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05 电磁感应与力学的综合
基础知识
一、知识结构
二、知识点剖析
知识点1：　　电磁感应和电路的综合　
1．对电源的理解：在电磁感应现象中，产生感应电动势的那部分导体相当于电源。如：切割磁感线的导体棒、有磁通量变化的线圈等。
2．对电路的理解：内电路是切割磁感线的导体或磁通量发生变化的线圈；除电源外其余部分是外电路，外电路由电阻、电容等电学元件组成。在外电路中，电流从高电势处流向低电势处；在内电路中，电流则从低电势处流向高电势处。
3．与电路相联系的几个公式
(1)电源电动势：E＝n或E＝Blv。
(2)闭合电路欧姆定律：I＝。
电源的内电压：U内＝Ir。
电源的路端电压：U外＝IR＝E－Ir。
(3)消耗功率：P外＝IU，P总＝EI。
(4)电热：Q外＝I2Rt，Q总＝I2(R＋r)t。
知识点2：　　电磁感应现象中的动力学问题　
1．安培力的大小
2．安培力的方向
(1)先用右手定则或楞次定律确定感应电流方向，再用左手定则确定安培力方向。
(2)根据楞次定律，安培力方向一定和导体切割磁感线运动方向相反。
3．分析导体受力情况时，应做包含安培力在内的全面受力分析。
4．根据平衡条件或牛顿第二定律列方程。
知识点3：　　电磁感应现象中的能量问题　
1．电磁感应中的能量转化
闭合电路的部分导体做切割磁感线运动产生感应电流，通有感应电流的导体在磁场中受安培力。外力克服安培力做功，将其他形式的能转化为电能，通有感应电流的导体在磁场中受安培力作用或通过电阻发热，使电能转化为其他形式的能。
2．实质
电磁感应现象的能量转化，实质是其他形式的能和电能之间的转化。
典型例题
【典例1】如图所示，在光滑的水平面上方，有两个磁感应强度大小均为B、方向相反的水平匀强磁场，PQ为两个磁场的理想边界，磁场范围足够大。一个边长为a、质量为m、电阻为R的单匝正方形金属线框，以速度v沿垂直磁场方向从如图所示的实线位置Ⅰ开始向右运动，当线框运动到各有一半面积在两个磁场中的位置Ⅱ时，线框的速度为。则下列说法不正确的是(　　)
A．在位置Ⅱ时线框中的电功率为
B．此过程中回路产生的电能为mv2
C．在位置Ⅱ时线框的加速度大小为
D．此过程中通过导线横截面的电荷量为
【答案】　C
【解析】　线框经过位置Ⅱ时，线框左右两边均切割磁感线，所以此时的感应电动势E＝Ba×2＝Bav，故线框中的电功率P＝＝，A正确；线框从位置Ⅰ到位置Ⅱ的过程中，动能减少量ΔEk＝mv2－m·2＝mv2，根据能量守恒定律可知，此过程中回路产生的电能为mv2，B正确；线框在位置Ⅱ时，左右两边所受安培力大小均为F＝Ba＝，根据左手定则可知，线框左右两边所受安培力的方向均向左，故此时线框的加速度大小为a＝＝，C错误；由q＝Δt、＝、＝三式联立，解得q＝，线框在位置Ⅰ时其磁通量为Ba2，而线框在位置Ⅱ时其磁通量为零，故q＝，D正确。
【典例2】（多选）如图所示，固定的竖直光滑金属导轨间距为L，上端接有阻值为R的电阻，导轨处在方向水平且垂直于导轨平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m、电阻为r的导体棒与劲度系数为k的一端固定的轻弹簧相连放在导轨上，导轨的电阻忽略不计。初始时刻，弹簧处于伸长状态，其伸长量为x1＝，此时导体棒具有竖直向上的初速度v0。在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。已知重力加速度大小为g，则下列说法正确的是(　　)
A．初始时刻导体棒两端的电压为BLv0
B．初始时刻导体棒加速度的大小为2g
C．导体棒最终静止，此时弹簧的压缩量为
D．导体棒开始运动直到最终静止的过程中，回路产生的焦耳热为mv＋
【答案】　CD
【解析】　初始时导体棒以初速度v0向上运动，根据法拉第电磁感应定律，初始时的感应电动势E＝BLv0，通过电阻R的电流I＝＝，导体棒两端的电压U＝IR＝，A错误；初始时刻，导体棒受到竖直向下的重力mg、轻弹簧向下的拉力F＝kx1＝mg和竖直向下的安培力FA＝BIL作用，根据牛顿第二定律，mg＋F＋FA＝ma，解得导体棒的加速度大小a＝2g＋，一定大于2g，B错误；当最终导体棒静止时，导体棒中感应电流为零，所受安培力为零，在重力和轻弹簧的弹力作用下受力平衡，轻弹簧处于压缩状态，mg＝kx2，解得此时轻弹簧的压缩量x2＝，C正确；由于初始时刻和最终轻弹簧的形变量大小相同，轻弹簧的弹性势能相等，重力做功mg(x1＋x2)，导体棒动能减少mv，根据能量守恒定律和功能关系可知，导体棒从开始运动直到最终静止的过程中，回路产生的焦耳热为Q＝mv＋，D正确。
