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06 电磁感应与能量的综合
基础知识
考点一: 电磁感应中的能量问题
1.能量转化及焦耳热的求法
(1)能量转化
(2)求解焦耳热Q的三种方法
2.解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路);
(2)弄清电磁感应过程中,哪些力做功,哪些形式的能量相互转化;
(3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解.
3.方法技巧 求解电能应分清两类情况
(1)若回路中电流恒定,可以利用电路结构及W=UIt或Q=I2Rt直接进行计算.
(2)若电流变化,则①利用安培力做的功求解:电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功;②利用能量守恒求解:若只有电能与机械能的转化,则机械能的减少量等于产生的电能.③利用功能关系求解:若除重力、安培力做功外,还有其他力做功,则其他力做功等于增加的机械能和电能
考点二　电磁感应中的动量问题
电磁感应问题往往涉及牛顿定律、动量守恒、能量守恒、电路的分析和计算等许多方面的物理知识,试题常见的形式是导体棒切割磁感线,产生感应电流,从而使导体棒受到安培力作用.导体棒运动的形式有匀速、匀变速和非匀变速3种,对前两种情况,容易想到用牛顿定律求解,对后一种情况一般要用能量守恒和动量守恒定律求解,但当安培力变化,且又涉及位移、速度、电荷量等问题时,用动量定理求解往往能巧妙解决.
方法技巧 动量在电磁感应中的应用技巧
(1)在电磁感应中,动量定理应用于单杆切割磁感线运动,可求解变力的时间、速度、位移和电荷量.
①求电荷量或速度:BlΔt=mv2-mv1,q=t.
③求位移:-BIlΔt=-=0-mv0,即-x=m(0-v0).
(2)电磁感应中对于双杆切割磁感线运动,若双杆系统所受合外力为零,运用动量守恒定律结合能量守恒定律可求解与能量有关的问题.
考点三：电磁感应中的“杆+导轨”模型
模型 概述 “导轨+杆”模型是电磁感应问题在高考命题中的“基本道具”,也是高考的热点,考查的知识点多,题目的综合性强,物理情景变化空间大,是我们复习中的难点.“导轨+杆”模型又分为“单杆”型和“双杆”型;导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜;杆的运动状态可分为匀速运动、匀变速运动、非匀变速运动或转动等;磁场的状态可分为恒定不变、均匀变化和非均匀变化等等,情景复杂,形式多变
常 见 类 型 单杆水平式(导轨光滑) 设运动过程中某时刻棒的速度为v,加速度为a=-,a,v同向,随v的增加,a减小,当a=0时,v最大,I=恒定 单杆倾斜式(导轨光滑) 杆释放后下滑,开始时a=gsin α,速度v↑→E=BLv↑→I=↑→F=BIL↑→a↓,当F=mgsin α时,a=0,v最大 双杆切割式(导轨光滑) 杆MN做变减速运动,杆PQ做变加速运动,稳定时,两杆的加速度均为零,以相等的速度匀速运动.对系统动量守恒,对其中某杆适用动量定理
光滑不等距导轨 杆MN做变减速运动,杆PQ做变加速运动,稳定时,两杆的加速度均为零,两杆以不同的速度做匀速运动 含“源”水平光滑导轨(v0=0) S闭合,ab杆受安培力F=,此时a=,速度v↑ E感=BLv↑ I↓ F=BIL↓ 加速度a↓,当E感=E时,v最大,且vm= 含“容”水平光滑导轨(v0=0) 拉力F恒定,开始时a=,速度v↑ E=BLv↑,经过Δt速度为v+Δv,此时E′=BL(v+Δv),电容器增加的电荷量ΔQ=CΔU=C(E′-E)=CBLΔv,电流I==CBL=CBLa,安培力F安=BIL=CB2L2a,F-F安=ma,a=,所以杆做匀加速运动
典型例题
【典例1】如图所示的匀强磁场中有一根弯成45°的金属线POQ，其所在平面与磁场垂直，长直导线MN与金属线紧密接触，起始时OA＝l0 ，且MN⊥OQ，所有导线单位长度电阻均为r，MN匀速水平向右运动的速度为v，使MN匀速运动的外力为F，则外力F随时间变化的规律图象正确的是(　　)
【答案】　C
【解析】设经过时间t，则MN距O点的距离为l0＋vt，直导线在回路中的长度也为l0＋vt，此时直导线产生的感应电动势E＝B(l0＋vt)v；整个回路的电阻为R＝(2＋)(l0＋vt)r，回路的电流I＝＝＝；直导线受到的外力F大小等于安培力，即F＝BIL＝B(l0＋vt)＝(l0＋vt)，故C正确.
【典例2】如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长．从置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN.第一次ab边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1；第二次bc边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则(　　)
A．Q1>Q2　q1＝q2　　 　　 B．Q1>Q2　q1>q2
C．Q1＝Q2　q1＝q2 D．Q1＝Q2　q1>q2
【答案】A
【解析】设ab和bc边长分别为L1、L2，线框电阻为R，若假设穿过磁场区域的时间为t.
通过线框导体横截面的电荷量q＝It＝＝，
因此q1＝q2.
