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函数知识点总结
知识点一、平面直角坐标系
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
知识点二、不同位置的点的坐标的特征
1、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限
点P(x,y)在第二象限
点P(x,y)在第三象限
点P(x,y)在第四象限
2、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上，x为任意实数
点P(x,y)在y轴上，y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数
6、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于
（3）点P(x,y)到原点的距离等于
知识点三、函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
（1）解析法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
知识点四、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。
k的符号 b的符号 函数图像 图像特征
k>0 b>0 y 0 x 图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。
b<0 y 0 x 图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。
k<0k<0 b>0 y 0 x 图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小
b<0 y 0 x 图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。
注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质
一般地，正比例函数有下列性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大，图像从左之右上升；
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小，图像从左之右下降。
5、一次函数的性质
一般地，一次函数有下列性质：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大
（2）当k<0时，y随x的增大而减小
（3）当b>0时，直线与y轴交点在y轴正半轴上
（4）当b<0时，直线与y轴交点在y轴负半轴上
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法
知识点五、反比例函数
1、反比例函数的概念
一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成或xy=k的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3、 反比例函数的性质
反比例函数
k的符号 k>0 k<0
图像 y O x y O x
性质 ①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0；②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小。 ①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x 的增大而增大。
4、反比例函数解析式的确定
确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
若过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=。 。
知识点六、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果，特别注意a不为零，那么y叫做x 的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征（也叫抛物线的三要素）：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
知识点七、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2. 的性质：
二次函数的图像可由的图像上下平移得到（平移规律：上加 下减）。
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
3. 的性质：
二次函数的图像可由的图像左右平移得到（平移规律：左加 右减）。
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
4. 的性质：
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
知识点八、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：（，，为常数，）；
2. 顶点式：（，，为常数，）；
3. 两点式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成两点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用两点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
知识点九、二次函数解析式的确定
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
知识点十、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。
知识点十一、二次函数的性质
1、二次函数的性质
函数 二次函数
图像 a>0 a<0
y 0 x y 0 x
性质 （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值， （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，
2、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数：
① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离
推导过程：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故
② 当时，图象与轴只有一个交点；
③ 当时，图象与轴没有交点.
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
记忆规律：一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当>0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；
当<0时，图像与x轴没有交点。
知识点十二 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
y
如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）
则AB间的距离，即线段AB的长度为 A
0
B
2、二次函数图象的平移
① 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
② 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
③平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）
3、直线斜率：
4、设两条直线分别为，： ： 若，则有且。 若
知识点十三、二次函数的图象与各项系数之间的关系
抛物线中， a b c,的作用
（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
>0时，抛物线开口向上；<0时，抛物线开口向下；的绝对值越大，开口越小
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线
，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.（口诀左同 右异）