【典例3】如图所示，光滑且足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在竖直平面内，两导轨间的距离为L＝1 m，导轨间连接的定值电阻R＝3 Ω，导轨上放一质量为m＝0.1 kg的金属杆ab，金属杆始终与导轨垂直且接触良好，导轨间杆的电阻r＝1 Ω，其余电阻不计，整个装置处于磁感应强度为B＝1 T的匀强磁场中，磁场的方向垂直导轨平面向里，重力加速度g取10 m/s2。现让金属杆从MP水平位置由静止释放，忽略空气阻力的影响。
(1)求金属杆的最大速度；
(2)若从金属杆开始下落到刚好达到最大速度的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q＝0.6 J，此时金属杆下落的高度为多少？
(3)达到(1)问所求最大速度后，为使ab杆中不产生感应电流，从该时刻开始，磁感应强度B′应怎样随时间t变化？推导这种情况下B′与t的关系式。
【答案】　(1)4 m/s　(2)1.6 m　(3)B′＝ T
【解析】　(1)设金属杆的最大速度为vm，此时安培力与重力平衡，即F安＝mg
又F安＝BIL
E＝BLvm
I＝
联立解得mg＝
解得vm＝4 m/s。
(2)回路中产生的总焦耳热Q总＝Q
由能量守恒定律得mgh＝mv＋Q总
联立解得金属杆下落的高度h＝1.6 m。
(3)要使ab杆中不产生感应电流，应使穿过回路的磁通量不发生变化，在该时刻，穿过回路的磁通量Φ1＝BLh
t时刻的磁通量为Φ2＝B′L
由Φ1＝Φ2得B′＝
代入数据得B′＝(T)。
【典例4】如图所示，平行光滑金属导轨由水平部分和倾斜部分平滑连接而成。导轨水平部分的矩形区域MNQP内存在方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.50 T。在距离磁场左边界d＝0.40 m处垂直导轨放置导体棒a，在倾斜导轨高h＝0.2 m处垂直于导轨放置导体棒b。将b由静止释放，最终a以1 m/s的速度离开磁场右边界。已知轨道间距L＝0.20 m。两棒质量均为0.01 kg，两棒电阻均为0.1 Ω，不计导轨电阻。导体棒在运动过程中始终垂直于导轨且接触良好。g取10 m/s2。忽略磁场边界效应。求：
(1)安培力对导体棒a做的功；
(2)导体棒a刚出磁场时，b的速度大小及两棒之间的距离；
(3)导体棒b的整个运动过程中，安培力对b做的功。
【答案】　(1)0.005 J　(2)1 m/s　0.2 m　(3)－0.02 J
【解析】　(1)导体棒a在安培力的作用下由静止向右加速运动，根据动能定理，安培力对导体棒a做的功
W1＝mv＝0.005 J。
(2)导体棒b在倾斜部分运动时，由机械能守恒定律有
mgh＝mv
得v0＝2 m/s
导体棒b进入磁场与导体棒a通过磁场相互作用，直到导体棒a出磁场，由动量守恒定律有
mv0＝mv1＋mv2
得v2＝1 m/s，即导体棒a出磁场时，两棒已获得共同速度
此过程中，对导体棒b运用动量定理有
－BLΔt＝mv2－mv0
q＝Δt＝
得Δx＝0.2 m
两棒之间的距离为
x1＝d－Δx＝(0.4－0.2) m＝0.2 m。
(3)导体棒b进入磁场与导体棒a通过磁场相互作用后获得共同速度的过程中，安培力对导体棒b做的功
W2＝mv－mv＝－0.015 J
导体棒a从磁场中出来时，导体棒b与磁场右边界相距x2＝0.2 m
此时对导体棒b运用动量定理有－BLq′＝mv3－mv2，
又q′＝
得v3＝0，即导体棒b刚好停止在磁场右边界处，该过程中安培力对导体棒b做的功
W3＝－mv＝－0.005 J
因此整个运动过程中安培力对导体棒b做的功为
W总＝W2＋W3＝－0.02 J。
热身训练
1.如图，在水平桌面上放置两条相距l的平行光滑导轨ab与cd，阻值为R的电阻与不计电阻的导轨的a、c端相连．不计电阻的滑杆MN垂直于导轨并可在导轨上滑动．整个装置放于匀强磁场中，磁场的方向竖直向上，磁感应强度的大小为B.滑杆的中点系一不可伸长的轻绳，绳绕过固定在桌边的光滑轻滑轮后，与一质量为m的物块相连，绳处于拉直状态．若从静止开始释放物块，用i表示回路中的感应电流，g表示重力加速度，则在物块下落过程中物块的速度不可能(　　)
A． 小于
B． 等于
C． 小于
D． 等于
【答案】C
【解析】最大速度时，mg＝F＝，v＝，A、B可能．在下落过程中物块的重力势能转化为物块和滑杆的动能和电路的电能，mgv>i2R，得v>，当匀速时v＝，故D可能，C不可能．
2.如图所示，质量为m、高为h的矩形导线框在竖直面内自由下落，其上下两边始终保持水平，途中恰好匀速穿过一有理想边界、高亦为h的匀强磁场区域，线框在此过程中产生的内能为(　　)
A．mgh
B． 2mgh
C． 大于mgh而小于2mgh
D． 大于2mgh
【答案】B
【解析】因线框匀速穿过磁场，在穿过磁场的过程中合外力做功为零，克服安培力做功为2mgh，产生的内能亦为2mgh.故选B.