线框上产生的热量为Q，
第一次：Q1＝BL1I1L2＝BL1L2，
同理可以求得Q2＝BL2I2L1＝BL2L1，
由于L1>L2，则Q1>Q2，故A正确．
【典例3】(多选)如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有三条水平虚线l1、l2、l3，它们之间的区域Ⅰ、Ⅱ宽度均为d，两区域分别存在垂直斜面向下和垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，一个质量为m、边长为d、总电阻为R的正方形导线框，从l1上方一定高度处由静止开始沿斜面下滑，当ab边刚越过l1进入磁场Ⅰ时，恰好以速度v1做匀速直线运动；当ab边在越过l2运动到l3之前的某个时刻，线框又开始以速度v2做匀速直线运动，重力加速度为g.在线框从释放到穿出磁场的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．线框中感应电流的方向不变
B．线框ab边从l1运动到l2所用时间大于从l2运动到l3所用时间
C．线框以速度v2做匀速直线运动时，发热功率为sin2θ
D．线框从ab边进入磁场到速度变为v2的过程中，减少的机械能ΔE机与重力做功WG的关系式是ΔE机＝WG＋mv－mv
【答案】CD
【解析】线框从释放到穿出磁场的过程中，由楞次定律可知感应电流方向先沿abcda后沿adcba再沿abcda方向，A项错误；线框第一次匀速运动时，由平衡条件有BId＝mgsin θ，I＝，解得v1＝，第二次匀速运动时，由平衡条件有2BI′d＝mgsin θ，I′＝，解得v2＝，线框ab边匀速通过区域Ⅰ，先减速再匀速通过区域Ⅱ，而两区域宽度相同，故通过区域Ⅰ的时间小于通过区域Ⅱ的时间，B项错误；由功能关系知线框第二次匀速运动时发热功率等于重力做功的功率，即P＝mgv2sin θ＝，C项正确；线框从进入磁场到第二次匀速运动过程中，损失的重力势能等于该过程中重力做的功，动能损失量为mv－mv，所以线框机械能损失量为ΔE机＝WG＋mv－mv，D项正确．
【典例4】如图所示，两条相距d的平行金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值为R的电阻．质量为m的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域MNPQ的磁感应强度大小为B、方向竖直向下．当该磁场区域以速度v0匀速地向右扫过金属杆后，金属杆的速度变为v．导轨和金属杆的电阻不计，导轨光滑且足够长，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触．求：
（1）MN刚扫过金属杆时，杆中感应电流的大小l；
（2）MN刚扫过金属杆时，杆的加速度大小a；
（3）PQ刚要离开金属杆时，感应电流的功率P．
【答案】：（1） （2） （3）
【解析】本题考查匀强磁场扫过金属杆的切割磁感线运动。
（1）感应电动势；
感应电流;解得
(2)安培力F=BId ; 由牛顿第二定律F=ma ; 解得
(3)金属杆切割磁感线的速度，则感应电动势
电功率 ; 解得
【典例5】（2019浙江卷）如图所示，倾角θ＝37°、间距l＝0.1 m的足够长金属导轨底端接有阻值R＝0.1 Ω的电阻，质量m＝0.1 kg的金属棒ab垂直导轨放置，与导轨间的动摩擦因数μ＝0.45.建立原点位于底端、方向沿导轨向上的坐标轴x.在0.2 m≤x≤0.8 m区间有垂直导轨平面向上的匀强磁场．从t＝0时刻起，棒ab在沿x轴正方向的外力F作用下，从x＝0处由静止开始沿斜面向上运动，其速度v与位移x满足v＝kx(可导出a＝kv)，k＝5 s－1.当棒ab运动至x1＝0.2 m处时，电阻R消耗的电功率P＝0.12 W，运动至x2＝0.8 m处时撤去外力F，此后棒ab将继续运动，最终返回至x＝0处．棒ab始终保持与导轨垂直，不计其他电阻，求：(提示：可以用F x图象下的“面积”代表力F做的功，sin 37°＝0.6)
(1)磁感应强度B的大小；
(2)外力F随位移x变化的关系式；
(3)在棒ab整个运动过程中，电阻R产生的焦耳热Q.
【解析】(1)在x1＝0.2 m处时，电阻R消耗的电功率P＝
此时v＝kx＝1 m/s解得B＝＝ T
(2)在无磁场区间0≤x<0.2 m内，有a＝5 s－1×v＝25 s－2×x
F＝25 s－2×xm＋μmgcos θ＋mgsin θ＝(0.96＋2.5x) N
在有磁场区间0.2 m≤x≤0.8 m内，有FA＝＝0.6x N
F＝(0.96＋2.5x＋0.6x) N＝(0.96＋3.1x) N
(3)上升过程中克服安培力做的功(梯形面积)
WA1＝(x1＋x2)(x2－x1)＝0.18 J
撤去外力后，设棒ab上升的最大距离为x，再次进入磁场时的速度为v′，由动能定理有(mgsin θ＋μmgcos θ)x＝mv2
(mgsin θ－μmgcos θ)x＝mv′2
解得v′＝2 m/s
由于mgsin θ－μmgcos θ－＝0
故棒ab再次进入磁场后做匀速运动
下降过程中克服安培力做的功WA2＝(x2－x1)＝0.144 J
Q＝WA1＋WA2＝0.324 J
【答案】　(1) T　(2)(0.96＋3.1x) N　(3)0.324 J
热身训练
一、单选题