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：
①，抛物线经过原点;
②,与轴交于正半轴；
③,与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
经典例题与解析
（二次函数与三角形）
1、已知：二次函数y=x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使△EBC的面积最大，并求出最大面积．
2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C (0，4)，顶点为（1，）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标．
（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．
3、如图，一次函数y＝－4x－4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；
（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（二次函数与四边形）
4、已知抛物线．
(1)试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
(2)如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x－1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
5、如图，抛物线y＝mx2－11mx＋24m (m＜0) 与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC＝90°．
（1）填空：OB＝_ ▲ ，OC＝_ ▲ ；
（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；
（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x＝n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l 沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．
6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（），B（），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线经过点D、M、N．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值．
7、已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B的坐标；
（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；
（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．1）求该抛物线的解析式．
2）若过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式．
3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．
9、如图，y关于x的二次函数y=﹣（x+m）（x﹣3m）图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（﹣3，0），连接ED．（m＞0）
（1）写出A、B、D三点的坐标；
（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；
（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图。
10、已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C．其中AI(1，0)，C(0，)．
（1）（3分）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．
①（4分）如图l．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；
②（5分）如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式。
答案与分析：
1、解：（1）由已知条件得，（2分）
解得b=﹣，c=﹣，∴此二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣；（1分）
（2）∵x2﹣x﹣=0，∴x1=﹣1，x2=3，
∴B（﹣1，0），C（3，0），∴BC=4，（1分）
∵E点在x轴下方，且△EBC面积最大，∴E点是抛物线的顶点，其坐标为（1，﹣3），（1分）
∴△EBC的面积=×4×3=6．（1分）
2、（1）∵抛物线的顶点为（1，） ∴设抛物线的函数关系式为y＝a ( x－1) 2＋
∵抛物线与y轴交于点C (0，4)， ∴a (0－1) 2＋＝4 解得a＝－
∴所求抛物线的函数关系式为y＝－( x－1) 2＋
（2）解：P1 (1，)，P2 (1，－)， P3 (1，8)，P4 (1，)，
（3）解：令－( x－1) 2＋＝0，解得x1＝－2，x1＝4
∴抛物线y＝－( x－1) 2＋与x轴的交点为A (－2，0) C (4，0)
过点F作FM⊥OB于点M，
∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴＝ 又 ∵OC＝4，AB＝6，∴MF＝×OC＝EB
设E点坐标为 (x，0)，则EB＝4－x，MF＝ (4－x) ∴S＝S△BCE－S△BEF＝ EB·OC－ EB·MF＝ EB(OC－MF)＝ (4－x)[4－ (4－x)]＝－x2＋x＋＝－( x－1) 2＋3
∵a＝－＜0，∴S有最大值 当x＝1时，S最大值＝3 此时点E的坐标为 (1，0)
3、（1）∵一次函数y＝－4x－4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，
∴A (－1，0) C (0，－4) 把A (－1，0) C (0，－4)代入y＝x2＋bx＋c得
∴eq \b\lc\{(\a\al\co(－b＋c＝0,c＝－4)) 解得 ∴y＝x2－x－4
（2）∵y＝x2－x－4＝( x－1) 2－ ∴顶点为D（1，－）
设直线DC交x轴于点E 由D（1，－）C (0，－4)
易求直线CD的解析式为y＝－x－4
易求E（－3，0），B（3，0） S△EDB＝×6×＝16
S△ECA＝×2×4＝4 S四边形ABDC＝S△EDB－S△ECA＝12
（3）抛物线的对称轴为x＝－1
做BC的垂直平分线交抛物线于E，交对称轴于点D3 易求AB的解析式为y＝－x＋
∵D3E是BC的垂直平分线 ∴D3E∥AB
设D3E的解析式为y＝－x＋b
∵D3E交x轴于（－1，0）代入解析式得b＝－, ∴y＝－x－
把x＝－1代入得y＝0 ∴D3 (－1，0), 过B做BH∥x轴，则BH＝1
在Rt△D1HB中，由勾股定理得D1H＝ ∴D1（－1，＋）同理可求其它点的坐标。
可求交点坐标D1（－1，＋）, D2（－1，2）, D3 (－1，0), D4 (－1, －)D5（－1，－2）
4、(1)====，∵不管m为何实数，总有≥0，∴=＞0，∴无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．
(2)∵ 抛物线的对称轴为直线x=3，∴，
抛物线的解析式为=，顶点C坐标为（3，－2），
解方程组，解得或，所以A的坐标为（1，0）、B的坐标为（7，6），∵时y=x－1=3－1=2，∴D的坐标为（3，2），设抛物线的对称轴与轴的交点为E，则E的坐标为（3，0），所以AE=BE=3，DE=CE=2，
1 假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形，则AP、CD互相垂直平分且相等，于是P与点B重合，但AP=6，CD=4，AP≠CD，故抛物线上不存在一点P使得四边形ACPD是正方形．
2 (Ⅰ)设直线CD向右平移个单位（＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3，直线CD与直线y=x－1交于点M（3，2），又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），∴D通过向下平移4个单位得到C．
∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形．
