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08 光的相关计算
基础知识
常用规律：
折射定律
全反射规律
光路可逆
介质中的光速
几何光学
典型例题
【典例1】如图所示是一个水平横截面为圆形的平底玻璃缸，玻璃缸深度为，缸底面圆心处有一单色点光源，缸中装有某种液体，深度为，点为液面的圆心，垂直于水平面。用面积为的黑纸片覆盖在液面上，则液面上方恰好无光线射出。若在上述黑纸片上，以为圆心剪出一个面积为的圆孔，把余下的黑纸环仍放置在液面上原来的位置，使所有出射光线都从缸口射出，则缸口的最小面积为多少？
【答案】
【解析】用面积为的黑纸片覆盖在液面上，液面上方恰好无光线射出，则从点光源发出的光线射到黑纸片的边缘处恰发生全反射，临界角为，光路图如图甲所示。
由几何关系得
由全反射知识有
解得
剪出一个面积为圆孔后，设透光部分的半径为，射出光线的最大入射角为，对应的折射角为，光路图如图乙所示。
由几何关系得
根据折射定律有
缸口的最小半径为
缸口的最小面积为
解得
【典例2】如图所示，玻璃砖的横截面是圆心角为90°的扇形，O为圆心，其半径为R，将其放置在水平桌面上。一束单色光平行于桌面射向玻璃砖曲面，入射点C到桌面的距离为，光线通过玻璃砖从OB面射出时折射角θ=60°，已知光在真空中传播速度为c，不考虑光在玻璃砖内的反射，求该单色光：
(1)在玻璃砖中的折射率n；
(2)在玻璃砖内传播的时间。
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)光在玻璃砖中传播的光路如图所示
过C点做OA的垂线，垂足为E，由题意可知
中
可得
在C点有
在D点有
由题意
由几何知识得
联立解得
(2)光在半球体中传播的速度为
由几何关系知
光在半球体中传播的时间
解得
【典例3】如图所示，ABCD是一直角梯形棱镜的横截面，位于截面所在平面内的一束光线由O点垂直AD边射入。已知棱镜的折射率，AB=BC=8cm，OA=2cm，∠OAB=60°。
(1)定性画出光在棱镜中的光路图；
(2)第一次的出射点距C点多远。
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)根据全反射定律可知临界角为
根据几何关系可知在和面均能发生全反射，则光路图如图所示
则
在边，根据折射定律可知出射角
(2)根据几何关系得AF=4cm
BF=4cm
∠BFG=∠BGF=30°
则BG=4cm
所以GC=4cm
故
【典例4】如图所示，直角玻璃三棱镜置于空气中，已知∠A=60°，∠C=90°，一束极细的光于AC边的中点D垂直AC面入射，AD=a，棱镜的折射率n=，.求：
①光从棱镜第一次射入空气时的折射角；
②光从进入棱镜到它第一次从BC边和AB边射入空气所经历的时间分别为多少？．(设光在真空中的传播速度为c)
【答案】①45°②；
【解析】①如图所示，i1＝60°，设玻璃对空气的临界角为C，
则， C＝45°
i1>45°，发生全反射
i2＝i1－30°＝30°所以γ＝45°．
在BC边上反射的光线由几何关系可知将垂直AB边射出．
②三棱镜中光速
从BC边射出的光线所用的时间：．
从AB边射出的光线所用的时间：
【名师点拨】本题是几何光学问题，做这类题目，一般首先要正确画出光路图，当光线从介质射入空气时要考虑能否发生全反射，要能灵活运用几何知识帮助分析角的大小．
【典例5】道威棱镜是由H．W．Dove发明的一种棱镜，该棱镜是将一等腰直角棱镜截去棱角而得，如图所示，一束平行于底边CD的单色光从AO边射入棱镜，已知棱镜玻璃的折射率为，光在真空中的速度为．
（1）求该单色光到达CD面上的入射角；