1．如图所示，xOy坐标系第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场，第三象限有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，第二、四象限内没有磁场．一个围成四分之一圆弧形的导体环Oab，其圆心在原点O，开始时导体环在第四象限，从t＝0时刻起绕O点在xOy坐标平面内逆时针匀速转动．若以逆时针方向的电流为正，下列表示环内感应电流i随时间t变化的图象中，正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在内，向外的磁通量增加，则感应电流磁场向里，根据右手定则判断可知，线框中感应电流的方向为顺时针方向，为负值．oa中产生的感应电动势均为感应电流大小为；内，向外的磁通量减少，则感应电流磁场向外，根据右手定则判断可知，线框中感应电流的方向为逆时针方向，为正值．ob中产生的感应电动势均为感应电流大小为；向里的磁通量增加，则感应电流磁场向外，根据右手定则判断可知，线框中感应电流的方向为逆时针方向，为正值．oa中产生的感应电动势均为感应电流大小为；内，向里的磁通量减少，则感应电流磁场向里，根据右手定则判断可知，线框中感应电流的方向为顺时针方向，为负值．ob中产生的感应电动势均为感应电流大小为.所以D正确．
2．如图所示，有一个等腰直角三角形的匀强磁场区域其直角边长为L，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B.边长为L、总电阻为R的正方形导线框abcd，从图示位置开始沿x轴正方向以速度v匀速穿过磁场区域，取沿abcda的感应电流为正，则表示线框中电流i随bc边的位置坐标x变化的图象正确的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】bc边的位置坐标x在L-2L过程，线框bc边有效切线长度为l=x-L
感应电动势为E=Blv=B（x-L）v
感应电流
电流的大小随x逐渐增大；根据楞次定律判断出来感应电流方向沿a→b→c→d→a，为正值。x在2L-3L过程，根据楞次定律判断出来感应电流方向沿a→d→c→b→a，为负值，线框ad边有效切线长度为l=x-2L
感应电动势为E=Blv=B（x-2L）v
感应电流
大小随x逐渐增大。
A.图像与分析不符，故A错误。
B.图像与分析不符，故B错误。
C.图像与分析相符，故C正确。
D.图像与分析不符，故D错误。
3．如图所示，水平方向的匀强磁场宽为b，矩形线框宽度为a，当这一闭合的导体框从磁场上方由静止开始下落，进入磁场时刚好做匀速运动，如果b>a，那么当线框的下边离开磁场时，线框的运动情况是（　　）
A．匀速直线运动 B．加速直线运动
C．减速直线运动 D．匀变速运动
【答案】C
【解析】进入磁场时做匀速运动，可知安培力与重力相等，则有
联立可得
完全进入磁场后，做匀加速运动，出磁场的速度大于，则安培力大于，安培力的方向竖直向上，则知线框做减速直线运动，根据牛顿第二定律可得
速度减小，安培力减小，加速度减小，则线框的运动是加速度减小的减速直线运动，故C正确，A、B、D错误；
故选C。
4．一个刚性矩形铜制线圈从高处自由下落，进入一水平的匀强磁场区域，然后穿出磁场区域继续下落，如图所示，则 (　　)
A．若线圈进入磁场过程是匀速运动，则离开磁场过程也是匀速运动
B．若线圈进入磁场过程是加速运动，则离开磁场过程也是加速运动
C．若线圈进入磁场过程是减速运动，则离开磁场过程是加速运动
D．若线圈进入磁场过程是减速运动，则离开磁场过程也是减速运动
【答案】D
【解析】A．线圈从高处自由下落，以一定的速度进入磁场，会受到重力和安培力。线圈全部进入磁场后只受重力，在磁场内部会做一段加速运动，所以线圈出磁场时的速度要大于进磁场的速度。若线圈进入磁场过程是匀速运动，说明重力等于安培力，离开磁场时安培力大与重力，就会做减速运动．故A错误；
B．若线圈进入磁场过程是加速运动，说明重力大于安培力，离开磁场时安培力变大，安培力与重力大小关系无法确定，故B错误；
CD．若线圈进入磁场过程是减速运动，说明重力小于安培力，离开磁场时安培力变大，安培力仍然大于重力，所以也是减速运动．故C错误；D正确；
故选D。
二、多选题
5．如图所示，水平放置的、间距为L的光滑导轨MNQP，导轨内的磁场方向与导轨垂直，磁感应强度为B，导轨左端接有电阻R、电阻为r的金属棒ab在导轨上垂直于磁场的方向，以速度v向右匀速移动，水平外力F,下列说法正确的是：（ ）
A．K断开时，金属棒两端的电压为
B．K闭合时，金属棒两端的电压为
C．K闭合时，感应电流的大小为
D．K闭合时，水平外力的功率为
【答案】ACD
【解析】ABC.当开关断开时，不是闭合回路，金属棒两端电压大小等于电动势；当开关闭合时，回路电动势，回路电流，所以金属棒两端电压，即路端电压，AC正确B错误。
D.开关闭合时，由于匀速运动，所以外力与安培力大小相等：，所以外力功率，D正确。
6．如图所示，在光滑的水平面上方，有两个磁感应强度大小均为B、方向相反的水平匀强磁场，PQ为两个磁场的边界，磁场范围足够大。一个边长为a、质量为m、电阻为R的金属正方形线框，以速度v垂直磁场方向从实线Ⅰ位置开始向右运动，当线框运动到分别有一半面积在两个磁场中的Ⅱ位置时，线框的速度为。下列说法正确的是（　　）
A．在位置Ⅱ时线框中的电功率为
B．此过程中线框产生的内能为mv2
C．在位置Ⅱ时线框的加速度为
D．此过程中通过线框截面的电量为
【答案】AB
【解析】AC．在Ⅱ位置时回路中产生感应电动势为E=2×Ba=Bav
感应电流为I==
线圈所受安培力大小分别为F=2BIa=2Ba=
方向向左，则根据牛顿第二定律得加速度为a=
此时线框中的电功率P=I2R=
选项A正确C错误；
BD．此过程穿过线框的磁通量的变化量为ΔΦ=Ba2
通过线框截面的电量为q=
根据能量守恒定律得到，此过程回路产生的电能为Q=mv2－m= mv2
选项B正确D错误。
故选AB。
7．如图所示，闭合金属环从曲面上h高处滚下，又沿曲面的另一侧上升，设环的初速为零，摩擦不计，曲面处在图示磁场中，则（ ）
A．若是匀强磁场，环滚上的高度小于h
B．若是匀强磁场，环滚上的高度等于h
C．若是非匀强磁场，环滚上的高度等于h
