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射洪市2022-2023学年高三上学期9月入学考试
文科数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合,,,则的子集的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知（），则复数（ ）。
A. B. C. D.
3、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)
A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
4、小波一星期的总开支分布如图①所示，一星期的食品开支如图②所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为(　　)
A．1%　　　B．2%　　　C．3%　　　D．5%
5、“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展．如表是2020年我国某地区新能源乘用车的前5个月销售量与月份的统计表：
月份代码 1 2 3 4 5
销售量（万辆） 0.5 0.6 1 1.4 1.5
由上表可知其线性回归方程为，则的值为　　
A．0.16 B．1.6 C．0.06 D．0.8
6、由直线上的一点向圆C：引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
7、在函数、，，中，最小正周期为的函数的个数为（　　）
A． B． C． D．
8、设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
9、对任意非零实数，，若的运算原理如图所示，则
的值为　　
A． B．
C． D．
10、设a＞0，b＞0，若3是3a与32b的等比中项，则的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
11、已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q（4，4），则|PQ|+|PF|
的最大值为（　　）
A． B．9 C． D．5
12、、已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)
A．36π B．64π C．144π D．256π
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分
13、满足不等式组并使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是
▲ .
14、已知向量，，若，则m+n＝ ▲ ．
15、曲线在点处的切线方程为 ▲ .
16、 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为 ▲ .
三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.
(一)、必考题：共60分
17.(12分)2019年初，某市为了实现教育资源公平，办人民满意的教育，准备在今年8月份的小升初录取中在某重点中学实行分数和摇号相结合的录取办法．该市教育管理部门为了了解市民对该招生办法的赞同情况，随机采访了440名市民，将他们的意见和是否近三年家里有小升初学生的情况进行了统计，得到如下的2×2列联表.
赞同录取办法人数 不赞同录取办法人数 合计
近三年家里没有小升初学生 180 40 220
近三年家里有小升初学生 140 80 220
合计 320 120 440
（1）根据上面的列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是否赞同小升初录取办法与近三年是否家里有小升初学生有关；
（2）从上述调查的不赞同小升初录取办法人员中根据近三年家里是否有小升初学生按分层抽样抽出6人，再从这6人中随机抽出3人进行电话回访，求3人中恰有1人近三年家里没有小升初学生的概率.
附：，其中.
P() 0.10 0.05 0.025 0.10 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
▲
18.(12分)如图所示，在三棱柱中，四边形为矩形，平面平面，点，分别是侧面，对角线的交点．
（1）求证：平面；（2）．
▲
19．(12分) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.
(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；
(2)若sin A＋sin C＝，求C.
▲
20.(12分)已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（t，﹣2）在C上，且|PF|＝2|OF|（O为坐标原点）．
（1）求C的方程；
（2）若A，B是C上的两个动点，且A，B两点的横坐标之和为8，求当|AB|取最大值时，直线AB的方程．
▲
21．(12分)已知函数,且在处取得极值．
（1）求b的值；
（2）若当时,恒成立,求c的取值范围；
（3）对任意的,是否恒成立？如果成立,给出证明；如果不成立,请说明理由．
▲
(二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,为参数）.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的直角坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和直线的极坐标方程；
（2）射线,和曲线分别交于点,,与直线分别交于,两点,求四边形的面积.
▲
23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若的解集包含,求实数的取值范围.
▲射洪市2022-2023学年高三上学期9月入学考试
文科数学参考答案
D 2、C 3、B 4、C 5、A
6、A【解析】在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接CA．
在中，．要使最小，则应最小．
又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为．
故的最小值为．故选：A
7、【答案】C【详解】函数的图象如下图所示
由图可知，函数不是周期函数
，则函数的最小正周期为；
的周期为，的周期为故选：C
8、【答案】D【解析】由题意，对数的运算公式，可得，
，
又由，所以，即，
由指数函数的性质，可得，
所以.
9、【答案】C【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算分段函数函数值，
，此时，．故选C．
10、解：因为3是3a与32b的等比中项，所以32＝3a 32b＝3a+2b，
则有a+2b＝2，因为a＞0，b＞0，
所以
，
当且仅当，即时取等号，故的最小值为4．
故选：A．
11、解：∵点F为椭圆的左焦点，∴F（﹣1，0），
∵点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为（4，4），
设椭圆C的右焦点为F′（1，0），∴|PQ|+|PF|＝|PQ|+4﹣|PF′|
＝4+|PQ|﹣|PF′|，∵|PQ|﹣|PF′|≤|QF′|5，
∴|PQ|+|PF|≤9，即最大值为9，此时Q，F′，P共线．故选：B．
12【答案】C【解析】如图所示，设球的半径为R，
∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝R2.∵V三棱锥O－ABC＝V三棱锥C－AOB，而△AOB的面积为定值，
∴当点C到平面AOB的距离最大时，三棱锥O－ABC的体积最大，
∴当动点C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，三棱锥O－ABC的体积最大，
此时V三棱锥O－ABC＝V三棱锥C－AOB＝×R2×R＝R3＝36，解得R＝6，
则球O的表面积为S＝4πR2＝144π.故选C.