（2）若CD=cm，光从AD边射入在CD面上经过一次反射从BC边射出过程中，光在棱镜内传播的时间为多少．
【答案】（1）75°（2）
【解析】（1）光在棱镜中传播光路如图所示．
由折射定律
解得r=30°
θ=75°
（2）光线在棱镜内传播
在三角形MDP中，由正弦定理
解得
在三角形NCP中，由正弦定理
解得
光在棱镜内部传播的路程
而，解得
热身训练
1．如图所示，三棱镜的横截面ABC为直角三角形，∠A=90°，∠B=30°，边AC长为20cm，三棱镜材料的折射率为，一束平行于底边BC的单色光从AB边上的中点O射入此棱镜，已知真空中光速为3.0×108m/s。求：
(1)从ABC边射入的折射角；
(2)通过计算判断光束能否从BC边射出。
【答案】（1）30°；（2）见解析。
【解析】光路如图
（1）由折射定律
解得
（2）由临界角公式得
光线达BC边时，入射角
将发生全反射，所以光线不能从BC边射出
2．如图所示，一束光线从空气射入某介质，入射光线与反射光线夹角为90°，折射光线与入射光线延长线间夹角θ为15°，
求：(1)该介质的折射率？
(2)光在该介质中传播的速度？
(3)当光从介质射入空气时的临界角？
【答案】（1）（2）2.12×108m/s（3）45°
【解析】试题分析：(1)根据题意，光在空气中的入射角为45°，在介质中的折射角为30°，则此介质的折射率为n=
(2)根据v=c=2.12×108m/s
(3)根据sinC=得 C=45°
【名师点拨】本题难度较小，掌握折射定律，从光路图中找到入射角和折射角带入公式即可求解
3．光导纤维现已在通讯、医疗技术中大量使用。如图所示，一束光不论以多大的入射角射到光纤的ab面上，经光纤传导后只能从光纤的cd面射出，实现信息的传递。求光纤的折射率应满足的条件。
【答案】
【解析】光路如图所示
据题意可得
由图可知，
即，
又有
即
4．跳水比赛的1m跳板如图伸向水面，右端点距水高lm，A为右端点在水底正下方的投影，水深h＝4m，若跳水馆只开了一盏黄色小灯S，该灯距跳板右端水平距离x＝4m，H＝4m。现观察到跳板水下阴影右端点B到A的距离AB＝m，求：
①黄色光在水中的折射率；
②若在水底A处放一物体，站在跳板右端向下看，该物体看起来在水下深度。
【答案】① ②3m
【解析】(1)光从板的右端射到水中的光路图如图所示：
根据折射定律得：
根据几何关系有：,
解得折射率为：
(2)
设A的视深为h′，由于从A上方看，光的入射角及折射角均很小
故
解得：
5．如图,平行玻璃砖厚度为d,一射向玻砖的细光束与玻砖上表面的夹角为30°,光束射入玻砖后先射到其右侧面。已知玻璃对该光的折射率为,光在真空中的传播速度为c。
(i)光束从上表面射入玻砖时的折射角;
(ii)光束从射入玻砖到第一次从玻砖射出所经历的时间。
【答案】（1）30° （2）
【解析】(1)光路图如图所示，
设光在上表面折射时，入射角为i，折射角为r，则
由折射定律有： 解得：；
(2)光线射到右侧面时，入射角
因
故光束在右侧面发生全反射，接着从下表面射出
由几何关系得光束在玻璃砖内传播的距离为：
光束在玻璃砖内传播的速度：
解得传播的时间为：。
6．如图所示为一折射率，的圆柱形棱镜横截面，半径为R．某单色光水平向右射入棱镜，圆心O到入射光线的垂直距离为．已知光在真空中的传播速度为c，求：
①这束单色光从射入棱镜到第一次射出棱镜，光线偏转的角度；
②这束单色光从射入棱镜到第一次射出棱镜，所用的时间．
【答案】①偏转角度60° ②
【解析】画出光路图，结合几何关系，根据折射定律求解光线偏转的角度；求出这束单色光线从射入棱镜到第一次射出棱镜的路程，根据n=c/v求解速度，根据t=s/v求解时间.