3.如图所示，匀强磁场方向竖直向下，磁感应强度为B.正方形金属框abcd可绕光滑轴OO′转动，边长为L，总电阻为R，ab边质量为m，其他三边质量不计，现将abcd拉至水平位置，并由静止释放，经时间t到达竖直位置，产生热量为Q，若重力加速度为g，则ab边在最低位置所受安培力大小等于(　　)
A．
B．BL
C．
D．
【答案】D
【解析】由能量守恒得：mgL＝Q＋mv2①
F＝BIL②
I＝③
由①②③得：F＝，故选项D正确．
4.光滑曲面与竖直平面的交线是抛物线，如图所示，抛物线的方程为y＝x2，其下半部处在一个水平方向的匀强磁场中，磁场的上边界是y＝a的直线(图中的虚线所示)，一个质量为m的小金属块从抛物线y＝b(b＞a)处以速度v沿抛物线下滑，假设抛物线足够长，则金属块在曲面上滑动的过程中产生的焦耳热总量是(　　)
A．mgb
B．mv2
C．mg(b－a)
D．mg(b－a)＋mv2
【答案】D
【解析】金属块在进入磁场或离开磁场的过程中，穿过金属块的磁通量发生变化，产生电流，进而产生焦耳热，最后，金属块在高为a的曲面上做往复运动，减少的机械能为mg(b－a)＋mv2，由能量转化和守恒定律可知，减少的机械能全部转化成焦耳热，即D选项正确．
5.如图所示，一矩形线框以竖直向上的初速度进入只有一条水平边界的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，进入磁场后上升一段高度又落下离开磁场，运动中线框只受重力和安培力作用，线框在向上、向下经过图中1、2位置时的速率按时间顺序依次为v1、v2、v3和v4，则可以确定(　　)
A．v1＜v2
B．v2＜v3
C．v3＜v4
D．v4＜v1
【答案】D
【解析】由能量守恒定律可知，线框从进入磁场到离开磁场的过程中，有部分机械能转化为焦耳热，即机械能减小，则v4＜v1，D正确；而线框完全在磁场中运动时，由于磁通量不变，没有感应电流，故线框只受重力作用，机械能守恒，则v2＝v3，B错误；由楞次定律可知，线框进入磁场时受到的安培力方向竖直向下，重力方向竖直向下，因而做减速运动，故v1＞v2，A错误；线框离开磁场时受到的安培力方向竖直向上，重力方向竖直向下，二者大小关系不能确定，故v3、v4大小关系也不能确定，C错误．故选D.
6.如图所示，两根相距为l的平行直导轨ab、cd，b、d间连有一固定电阻R，导轨电阻可忽略不计．MN为放在ab和cd上的一导体杆，与ab垂直，其电阻也为R.整个装置处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于导轨所在平面(垂直纸面向里)．现对MN施力使它沿导轨方向以速度v水平向右做匀速运动．令U表示MN两端电压的大小，则(　　)
A．v＝Blv，流过固定电阻R的感应电流由b经R到d
B．v＝Blv，流过固定电阻R的感应电流由d经R到b
C．MN受到的安培力大小FA＝，方向水平向右
D．MN受到的安培力大小FA＝，方向水平向左
【答案】A
【解析】导体MN做切割磁感线运动，产生感应电动势，相当于一个内阻为R的电源，电路中电源电动势为E＝BLv，U表示路端电压，根据闭合回路欧姆定律可得：U＝E＝BLv，根据右手定则可得流过电阻的电流方向由b到d，A正确，B错误；根据公式F＝BIL可得MN受到的安培力大小F＝BIL＝，方向向左，C、D错误．
7.如图所示，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，二者平滑连接．右端接一个阻值为R的定值电阻．平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场．质量为m、电阻也为R的金属棒从高度为h处静止释放，到达磁场右边界处恰好停止．已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨间接触良好．则金属棒穿过磁场区域的过程中(　　)
A． 流过金属棒的最大电流为
B． 通过金属棒的电荷量为
C． 克服安培力所做的功为mgh
D． 金属棒产生的焦耳热为(mgh－μmgd)
【答案】D
【解析】金属棒下滑到底端时的速度为v＝，感应电动势E＝BLv，所以流过金属棒的最大电流为I＝；通过金属棒的电荷量为q＝＝；克服安培力所做的功为W＝mgh－μmgd；电路中产生的焦耳热等于克服安培力做的功，所以金属棒产生的焦耳热为(mgh－μmgd)，选项D正确．
8.如图所示，足够长的U型光滑金属导轨平面与水平面成θ角(0<θ<90°)，其中MN与PQ平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计．金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，ab棒接入电路的电阻为R，当流过ab棒某一横截面的电荷量为q时，棒的速度大小为v，则金属棒ab在这一过程中(　　)