（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N，∴N坐标为（3，），
又N在抛物线上，∴，
解得（不合题意，舍去），，
（ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，∴N坐标为（3，），
又N在抛物线上，∴，
解得（不合题意，舍去），，
(Ⅱ) 设直线CD向左平移个单位（＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3，直线CD与直线y=x－1交于点M（3，2），又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），∴D通过向下平移4个单位得到C．
∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形．
（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N，∴N坐标为（3，），
又N在抛物线上，∴，
解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），
（ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，∴N坐标为（3，），
又N在抛物线上，∴，
解得，（不合题意，舍去），
综上所述，直线CD向右平移2或（）个单位或向左平移（）个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
5、解：（1）OB＝3，OC＝8
（2）连接OD，交OC于点E
∵四边形OACD是菱形 ∴AD⊥OC，OE＝EC＝ ×8＝4
∴BE＝4－3＝1
又∵∠BAC＝90°，
∴△ACE∽△BAE ∴＝
∴AE2＝BE·CE＝1×4
∴AE＝2
∴点A的坐标为 (4，2)
把点A的坐标 (4，2)代入抛物线y＝mx2－11mx＋24m，
得m＝－ ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x－12
（3）∵直线x＝n与抛物线交于点M
∴点M的坐标为 (n，－n2＋n－12)
由（2）知，点D的坐标为（4，－2），
则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y＝x－4
∴点N的坐标为 (n，n－4) ∴MN＝（－n2＋n－12）－（n－4）＝－n2＋5n－8
∴S四边形AMCN＝S△AMN＋S△CMN＝MN·CE＝（－n2＋5n－8）×4＝－(n－5)2＋9
∴当n＝5时，S四边形AMCN＝9
6、解：（1）∵BC∥AD，B（-1，2），M是BC与x轴的交点，∴M（0，2），
∵DM∥ON，D（3，0），∴N（-3，2），则，解得，∴；
（2）连接AC交y轴与G，∵M是BC的中点，∴AO=BM=MC，AB=BC=2，∴AG=GC，即G（0，1），
∵∠ABC=90°，∴BG⊥AC，即BG是AC的垂直平分线，要使PA=PC，即点P在AC的垂直平分线上，故P在直线BG上，∴点P为直线BG与抛物线的交点，
设直线BG的解析式为，则，解得，∴，
∴，解得，，
∴点P（）或P（），
（3）∵，∴对称轴，
令，解得，，∴E（，0），
故E、D关于直线对称，∴QE=QD，∴|QE-QC|=|QD-QC|，
要使|QE-QC|最大，则延长DC与相交于点Q，即点Q为直线DC与直线的交点，
由于M为BC的中点，∴C（1，2），设直线CD的解析式为y=kx+b，
则，解得，∴，
当时，，故当Q在（）的位置时，|QE-QC|最大，
过点C作CF⊥x轴，垂足为F，则CD=．
7、解：（1）由y=0得，ax2-2ax-3a=0，
∵a≠0，∴x2-2x-3=0， 解得x1=-1，x2=3， ∴点A的坐标（-1，0），点B的坐标（3，0）；
（2）由y=ax2-2ax-3a，令x=0，得y=-3a， ∴C（0，-3a），
又∵y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a， 得D（1，-4a），
∴DH=1，CH=-4a-（-3a）=-a， ∴-a=1，∴a=-1， ∴C（0，3），D（1，4），
设直线CD的解析式为y=kx+b，把C、D两点的坐标代入得， ，解得 ，
∴直线CD的解析式为y=x+3；
（3）存在．
由（2）得，E（-3，0），N（- ，0） ∴F（ ， ），EN= ，
作MQ⊥CD于Q，设存在满足条件的点M（ ，m），则FM= -m，
EF= = ，MQ=OM=
由题意得：Rt△FQM∽Rt△FNE，∴ = ，整理得4m2+36m-63=0，∴m2+9m= ，
m2+9m+ = + （m+ ）2= m+ =± ∴m1= ，m2=- ，
∴点M的坐标为M1（ ， ），M2（ ，- ）．
8、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），
∴假设二次函数解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），
将D（0，3），代入y=a（x﹣1）（x﹣3），得：3=3a， ∴a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3；
（2）∵过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，∴AC×BC=6，
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，∴二次函数对称轴为x=2，
∴AC=3，∴BC=4，∴B点坐标为：（2，4），一次函数解析式为；y=kx+b，
∴，解得：，y=x+；
（3）∵当点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，
∴MO⊥AB，AM=AC，PM=PC，
∵AC=1+2=3，BC=4， ∴AB=5，AM=3， ∴BM=2，
∵∠MBP=∠ABC，∠BMP=∠ACB，
∴△ABC∽△CBM，∴，
∴，∴PC=1.5，P点坐标为：（2，1.5）．
9、解：（1）A（﹣m，0），B（3m，0），D（0，m）．
（2）设直线ED的解析式为y=kx+b，将E（﹣3，0），D（0，m）代入得：
解得，k=，b=m． ∴直线ED的解析式为y=mx+m．
将y=﹣（x+m）（x﹣3m）化为顶点式：y=﹣（x+m）2+m．
∴顶点M的坐标为（m，m）．代入y=mx+m得：m2=m
∵m＞0，∴m=1．所以，当m=1时，M点在直线DE上．连接CD，C为AB中点，C点坐标为C（m，0）．
∵OD=，OC=1，∴CD=2，D点在圆上
又OE=3，DE2=OD2+OE2=12，EC2=16，CD2=4，∴CD2+DE2=EC2．∴∠FDC=90°∴直线ED与⊙C相切．
（3）当0＜m＜3时，S△AED=AE． OD=m（3﹣m） S=﹣m2+m．
当m＞3时，S△AED=AE． OD=m（m﹣3）． 即S=m2_m．
10、解：（1）由题意，得，解得∴抛物线的解析式为。
（2）①令，解得 ∴B（3, 0）
当点P在x轴上方时，如图1，过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，
易求直线BC的解析式为，∴设直线AP的解析式为，
∵直线AP过点A（1,0），代入求得。∴直线AP的解析式为
解方程组，得 ∴点
当点P在x轴下方时，如图1 设直线交y轴于点，
把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点， 得直线的解析式为，
解方程组， ∴
综上所述，点P的坐标为：，
②∵∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45° 设直线CP的解析式为
如图2，延长CP交x轴于点Q，设∠OCA=α，则∠ACB=45°α
∵∠PCB=∠BCA ∴∠PCB=45°α
∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-（45°α）=α
∴∠OCA=∠OQC
又∵∠AOC=∠COQ=90° ∴Rt△AOC∽Rt△COQ
∴，∴，∴OQ=9，∴
∵直线CP过点，∴ ∴
∴直线CP的解析式为。
B
x
y
O
(第2题图)
C
A
D
B
x
y
O
(第3题图)
C
A
C
O
A
y
x
D
B
C
O
A
y
x
D
B
M
N
l:x＝n
B
x
y
O
(第3题图)
C
A
D
E
B
x
y
O
(第3题图)
C
A
P
M
N
C
O
A
y
x
D
B
E
C
O
A
y
x
D
B
M
N
l:x＝n
E

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