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03 电磁感应中的电路问题
基础知识
1．对电源的理解
在电磁感应现象中，产生感应电动势的那部分导体就是电源．如：切割磁感线的导体棒、内有磁通量变化的线圈等．这种电源将其他形式的能转化为电能．
判断感应电流和感应电动势的方向，都是利用“相当于电源”的部分根据右手定则或楞次定律判定的．实际问题中应注意外电路电流由高电势流向低电势，而内电路则相反．
2．对电路的理解
内电路是切割磁感线的导体或磁通量发生变化的线圈，外电路由电阻、电容器等电学元件组成．
在闭合电路中，“相当于电源”的导体两端的电压与真实的电源两端的电压一样，等于路端电压，而不等于感应电动势．
3．解决电磁感应中的电路问题三步曲
(1)确定电源．切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于电源，利用E＝n或E＝BLv求感应电动势的大小，利用右手定则或楞次定律判断感应电流方向．
(2)分析电路结构(内、外电路及外电路的串、并联关系)，画出等效电路图．
(3)利用电路规律求解．主要应用闭合电路欧姆定律及串、并联电路的基本性质等列方程求解．
典型例题
题型一　对法拉第电磁感应定律的理解及应用
1.求解感应电动势的常见情况
情景图
研究对象 回路(不一定闭合) 一段直导线(或等效成直导线) 绕一端垂直磁场转动的一段导体棒 绕与B垂直的轴匀速转动的导线框
表达式 E＝n E＝BLvsin θ E＝BL2ω E＝NBSωsin ωt(从中性面位置开始计时)
2.应用注意点
公式E＝n的应用，ΔΦ与B、S相关，可能是＝B，也可能是＝S，当B＝kt时，＝kS.
【典例1】如图所示，宽为L的水平光滑金属轨道上放置一根质量为m的导体棒，轨道左端通过一个单刀双掷开关与一个电容器和一个阻值为R的电阻连接，匀强磁场的方向垂直于轨道平面向里，磁感应强度大小为B，电容器的电容为C，金属轨道和导体棒的电阻不计。现将开关拨向“1”，导体棒在水平向右的恒力F作用下由静止开始运动，经时间后，将开关S拨向“2”，再经时间t，导体棒恰好开始匀速向右运动。下列说法正确的是（　　）
A．开关拨向“1”时，金属棒做加速度逐渐减小的加速运动
B．开关拨向“2”时，金属棒可能先做加速度逐渐减小的减速运动
C．开关拨向“2”后，导体棒匀速运动的速率为
D．时刻电容器所带的电荷量为
【答案】BC
【解析】A．开关拨向“1”时，经过，电容器充电
流过电路的电流
对导体棒应用牛顿第二定律
代入电流
根据加速度的定义式得
加速度为定值，所以导体棒做匀加速直线运动，A错误；
B．开关拨向“2”时，某时刻导体棒受到的安培力表达式为
根据楞次定律可知安培力阻碍导体棒的运动，方向水平向左，若安培力大于，则导体棒做减速运动，根据牛顿第二定律
导体棒速度减小，加速度减小，所以导体棒可能做加速度减小的减速运动，B正确；
C．开关拨向“2”后，导体棒速度稳定，导体棒受力平衡，则
解得
C正确；
D．导体棒做匀加速直线运动，经过时间，导体棒产生的电动势
此时电容器的带电量
D错误。
故选BC。
【典例2】半径为a的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度为B＝0.2T，磁场方向垂直纸面向里，半径为b的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，其中a＝0.4m，b＝0.6m，金属环上分别接有灯L1、L2，两灯的电阻均为R＝2Ω，一金属棒MN与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计．
(1)若棒以v＝5m/s的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径OO′的瞬时(如图1所示)，MN中的电动势和流过灯L1的电流．
(2)撤去中间的金属棒MN，将右面的半圆环OL2O′以OO′为轴向上翻转90°，若此时磁场随时间均匀变化，其变化率为＝T/s，求L1的功率．
解题指导　审题时注意分析：棒滑过圆环直径OO′的瞬时，导体棒的有效切割长度是多大？感应电动势如何计算？电路结构是怎样的？将右面的半圆环翻转90°后，产生感应电动势的有效面积是多大？感应电动势如何计算？电路结构是怎样的？
(1)棒滑过圆环直径OO′的瞬时，MN中的电动势E1＝2Bav＝0.8 V
等效电路如图甲所示，
流过灯L1的电流I1＝＝0.4 A.
(2)撤去中间的金属棒MN，将右面的半圆环OL2O′以OO′为轴向上翻转90°，半圆环OL1O′中产生感应电动势，相当于电源，灯L2为外电路，等效电路如图乙所示，
感应电动势E2＝＝·＝0.32 V
L1的功率P1＝()2＝1.28×10－2 W.
答案　(1)0.8V　0.4A　(2)1.28×10－2W
题型二　导体切割磁感线产生感应电动势
1.大小计算：
切割方式 感应电动势的表达式
垂直切割 E＝Blv
倾斜切割 E＝Blvsin θ，其中θ为v与B的夹角
旋转切割(以一端为轴) E＝Bl2ω
说明　(1)导体与磁场方向垂直；(2)磁场为匀强磁场.
2.方向判断：(1)把产生感应电动势的那部分电路或导体当作电源的内电路，那部分导体相当于电源.(2)若电路是不闭合的，则先假设有电流通过，然后应用楞次定律或右手定则判断出电流的方向.(3)电源内部电流的方向是由负极(低电势)流向正极(高电势)，外电路顺着电流方向每经过一个电阻电势都要降低.