D．若是非匀强磁场，环滚上的高度小于h
【答案】BD
【解析】AB．若磁场为匀强磁场，穿过环的磁通量不变，不产生感应电流，即无机械能向电能转化，机械能守恒，故A错，B正确；CD．若磁场为非匀强磁场，环内要产生电能，机械能减少，故C错，D正确．故选BD。
三、解答题
8．如图，水平U形光滑框架，宽度为1m，电阻忽略不计，导体棒ab的质量m=0.2kg、电阻R=0.5Ω，匀强磁场的磁感应强度B=0.2T，方向垂直框架向上。现用F=1N的外力由静止开始向右拉ab棒，当ab棒向右运动的距离为d=0.5m时速度达到2m/s，求此时：
（1）ab棒产生的感应电动势的大小；
（2）ab棒所受的安培力；
（3）ab棒的加速度大小。
（4）ab棒在向右运动0.5m的过程中，电路中产生的焦耳热Q。
【答案】（1）ab棒产生的感应电动势的大小为0.4V；（2）ab棒所受的安培力为0.16N；（3）ab棒的加速度大小为4.2m/s2；（4）ab棒在向右运动0.5m的过程中，电路中产生的焦耳热Q为0.1 J；
【解析】（1）根据导体棒切割磁感线的电动势为：E=BLV=0.4V；
（2）由闭合电路欧姆定律得回路电流为：，ab受安培力为：F安=BIL=0.16N，方向水平向左。
（3）根据牛顿第二定律得ab杆的加速度为：a=；
（4）由能量守恒有：Fd=Q+mv2，代入数据解得Q=0.1J
9．如图（俯视图），虚线右侧有竖直向下的磁感应强度为B=0.5T的匀强磁场，边长为L=0.4m，质量为m=0.5kg的正方形导线框起初静止在光滑水平地面上．从t=0时刻起，用水平恒力F向右拉线框从图示位置开始运动，此后线框运动的v-t图像如右图所示．求：
（1）恒力F的大小；
（2）线框进入磁场过程中感应电流的大小；
（3）线框进入磁场过程中线框产生的热量．
【答案】（1）2N，（2）10A，（3）0.8J
【解析】（1）在0-0.4s内线框在拉力F作用下，做初速度为0的匀加速度直线运动，由v-t图求出加速度，由牛顿第二定律求拉力F的大小；（2）线框匀速进入磁场，由平衡条件得，可以求出感应电流的大小；（3）线框匀速进入磁场过程中，由能量守恒定律得：，即可求解产生的热量.
（1）由v-t图可知，在0-0.4s内线框在拉力F作用下，做初速度为0的匀加速度直线运动
由v-t图得：加速度
由牛顿第二定律得：
（2）线框以速度为匀速进入磁场，由平衡条件得：
解得：
（3）线框匀速进入磁场过程中，由能量守恒定律得：
10．如图甲所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ被固定在水平面上，导轨间距L=0.6m，两导轨的左端用导线连接电阻R1及理想电压表，电阻r=2Ω的金属棒垂直于导轨静止在AB处；右端用导线连接电阻R2，已知R1=2Ω，R2=1Ω，导轨及导线电阻均不计．在矩形区域CDEF内有竖直向上的磁场，CE=0.2m，磁感应强度随时间的变化如图乙所示．在t=0时刻开始，对金属棒施加一水平向右的恒力F，从金属棒开始运动直到离开磁场区域的整个过程中电压表的示数保持不变．求：
（1）t=0.1s时电压表的示数；
（2）恒力F的大小；
（3）从t=0时刻到金属棒运动出磁场的过程中整个电路产生的热量Q；
【答案】（1）0.3V（2）0.27N（3）0.09J
【解析】（1）在0～0．2s内，CDEF产生的电动势为定值：
在0．1s时电压表的示数为：
（2）设此时的总电流为I,则路端电压为：
由题意知:
此时的安培力为：
解得：F=0．27N
（3）0～0．2s内的热量为：
由功能关系知导体棒运动过程中产生的热量为：
总热量为：
考点:法拉第电磁感应定律、焦耳定律、功能关系．
11．如图所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面夹角α＝30°，导轨上端跨接一定值电阻R，导轨电阻不计．整个装置处于方向垂直斜面向上的匀强磁场中，长为L的金属棒cd垂直于MN、PQ放置在导轨上，且与导轨保持电接触良好，金属棒的质量为m、电阻为r，重力加速度为g，现将金属棒由静止释放，当金属棒沿导轨下滑距离为s时，速度达到最大值vm．求：
⑴金属棒开始运动时的加速度大小；
⑵匀强磁场的磁感应强度大小；
⑶金属棒沿导轨下滑距离为s的过程中，电阻R上产生的电热．
【答案】(1)； (2) ；(3)
【解析】(1) 金属棒开始运动时的加速度大小
(2)达到平衡时有
解得
(3)由能量关系解得
电阻R上产生的电热
12．如图所示，水平面内有两根互相平行且足够长的光滑金属轨道，它们间的距离L=0.20m，在两轨道的左端之间接有一个R=0.10Ω的电阻。在虚线OO′（OO′垂直于轨道）右侧有方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B=0.50T。一根质量m=0.10kg的直金属杆ab垂直于轨道放在两根轨道上。某时刻杆ab以v0=2.0m/s且平行于轨道的初速度进入磁场，同时在杆上施加一个水平拉力，使其以a=2.0m/s2的加速度做匀减速直线运动。杆ab始终与轨道垂直且它们之间保持良好接触。杆ab和轨道的电阻均可忽略。
(1)请你通过计算判断，在金属杆ab向右运动的过程中，杆上所施加的水平拉力的方向；
(2)在金属杆ab向右运动的过程中，求杆中的感应电流为最大值的时候，水平拉力的大小；
(3)从金属杆ab进入磁场至速度减为零的过程中，电阻R上发出的热量Q=0.13J，求此过程中水平拉力做的功。
【答案】（1）始终向左；（2）0；（3）﹣7×10﹣2J
【解析】(1)金属杆刚进入磁场时，杆中的感应电流为I0=
此时，杆ab所受的安培力为F安=BI0L=0.5×2×0.2N=0.2N
方向水平向左，根据牛顿第二定律得：杆ab所受的合力为F合=ma=0.1×2N=0.2N
