2 2
3(a 1) [(3 a) 2(3 a )][(3 a) 2(3 a )]

4 2(3 a) 2(3 a )
2 2 2 23(a 1) (a 1) (3 a) 2(3 a )

4 (3 2a) 2(3 a )
2 2 2
3(a 1) (a 1) 3a 6a 3

4 23 a 2(3 a )
3 2 2 4

(a 1) (a 1) ⑤
4 2 3 a 2(3 a )
由于： a [0,1]，所以：
4 4 4

3 0 2 22(3 0 ) 3 a 2(3 a ) 3 21 2(3 1 )
4 4
即： 1
3 6 3 a 22(3 a )
代入⑤式得： f (a, t, t) 0 ，即： f (a,b,c) f (a, t, t) 0
由①式得： 2 2 2 2 2 2f (a,b,c) (a b c) (a b b c c a ) 0
即： 2 2a b 2 2 2 2b c c d a b c . 证毕.
27.21 设 a,b,c R ， 求 证 ：
2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3
3(a ab b )(b bc c )(c ca a ) a b b c c a .
解 析 ： 不 等 式 即 ：
2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 33(a ab b )(b bc c )(c ca a ) a b b c c a 0
设： 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3f (a,b,c) 3(a ab b )(b bc c )(c ca a ) a b b c c a
①
则对于对称类不等式，当a b k 时，若 2(c k) 是上式的因子，则可用SOS
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法.
f (k,k,c)
即若 g(k,c)，则可采用 SOS 法.
2
(c k)
⑴ 2 2 2 2 6 3 3f (k,k,c) 3k (k kc c ) k 2k c
2 4 2 2 4 3 2 2 3 6 3 33k (k k c c 2k c 2k c 2kc ) k 2k c
2 4 2 2 4 3 2 2k (3k 3k c 3c 6k c 6k c 3 4 36kc k 2kc )
2 4 3 2 2 3 4k (2k 6k c 9k c 8kc 3c ) ②
⑵ 采用长除法分解因式 4 3 2 2 3 42k 6k c 9k c 8kc 3c
2 2
2k 2kc 3c
2 2 4 3 2 2 3 4(k 2kc c ) 2k 6k c 9k c 8kc 3c
4 3 2 2) 2k 4k c 2k c
3 2 2 32k c 7k c 8kc
3 2 2 32k c 4k c 2kc
2 2 3 43k c 6kc 3c
2 2 3 43k c 6kc 3c
0
故： 42k 36k c 2 2 3 4 2 2 29k c 8kc 3c (c k) (2k 2kc 3c ) ③
由③式表明，本题可以采用 SOS法
⑶ 采用 SOS法，就是将不等式改写成：
2 2 2
g(a,b,c) Sa (b c) Sb(c a) Sc(a b) ④
其中 Sa , Sb , Sc 分别都是关于 a,b,c 的函数.
将①式展开化简后得：
4 2 2 4 3 3 4 2 2 2
f (a,b,c) 3 (a b a b ) 4 a b 3 a bc 3a b c ⑤
cyc cyc cyc
由于 a,b,c对称， cyc轮换求和后扩展项数是 3倍，故由⑤式简化为：
1
4 2 2 2f (a,b,c) [2c 4a b abc(a b c)](a b) ⑥
2
cyc
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⑷ 根据 SOS法
4 2 2Sc 2c 4a b abc(a b c)；
同理： 4 2 2Sa 2a 4b c abc(a b c)；
4
Sb 2b
2 2
4c a abc(a b c) .
由于 S 前两项为偶次项，所以当 a,b,c 有任何负值时，最后一项
abc(a b c)显然不小于a,b,c 为正值的值. 故我们设a,b,c 0 .
当 a b c 0时：
4 2 2 2 2
Sc 2c 4a b abc(a b c) 3a b abc(a b c) 0 ；
4 2 2 4 2 2Sc 2Sb 2c 4a b 4b 8c a 3abc(a b c)
2 2 2 2 2 2 43a b (a b 4c a ) (4b 2 24c a ) 3abc(a b c) 0
4 2 2 4 4 2 2Sa 2a 4b c abc(a b c) a (a b c ) abc(a b c)
4 4 2 2 4 2a 2 a b c abc(a b c) a 2a bc abc(a b c) 0
4 2 2 4 2 2Sa 2Sb 2a 4b c 4b 8c a 3abc(a b c)
4 2 2 4 2 2 4 2 2(a 4b c ) (4b 4c a ) (a 4c a ) 3abc(a b c) 0
即：当 a b c时， Sa 0 ， Sc 0， Sa 2Sb 0 ， Sc 2Sb 0；
根据 23.2 SOS法第⑶条： S 0 . 证毕.
1 1 1 1
27.22 设a,b,c,d 0，且 a b c d abcd 5，求证： 4 .
a b c d
解析：本题采用琴生不等式.
1
构建函数： f (x) ，在 x 0 区间， f (x)为向下凸函数.
x
根据琴生不等式 (21)：对于向下凸函数，均值的函数值不大于函数的均值
f (a) f (b) f (c) f (d ) a b c d
即： f ( )
4 4
a b c d
即： f (a) f (b) f (c) f (d ) 4 f ( ) ①
4
1
将 f (x) 及 a b c d 5 abcd 代入①式得：
x
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1 1 1 1 4 16
4 ②
a b c d a b c d 5 abcd
由均值不等式：5 abcd a b c d 44 abcd ③
设： t 4 abcd 0，则③式为： 4 45 t 4t ，即： t 4t 5 0
即： 3 2(t 1)(t t t 5) 0 ④
因为 t 0，所以 3 2t t t 5 0
则由④式得： t 1，故： t (0,1] ⑤
1 1 1 1 16
将⑤式代入②式得： 4 . 证毕.
a b c d 5 1
另：采用拉格朗日乘数法.
1 1 1 1
设： f (a,b,c,d ) ， g(a,b,c,d) a b c d abcd 5
a b c d
则：拉氏函数： L f g
L f g 1 1 1
偏导数： (a abcd ) 0 ，即： a(a abcd )
a a a 2a a
1 1 1
同理： b(b abcd )； c(c abcd )； d(d abcd ) .