【详解】
①光线射入棱镜后，第一次从棱镜中射出的光路图如图所示．
由几何关系得
即θ1＝60°
由折射定律得
即θ2＝30°
偏转角度φ＝2（θ1－θ2）＝60°
②这束单色光线从射入棱镜到第一次射出棱镜，路程为x＝2Rcosθ2
光在棱镜中的传播速度
所用时间
7．如图所示，某种材料制成的半球体，左侧面镀有水银，CD为半球底面直径，O为球心，直线OB垂直CD，且与半球面交于B点．现有一单色光平行BO方向从半球面上的A点射入半球，经CD面反射后恰好从B点射出半球．半球的半径为R，入射时单色光线与OB的距离d=R，透明半球对该单色光的折射率，不考虑单色光在B点的反射．
①求单色光从B点射出时的折射角；
②已知光在真空中的传播速度为c，求单色光在半球内传播的总时间t．
【答案】①=60°②．
【解析】①该单色光在半球内传播的光路如图所示：
设光在A点的入射角为θ1，则有：，可得θ1=60°
设折射角为θ2.则有：，可得θ2=60°
由几何关系可知，光线在B点的入射角θ2=30°
在B点，由，可得：=60°
②由图可知：，EF=OF-OE=，AE=2EF=
光线在球内的总路程为：s=AE+EB=
光线在球内的传播速度大小为：
光线在球内的传播时间为：
8．如图所示，AB为空气与某种介质的界面，直线MN垂直于界面AB。光由空气射入折射率n=的这种介质。已知光在空气中的传播速度约为3×108m/s。求：
(1)当入射角时，折射角r；
(2)光在这种介质中的传播速度大小v；
(3)若光由这种介质射向空气，发生全反射的临界角的正弦值。
【答案】(1)30°；(2) ；(3)
【解析】(1)由折射定律
得
代入数据，解得折射角为
(2)光在这种介质中的传播速度
(3)根据全反射的临界角公式
9．一束光沿垂直OA方向从OA中点射入放置在水平桌面上半径为R的圆形玻璃中，从圆弧面上B点射出，已知光在该玻璃砖中的折射率为n=，光在真空中的速度c，求：
(1)光从B点射出的折射角大小；
(2)光进入玻璃中的速度大小；
(3)光从B点到第一次射到水平桌面需要的时间。
【答案】(1)60°；(2)；(3)
【解析】(1)光路图如图所示，
由几何关系得：
由折射定律
解得sinr=即；
(2)由可得
(3)①反射到水平桌面：
故时间为
②折射到水平桌面，则BD=R
故时间为
10．半径为R的固定半圆形玻璃砖的横截面积如图所示，O点为圆心，OO′与直径AB的垂直。足够大的光屏CD紧靠在玻璃砖的左侧且与AB垂直。一光束沿半径方向与OO′成θ＝30°射向O点，光屏CD区域出现两个光斑，两光斑间的距离为 ．求：
①此玻璃的折射率
②当θ变为多大时，两光斑恰好变为一个。
【答案】(1) (2) 当θ变为时，两光斑恰好变为一个
【解析】(1）细光束在AB界面，一部分反射，另一部分折射，设折射角为β，光路图如图所示，
由几何关系得：
根据题意两光斑间的距离为，所以L2=R
由几何关系知β＝45°
根据折射定律，折射率
（2）若光屏CD上恰好只剩一个光斑，则说明该光束恰好发生全反射。由 得临界角为：C＝45°
即当θ≥45°时，光屏上只剩下一个光斑。
11．如图所示，△ABM为透明柱状介质的横截面，其中∠A=30°．一束单色光从AM的中点P以一定的入射角入射，恰好能在AB边上发生全发射，且反射后的光线垂直BM边射出．已知BM边的长度为a，光在真空中的传播速度为c，求：
（1）该透明介质的折射率;
（2）该单色光在透明介质中的传播时间．
【答案】(1) ； (2) ；
【解析】（1）单色光在透明介质中的传播路线如图所示
由几何关系可知，当单色光在AB边上刚好发生全反射时，其临界角为60o
由可得
带入数据可得
（2）由几何关系可得，，所以
；
又因为，所以；
单色光在该透明介质中的传播速度，
所以单色光在该透明介质中的传播时间
代入数据可得．
【名师点拨】解决光学问题的关键要掌握全反射的条件、折射定律、临界角公式、光速公式，画出光路图，运用几何知识结合解决这类问题．
12．某实验小组要测量某透明液体的折射率，他们找到一个底面直径和高都为12cm的圆柱形玻璃水槽，先用红色激光笔自上边缘上Ａ直接照到B点，A、B、D位于同一竖直平面内且BD为底面直径，如图所示，然后开始向水槽中加该液体，当加到6cm深度时，红色光线射到槽底C点，记下C点，测得BC长度为2.54cm。
(1)请画出红光射到Ｃ点的光路；
(2)该液体折射率为（结果保留2位有效数字）；