方向水平向左，在金属杆ab向右做匀减速直线运动的过程中，安培力F安不断减小，因此，杆上所施加的水平拉力的方向始终水平向左
(2)当杆刚进入磁场时电流最大，即速度为v0=2.0m/s时，此时杆ab所受的安培力为
F安=BI0L=0.5×2×0.2N=0.2N
方向水平向左，根据牛顿第二定律得F安+F=ma
水平拉力的大小为F=ma－F安=0
(3)由动能定理得W安+WF=0－
其中克服安培力做功的数值等于电阻R上发出的热量Q，即－W安=Q
所以有WF=Q－=0.13J－J=－7×10－2J
13．如图，一质量为m，边长为h的正方形金属线框abcd自某一高度由静止下落，依次经过两匀强磁场区域，且金属线框bc边的初始位置离磁场B1的上边界的高度为，两磁场的磁感应强度分别为B1和B2，且B1＝2B0，B2＝B0(B0已知)，两磁场的间距为H(H未知，但H＞h)，线框进入磁场B1时，恰好做匀速运动，速度为v1(v1已知)，从磁场B1中穿出后又以v2匀速通过宽度也为h的磁场B2。
(1)求v1与v2的比值；
(2)写出H与h的关系式；
(3)若地面离磁场B2的下边界的高度为h，求金属线框下落到地面所产生的热量。(用m、h、g表示)
【答案】(1)1∶4　(2)H＝　(3)4mgh
【解析】(1)金属线框分别进入磁场B1和B2后，做匀速运动，由平衡条件有BIh＝mg①
又金属线框切割磁感线，则②
联立①②得
所以③
(2)金属线框进入磁场B1前和离开磁场B1后到进入磁场B2前，都是做只在重力作用下的运动，由运动学公式有④
⑤
联立③④⑤得⑥
(3)产生的热量等于克服安培力做功Q＝BIh·4h⑦
联立①⑦得Q＝4mgh
14．如图所示，两平行光滑弧形导轨间距为，金属棒从高为处由静止开始下滑，进入光滑导轨的水平部分，导轨的水平部分静止有另一根金属棒，已知两棒质量均为，电阻均为，整个水平导轨足够长并处于广阔的竖直向下匀强磁场中，忽略轨道的电阻，假设金属棒进入磁场后始终没跟金属棒相碰且在运动的过程中两金属棒始终与导轨垂直，求：
(1)当金属棒刚进入磁场的瞬间，棒的速度；
(2)设金属棒刚进入磁场时金属棒、的加速度大小分别为、，则是多少；
(3)两棒从相对运动到相对静止，相对滑动的距离。
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)在金属棒下滑的过程中，由动能定理可得
得金属棒刚进入磁场的瞬间，棒的速度为-
(2)依题得，金属棒与金属棒受到等大的安培力作用，根据牛顿第二定律可得
作比可得
(3)金属棒进入磁场后，与组成的系统动量守恒，与最终相对静止，速度相等，根据动量守恒定律可得
由此可得两棒的最终速度为
对棒根据动量定理可得
又因为有
由此可得，两棒从相对运动到相对静止，相对滑动的距离为
15．如图所示，水平放置的、足够长的光滑金属轨道与光滑倾斜轨道以小圆弧平滑对接．在倾斜轨道上高h=l.8 m处放置一金属杆a，在平直轨道靠右端处放置另一金属杆b，平直轨道区域有竖直向上的匀强磁扬．现由静止释放杆a，杆a下滑到水平轨道后即进入磁场，此时杆b的速度大小为v0=3 m/s，方向向左．已知ma=2 kg，mb=lkg，金属杆与轨道接触良好，g取10m/s2．求：
（1）杆a下滑到水平轨道上瞬间的速度大小．
（2）杆a、b在水平轨道上的共同速度大小．
（3）在整个过程中电路消耗的电能．
【答案】（1）6m/s（2）3m/s（3）27J
【解析】（1）设杆a下滑到水平轨道瞬间的速度为Va，杆a从斜轨道上下滑到水平轨道的过程中，只有重力做功，由机械能守恒定律得 magh=mava2
解得 va=6 m/s．
（2）当a以6 m/s的速度进入匀强磁场后，a、b两杆所受的安培力等大反向，合力为零，最终一起匀速运动．设共同的速度为V，取水平向右为正，由动量守恒定律得
mava-mbv0=（ma+mb）v
解得 v=3m/s
（3）设消耗的电能为E，由能量守恒定律得 E=mava2+mbv02-（ma+mb）v2
代入数据解得 E=27J．
【名师点拨】
本题很好的考查了机械能守恒、动量守恒和能量守恒定律，把力学和电磁场有机的结合了起来，考查了学生的分析能力，是个好题．06 电磁感应与力学的综合
基础知识
考点一: 电磁感应中的能量问题
1.能量转化及焦耳热的求法
(1)能量转化
(2)求解焦耳热Q的三种方法
2.解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路);
(2)弄清电磁感应过程中,哪些力做功,哪些形式的能量相互转化;
(3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解.
3.方法技巧 求解电能应分清两类情况
(1)若回路中电流恒定,可以利用电路结构及W=UIt或Q=I2Rt直接进行计算.
(2)若电流变化,则①利用安培力做的功求解:电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功;②利用能量守恒求解:若只有电能与机械能的转化,则机械能的减少量等于产生的电能.③利用功能关系求解:若除重力、安培力做功外,还有其他力做功,则其他力做功等于增加的机械能和电能.
考点二　电磁感应中的动量问题
电磁感应问题往往涉及牛顿定律、动量守恒、能量守恒、电路的分析和计算等许多方面的物理知识,试题常见的形式是导体棒切割磁感线,产生感应电流,从而使导体棒受到安培力作用.导体棒运动的形式有匀速、匀变速和非匀变速3种,对前两种情况,容易想到用牛顿定律求解,对后一种情况一般要用能量守恒和动量守恒定律求解,但当安培力变化,且又涉及位移、速度、电荷量等问题时,用动量定理求解往往能巧妙解决.
方法技巧 动量在电磁感应中的应用技巧
(1)在电磁感应中,动量定理应用于单杆切割磁感线运动,可求解变力的时间、速度、位移和电荷量.