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分
13、(0,5)　 14、7
15、
16、y2＝3x【分析】过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，利用抛物线的定义和平行线的性质、直角三角形求解．
【详解】如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此抛物线的方程为y2＝3x，
(一)、必考题：共60分
17.(12分)【答案】（1）能在犯错误概率不超过0.001的前提下认为是否赞同小升初录取办法与近三年是否家里有小升初学生有关；（2）0.6
【解析】（1）假设是否赞同小升初录取办法与近三年是否有家里小升初学生无关，
的观测值，因为
所以能在犯错误概率不超过0.001的前提下认为是否赞同小升初录取办法与近三年是否家里有小升初学生有关.
（1）设从近三年家里没有小升初学生的人员中抽出人，从近三年家里有小升初学生的人员中抽出人，
由分层抽样的定义可知，解得，.
方法一：设事件M为3人中恰有1人近三年家里没有小升初学生．在抽出的6人中，近三年家里没有小升初学生的2人，分别记为，，近三年家里有小升初学生的4人，分别记为，，，，则从这6人中随机抽出3人有20种不同的抽法，所有的情况如下：
{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}.
其中恰有1人近三年家里没有小升初学生的情况有12种，分别为：
{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，
所以3人中恰有1人近三年家里没有小升初学生的概率为.
18.(12分) （1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】证明：（1）三棱柱，四边形，四边形均为平行四边形，
，分别是侧面，对角线的交点，，分别是，的中点，
， 平面，平面，平面．
（2）四边形为矩形，，
平面平面，平面，平面平面，
平面， 平面，．
19.(12分) 解：(1)由题设及余弦定理得28＝3c2＋c2－2×c2×cos 150°.解得c＝－2(舍去)，c＝2，从而a＝2.
△ABC的面积为×2×2×sin 150°＝.(2)在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，所以
sin A＋sin C＝sin(30°－C)＋sin C＝sin(30°＋C)．故sin(30°＋C)＝.
而0°20.(12分)【完整解答】解：（1）由题意得，解得，
所以C的标准方程为y2＝4x．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1+x2＝8．设AB中点为D（m，n），则，，
当x1＝x2时，lAB：x＝4，|AB|＝8；当x1≠x2时，，
则，即，与C联立方程消去x，整理得y2﹣2ny+2n2﹣16＝0，
由△＞0，得n2＜16，y1+y2＝2n，，
，
当n2＝6时取“＝”，所以|AB|的最大值为10，此时AB的方程为．
21．(12分)解：（1）∵f（x）＝x3x2+bx+c,∴f′（x）＝3x2﹣x+b．
∵f（x）在x＝1处取得极值,∴f′（1）＝3﹣1+b＝0．
∴b＝﹣2．经检验,符合题意．(3分)
（2）f（x）＝x3x2﹣2x+c．∵f′（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1）,
当x∈（﹣1,）时,f′（x）＞0当x∈（,1）时,f′（x）＜0
当x∈（1,2）时,f′（x）＞0∴当x时,f（x）有极大值c．
又f（2）＝2+cc,f（﹣1）cc
∴x∈[﹣1,2]时,f（x）最大值为f（2）＝2+c．∴c2＞2+c．∴c＜﹣1或c＞2．(8分)
（3）对任意的x1,x2∈[﹣1,2],|f（x1）﹣f（x2）|恒成立．
由（2）可知,当x＝1时,f（x）有极小值c．又f（﹣1）cc
∴x∈[﹣1,2]时,f（x）最小值为c．∴|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min,故结论成立．
(二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)
解：（1）曲线的参数方程为,为参数）,转换为直角坐标方程为.
曲线的直角坐标方程为,根据,整理得,即.(5分)
（2）射线,和曲线分别交于点,,与直线分别交于,两点,如图所示：
所以直线的直角坐标方程为,直线的直线方程为,
所以,解得,
设直线与轴交于点,
将代入,得,即.
所以.
同理：,解得：,
所以,
所以．(10分)
23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)
解：（1）,由,解得,
故不等式的解集是；(5分)
（2）的解集包含,即当时不等式恒成立,
当时,,,即,
因为,所以,
令,,易知在上单调递增,
所以的最小值为,因此,即的取值范围为. (10分)

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