(3)若将上面的实验过程仅改用用绿色激光笔，光线也要射到C点，则所加的液体深度是否应该大于6cm？
【答案】(1)；(2)1.4；(3)是
【解析】(1)由题意得作光路图如下
(2)由图可得
根据折射定律有
解得
(3)改用绿色激光笔，入射光波长减小，则折射率增大，为了使光线也要射到C点，则所加的液体深度应大于6cm。08 光的相关计算
基础知识
常用规律：
折射定律
全反射规律
光路可逆
介质中的光速
几何光学
典型例题
【典例1】如图所示是一个水平横截面为圆形的平底玻璃缸，玻璃缸深度为，缸底面圆心处有一单色点光源，缸中装有某种液体，深度为，点为液面的圆心，垂直于水平面。用面积为的黑纸片覆盖在液面上，则液面上方恰好无光线射出。若在上述黑纸片上，以为圆心剪出一个面积为的圆孔，把余下的黑纸环仍放置在液面上原来的位置，使所有出射光线都从缸口射出，则缸口的最小面积为多少？
【答案】
【解析】用面积为的黑纸片覆盖在液面上，液面上方恰好无光线射出，则从点光源发出的光线射到黑纸片的边缘处恰发生全反射，临界角为，光路图如图甲所示。
由几何关系得
由全反射知识有
解得
剪出一个面积为圆孔后，设透光部分的半径为，射出光线的最大入射角为，对应的折射角为，光路图如图乙所示。
由几何关系得
根据折射定律有
缸口的最小半径为
缸口的最小面积为
解得
【典例2】如图所示，玻璃砖的横截面是圆心角为90°的扇形，O为圆心，其半径为R，将其放置在水平桌面上。一束单色光平行于桌面射向玻璃砖曲面，入射点C到桌面的距离为，光线通过玻璃砖从OB面射出时折射角θ=60°，已知光在真空中传播速度为c，不考虑光在玻璃砖内的反射，求该单色光：
(1)在玻璃砖中的折射率n；
(2)在玻璃砖内传播的时间。
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)光在玻璃砖中传播的光路如图所示
过C点做OA的垂线，垂足为E，由题意可知
中
可得
在C点有
在D点有
由题意
由几何知识得
联立解得
(2)光在半球体中传播的速度为
由几何关系知
光在半球体中传播的时间
解得
【典例3】如图所示，ABCD是一直角梯形棱镜的横截面，位于截面所在平面内的一束光线由O点垂直AD边射入。已知棱镜的折射率，AB=BC=8cm，OA=2cm，∠OAB=60°。
(1)定性画出光在棱镜中的光路图；
(2)第一次的出射点距C点多远。
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)根据全反射定律可知临界角为
根据几何关系可知在和面均能发生全反射，则光路图如图所示
则
在边，根据折射定律可知出射角
(2)根据几何关系得AF=4cm
BF=4cm
∠BFG=∠BGF=30°
则BG=4cm
所以GC=4cm
故
【典例4】如图所示，直角玻璃三棱镜置于空气中，已知∠A=60°，∠C=90°，一束极细的光于AC边的中点D垂直AC面入射，AD=a，棱镜的折射率n=，.求：
①光从棱镜第一次射入空气时的折射角；
②光从进入棱镜到它第一次从BC边和AB边射入空气所经历的时间分别为多少？．(设光在真空中的传播速度为c)
【答案】①45°②；
【解析】①如图所示，i1＝60°，设玻璃对空气的临界角为C，
则， C＝45°
i1>45°，发生全反射
i2＝i1－30°＝30°所以γ＝45°．
在BC边上反射的光线由几何关系可知将垂直AB边射出．
②三棱镜中光速
从BC边射出的光线所用的时间：．
从AB边射出的光线所用的时间：
【名师点拨】本题是几何光学问题，做这类题目，一般首先要正确画出光路图，当光线从介质射入空气时要考虑能否发生全反射，要能灵活运用几何知识帮助分析角的大小．
【典例5】道威棱镜是由H．W．Dove发明的一种棱镜，该棱镜是将一等腰直角棱镜截去棱角而得，如图所示，一束平行于底边CD的单色光从AO边射入棱镜，已知棱镜玻璃的折射率为，光在真空中的速度为．
（1）求该单色光到达CD面上的入射角；
（2）若CD=cm，光从AD边射入在CD面上经过一次反射从BC边射出过程中，光在棱镜内传播的时间为多少．
【答案】（1）75°（2）
【解析】（1）光在棱镜中传播光路如图所示．
由折射定律
解得r=30°
θ=75°
（2）光线在棱镜内传播
在三角形MDP中，由正弦定理
解得
在三角形NCP中，由正弦定理
解得
光在棱镜内部传播的路程
而，解得
热身训练