A． 运动的平均速度大小为v
B． 下滑的位移大小为
C． 产生的焦耳热为qBLv
D． 受到的最大安培力大小为sinθ
【答案】B
【解析】流过ab棒某一横截面的电荷量q＝·t＝·t＝，ab棒下滑的位移x＝，其平均速度＝，而棒下滑过程中做加速度减小的加速运动，故平均速度不等于v，A错误，B正确；由能量守恒mgxsinθ＝Q＋mv2，产生的焦耳热Q＝mgxsinθ－mv2＝mgsinθ－mv2，C错误；当mgsinθ＝时v最大，安培力最大，即F安m＝mgsinθ＝，D错误．
9.如图所示，水平放置的两根金属导轨位于方向垂直于导轨平面并指向纸里的匀强磁场中．导轨上有两根小金属导体杆ab和cd，其质量均为m，能沿导轨无摩擦地滑动．金属杆ab和cd与导轨及它们间的接触等所有电阻可忽略不计．开始时ab和cd都是静止的，现突然让cd杆以初速度v向右开始运动，如果两根导轨足够长，则(　　)
A．cd始终做减速运动，ab始终做加速运动，并将追上cd
B．cd始终做减速运动，ab始终做加速运动，但追不上cd
C． 开始时cd做减速运动，ab做加速运动，最终两杆以相同速度做匀速运动
D． 磁场力对两金属杆做功的大小相等
【答案】C
【解析】让cd杆以初速度v向右开始运动，cd杆切割磁感线，产生感应电流，两杆受安培力作用，安培力对cd向左，对ab向右，所以ab从零开始加速，cd从v0开始减速．那么整个电路的感应电动势减小，所以cd杆将做加速度减小的减速运动，ab杆做加速度减小的加速运动，当两杆速度相等时，回路磁通量不再变化，回路中电流为零，两杆不再受安培力作用，将以相同的速度向右匀速运动，故C正确，A、B错误．两导体杆中的电流始终相等，但由于通过的距离不相等，故磁场对两金属杆做功大小不相等，故D错误；故选C.
10.如图所示，abcd是一个质量为m、边长为L的正方形金属线框．如从图示位置自由下落，在下落h后进入磁感应强度为B的磁场，恰好做匀速直线运动，该磁场的宽度也为L.在这个磁场的正下方h＋L处还有一个未知磁场，金属线框abcd在穿过这个磁场时也恰好做匀速直线运动，那么下列说法正确的是(　　)
A． 未知磁场的磁感应强度是2B
B． 未知磁场的磁感应强度是B
C． 线框在穿过这两个磁场的过程中产生的电能为4mgL
D． 线框在穿过这两个磁场的过程中产生的电能为2mgL
【答案】C
【解析】设线框刚进入第一个磁场时速度大小为v1，那么mgh＝mv，v1＝.设线框刚进入第二个磁场时速度大小为v2，那么v－v＝2gh，v2＝v1，根据题意还可得到，mg＝，mg＝整理可得出Bx＝B，A、B两项均错；穿过两个磁场时都做匀速运动，把减少的重力势能都转化为电能，所以在穿过这两个磁场的过程中产生的电能为4mgL，C项正确，D项错．
11.(多选)如图所示，金属杆ab以恒定的速率v在光滑平行导轨上向右滑行，设整个电路中总电阻为R(恒定不变)，整个装置置于垂直纸面向里的匀强磁场中，下列叙述正确的是(　　)
A．ab杆中的电流与速率v成正比
B． 磁场作用于ab杆的安培力与速率v成正比
C． 电阻R上产生的热功率与速率v成正比
D． 外力对ab杆做功的功率与速率v成正比
【答案】AB
【解析】由E＝Blv和I＝得，I＝，所以安培力F＝BIl＝，电阻上产生的热功率P＝I2R＝，外力对ab做功的功率就等于回路产生的热功率．
12.如图所示，竖直放置的两根足够长平行金属导轨相距L，导轨间接有一阻值为R的电阻，质量为m、电阻为r的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触，且无摩擦，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，现将金属棒由静止释放，金属棒下落高度为h时开始做匀速运动，在此过程中(　　)
A． 导体棒的最大速度为
B． 通过电阻的电荷量为
C． 导体棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的热量
D． 重力和安培力对导体棒做功的代数和等于导体棒动能的增加量
【答案】BD
【解析】金属棒由静止释放后，当a＝0时，速度最大，即mg－BL＝0，解得vm＝，A项错误．此过程通过电阻的电荷量q＝Δt＝·Δt＝，B项正确．导体棒克服安培力做的功等于整个电路产生的热量，C项错误．由动能定理知对金属棒有ΔEk＝W重＋W安，D项正确．
13.如图所示，和是两条竖直固定的光滑平行金属导轨，和′′是用绝缘细线连接的两根金属杆，其质量分别为和2，用竖直向上、大小未知的外力作用在杆中点，使两杆水平静止，并刚好与导轨接触。整个装置处在磁感应强度为、方向垂直导轨平面向里的匀强磁场中，导轨足够长，间距为，电阻可忽略，两杆总电阻为，与导轨始终接触良好，重力加速度为。＝0时刻，将细线烧断，保持力不变。
(1)细线烧断后任意时刻，求两杆运动的速度大小之比；