类型1　平动切割磁感线
【典例3】　(多选)(2017·全国卷Ⅱ·20)两条平行虚线间存在一匀强磁场，磁感应强度方向与纸面垂直.边长为0.1 m、总电阻为0.005 Ω的正方形导线框abcd位于纸面内，cd边与磁场边界平行，如图甲所示.已知导线框一直向右做匀速直线运动，cd边于t＝0时刻进入磁场.线框中感应电动势随时间变化的图线如图乙所示(感应电流的方向为顺时针时，感应电动势取正).下列说法正确的是(　　)
A.磁感应强度的大小为0.5 T
B.导线框运动的速度的大小为0.5 m/s
C.磁感应强度的方向垂直于纸面向外
D.在t＝0.4 s至t＝0.6 s这段时间内，导线框所受的安培力大小为0.1 N
【答案】　BC
【解析】　由E－t图象可知，导线框经过0.2 s全部进入磁场，则速度v＝＝ m/s＝0.5 m/s，选项B正确；由题图乙可知，E＝0.01 V，根据E＝Blv得，B＝＝ T＝0.2 T，选项A错误；根据右手定则及正方向的规定可知，磁感应强度的方向垂直于纸面向外，选项C正确；在t＝0.4 s至t＝0.6 s这段时间内，导线框中的感应电流I＝＝ A＝2 A, 所受的安培力大小为F＝BIl＝0.2×2×0.1 N＝0.04 N，选项D错误.
【典例4】(多选)如图所示，矩形线框abcd处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与线框平面垂直，线框ab长为2L，bc长为L，MN为垂直于ab并可在ab和cd上自由滑动的金属杆，且杆与ab和cd接触良好，abcd和MN上单位长度的电阻皆为r.让MN从ad处开始以速度v向右匀速滑动，设MN与ad之间的距离为x(0≤x≤2L)，则在整个过程中(　　)
A.当x＝0时，MN中电流最小
B.当x＝L时，MN中电流最小
C.MN中电流的最小值为
D.MN中电流的最大值为
【答案】　BCD
【解析】　MN中产生的感应电动势为E＝BLv，MN中电流I＝＝＝，当x＝0或x＝2L时，MN中电流最大，MN中电流的最大值为Imax＝，当x＝L时，MN中电流最小，MN中电流的最小值为Imin＝，故A错误，B、C、D正确.
类型2　转动切割磁感线
【典例5】 (2018·全国卷Ⅰ·17)如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心.轨道的电阻忽略不计.OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好.空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ).在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则等于(　　)
A. B. C. D.2
【答案】　B
【解析】　在过程Ⅰ中，根据法拉第电磁感应定律，有E1＝＝
根据闭合电路欧姆定律，有I1＝
且q1＝I1Δt1
在过程Ⅱ中，有E2＝＝
I2＝
q2＝I2Δt2
又q1＝q2，即＝所以＝.
【典例6】(多选)法拉第圆盘发电机的示意图如图9所示.铜圆盘安装在竖直的铜轴上，两铜片P、Q分别与圆盘的边缘和铜轴接触.圆盘处于方向竖直向上的匀强磁场B中.圆盘旋转时，关于流过电阻R的电流，下列说法正确的是(　　)
A.若圆盘转动的角速度恒定，则电流大小恒定
B.若从上向下看，圆盘顺时针转动，则电流沿a到b的方向流动
C.若圆盘转动方向不变，角速度大小发生变化，则电流方向可能发生变化
D.若圆盘转动的角速度变为原来的2倍，则电流在R上的热功率也变为原来的2倍
【答案】　AB
【解析】　将圆盘看成无数辐条组成，它们都在切割磁感线从而产生感应电动势和感应电流，则当圆盘顺时针(俯视)转动时，根据右手定则可知圆盘上感应电流从边缘流向中心，流过电阻的电流方向从a到b，B对；由法拉第电磁感应定律得感应电动势E＝BL＝BL2ω，I＝，ω恒定时，I大小恒定，ω大小变化时，I大小变化，方向不变，故A对，C错；由P＝I2R＝知，当ω变为原来的2倍时，P变为原来的4倍，D错.
题型三　自感现象
1.自感现象的四大特点
(1)自感电动势总是阻碍导体中原电流的变化.
(2)通过线圈中的电流不能发生突变，只能缓慢变化.
(3)电流稳定时，自感线圈相当于普通导体.
(4)线圈的自感系数越大，自感现象越明显，自感电动势只是延缓了过程的进行，但它不能使过程停止，更不能使过程反向.