1．如图所示，三棱镜的横截面ABC为直角三角形，∠A=90°，∠B=30°，边AC长为20cm，三棱镜材料的折射率为，一束平行于底边BC的单色光从AB边上的中点O射入此棱镜，已知真空中光速为3.0×108m/s。求：
(1)从ABC边射入的折射角；
(2)通过计算判断光束能否从BC边射出。
2．如图所示，一束光线从空气射入某介质，入射光线与反射光线夹角为90°，折射光线与入射光线延长线间夹角θ为15°，
求：(1)该介质的折射率？
(2)光在该介质中传播的速度？
(3)当光从介质射入空气时的临界角？
【名师点拨】本题难度较小，掌握折射定律，从光路图中找到入射角和折射角带入公式即可求解
3．光导纤维现已在通讯、医疗技术中大量使用。如图所示，一束光不论以多大的入射角射到光纤的ab面上，经光纤传导后只能从光纤的cd面射出，实现信息的传递。求光纤的折射率应满足的条件。
4．跳水比赛的1m跳板如图伸向水面，右端点距水高lm，A为右端点在水底正下方的投影，水深h＝4m，若跳水馆只开了一盏黄色小灯S，该灯距跳板右端水平距离x＝4m，H＝4m。现观察到跳板水下阴影右端点B到A的距离AB＝m，求：
①黄色光在水中的折射率；
②若在水底A处放一物体，站在跳板右端向下看，该物体看起来在水下深度。
5．如图,平行玻璃砖厚度为d,一射向玻砖的细光束与玻砖上表面的夹角为30°,光束射入玻砖后先射到其右侧面。已知玻璃对该光的折射率为,光在真空中的传播速度为c。
(i)光束从上表面射入玻砖时的折射角;
(ii)光束从射入玻砖到第一次从玻砖射出所经历的时间。
6．如图所示为一折射率，的圆柱形棱镜横截面，半径为R．某单色光水平向右射入棱镜，圆心O到入射光线的垂直距离为．已知光在真空中的传播速度为c，求：
①这束单色光从射入棱镜到第一次射出棱镜，光线偏转的角度；
②这束单色光从射入棱镜到第一次射出棱镜，所用的时间．
7．如图所示，某种材料制成的半球体，左侧面镀有水银，CD为半球底面直径，O为球心，直线OB垂直CD，且与半球面交于B点．现有一单色光平行BO方向从半球面上的A点射入半球，经CD面反射后恰好从B点射出半球．半球的半径为R，入射时单色光线与OB的距离d=R，透明半球对该单色光的折射率，不考虑单色光在B点的反射．
①求单色光从B点射出时的折射角；
②已知光在真空中的传播速度为c，求单色光在半球内传播的总时间t．
8．如图所示，AB为空气与某种介质的界面，直线MN垂直于界面AB。光由空气射入折射率n=的这种介质。已知光在空气中的传播速度约为3×108m/s。求：
(1)当入射角时，折射角r；
(2)光在这种介质中的传播速度大小v；
(3)若光由这种介质射向空气，发生全反射的临界角的正弦值。
9．一束光沿垂直OA方向从OA中点射入放置在水平桌面上半径为R的圆形玻璃中，从圆弧面上B点射出，已知光在该玻璃砖中的折射率为n=，光在真空中的速度c，求：
(1)光从B点射出的折射角大小；
(2)光进入玻璃中的速度大小；
(3)光从B点到第一次射到水平桌面需要的时间。
10．半径为R的固定半圆形玻璃砖的横截面积如图所示，O点为圆心，OO′与直径AB的垂直。足够大的光屏CD紧靠在玻璃砖的左侧且与AB垂直。一光束沿半径方向与OO′成θ＝30°射向O点，光屏CD区域出现两个光斑，两光斑间的距离为 ．求：
①此玻璃的折射率
②当θ变为多大时，两光斑恰好变为一个。
11．如图所示，△ABM为透明柱状介质的横截面，其中∠A=30°．一束单色光从AM的中点P以一定的入射角入射，恰好能在AB边上发生全发射，且反射后的光线垂直BM边射出．已知BM边的长度为a，光在真空中的传播速度为c，求：
（1）该透明介质的折射率;
（2）该单色光在透明介质中的传播时间．
【名师点拨】解决光学问题的关键要掌握全反射的条件、折射定律、临界角公式、光速公式，画出光路图，运用几何知识结合解决这类问题．
12．某实验小组要测量某透明液体的折射率，他们找到一个底面直径和高都为12cm的圆柱形玻璃水槽，先用红色激光笔自上边缘上Ａ直接照到B点，A、B、D位于同一竖直平面内且BD为底面直径，如图所示，然后开始向水槽中加该液体，当加到6cm深度时，红色光线射到槽底C点，记下C点，测得BC长度为2.54cm。
(1)请画出红光射到Ｃ点的光路；
(2)该液体折射率为（结果保留2位有效数字）；
(3)若将上面的实验过程仅改用用绿色激光笔，光线也要射到C点，则所加的液体深度是否应该大于6cm？

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