(2)若杆运动至速度最大时发生的位移为，该过程中通过金属杆横截面的电荷量和电路中产生的焦耳热各为多少？
【答案】(1)2∶1　(2)　3mgs－
【解析】(1)以两杆为研究对象，初始两杆水平静止，则所受合外力为零，有F＝3mg
细线烧断后杆MN向上运动，杆M′N′向下运动，任意时刻，两杆中感应电流等大反向，所受安培力等大反向，故两杆所受合外力仍为零，动量守恒，有mv1－2mv2＝0
故两杆运动的速度大小之比为v1∶v2＝2∶1。
(2)设两杆的最大速度分别为v1m和v2m，根据系统动量守恒，有mv1m－2mv2m＝0
杆M′N′的最大速度为v2m＝v1m
此过程中杆M′N′的位移大小为s2＝s
该过程中穿过回路的磁通量变化量ΔΦ＝BL
通过金属杆横截面的电荷量q＝＝
该过程中安培力为变力，根据动能定理对杆MN，有WF－mgs－W安1＝mv1m2
对杆M′N′，有2mg·s－W安2＝×2m2
又WF＝3mgs
W安1＋W安2＝Q
当杆的速度最大时，对杆MN，有F－mg－F安1m＝0
而F＝3mg，F安1m＝BLIm
Im＝，E＝BL(v1m＋v2m)＝BLv1m
解得v1m＝
该过程电路中产生的焦耳热
Q＝3mgs－。
14.如图所示，PQ和MN是固定于倾角为30°斜面内的平行光滑金属轨道，轨道足够长，其电阻忽略不计。金属棒ab、cd放在轨道上，始终与轨道垂直且接触良好。金属棒ab的质量为2m、cd的质量为m，长度均为L、电阻均为R，两金属棒的长度恰好等于轨道的间距，并与轨道形成闭合回路。整个装置处在垂直斜面向上、磁感应强度为B的匀强磁场中，若锁定金属棒ab不动，使金属棒cd在与其垂直且沿斜面向上的恒力F＝2mg作用下，沿轨道向上做匀速运动。重力加速度为g。
(1)试推导论证：金属棒cd克服安培力做功的功率P安等于电路获得的电功率P电；
(2)设金属棒cd做匀速运动中的某时刻为0时刻，恒力大小变为F′＝1.5mg，方向不变，同时解锁、静止释放金属棒ab，直到t时刻金属棒ab开始做匀速运动。求：
①t时刻以后金属棒ab的热功率Pab；
②0～t时间内通过金属棒ab的电荷量q。
【答案】(1)见解析　(2)①　②
【解析】(1)设金属棒cd做匀速运动的速度为v，有E＝BLv
I＝
F安＝IBL
金属棒cd克服安培力做功的功率P安＝F安v
电路获得的电功率P电＝
解得P安＝，P电＝
所以P安＝P电。
(2)①金属棒ab做匀速运动，则有I1BL＝2mgsin 30°
金属棒ab的热功率Pab＝I12R
解得Pab＝。
②0时刻前F＝mgsin 30°＋F安
F安＝BIL
I＝
解得v＝
设t时刻以后金属棒ab做匀速运动的速度为v1，金属棒cd做匀速运动的速度为v2，
因F′＝1.5mg＝(2m＋m)gsin 30°，则由金属棒ab、cd组成的系统动量守恒，得
mv＝2mv1＋mv2
回路电流I1＝＝解得v1＝
0～t时间内对金属棒ab分析，设在电流为i的很短时间Δt内，速度的改变量为Δv，
由动量定理得BiLΔt－2mgsin 30°Δt＝2mΔv
等式两边累积求和得BLq－mgt＝2mv1
解得q＝。05 电磁感应与力学的综合
基础知识
一、知识结构
二、知识点剖析
知识点1：　　电磁感应和电路的综合　
1．对电源的理解：在电磁感应现象中，产生感应电动势的那部分导体相当于电源。如：切割磁感线的导体棒、有磁通量变化的线圈等。
2．对电路的理解：内电路是切割磁感线的导体或磁通量发生变化的线圈；除电源外其余部分是外电路，外电路由电阻、电容等电学元件组成。在外电路中，电流从高电势处流向低电势处；在内电路中，电流则从低电势处流向高电势处。
3．与电路相联系的几个公式
(1)电源电动势：E＝n或E＝Blv。
(2)闭合电路欧姆定律：I＝。
电源的内电压：U内＝Ir。
电源的路端电压：U外＝IR＝E－Ir。
(3)消耗功率：P外＝IU，P总＝EI。
(4)电热：Q外＝I2Rt，Q总＝I2(R＋r)t。
知识点2：　　电磁感应现象中的动力学问题　
1．安培力的大小
2．安培力的方向
(1)先用右手定则或楞次定律确定感应电流方向，再用左手定则确定安培力方向。
(2)根据楞次定律，安培力方向一定和导体切割磁感线运动方向相反。
3．分析导体受力情况时，应做包含安培力在内的全面受力分析。
4．根据平衡条件或牛顿第二定律列方程。
知识点3：　　电磁感应现象中的能量问题　
1．电磁感应中的能量转化
闭合电路的部分导体做切割磁感线运动产生感应电流，通有感应电流的导体在磁场中受安培力。外力克服安培力做功，将其他形式的能转化为电能，通有感应电流的导体在磁场中受安培力作用或通过电阻发热，使电能转化为其他形式的能。
2．实质
电磁感应现象的能量转化，实质是其他形式的能和电能之间的转化。
典型例题