2.自感中“闪亮”与“不闪亮”问题
与线圈串联的灯泡 与线圈并联的灯泡
电路图
通电时 电流逐渐增大，灯泡逐渐变亮 电流突然增大，然后逐渐减小达到稳定
断电时 电流逐渐减小，灯泡逐渐变暗，电流方向不变 电路中稳态电流为I1、I2： ①若I2≤I1，灯泡逐渐变暗； ②若I2＞I1，灯泡闪亮后逐渐变暗. 两种情况下灯泡中电流方向均改变
【典例7】如图所示，图甲和图乙是教材中演示自感现象的两个电路图，L1和L2为电感线圈.实验时，断开开关S1瞬间，灯A1突然闪亮，随后逐渐变暗；闭合开关S2，灯A2逐渐变亮.而另一个相同的灯A3立即变亮，最终A2与A3的亮度相同.下列说法正确的是(　　)
A.图甲中，A1与L1的电阻值相同
B.图甲中，闭合S1，电路稳定后，A1中电流大于L1中电流
C.图乙中，变阻器R与L2的电阻值相同
D.图乙中，闭合S2瞬间，L2中电流与变阻器R中电流相等
【答案】　C
【解析】　断开开关S1瞬间，线圈L1产生自感电动势，阻碍电流的减小，通过L1的电流反向通过A1，灯A1突然闪亮，随后逐渐变暗，说明IL1>IA1，即RL1【典例8】如图所示的电路，开关闭合，电路处于稳定状态，在某时刻t1突然断开开关S，则通过电阻R1中的电流I1随时间变化的图线可能是下图中的(　　)
【答案】　D
【解析】　当断开开关，原来通过R1的电流立即消失，由于电磁感应，线圈L产生自感电动势阻碍自身电流变化，产生的感应电流流过电阻，其方向与原来流过电阻R1的电流方向相反，慢慢减小最后为0，故D正确.
题型四　涡流　电磁阻尼和电磁驱动
电磁阻尼与电磁驱动的比较
电磁阻尼 电磁驱动
不 同 点 成因 由于导体在磁场中运动而产生感应电流，从而使导体受到安培力 由于磁场运动引起磁通量的变化而产生感应电流，从而使导体受到安培力
效果 安培力的方向与导体运动方向相反，阻碍导体运动 导体受安培力的方向与导体运动方向相同，推动导体运动
能量 转化 导体克服安培力做功，其他形式的能转化为电能，最终转化为内能 由于电磁感应，磁场能转化为电能，通过安培力做功，电能转化为导体的机械能，从而对外做功
相同点 两者都是电磁感应现象，都遵循楞次定律，都是安培力阻碍引起感应电流的导体与磁场间的相对运动
【典例9】扫描隧道显微镜(STM)可用来探测样品表面原子尺度上的形貌.为了有效隔离外界振动对STM的扰动，在圆底盘周边沿其径向对称地安装若干对紫铜薄板，并施加磁场来快速衰减其微小振动，如图所示.无扰动时，按下列四种方案对紫铜薄板施加恒磁场；出现扰动后，对于紫铜薄板上下及其左右振动的衰减最有效的方案是(　　)
【答案】　A
【解析】　感应电流产生的条件是闭合回路中的磁通量发生变化.在A图中，系统振动时，紫铜薄板随之上下及左右振动，在磁场中的部分有时多有时少，磁通量发生变化，产生感应电流，受到安培力，阻碍系统的振动；在B图中，只有紫铜薄板向左振动才产生感应电流，而上下振动无感应电流产生；在C图中，无论紫铜薄板上下振动还是左右振动，都不会产生感应电流；在D图中，只有紫铜薄板左右振动才产生感应电流，而上下振动无感应电流产生，故选项A正确，B、C、D错误.
【典例10】如图所示，关于涡流的下列说法中错误的是(　　)
A.真空冶炼炉是利用涡流来熔化金属的装置
B.家用电磁炉锅体中的涡流是由恒定磁场产生的
C.阻尼摆摆动时产生的涡流总是阻碍其运动
D.变压器的铁芯用相互绝缘的硅钢片叠成能减小涡流
【答案】　B
热身训练
1.如图所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导轨之间接有电阻R。金属棒ab与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。现使磁感应强度随时间均匀减小，ab始终保持静止，下列说法正确的是（ ）
A．ab中的感应电流方向由b到a
B．ab中的感应电流逐渐减小
C．ab所受的安培力保持不变
D．ab所受的静摩擦力逐渐减小
【答案】D
【解析】导体棒ab、电阻R、导轨构成闭合回路，磁感应强度均匀减小（为一定值），则闭合回路中的磁通量减小，根据楞次定律，可知回路中产生顺时针方向的感应电流，ab中的电流方向由a到b，故A 错误；根据法拉第电磁感应定律，感应电动势，回路面积S不变，即感应电动势为定值，根据欧姆定律，所以ab中的电流大小不变，故B错误；安培力，电流大小不变，磁感应强度减小，则安培力减小，故C错误；导体棒处于静止状态，所受合力为零，对其受力分析，水平方向静摩擦力f与安培力F等大反向，安培力减小，则静摩擦力减小，故D正确。
【名师点拨】本题应从电磁感应现象入手，熟练应用法拉第电磁感应定律和楞次定律。
2．如图所示，用粗细均匀，电阻率也相同的导线绕制的直角边长为l或2l的四个闭合导体线框a、b、c、d，以相同的速度匀速进入右侧匀强磁场，在每个线框刚进入磁场时，M、N两点间的电压分别为Ua、Ub、Uc和Ud，下列判断正确的是(　　)