①求电荷量或速度:BlΔt=mv2-mv1,q=t.
③求位移:-BIlΔt=-=0-mv0,即-x=m(0-v0).
(2)电磁感应中对于双杆切割磁感线运动,若双杆系统所受合外力为零,运用动量守恒定律结合能量守恒定律可求解与能量有关的问题.
考点三：电磁感应中的“杆+导轨”模型
模型 概述 “导轨+杆”模型是电磁感应问题在高考命题中的“基本道具”,也是高考的热点,考查的知识点多,题目的综合性强,物理情景变化空间大,是我们复习中的难点.“导轨+杆”模型又分为“单杆”型和“双杆”型;导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜;杆的运动状态可分为匀速运动、匀变速运动、非匀变速运动或转动等;磁场的状态可分为恒定不变、均匀变化和非均匀变化等等,情景复杂,形式多变
常 见 类 型 单杆水平式(导轨光滑) 设运动过程中某时刻棒的速度为v,加速度为a=-,a,v同向,随v的增加,a减小,当a=0时,v最大,I=恒定 单杆倾斜式(导轨光滑) 杆释放后下滑,开始时a=gsin α,速度v↑→E=BLv↑→I=↑→F=BIL↑→a↓,当F=mgsin α时,a=0,v最大 双杆切割式(导轨光滑) 杆MN做变减速运动,杆PQ做变加速运动,稳定时,两杆的加速度均为零,以相等的速度匀速运动.对系统动量守恒,对其中某杆适用动量定理
光滑不等距导轨 杆MN做变减速运动,杆PQ做变加速运动,稳定时,两杆的加速度均为零,两杆以不同的速度做匀速运动 含“源”水平光滑导轨(v0=0) S闭合,ab杆受安培力F=,此时a=,速度v↑ E感=BLv↑ I↓ F=BIL↓ 加速度a↓,当E感=E时,v最大,且vm= 含“容”水平光滑导轨(v0=0) 拉力F恒定,开始时a=,速度v↑ E=BLv↑,经过Δt速度为v+Δv,此时E′=BL(v+Δv),电容器增加的电荷量ΔQ=CΔU=C(E′-E)=CBLΔv,电流I==CBL=CBLa,安培力F安=BIL=CB2L2a,F-F安=ma,a=,所以杆做匀加速运动
典型例题
【典例1】如图所示的匀强磁场中有一根弯成45°的金属线POQ，其所在平面与磁场垂直，长直导线MN与金属线紧密接触，起始时OA＝l0 ，且MN⊥OQ，所有导线单位长度电阻均为r，MN匀速水平向右运动的速度为v，使MN匀速运动的外力为F，则外力F随时间变化的规律图象正确的是(　　)
【答案】　C
【解析】设经过时间t，则MN距O点的距离为l0＋vt，直导线在回路中的长度也为l0＋vt，此时直导线产生的感应电动势E＝B(l0＋vt)v；整个回路的电阻为R＝(2＋)(l0＋vt)r，回路的电流I＝＝＝；直导线受到的外力F大小等于安培力，即F＝BIL＝B(l0＋vt)＝(l0＋vt)，故C正确.
【典例2】如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长．从置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN.第一次ab边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1；第二次bc边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则(　　)
A．Q1>Q2　q1＝q2　　 　　 B．Q1>Q2　q1>q2
C．Q1＝Q2　q1＝q2 D．Q1＝Q2　q1>q2
【答案】A
【解析】设ab和bc边长分别为L1、L2，线框电阻为R，若假设穿过磁场区域的时间为t.
通过线框导体横截面的电荷量q＝It＝＝，
因此q1＝q2.
线框上产生的热量为Q，
第一次：Q1＝BL1I1L2＝BL1L2，
同理可以求得Q2＝BL2I2L1＝BL2L1，
由于L1>L2，则Q1>Q2，故A正确．
【典例3】(多选)如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有三条水平虚线l1、l2、l3，它们之间的区域Ⅰ、Ⅱ宽度均为d，两区域分别存在垂直斜面向下和垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，一个质量为m、边长为d、总电阻为R的正方形导线框，从l1上方一定高度处由静止开始沿斜面下滑，当ab边刚越过l1进入磁场Ⅰ时，恰好以速度v1做匀速直线运动；当ab边在越过l2运动到l3之前的某个时刻，线框又开始以速度v2做匀速直线运动，重力加速度为g.在线框从释放到穿出磁场的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．线框中感应电流的方向不变
B．线框ab边从l1运动到l2所用时间大于从l2运动到l3所用时间
C．线框以速度v2做匀速直线运动时，发热功率为sin2θ
D．线框从ab边进入磁场到速度变为v2的过程中，减少的机械能ΔE机与重力做功WG的关系式是ΔE机＝WG＋mv－mv
【答案】CD
【解析】线框从释放到穿出磁场的过程中，由楞次定律可知感应电流方向先沿abcda后沿adcba再沿abcda方向，A项错误；线框第一次匀速运动时，由平衡条件有BId＝mgsin θ，I＝，解得v1＝，第二次匀速运动时，由平衡条件有2BI′d＝mgsin θ，I′＝，解得v2＝，线框ab边匀速通过区域Ⅰ，先减速再匀速通过区域Ⅱ，而两区域宽度相同，故通过区域Ⅰ的时间小于通过区域Ⅱ的时间，B项错误；由功能关系知线框第二次匀速运动时发热功率等于重力做功的功率，即P＝mgv2sin θ＝，C项正确；线框从进入磁场到第二次匀速运动过程中，损失的重力势能等于该过程中重力做的功，动能损失量为mv－mv，所以线框机械能损失量为ΔE机＝WG＋mv－mv，D项正确．
【典例4】如图所示，两条相距d的平行金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值为R的电阻．质量为m的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域MNPQ的磁感应强度大小为B、方向竖直向下．当该磁场区域以速度v0匀速地向右扫过金属杆后，金属杆的速度变为v．导轨和金属杆的电阻不计，导轨光滑且足够长，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触．求：
（1）MN刚扫过金属杆时，杆中感应电流的大小l；
（2）MN刚扫过金属杆时，杆的加速度大小a；
（3）PQ刚要离开金属杆时，感应电流的功率P．
【答案】：（1） （2） （3）
【解析】本题考查匀强磁场扫过金属杆的切割磁感线运动。
（1）感应电动势；
感应电流;解得
(2)安培力F=BId ; 由牛顿第二定律F=ma ; 解得
(3)金属杆切割磁感线的速度，则感应电动势
电功率 ; 解得
【典例5】（2019浙江卷）如图所示，倾角θ＝37°、间距l＝0.1 m的足够长金属导轨底端接有阻值R＝0.1 Ω的电阻，质量m＝0.1 kg的金属棒ab垂直导轨放置，与导轨间的动摩擦因数μ＝0.45.建立原点位于底端、方向沿导轨向上的坐标轴x.在0.2 m≤x≤0.8 m区间有垂直导轨平面向上的匀强磁场．从t＝0时刻起，棒ab在沿x轴正方向的外力F作用下，从x＝0处由静止开始沿斜面向上运动，其速度v与位移x满足v＝kx(可导出a＝kv)，k＝5 s－1.当棒ab运动至x1＝0.2 m处时，电阻R消耗的电功率P＝0.12 W，运动至x2＝0.8 m处时撤去外力F，此后棒ab将继续运动，最终返回至x＝0处．棒ab始终保持与导轨垂直，不计其他电阻，求：(提示：可以用F x图象下的“面积”代表力F做的功，sin 37°＝0.6)
(1)磁感应强度B的大小；
(2)外力F随位移x变化的关系式；
(3)在棒ab整个运动过程中，电阻R产生的焦耳热Q.