【典例1】如图所示，在光滑的水平面上方，有两个磁感应强度大小均为B、方向相反的水平匀强磁场，PQ为两个磁场的理想边界，磁场范围足够大。一个边长为a、质量为m、电阻为R的单匝正方形金属线框，以速度v沿垂直磁场方向从如图所示的实线位置Ⅰ开始向右运动，当线框运动到各有一半面积在两个磁场中的位置Ⅱ时，线框的速度为。则下列说法不正确的是(　　)
A．在位置Ⅱ时线框中的电功率为
B．此过程中回路产生的电能为mv2
C．在位置Ⅱ时线框的加速度大小为
D．此过程中通过导线横截面的电荷量为
【答案】　C
【解析】　线框经过位置Ⅱ时，线框左右两边均切割磁感线，所以此时的感应电动势E＝Ba×2＝Bav，故线框中的电功率P＝＝，A正确；线框从位置Ⅰ到位置Ⅱ的过程中，动能减少量ΔEk＝mv2－m·2＝mv2，根据能量守恒定律可知，此过程中回路产生的电能为mv2，B正确；线框在位置Ⅱ时，左右两边所受安培力大小均为F＝Ba＝，根据左手定则可知，线框左右两边所受安培力的方向均向左，故此时线框的加速度大小为a＝＝，C错误；由q＝Δt、＝、＝三式联立，解得q＝，线框在位置Ⅰ时其磁通量为Ba2，而线框在位置Ⅱ时其磁通量为零，故q＝，D正确。
【典例2】（多选）如图所示，固定的竖直光滑金属导轨间距为L，上端接有阻值为R的电阻，导轨处在方向水平且垂直于导轨平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m、电阻为r的导体棒与劲度系数为k的一端固定的轻弹簧相连放在导轨上，导轨的电阻忽略不计。初始时刻，弹簧处于伸长状态，其伸长量为x1＝，此时导体棒具有竖直向上的初速度v0。在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。已知重力加速度大小为g，则下列说法正确的是(　　)
A．初始时刻导体棒两端的电压为BLv0
B．初始时刻导体棒加速度的大小为2g
C．导体棒最终静止，此时弹簧的压缩量为
D．导体棒开始运动直到最终静止的过程中，回路产生的焦耳热为mv＋
【答案】　CD
【解析】　初始时导体棒以初速度v0向上运动，根据法拉第电磁感应定律，初始时的感应电动势E＝BLv0，通过电阻R的电流I＝＝，导体棒两端的电压U＝IR＝，A错误；初始时刻，导体棒受到竖直向下的重力mg、轻弹簧向下的拉力F＝kx1＝mg和竖直向下的安培力FA＝BIL作用，根据牛顿第二定律，mg＋F＋FA＝ma，解得导体棒的加速度大小a＝2g＋，一定大于2g，B错误；当最终导体棒静止时，导体棒中感应电流为零，所受安培力为零，在重力和轻弹簧的弹力作用下受力平衡，轻弹簧处于压缩状态，mg＝kx2，解得此时轻弹簧的压缩量x2＝，C正确；由于初始时刻和最终轻弹簧的形变量大小相同，轻弹簧的弹性势能相等，重力做功mg(x1＋x2)，导体棒动能减少mv，根据能量守恒定律和功能关系可知，导体棒从开始运动直到最终静止的过程中，回路产生的焦耳热为Q＝mv＋，D正确。
【典例3】如图所示，光滑且足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在竖直平面内，两导轨间的距离为L＝1 m，导轨间连接的定值电阻R＝3 Ω，导轨上放一质量为m＝0.1 kg的金属杆ab，金属杆始终与导轨垂直且接触良好，导轨间杆的电阻r＝1 Ω，其余电阻不计，整个装置处于磁感应强度为B＝1 T的匀强磁场中，磁场的方向垂直导轨平面向里，重力加速度g取10 m/s2。现让金属杆从MP水平位置由静止释放，忽略空气阻力的影响。
(1)求金属杆的最大速度；
(2)若从金属杆开始下落到刚好达到最大速度的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q＝0.6 J，此时金属杆下落的高度为多少？
(3)达到(1)问所求最大速度后，为使ab杆中不产生感应电流，从该时刻开始，磁感应强度B′应怎样随时间t变化？推导这种情况下B′与t的关系式。
【答案】　(1)4 m/s　(2)1.6 m　(3)B′＝ T
【解析】　(1)设金属杆的最大速度为vm，此时安培力与重力平衡，即F安＝mg
又F安＝BIL
E＝BLvm
I＝
联立解得mg＝
解得vm＝4 m/s。
(2)回路中产生的总焦耳热Q总＝Q
由能量守恒定律得mgh＝mv＋Q总
联立解得金属杆下落的高度h＝1.6 m。
(3)要使ab杆中不产生感应电流，应使穿过回路的磁通量不发生变化，在该时刻，穿过回路的磁通量Φ1＝BLh
t时刻的磁通量为Φ2＝B′L
由Φ1＝Φ2得B′＝
代入数据得B′＝(T)。
【典例4】如图所示，平行光滑金属导轨由水平部分和倾斜部分平滑连接而成。导轨水平部分的矩形区域MNQP内存在方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.50 T。在距离磁场左边界d＝0.40 m处垂直导轨放置导体棒a，在倾斜导轨高h＝0.2 m处垂直于导轨放置导体棒b。将b由静止释放，最终a以1 m/s的速度离开磁场右边界。已知轨道间距L＝0.20 m。两棒质量均为0.01 kg，两棒电阻均为0.1 Ω，不计导轨电阻。导体棒在运动过程中始终垂直于导轨且接触良好。g取10 m/s2。忽略磁场边界效应。求：