A．Ua【答案】．B　
【解析】由电阻定律，各个线框的电阻分别为Ra＝ρ，Rb＝ρ、Rc＝ρ、Rd＝ρ，设线框刚进入磁场时的速度为v，各线框MN边有效切割长度分别为l、l、2l、2l，各线框MN边的内阻分别为ra＝ρ、rb＝ρ、rc＝ρ、rd＝ρ，则各边产生的感应电动势分别为Ea＝Blv、Eb＝Blv、Ec＝2Blv、Ed＝2Blv，由闭合电路的欧姆定律知，各线框中的感应电流分别为Ia＝、Ib＝、Ic＝、Id＝，M、N两点间的电压分别为Ua＝Ea－Iara、Ub＝Eb－Ibrb、Uc＝Ec－Icrc、Ud＝Ed－Idrd，分别代入数据，可知Ua3．（多选）如图所示，相距L的两平行光滑金属导轨MN、PQ间接有两定值电阻R1和R2，它们的阻值均为R。导轨间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现有一根质量为m、电阻也为R的金属棒在恒力F的作用下由静止开始运动，运动距离x时恰好达到稳定速度v。运动过程中金属棒与导轨始终接触良好，则在金属棒由静止开始运动到速度达到稳定的过程中(　　)
A．电阻R1上产生的焦耳热为Fx－mv2 B．电阻R1上产生的焦耳热为Fx－mv2
C．通过电阻R1的电荷量为 D．通过电阻R1的电荷量为
【答案】．AD　
【解析】金属棒由静止运动到速度达到稳定过程，利用功能关系得，Fx＋W安＝mv2，－W安＝Q总，所以Q总＝Fx－mv2，金属棒上的电流是R1的两倍，由Q＝I2Rt可知，金属棒消耗的焦耳热是每个定值电阻消耗的焦耳热的4倍，即QR1＝Q总，所以A正确，B错误；又由电荷量q＝，ΔΦ＝BLx，R总＝R，qR1＝q可知，qR1＝，C错误，D正确。
4．（多选）如图所示，两根等高光滑的圆弧轨道半径为r、间距为L，轨道的电阻不计。在轨道的顶端连有阻值为R的电阻，整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B。现有一根长度稍大于L、电阻不计的金属棒从轨道的最低位置cd开始，在拉力作用下以速率v0沿轨道向上做匀速圆周运动至ab处，则该过程中(　　)
A．通过R的电流方向为f→R→e B．通过R的电流方向为e→R→f
C．R上产生的热量为r D．通过R的电荷量为
【答案】．BC　
【解析】由右手定则可知，电流方向为逆时针方向，A错误，B正确；通过R的电荷量q＝＝，D错误；金属棒产生的瞬时感应电动势E＝BLv0cos t，有效值E有＝，R上产生的热量Q＝t＝·＝，C正确。
5.一个半径为r1、阻值为R、匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R1连接成如图 （a）所示的回路。在线圈中半径为r2的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于线圈平面向里，磁感应强度B随时间t变化的关系如图（b）所示，导线电阻忽略不计，则流过R1的电流大小与ab两点电势高低判断正确的是
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【解析】由楞次定律可判断通过电阻R1上的电流方向为从b到a，所以；
由图(b)可知，0至t0时间内，磁感应强度的变化率： ①
由法拉第电磁感应定律有： ②
而 ③
由闭合电路欧姆定律有： ④
联立以上各式解得,通过电阻R1上的电流大小为： ⑤
故选D.
6.如图甲所示，导体棒MN置于水平导轨上，PQMN所围的面积为S，PQ之间有阻值为R的电阻，不计导轨和导体棒的电阻．导轨所在区域内存在沿竖直方向的匀强磁场，规定磁场方向竖直向上为正，在0～2t0时间内磁感应强度的变化情况如图乙所示，导体棒MN始终处于静止状态．下列说法正确的是（ ）
A．在0～t0和t0～2t0时间内，导体棒受到的导轨的摩擦力方向相同
B．在t0～2t0时间内，通过电阻R的电流大小为
C．在t0～2t0时间内，通过电阻R的电荷量为
D．在0～2t0时间内，回路中产生的焦耳热为Q=
【答案】D
【解析】导体棒MN始终静止，与导轨围成的线框面积不变，根据法拉第电磁感应定律可得感应电动势：
即感应电动势与B—t图象斜率成正比。
A. 0～t0时间内磁通量在减小，根据楞次定律推论知导体棒有向右运动的趋势，摩擦力水平向左。t0～2t0时间内磁通量增大，同理可判断导体棒有向左运动趋势，摩擦力水平向右，选项A错误；
B. 0～t0时间内的感应电流
t0～2t0时间内的感应电流
选项B错误；
C.在t0～2t0时间内，通过电阻R的电荷量
选项C错误；
D.由Q=I2Rt得
选项D正确。
故选D。
7.如图所示，虚线框内存在均匀变化的匀强磁场，三个电阻R1、R2、R3的阻值之比为1∶2∶3，导线的电阻不计．当S1、S2闭合，S3断开时，闭合回路中感应电流为I；当S2、S3闭合，S1断开时，闭合回路中感应电流为5I；当S1、S3闭合，S2断开时，闭合回路中感应电流为(　　)