【解析】(1)在x1＝0.2 m处时，电阻R消耗的电功率P＝
此时v＝kx＝1 m/s解得B＝＝ T
(2)在无磁场区间0≤x<0.2 m内，有a＝5 s－1×v＝25 s－2×x
F＝25 s－2×xm＋μmgcos θ＋mgsin θ＝(0.96＋2.5x) N
在有磁场区间0.2 m≤x≤0.8 m内，有FA＝＝0.6x N
F＝(0.96＋2.5x＋0.6x) N＝(0.96＋3.1x) N
(3)上升过程中克服安培力做的功(梯形面积)
WA1＝(x1＋x2)(x2－x1)＝0.18 J
撤去外力后，设棒ab上升的最大距离为x，再次进入磁场时的速度为v′，由动能定理有(mgsin θ＋μmgcos θ)x＝mv2
(mgsin θ－μmgcos θ)x＝mv′2
解得v′＝2 m/s
由于mgsin θ－μmgcos θ－＝0
故棒ab再次进入磁场后做匀速运动
下降过程中克服安培力做的功WA2＝(x2－x1)＝0.144 J
Q＝WA1＋WA2＝0.324 J
【答案】　(1) T　(2)(0.96＋3.1x) N　(3)0.324 J
热身训练
一、单选题
1．如图所示，xOy坐标系第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场，第三象限有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，第二、四象限内没有磁场．一个围成四分之一圆弧形的导体环Oab，其圆心在原点O，开始时导体环在第四象限，从t＝0时刻起绕O点在xOy坐标平面内逆时针匀速转动．若以逆时针方向的电流为正，下列表示环内感应电流i随时间t变化的图象中，正确的是(　　)
A． B．
C． D．
2．如图所示，有一个等腰直角三角形的匀强磁场区域其直角边长为L，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B.边长为L、总电阻为R的正方形导线框abcd，从图示位置开始沿x轴正方向以速度v匀速穿过磁场区域，取沿abcda的感应电流为正，则表示线框中电流i随bc边的位置坐标x变化的图象正确的是
A． B． C． D．
3．如图所示，水平方向的匀强磁场宽为b，矩形线框宽度为a，当这一闭合的导体框从磁场上方由静止开始下落，进入磁场时刚好做匀速运动，如果b>a，那么当线框的下边离开磁场时，线框的运动情况是（　　）
A．匀速直线运动 B．加速直线运动
C．减速直线运动 D．匀变速运动
4．一个刚性矩形铜制线圈从高处自由下落，进入一水平的匀强磁场区域，然后穿出磁场区域继续下落，如图所示，则 (　　)
A．若线圈进入磁场过程是匀速运动，则离开磁场过程也是匀速运动
B．若线圈进入磁场过程是加速运动，则离开磁场过程也是加速运动
C．若线圈进入磁场过程是减速运动，则离开磁场过程是加速运动
D．若线圈进入磁场过程是减速运动，则离开磁场过程也是减速运动
二、多选题
5．如图所示，水平放置的、间距为L的光滑导轨MNQP，导轨内的磁场方向与导轨垂直，磁感应强度为B，导轨左端接有电阻R、电阻为r的金属棒ab在导轨上垂直于磁场的方向，以速度v向右匀速移动，水平外力F,下列说法正确的是：（ ）
A．K断开时，金属棒两端的电压为
B．K闭合时，金属棒两端的电压为
C．K闭合时，感应电流的大小为
D．K闭合时，水平外力的功率为
6．如图所示，在光滑的水平面上方，有两个磁感应强度大小均为B、方向相反的水平匀强磁场，PQ为两个磁场的边界，磁场范围足够大。一个边长为a、质量为m、电阻为R的金属正方形线框，以速度v垂直磁场方向从实线Ⅰ位置开始向右运动，当线框运动到分别有一半面积在两个磁场中的Ⅱ位置时，线框的速度为。下列说法正确的是（　　）
A．在位置Ⅱ时线框中的电功率为
B．此过程中线框产生的内能为mv2
C．在位置Ⅱ时线框的加速度为
D．此过程中通过线框截面的电量为
7．如图所示，闭合金属环从曲面上h高处滚下，又沿曲面的另一侧上升，设环的初速为零，摩擦不计，曲面处在图示磁场中，则（ ）
A．若是匀强磁场，环滚上的高度小于h
B．若是匀强磁场，环滚上的高度等于h
C．若是非匀强磁场，环滚上的高度等于h
D．若是非匀强磁场，环滚上的高度小于h
三、解答题
8．如图，水平U形光滑框架，宽度为1m，电阻忽略不计，导体棒ab的质量m=0.2kg、电阻R=0.5Ω，匀强磁场的磁感应强度B=0.2T，方向垂直框架向上。现用F=1N的外力由静止开始向右拉ab棒，当ab棒向右运动的距离为d=0.5m时速度达到2m/s，求此时：
（1）ab棒产生的感应电动势的大小；
（2）ab棒所受的安培力；
（3）ab棒的加速度大小。
（4）ab棒在向右运动0.5m的过程中，电路中产生的焦耳热Q。