则： 2 2a(a abcd) b(b abcd)，即：a b (a b)abcd
即： (a b)(a b abcd) 0 ⑥
故： a b或 a b abcd 0 .
同理可得：a b c d .
而由 a b abcd 0， b c abcd 0，…，同样得到：a b c d
故极值点：a b c d 1.
1 1 1 1
即 f (a,b,c,d ) 的极小值为 4 .
a b c d
27.23 设不等式：
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ab(a b ) bc(b c ) ca(c a ) M(a b c )
对一切实数a,b,c 都成立，求 M 的最小值.
解析：注意到 2 2 2 2 2 2ab(a b ) bc(b c ) ca(c a ) (a b)(b c)(a c)(a b c)
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则不等式 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ab(a b ) bc(b c ) ca(c a ) M(a b c )
变为 2 2 2 2(a b)(b c)(c a)(a b c) M(a b c ) ①
⑴ 设： x a b； y b c； z c a ；s a b c ，则：x y z 0 ②
及 ：
2 2 1 1
a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2c [(a b c) (a b) (b c) (c a) ] (s x y z )
3 3
1
代入①式： 2 2 2 2 2sxyz M(s x y z )
9
即： 9 sxyz 2 2 2 2 2M(s x y z ) ③
其中， x, y, z, s R
⑵ ③式两边 与 2 2 2xyz x y z 之间的关系由②式限制.
由于 x y z 0 ， 3 个变量 x, y, z 中有两个的符号相同，不妨设为
x, y 0.
因为 x, y 0 时，a b c，①式只要M 0 即可.
2
(x y)
当 x, y 0时，z (x y)，设 t x y z ，由均值不等式 xy
4
得：
3 3
(x y) t
sxyz sxy(x y) s s ④
4 4
当 x y时，④式得等号成立.
⑶ 由均值不等式得：
4 4
2 2 2 2 2 22 6 2 2 2 2 2s t t t 2s 3t
2s t 2s t t t
4 4
2
2 23 2s 3t 1 2 3 2 2 1即： 2 2 2 2 22 s t (s t ) (s x y z )
4 4 2 4
即： 3 2 2 2 2 24 2 s t (s x y z ) ⑤
上面用到了： 2 23t t 2 2 2 2 2 22t (x y) 2z 2x 2y 2z
1 1
⑷ 由⑤式得： 3 2 2 2 2 2s t (s x y z ) ⑥
4 16 2
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将 ⑥ 式 代 入 ④ 式 得 ：
1 2
sxyz 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(s x y z ) (s x y z )
16 2 32
9 2
于是： 2 2 2 2 29 sxyz (s x y z ) ⑦
32
9 2 9 2
比较③⑦两式得： M . 故： M 的最小值为 .
32 32
27.24 设 2 2 2a,b,c 0，且 a b c 3，求证： (a b b c c a)(ab bc ca) 9 .
解析：采用uvw法.
⑴ 齐次化： 2 2 2 527(a b b c c a)(ab bc ca) (a b c) ①
⑵ 设： 3u a b c ， 23v ab bc 3ca，w abc
则①式变为： 2 2 2 2 5 527(a b b c c a) 3v 3 u
即： 2(a b 2 2 2 5b c c a)v 3u