A．0 B．4I C．6I D．7I
【答案】D
【解析】因为R1：R2：R3=1：2：3，可以设R1=R，R2=2R，R3=3R；
由电路图可知，当S1、S2闭合，S3断开时，电阻R1与R2组成闭合回路，设此时感应电动势是E1，由欧姆定律可得：；
当S2、S3闭合，S1断开时，电阻R2与R3组成闭合回路，设感应电动势为E2，由欧姆定律可得：；
当S1、S3闭合，S2断开时，电阻R1与R3组成闭合回路，此时感应电动势，则此时的电流，故D正确，ABC错误；
故选D．
【名师点拨】分析清楚电路结构、熟练应用欧姆定律是正确解题的关键；要注意在三种电路情况下，产生的感应电动势不同．
8.如图所示，PQ、MN是放置在水平面内的光滑导轨，GH是长度为L、电阻为r的导体棒，其中点与一端固定的轻弹簧连接，轻弹簧的劲度系数为k．导体棒处在方向向下、磁感应强度为B的匀强磁场中．图中E是电动势为E，内阻不计的直流电源，电容器的电容为C．闭合开关，待电路稳定后，则有（ ）
A．导体棒中电流为
B．轻弹簧的长度增加
C．轻弹簧的长度减少
D．电容器带电量为CR2
【答案】C
【解析】A．闭合开关，电路稳定后，则有导体棒中电流为，故A错误；
BC．对导体棒，由左手定则可知，受向左的安培力，故弹簧被压缩，由，解得：，故B错误，C正确；
D．电容器两端的电压为：，故电容器带电量为，故D错误。
故选C。
9.如图甲所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ被固定在水平面上，导轨间距l＝0.6m，两导轨的左端用导线连接电阻R1及理想电压表V，电阻为r＝2Ω的金属棒垂直于导轨静止在AB处；右端用导线连接电阻R2，已知R1＝2Ω，R2＝1Ω，导轨及导线电阻均不计．在矩形区域CDFE内有竖直向上的磁场，CE＝0.2m，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示．开始时电压表有示数，当电压表示数变为零后，对金属棒施加一水平向右的恒力F，使金属棒刚进入磁场区域时电压表的示数又变为原来的值，金属棒在磁场区域内运动的过程中电压表的示数始终保持不变．求：
　
(1)t＝0.1s时电压表的示数；
(2)恒力F的大小；
(3)从t＝0时刻到金属棒运动出磁场的过程中整个电路产生的热量．
【答案】　(1)0.3V　(2)0.27N　(3)0.09J
【解析】　(1)设磁场宽度为d＝CE，在0～0.2s的时间内，有E＝＝ld＝0.6V
此时，R1与金属棒并联后再与R2串联
R＝R并＋R2＝1Ω＋1Ω＝2Ω
U＝R并＝0.3V.
(2)金属棒进入磁场后，R1与R2并联后再与r串联，有I′＝＋＝0.45A
F安＝BI′l＝1.0×0.45×0.6N＝0.27N
由于金属棒进入磁场后电压表的示数始终不变，所以金属棒做匀速运动，有F＝F安
F＝0.27N.
(3)在0～0.2s的时间内有Q＝t＝0.036J
金属棒进入磁场后，有R′＝＋r＝Ω
E′＝I′R′＝1.2V
E′＝Blv，v＝2m/s
t′＝＝s＝0.1s
Q′＝E′I′t′＝0.054J
Q总＝Q＋Q′＝0.036J＋0.054J＝0.09J.03 电磁感应中的电路问题
基础知识
1．对电源的理解
在电磁感应现象中，产生感应电动势的那部分导体就是电源．如：切割磁感线的导体棒、内有磁通量变化的线圈等．这种电源将其他形式的能转化为电能．
判断感应电流和感应电动势的方向，都是利用“相当于电源”的部分根据右手定则或楞次定律判定的．实际问题中应注意外电路电流由高电势流向低电势，而内电路则相反．
2．对电路的理解
内电路是切割磁感线的导体或磁通量发生变化的线圈，外电路由电阻、电容器等电学元件组成．
在闭合电路中，“相当于电源”的导体两端的电压与真实的电源两端的电压一样，等于路端电压，而不等于感应电动势．
3．解决电磁感应中的电路问题三步曲
(1)确定电源．切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于电源，利用E＝n或E＝BLv求感应电动势的大小，利用右手定则或楞次定律判断感应电流方向．
(2)分析电路结构(内、外电路及外电路的串、并联关系)，画出等效电路图．
(3)利用电路规律求解．主要应用闭合电路欧姆定律及串、并联电路的基本性质等列方程求解．
典型例题
题型一　对法拉第电磁感应定律的理解及应用
1.求解感应电动势的常见情况
情景图
研究对象 回路(不一定闭合) 一段直导线(或等效成直导线) 绕一端垂直磁场转动的一段导体棒 绕与B垂直的轴匀速转动的导线框
表达式 E＝n E＝BLvsin θ E＝BL2ω E＝NBSωsin ωt(从中性面位置开始计时)
2.应用注意点
公式E＝n的应用，ΔΦ与B、S相关，可能是＝B，也可能是＝S，当B＝kt时，＝kS.