(1)安培力对导体棒a做的功；
(2)导体棒a刚出磁场时，b的速度大小及两棒之间的距离；
(3)导体棒b的整个运动过程中，安培力对b做的功。
【答案】　(1)0.005 J　(2)1 m/s　0.2 m　(3)－0.02 J
【解析】　(1)导体棒a在安培力的作用下由静止向右加速运动，根据动能定理，安培力对导体棒a做的功
W1＝mv＝0.005 J。
(2)导体棒b在倾斜部分运动时，由机械能守恒定律有
mgh＝mv
得v0＝2 m/s
导体棒b进入磁场与导体棒a通过磁场相互作用，直到导体棒a出磁场，由动量守恒定律有
mv0＝mv1＋mv2
得v2＝1 m/s，即导体棒a出磁场时，两棒已获得共同速度
此过程中，对导体棒b运用动量定理有
－BLΔt＝mv2－mv0
q＝Δt＝
得Δx＝0.2 m
两棒之间的距离为
x1＝d－Δx＝(0.4－0.2) m＝0.2 m。
(3)导体棒b进入磁场与导体棒a通过磁场相互作用后获得共同速度的过程中，安培力对导体棒b做的功
W2＝mv－mv＝－0.015 J
导体棒a从磁场中出来时，导体棒b与磁场右边界相距x2＝0.2 m
此时对导体棒b运用动量定理有－BLq′＝mv3－mv2，
又q′＝
得v3＝0，即导体棒b刚好停止在磁场右边界处，该过程中安培力对导体棒b做的功
W3＝－mv＝－0.005 J
因此整个运动过程中安培力对导体棒b做的功为
W总＝W2＋W3＝－0.02 J。
热身训练
1.如图，在水平桌面上放置两条相距l的平行光滑导轨ab与cd，阻值为R的电阻与不计电阻的导轨的a、c端相连．不计电阻的滑杆MN垂直于导轨并可在导轨上滑动．整个装置放于匀强磁场中，磁场的方向竖直向上，磁感应强度的大小为B.滑杆的中点系一不可伸长的轻绳，绳绕过固定在桌边的光滑轻滑轮后，与一质量为m的物块相连，绳处于拉直状态．若从静止开始释放物块，用i表示回路中的感应电流，g表示重力加速度，则在物块下落过程中物块的速度不可能(　　)
A． 小于
B． 等于
C． 小于
D． 等于
2.如图所示，质量为m、高为h的矩形导线框在竖直面内自由下落，其上下两边始终保持水平，途中恰好匀速穿过一有理想边界、高亦为h的匀强磁场区域，线框在此过程中产生的内能为(　　)
A．mgh
B． 2mgh
C． 大于mgh而小于2mgh
D． 大于2mgh
3.如图所示，匀强磁场方向竖直向下，磁感应强度为B.正方形金属框abcd可绕光滑轴OO′转动，边长为L，总电阻为R，ab边质量为m，其他三边质量不计，现将abcd拉至水平位置，并由静止释放，经时间t到达竖直位置，产生热量为Q，若重力加速度为g，则ab边在最低位置所受安培力大小等于(　　)
A．
B．BL
C．
D．
4.光滑曲面与竖直平面的交线是抛物线，如图所示，抛物线的方程为y＝x2，其下半部处在一个水平方向的匀强磁场中，磁场的上边界是y＝a的直线(图中的虚线所示)，一个质量为m的小金属块从抛物线y＝b(b＞a)处以速度v沿抛物线下滑，假设抛物线足够长，则金属块在曲面上滑动的过程中产生的焦耳热总量是(　　)
A．mgb
B．mv2
C．mg(b－a)
D．mg(b－a)＋mv2
5.如图所示，一矩形线框以竖直向上的初速度进入只有一条水平边界的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，进入磁场后上升一段高度又落下离开磁场，运动中线框只受重力和安培力作用，线框在向上、向下经过图中1、2位置时的速率按时间顺序依次为v1、v2、v3和v4，则可以确定(　　)
A．v1＜v2
B．v2＜v3
C．v3＜v4
D．v4＜v1
6.如图所示，两根相距为l的平行直导轨ab、cd，b、d间连有一固定电阻R，导轨电阻可忽略不计．MN为放在ab和cd上的一导体杆，与ab垂直，其电阻也为R.整个装置处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于导轨所在平面(垂直纸面向里)．现对MN施力使它沿导轨方向以速度v水平向右做匀速运动．令U表示MN两端电压的大小，则(　　)
A．v＝Blv，流过固定电阻R的感应电流由b经R到d
B．v＝Blv，流过固定电阻R的感应电流由d经R到b
C．MN受到的安培力大小FA＝，方向水平向右
D．MN受到的安培力大小FA＝，方向水平向左
7.如图所示，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，二者平滑连接．右端接一个阻值为R的定值电阻．平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场．质量为m、电阻也为R的金属棒从高度为h处静止释放，到达磁场右边界处恰好停止．已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨间接触良好．则金属棒穿过磁场区域的过程中(　　)
