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北师大版九年级上册
第一章
特殊平行四边形
1.2 矩形的性质与判定(三)
一、复习回顾
矩形的性质
轴对称 中心对称图形,轴对称图形
边 对边平行且相等
角 四个角都是直角
对角线 相等 且互相平分
A
D
C
B
O
矩形的判定方法 几何语言
定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵□ABCD， ∠A=90°,
∴ 四边形ABCD是矩形
定理 对角线相等的平行四边形是矩形 ∵□ABCD， AC=BD,
∴ 四边形ABCD是矩形
定理 有三个角是直角的四边形是矩形 ∵四边形ABCD中，
∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
A
B
C
D
一、复习回顾
直角三角形的性质 几何语言
角 直角三角形两锐角互余 ∵∠ACB=90°,
∴ ∠A+∠B=90°,
边 两直角边的平方和等于斜边的平方 ∵∠ACB=90°,
∴ AB2+BC2=AB2
边 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∵∠ACB=90°,D是AB的中点
∴ CD=1/2 AB
角边关系 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半 ∵∠ACB=90°,∠A=90°
∴ BC=1/2 AB
一、复习回顾
A
C
B
D
例1：如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD 相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE.
求AE的长.
二、典例精析
(一)矩形的性质与判定综合运用
分析：求AE的长
(1)找背景：在Rt △ ADE中;
(2)搞特殊：
①勾股定理，求DE (即BD)
② ∠ADE为30°，即∠ABD=60°(△ AOB为等边三角形 )
(3)拉关系：AB=AO
解∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，AO= AC，BO= BD， ∠BAD=90°
∴ AO= BO
∵ED=3BE ，
∴BE=OE，又∵ AE⊥BD，
∴ AB=AO.
∴AB=AO=BO.
∴ ∠ABD=60°
∴ ∠ADB=90°- 60°= 30°
∴AE= AD= ×6=3
例2：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
(1)求证：四边形ADCE为矩形；
二、典例精析
（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADC=90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN=∠CAN，
∴∠DAE=90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形；
解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下：
由（1）知，四边形ADCE为矩形，
则AE=CD，AC=DE．
又∵AB=AC，BD=CD，
∴AB=DE，AE=BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明；
解：DF∥AB，DF= AB．理由如下：
∵四边形ADCE为矩形，
∴AF=CF，
∵BD=CD，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AB，DF= AB
(3)线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.
例3:如图，等腰△ABC中，AB=AC，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点．
求证：四边形EDNM是矩形．
二、典例精析
(二)矩形与三角形的性质综合运用
证明:∵D，E分别是AC，AB边上的中点，
∴ ED∥BC，ED= BC.
∵点M，N分别为线段BO和CO的中点,
∴MN∥BC，MN= BC. OM=BM，ON=CN，
∴ED∥MN，ED=MN.
∴四边形EDNM是平行四边形.
∴OE=ON，OD=OM.
∵AB=AC，BD，CE分别是AC，AB边上的中点∴BD=CE，即EO＋ON＋CN=BM＋OM＋OD.
∴3OE=3OM，即OE=OM.
又∵DM=2OM，EN=2OE，∴DM=EN.
∴四边形EDNM是矩形.
方法总结：
判定一个四边形是矩形时，要结合条件灵活选择方法．
(1)如果可以证明三个角都是直角，可直接证出矩形；
(2)如果只能证出一个角为直角或对角线相等，可以先证这个四边形是平行四边形，再用定义法或判定定理证明菱形．
★矩形的应用常跟三角形的性质结合
例4：如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE.
求证：(1)△ADE≌△CED；(2)DE∥AC.
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD.
又∵AC是折痕，
∴BC=CE=AD，AB=AE=CD.
在△ADE与△CED中，
CE=AD,AE=CD,DE=ED,
∴△ADE≌△CED(SSS).
二、典例精析
(三)折叠问题
例4：如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE. 求证：(1)△ADE≌△CED；(2)DE∥AC.
(2)∵△ADE≌△CED，∴∠EDC=∠DEA.
又∵△ACE与△ACB关于AC所在直线对称，
∴∠OAC=∠CAB.
∵∠OCA=∠CAB，
∴∠OAC=∠OCA.
∵∠AOC=∠DOE,
即180°-2∠OAC=180°-2∠DEA，∴∠OAC=∠DEA.
∴DE∥AC.
(三)折叠问题
二、典例精析
1. 如图，要使 平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）
AB=BC
AO=BO
∠1=∠2
AC⊥BD
B
三、课堂检测
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10 cm，则EH等于(　　)
A.8 cm　 B.10 cm　　 C.16 cm　　 D.24 cm
B
三、课堂检测
证明：(1)在 ABCD中，AB=CD，∠A=∠C.
∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB.
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠ABE=1/2∠ABD，∠CDF=1/2∠CDB.
∴∠ABE=∠CDF.
∵在△ABE和△CDF中，
∠A=∠C,AB=DC,∠ABE=∠CDF,
∴△ABE≌△CDF（ASA）.
3.如图，在 ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
三、课堂检测
3.如图，在 ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD. （2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形.
（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC.∴DE∥BF，DE=BF.
∴四边形DFBE是平行四边形.
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°.
∴平行四边形DFBE是矩形.
三、课堂检测
证明：(1) ∵ CN∥AB
∴ ∠DAC= ∠CAN, ∠ADN= ∠CND,
∵ MA＝MC.
∴ △AMD≌△CMN(AAS)
∴ AD＝CN，
又∵AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∴CD＝AN.　
4.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN；
三、课堂检测
证明：∵∠AMD＝2∠MCD，
∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，
∴∠MCD＝∠MDC，
∴MD＝MC，
由(1)知四边形ADCN是平行四边形，
∴MD＝MN＝MA＝MC，
∴AC＝DN，
∴四边形ADCN是矩形.　
4.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.
(2)若∠AMD＝2∠MCD,求证：四边形ADCN是矩形．　
三、课堂检测
5.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB=4，BC=8.求D’F的长
三、课堂检测
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°， CD=AB=4， AD ∥ BC
∴ ∠AFE＝∠CEF
由折叠的性质，得
∴ ∠AEF＝∠CEF，AE=CE
∠ D’=∠ D=90°，A D’=CD=4
∴ ∠AFE =∠AEF
∴AF= AE=CE
设AF= AE=CE=x,则BE=8-x
则Rt△ABE中，由勾股定理，得：
AB2+BE2= AE2 ,即42 +(8-x)2= x2，解得：x=5
∴ AF= 5, Rt△AFD’中,由勾股定理，得：
FD’ 2 = 52 -42 = 32 ，FD’=3
三、课堂检测
6.如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
解：(1)BD＝CD.理由如下：
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
在△AEF和△DEC中，
∠AFE＝∠DCE
AE＝DE.
∠AEF＝∠DEC
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF＝DC.
∵AF＝BD，
∴BD＝DC；
(2)当△ABC满足AB＝AC时，
四边形AFBD是矩形．理由如下：
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
∴AB＝AC，BD＝DC，
∴∠ADB＝90°.
∴四边形AFBD是矩形．
四、课堂小结
矩形的性质 矩形的判定方法
对称性 中心对称图形,轴对称图形 /
边 对边平行且相等 /
角 四个角都是直角 ①有一个角是直角的平行四边形是矩形
②有三个角是直角的四边形是矩形
对角线 相等 且互相平分 对角线相等的平行四边形是矩形
六、布置作业
课本P9 习题1.3 第1，2，3，4题
谢谢聆听

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