【典例1】如图所示，宽为L的水平光滑金属轨道上放置一根质量为m的导体棒，轨道左端通过一个单刀双掷开关与一个电容器和一个阻值为R的电阻连接，匀强磁场的方向垂直于轨道平面向里，磁感应强度大小为B，电容器的电容为C，金属轨道和导体棒的电阻不计。现将开关拨向“1”，导体棒在水平向右的恒力F作用下由静止开始运动，经时间后，将开关S拨向“2”，再经时间t，导体棒恰好开始匀速向右运动。下列说法正确的是（　　）
A．开关拨向“1”时，金属棒做加速度逐渐减小的加速运动
B．开关拨向“2”时，金属棒可能先做加速度逐渐减小的减速运动
C．开关拨向“2”后，导体棒匀速运动的速率为
D．时刻电容器所带的电荷量为
【答案】BC
【解析】A．开关拨向“1”时，经过，电容器充电
流过电路的电流
对导体棒应用牛顿第二定律
代入电流
根据加速度的定义式得
加速度为定值，所以导体棒做匀加速直线运动，A错误；
B．开关拨向“2”时，某时刻导体棒受到的安培力表达式为
根据楞次定律可知安培力阻碍导体棒的运动，方向水平向左，若安培力大于，则导体棒做减速运动，根据牛顿第二定律
导体棒速度减小，加速度减小，所以导体棒可能做加速度减小的减速运动，B正确；
C．开关拨向“2”后，导体棒速度稳定，导体棒受力平衡，则
解得
C正确；
D．导体棒做匀加速直线运动，经过时间，导体棒产生的电动势
此时电容器的带电量
D错误。
故选BC。
【典例2】半径为a的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度为B＝0.2T，磁场方向垂直纸面向里，半径为b的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，其中a＝0.4m，b＝0.6m，金属环上分别接有灯L1、L2，两灯的电阻均为R＝2Ω，一金属棒MN与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计．
(1)若棒以v＝5m/s的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径OO′的瞬时(如图1所示)，MN中的电动势和流过灯L1的电流．
(2)撤去中间的金属棒MN，将右面的半圆环OL2O′以OO′为轴向上翻转90°，若此时磁场随时间均匀变化，其变化率为＝T/s，求L1的功率．
解题指导　审题时注意分析：棒滑过圆环直径OO′的瞬时，导体棒的有效切割长度是多大？感应电动势如何计算？电路结构是怎样的？将右面的半圆环翻转90°后，产生感应电动势的有效面积是多大？感应电动势如何计算？电路结构是怎样的？
(1)棒滑过圆环直径OO′的瞬时，MN中的电动势E1＝2Bav＝0.8 V
等效电路如图甲所示，
流过灯L1的电流I1＝＝0.4 A.
(2)撤去中间的金属棒MN，将右面的半圆环OL2O′以OO′为轴向上翻转90°，半圆环OL1O′中产生感应电动势，相当于电源，灯L2为外电路，等效电路如图乙所示，
感应电动势E2＝＝·＝0.32 V
L1的功率P1＝()2＝1.28×10－2 W.
答案　(1)0.8V　0.4A　(2)1.28×10－2W
题型二　导体切割磁感线产生感应电动势
1.大小计算：
切割方式 感应电动势的表达式
垂直切割 E＝Blv
倾斜切割 E＝Blvsin θ，其中θ为v与B的夹角
旋转切割(以一端为轴) E＝Bl2ω
说明　(1)导体与磁场方向垂直；(2)磁场为匀强磁场.
2.方向判断：(1)把产生感应电动势的那部分电路或导体当作电源的内电路，那部分导体相当于电源.(2)若电路是不闭合的，则先假设有电流通过，然后应用楞次定律或右手定则判断出电流的方向.(3)电源内部电流的方向是由负极(低电势)流向正极(高电势)，外电路顺着电流方向每经过一个电阻电势都要降低.
类型1　平动切割磁感线
【典例3】　(多选)(2017·全国卷Ⅱ·20)两条平行虚线间存在一匀强磁场，磁感应强度方向与纸面垂直.边长为0.1 m、总电阻为0.005 Ω的正方形导线框abcd位于纸面内，cd边与磁场边界平行，如图甲所示.已知导线框一直向右做匀速直线运动，cd边于t＝0时刻进入磁场.线框中感应电动势随时间变化的图线如图乙所示(感应电流的方向为顺时针时，感应电动势取正).下列说法正确的是(　　)
A.磁感应强度的大小为0.5 T
B.导线框运动的速度的大小为0.5 m/s
C.磁感应强度的方向垂直于纸面向外
D.在t＝0.4 s至t＝0.6 s这段时间内，导线框所受的安培力大小为0.1 N
【答案】　BC
【解析】　由E－t图象可知，导线框经过0.2 s全部进入磁场，则速度v＝＝ m/s＝0.5 m/s，选项B正确；由题图乙可知，E＝0.01 V，根据E＝Blv得，B＝＝ T＝0.2 T，选项A错误；根据右手定则及正方向的规定可知，磁感应强度的方向垂直于纸面向外，选项C正确；在t＝0.4 s至t＝0.6 s这段时间内，导线框中的感应电流I＝＝ A＝2 A, 所受的安培力大小为F＝BIl＝0.2×2×0.1 N＝0.04 N，选项D错误.
【典例4】(多选)如图所示，矩形线框abcd处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与线框平面垂直，线框ab长为2L，bc长为L，MN为垂直于ab并可在ab和cd上自由滑动的金属杆，且杆与ab和cd接触良好，abcd和MN上单位长度的电阻皆为r.让MN从ad处开始以速度v向右匀速滑动，设MN与ad之间的距离为x(0≤x≤2L)，则在整个过程中(　　)
A.当x＝0时，MN中电流最小
B.当x＝L时，MN中电流最小
C.MN中电流的最小值为
D.MN中电流的最大值为
【答案】　BCD
【解析】　MN中产生的感应电动势为E＝BLv，MN中电流I＝＝＝，当x＝0或x＝2L时，MN中电流最大，MN中电流的最大值为Imax＝，当x＝L时，MN中电流最小，MN中电流的最小值为Imin＝，故A错误，B、C、D正确.