A． 流过金属棒的最大电流为
B． 通过金属棒的电荷量为
C． 克服安培力所做的功为mgh
D． 金属棒产生的焦耳热为(mgh－μmgd)
8.如图所示，足够长的U型光滑金属导轨平面与水平面成θ角(0<θ<90°)，其中MN与PQ平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计．金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，ab棒接入电路的电阻为R，当流过ab棒某一横截面的电荷量为q时，棒的速度大小为v，则金属棒ab在这一过程中(　　)
A． 运动的平均速度大小为v
B． 下滑的位移大小为
C． 产生的焦耳热为qBLv
D． 受到的最大安培力大小为sinθ
9.如图所示，水平放置的两根金属导轨位于方向垂直于导轨平面并指向纸里的匀强磁场中．导轨上有两根小金属导体杆ab和cd，其质量均为m，能沿导轨无摩擦地滑动．金属杆ab和cd与导轨及它们间的接触等所有电阻可忽略不计．开始时ab和cd都是静止的，现突然让cd杆以初速度v向右开始运动，如果两根导轨足够长，则(　　)
A．cd始终做减速运动，ab始终做加速运动，并将追上cd
B．cd始终做减速运动，ab始终做加速运动，但追不上cd
C． 开始时cd做减速运动，ab做加速运动，最终两杆以相同速度做匀速运动
D． 磁场力对两金属杆做功的大小相等
10.如图所示，abcd是一个质量为m、边长为L的正方形金属线框．如从图示位置自由下落，在下落h后进入磁感应强度为B的磁场，恰好做匀速直线运动，该磁场的宽度也为L.在这个磁场的正下方h＋L处还有一个未知磁场，金属线框abcd在穿过这个磁场时也恰好做匀速直线运动，那么下列说法正确的是(　　)
A． 未知磁场的磁感应强度是2B
B． 未知磁场的磁感应强度是B
C． 线框在穿过这两个磁场的过程中产生的电能为4mgL
D． 线框在穿过这两个磁场的过程中产生的电能为2mgL
11.(多选)如图所示，金属杆ab以恒定的速率v在光滑平行导轨上向右滑行，设整个电路中总电阻为R(恒定不变)，整个装置置于垂直纸面向里的匀强磁场中，下列叙述正确的是(　　)
A．ab杆中的电流与速率v成正比
B． 磁场作用于ab杆的安培力与速率v成正比
C． 电阻R上产生的热功率与速率v成正比
D． 外力对ab杆做功的功率与速率v成正比
12.如图所示，竖直放置的两根足够长平行金属导轨相距L，导轨间接有一阻值为R的电阻，质量为m、电阻为r的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触，且无摩擦，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，现将金属棒由静止释放，金属棒下落高度为h时开始做匀速运动，在此过程中(　　)
A． 导体棒的最大速度为
B． 通过电阻的电荷量为
C． 导体棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的热量
D． 重力和安培力对导体棒做功的代数和等于导体棒动能的增加量
13.如图所示，和是两条竖直固定的光滑平行金属导轨，和′′是用绝缘细线连接的两根金属杆，其质量分别为和2，用竖直向上、大小未知的外力作用在杆中点，使两杆水平静止，并刚好与导轨接触。整个装置处在磁感应强度为、方向垂直导轨平面向里的匀强磁场中，导轨足够长，间距为，电阻可忽略，两杆总电阻为，与导轨始终接触良好，重力加速度为。＝0时刻，将细线烧断，保持力不变。
(1)细线烧断后任意时刻，求两杆运动的速度大小之比；
(2)若杆运动至速度最大时发生的位移为，该过程中通过金属杆横截面的电荷量和电路中产生的焦耳热各为多少？
14.如图所示，PQ和MN是固定于倾角为30°斜面内的平行光滑金属轨道，轨道足够长，其电阻忽略不计。金属棒ab、cd放在轨道上，始终与轨道垂直且接触良好。金属棒ab的质量为2m、cd的质量为m，长度均为L、电阻均为R，两金属棒的长度恰好等于轨道的间距，并与轨道形成闭合回路。整个装置处在垂直斜面向上、磁感应强度为B的匀强磁场中，若锁定金属棒ab不动，使金属棒cd在与其垂直且沿斜面向上的恒力F＝2mg作用下，沿轨道向上做匀速运动。重力加速度为g。
(1)试推导论证：金属棒cd克服安培力做功的功率P安等于电路获得的电功率P电；
(2)设金属棒cd做匀速运动中的某时刻为0时刻，恒力大小变为F′＝1.5mg，方向不变，同时解锁、静止释放金属棒ab，直到t时刻金属棒ab开始做匀速运动。求：
①t时刻以后金属棒ab的热功率Pab；
②0～t时间内通过金属棒ab的电荷量q。

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