9．如图（俯视图），虚线右侧有竖直向下的磁感应强度为B=0.5T的匀强磁场，边长为L=0.4m，质量为m=0.5kg的正方形导线框起初静止在光滑水平地面上．从t=0时刻起，用水平恒力F向右拉线框从图示位置开始运动，此后线框运动的v-t图像如右图所示．求：
（1）恒力F的大小；
（2）线框进入磁场过程中感应电流的大小；
（3）线框进入磁场过程中线框产生的热量．
10．如图甲所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ被固定在水平面上，导轨间距L=0.6m，两导轨的左端用导线连接电阻R1及理想电压表，电阻r=2Ω的金属棒垂直于导轨静止在AB处；右端用导线连接电阻R2，已知R1=2Ω，R2=1Ω，导轨及导线电阻均不计．在矩形区域CDEF内有竖直向上的磁场，CE=0.2m，磁感应强度随时间的变化如图乙所示．在t=0时刻开始，对金属棒施加一水平向右的恒力F，从金属棒开始运动直到离开磁场区域的整个过程中电压表的示数保持不变．求：
（1）t=0.1s时电压表的示数；
（2）恒力F的大小；
（3）从t=0时刻到金属棒运动出磁场的过程中整个电路产生的热量Q；
11．如图所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面夹角α＝30°，导轨上端跨接一定值电阻R，导轨电阻不计．整个装置处于方向垂直斜面向上的匀强磁场中，长为L的金属棒cd垂直于MN、PQ放置在导轨上，且与导轨保持电接触良好，金属棒的质量为m、电阻为r，重力加速度为g，现将金属棒由静止释放，当金属棒沿导轨下滑距离为s时，速度达到最大值vm．求：
⑴金属棒开始运动时的加速度大小；
⑵匀强磁场的磁感应强度大小；
⑶金属棒沿导轨下滑距离为s的过程中，电阻R上产生的电热．
12．如图所示，水平面内有两根互相平行且足够长的光滑金属轨道，它们间的距离L=0.20m，在两轨道的左端之间接有一个R=0.10Ω的电阻。在虚线OO′（OO′垂直于轨道）右侧有方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B=0.50T。一根质量m=0.10kg的直金属杆ab垂直于轨道放在两根轨道上。某时刻杆ab以v0=2.0m/s且平行于轨道的初速度进入磁场，同时在杆上施加一个水平拉力，使其以a=2.0m/s2的加速度做匀减速直线运动。杆ab始终与轨道垂直且它们之间保持良好接触。杆ab和轨道的电阻均可忽略。
(1)请你通过计算判断，在金属杆ab向右运动的过程中，杆上所施加的水平拉力的方向；
(2)在金属杆ab向右运动的过程中，求杆中的感应电流为最大值的时候，水平拉力的大小；
(3)从金属杆ab进入磁场至速度减为零的过程中，电阻R上发出的热量Q=0.13J，求此过程中水平拉力做的功。
13．如图，一质量为m，边长为h的正方形金属线框abcd自某一高度由静止下落，依次经过两匀强磁场区域，且金属线框bc边的初始位置离磁场B1的上边界的高度为，两磁场的磁感应强度分别为B1和B2，且B1＝2B0，B2＝B0(B0已知)，两磁场的间距为H(H未知，但H＞h)，线框进入磁场B1时，恰好做匀速运动，速度为v1(v1已知)，从磁场B1中穿出后又以v2匀速通过宽度也为h的磁场B2。
(1)求v1与v2的比值；
(2)写出H与h的关系式；
(3)若地面离磁场B2的下边界的高度为h，求金属线框下落到地面所产生的热量。(用m、h、g表示)
14．如图所示，两平行光滑弧形导轨间距为，金属棒从高为处由静止开始下滑，进入光滑导轨的水平部分，导轨的水平部分静止有另一根金属棒，已知两棒质量均为，电阻均为，整个水平导轨足够长并处于广阔的竖直向下匀强磁场中，忽略轨道的电阻，假设金属棒进入磁场后始终没跟金属棒相碰且在运动的过程中两金属棒始终与导轨垂直，求：
(1)当金属棒刚进入磁场的瞬间，棒的速度；
(2)设金属棒刚进入磁场时金属棒、的加速度大小分别为、，则是多少；
(3)两棒从相对运动到相对静止，相对滑动的距离。
15．如图所示，水平放置的、足够长的光滑金属轨道与光滑倾斜轨道以小圆弧平滑对接．在倾斜轨道上高h=l.8 m处放置一金属杆a，在平直轨道靠右端处放置另一金属杆b，平直轨道区域有竖直向上的匀强磁扬．现由静止释放杆a，杆a下滑到水平轨道后即进入磁场，此时杆b的速度大小为v0=3 m/s，方向向左．已知ma=2 kg，mb=lkg，金属杆与轨道接触良好，g取10m/s2．求：
（1）杆a下滑到水平轨道上瞬间的速度大小．
（2）杆a、b在水平轨道上的共同速度大小．
（3）在整个过程中电路消耗的电能．

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