类型2　转动切割磁感线
【典例5】 (2018·全国卷Ⅰ·17)如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心.轨道的电阻忽略不计.OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好.空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ).在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则等于(　　)
A. B. C. D.2
【答案】　B
【解析】　在过程Ⅰ中，根据法拉第电磁感应定律，有E1＝＝
根据闭合电路欧姆定律，有I1＝
且q1＝I1Δt1
在过程Ⅱ中，有E2＝＝
I2＝
q2＝I2Δt2
又q1＝q2，即＝所以＝.
【典例6】(多选)法拉第圆盘发电机的示意图如图9所示.铜圆盘安装在竖直的铜轴上，两铜片P、Q分别与圆盘的边缘和铜轴接触.圆盘处于方向竖直向上的匀强磁场B中.圆盘旋转时，关于流过电阻R的电流，下列说法正确的是(　　)
A.若圆盘转动的角速度恒定，则电流大小恒定
B.若从上向下看，圆盘顺时针转动，则电流沿a到b的方向流动
C.若圆盘转动方向不变，角速度大小发生变化，则电流方向可能发生变化
D.若圆盘转动的角速度变为原来的2倍，则电流在R上的热功率也变为原来的2倍
【答案】　AB
【解析】　将圆盘看成无数辐条组成，它们都在切割磁感线从而产生感应电动势和感应电流，则当圆盘顺时针(俯视)转动时，根据右手定则可知圆盘上感应电流从边缘流向中心，流过电阻的电流方向从a到b，B对；由法拉第电磁感应定律得感应电动势E＝BL＝BL2ω，I＝，ω恒定时，I大小恒定，ω大小变化时，I大小变化，方向不变，故A对，C错；由P＝I2R＝知，当ω变为原来的2倍时，P变为原来的4倍，D错.
题型三　自感现象
1.自感现象的四大特点
(1)自感电动势总是阻碍导体中原电流的变化.
(2)通过线圈中的电流不能发生突变，只能缓慢变化.
(3)电流稳定时，自感线圈相当于普通导体.
(4)线圈的自感系数越大，自感现象越明显，自感电动势只是延缓了过程的进行，但它不能使过程停止，更不能使过程反向.
2.自感中“闪亮”与“不闪亮”问题
与线圈串联的灯泡 与线圈并联的灯泡
电路图
通电时 电流逐渐增大，灯泡逐渐变亮 电流突然增大，然后逐渐减小达到稳定
断电时 电流逐渐减小，灯泡逐渐变暗，电流方向不变 电路中稳态电流为I1、I2： ①若I2≤I1，灯泡逐渐变暗； ②若I2＞I1，灯泡闪亮后逐渐变暗. 两种情况下灯泡中电流方向均改变
【典例7】如图所示，图甲和图乙是教材中演示自感现象的两个电路图，L1和L2为电感线圈.实验时，断开开关S1瞬间，灯A1突然闪亮，随后逐渐变暗；闭合开关S2，灯A2逐渐变亮.而另一个相同的灯A3立即变亮，最终A2与A3的亮度相同.下列说法正确的是(　　)
A.图甲中，A1与L1的电阻值相同
B.图甲中，闭合S1，电路稳定后，A1中电流大于L1中电流
C.图乙中，变阻器R与L2的电阻值相同
D.图乙中，闭合S2瞬间，L2中电流与变阻器R中电流相等
【答案】　C
【解析】　断开开关S1瞬间，线圈L1产生自感电动势，阻碍电流的减小，通过L1的电流反向通过A1，灯A1突然闪亮，随后逐渐变暗，说明IL1>IA1，即RL1【典例8】如图所示的电路，开关闭合，电路处于稳定状态，在某时刻t1突然断开开关S，则通过电阻R1中的电流I1随时间变化的图线可能是下图中的(　　)
【答案】　D
【解析】　当断开开关，原来通过R1的电流立即消失，由于电磁感应，线圈L产生自感电动势阻碍自身电流变化，产生的感应电流流过电阻，其方向与原来流过电阻R1的电流方向相反，慢慢减小最后为0，故D正确.
题型四　涡流　电磁阻尼和电磁驱动
电磁阻尼与电磁驱动的比较
电磁阻尼 电磁驱动
不 同 点 成因 由于导体在磁场中运动而产生感应电流，从而使导体受到安培力 由于磁场运动引起磁通量的变化而产生感应电流，从而使导体受到安培力
效果 安培力的方向与导体运动方向相反，阻碍导体运动 导体受安培力的方向与导体运动方向相同，推动导体运动
能量 转化 导体克服安培力做功，其他形式的能转化为电能，最终转化为内能 由于电磁感应，磁场能转化为电能，通过安培力做功，电能转化为导体的机械能，从而对外做功
相同点 两者都是电磁感应现象，都遵循楞次定律，都是安培力阻碍引起感应电流的导体与磁场间的相对运动
【典例9】扫描隧道显微镜(STM)可用来探测样品表面原子尺度上的形貌.为了有效隔离外界振动对STM的扰动，在圆底盘周边沿其径向对称地安装若干对紫铜薄板，并施加磁场来快速衰减其微小振动，如图所示.无扰动时，按下列四种方案对紫铜薄板施加恒磁场；出现扰动后，对于紫铜薄板上下及其左右振动的衰减最有效的方案是(　　)
【答案】　A
【解析】　感应电流产生的条件是闭合回路中的磁通量发生变化.在A图中，系统振动时，紫铜薄板随之上下及左右振动，在磁场中的部分有时多有时少，磁通量发生变化，产生感应电流，受到安培力，阻碍系统的振动；在B图中，只有紫铜薄板向左振动才产生感应电流，而上下振动无感应电流产生；在C图中，无论紫铜薄板上下振动还是左右振动，都不会产生感应电流；在D图中，只有紫铜薄板左右振动才产生感应电流，而上下振动无感应电流产生，故选项A正确，B、C、D错误.