即： 5 2 2 2 2 2 26u 2(a b b c c a)v 2v (a b)
cyc
即： 5 2 2 2 2 2 2 2 26u v (a b) v (a c) v (a b) v (a c)
cyc cyc cyc cyc
即： 5 2 2 2 2 2 26u v (a b a c) v (a b a c) ②
cyc cyc
⑶ 下列常用式：
2 3 2 3
9uv 3w 3u 3v 3w (a b c)(ab bc ca) 3abc
2 2 2 2 2 2(a b abc ca ) (ab b c abc) (abc bc c a) 3abc
2 2 2 2 2 2 2 2a b ca ab b c bc c a (a b a c)
cyc
即： 2 2 2 3(a b a c) 9uv 3w ③
cyc
2
(a b)(b c)(c a) (ab ac b bc)(c a)
2 2 2 2 2 2abc ac b c bc a b a c ab abc
2 2 2 2 2 2(ac b c bc a b a c ab )
2 2(a b a c 2 2b c b a 2 2 2 2c a c b) (a b a c)
cyc
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即： 2 2(a b a c) (a b)(b c)(c a) ④
cyc
将③④代入②得：
5 4 3 2 2
6u 9uv 3w v v (a b)(b c)(c a)
1
即： 5 42u 3uv 3 2 2w v v (a b)(b c)(c a) 0 ⑤
3
⑷ 采用 uvw法必须牢记的几个不等式：
A> 2 2(a b)(b c)(c a) (a c a b)
cyc
B> 2 2 2a 9u 6v
cyc
C> 2 2 4 3a b 9u 6uw
cyc
D> 3 3 2 3a 27u 27uv 3w
cyc
E> 4a 2 2 2 4 3(9u 6v ) 2(9v 6uw )
cyc
F> 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3(a b) (b c) (c a) 27[ (w 3uv 2u ) 4(u v ) ]
G> 3 3 2w 3u 4uv 即舒尔不等式
⑸ 因为 a,b,c 0，所以根据傻瓜不等式 (53)：u v w ⑥
故由⑷F>可得： 3 2 3 2 2 2 3(w 3uv 2u ) 4(u v ) 0
即 ： 24(u 2 3 3 2 3 2v ) (w 3uv 2u ) ， 即 ：
2
2 (u 2 3 3 2 3v ) (w 3uv 2u )
即： 3 2 3 2 2 3w 3uv 2u 2 (u v ) ⑦
这与 24.1 中 uvw定理的 3w 取值要求一致.
⑺ 将⑦代入⑤
5 4 3 2 5 4 2 2 3 2 2 32u 3uv w v 2u 3uv v [3uv 2u 2 (u v ) ]
只要 5 4 2 2 3 2 2 32u 3uv v [3uv 2u 2 (u v ) ] 0 ⑧
则满足⑤式要求.
⑧式即： 5 3 2 2 2 2 32u 2u v 2v (u v ) 0
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不等式高级水平必备----tobeenough---wanhuihua
即： 5u 3 2 2 2 2 3u v v (u v ) 0
⑻ 设 u tv，则由傻瓜不等式得 t 1，代入⑧式得： 5 3 2 3t t (t 1) 0
即： 5 3 2 3t t (t 1) ，即： 3 2t (t 1) 2(t 21) t 1
即： 3 2t t 1 ，即： 6t 2t 1 0 ⑨
在 t 1是⑨式恒成立.
这样，⑧式成立，倒退回去则①式成立. 证毕.
此题不好.
将此题展开来，则是求证：
5 4 4 2 3 2 2 3 2 3a 5 (a b ab ) 10 a b 3 a b c 17 a b 7 a bc
cyc cyc cyc cyc cyc cyc
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