【典例10】如图所示，关于涡流的下列说法中错误的是(　　)
A.真空冶炼炉是利用涡流来熔化金属的装置
B.家用电磁炉锅体中的涡流是由恒定磁场产生的
C.阻尼摆摆动时产生的涡流总是阻碍其运动
D.变压器的铁芯用相互绝缘的硅钢片叠成能减小涡流
【答案】　B
热身训练
1.如图所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导轨之间接有电阻R。金属棒ab与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。现使磁感应强度随时间均匀减小，ab始终保持静止，下列说法正确的是（ ）
A．ab中的感应电流方向由b到a
B．ab中的感应电流逐渐减小
C．ab所受的安培力保持不变
D．ab所受的静摩擦力逐渐减小
2．如图所示，用粗细均匀，电阻率也相同的导线绕制的直角边长为l或2l的四个闭合导体线框a、b、c、d，以相同的速度匀速进入右侧匀强磁场，在每个线框刚进入磁场时，M、N两点间的电压分别为Ua、Ub、Uc和Ud，下列判断正确的是(　　)
A．Ua3．（多选）如图所示，相距L的两平行光滑金属导轨MN、PQ间接有两定值电阻R1和R2，它们的阻值均为R。导轨间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现有一根质量为m、电阻也为R的金属棒在恒力F的作用下由静止开始运动，运动距离x时恰好达到稳定速度v。运动过程中金属棒与导轨始终接触良好，则在金属棒由静止开始运动到速度达到稳定的过程中(　　)
A．电阻R1上产生的焦耳热为Fx－mv2 B．电阻R1上产生的焦耳热为Fx－mv2
C．通过电阻R1的电荷量为 D．通过电阻R1的电荷量为
4．（多选）如图所示，两根等高光滑的圆弧轨道半径为r、间距为L，轨道的电阻不计。在轨道的顶端连有阻值为R的电阻，整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B。现有一根长度稍大于L、电阻不计的金属棒从轨道的最低位置cd开始，在拉力作用下以速率v0沿轨道向上做匀速圆周运动至ab处，则该过程中(　　)
A．通过R的电流方向为f→R→e B．通过R的电流方向为e→R→f
C．R上产生的热量为r D．通过R的电荷量为
5.一个半径为r1、阻值为R、匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R1连接成如图 （a）所示的回路。在线圈中半径为r2的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于线圈平面向里，磁感应强度B随时间t变化的关系如图（b）所示，导线电阻忽略不计，则流过R1的电流大小与ab两点电势高低判断正确的是
A．，
B．，
C．，
D．，
6.如图甲所示，导体棒MN置于水平导轨上，PQMN所围的面积为S，PQ之间有阻值为R的电阻，不计导轨和导体棒的电阻．导轨所在区域内存在沿竖直方向的匀强磁场，规定磁场方向竖直向上为正，在0～2t0时间内磁感应强度的变化情况如图乙所示，导体棒MN始终处于静止状态．下列说法正确的是（ ）
A．在0～t0和t0～2t0时间内，导体棒受到的导轨的摩擦力方向相同
B．在t0～2t0时间内，通过电阻R的电流大小为
C．在t0～2t0时间内，通过电阻R的电荷量为
D．在0～2t0时间内，回路中产生的焦耳热为Q=
7.如图所示，虚线框内存在均匀变化的匀强磁场，三个电阻R1、R2、R3的阻值之比为1∶2∶3，导线的电阻不计．当S1、S2闭合，S3断开时，闭合回路中感应电流为I；当S2、S3闭合，S1断开时，闭合回路中感应电流为5I；当S1、S3闭合，S2断开时，闭合回路中感应电流为(　　)
A．0 B．4I C．6I D．7I
【名师点拨】分析清楚电路结构、熟练应用欧姆定律是正确解题的关键；要注意在三种电路情况下，产生的感应电动势不同．
8.如图所示，PQ、MN是放置在水平面内的光滑导轨，GH是长度为L、电阻为r的导体棒，其中点与一端固定的轻弹簧连接，轻弹簧的劲度系数为k．导体棒处在方向向下、磁感应强度为B的匀强磁场中．图中E是电动势为E，内阻不计的直流电源，电容器的电容为C．闭合开关，待电路稳定后，则有（ ）
A．导体棒中电流为
B．轻弹簧的长度增加
C．轻弹簧的长度减少
D．电容器带电量为CR2
9.如图甲所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ被固定在水平面上，导轨间距l＝0.6m，两导轨的左端用导线连接电阻R1及理想电压表V，电阻为r＝2Ω的金属棒垂直于导轨静止在AB处；右端用导线连接电阻R2，已知R1＝2Ω，R2＝1Ω，导轨及导线电阻均不计．在矩形区域CDFE内有竖直向上的磁场，CE＝0.2m，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示．开始时电压表有示数，当电压表示数变为零后，对金属棒施加一水平向右的恒力F，使金属棒刚进入磁场区域时电压表的示数又变为原来的值，金属棒在磁场区域内运动的过程中电压表的示数始终保持不变．求：
　
(1)t＝0.1s时电压表的示数；
(2)恒力F的大小；
(3)从t＝0时刻到金属棒运动出磁场的过程中整个电路产生的热量．

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