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5.4.3：正切函数的性质与图象
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
函数的图象的一个对称中心是（）
A. B. C. D.
函数f(x)＝tan的单调递增区间是()
A. (k∈Z) B. (k∈Z)
C. (k∈Z) D. (k∈Z)
函数的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为，则的值是（）
A. B. C. 1 D.
函数f(x)＝的奇偶性是( )
A.
是奇函数
B.
是偶函数
C.
既是奇函数又是偶函数
D.
既不是奇函数又不是偶函数
我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图象中的两条相邻“平行曲线”与直线y=2020相交于A，B两点，且|AB|=2，则=（　　）
A. B. C. D. -
函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间内的图象是（　　）
A. B.
C. D.
函数 （ ）
A. 是奇函数 B. 既是奇函数又是偶函数
C. 是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数
函数与的图像在上的交点有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 在区间上单调递增 B. 最小正周期是
C. 图象关于成中心对称 D. 图象关于直线成轴对称
函数，则关于的性质表述正确的是（ ）
A. 的定义域为{x|xk+,kZ}
B. 是周期函数，最小正周期为
C. 具有奇偶性，且为奇函数
D. 具有轴对称性，且对称轴是x=+k,kZ
已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的周期是
B. 的值域是，且
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 的单调递减区间是，
出生在美索不达米亚的天文学家阿尔 巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式：，即等价于现在的s＝hcotφ，我们称y＝cotx为余切函数，则下列关于余切函数的说法中正确的是（）
A. 函数y＝cotx的最小正周期为2π
B. 函数y＝cotx关于（π，0）对称
C. 函数y＝cotx在区间（0，π）上单调递减
D. 函数y＝tanx的图象与函数y＝cotx的图象关于直线对称
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
函数y＝tan(sin x)的值域是 ．
若函数f（n）=tan（π+）（n∈N*），求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2021）= ．
关于函数，有以下命题：
①函数的定义域是；
②函数是奇函数；
③函数的图象关于点对称；
④函数的一个单调递增区间为；
其中，正确命题的序号是 ．
函数图象与直线的交点横坐标为，，则的最小值是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题12.0分)
已知x∈,求函数y=tan2x+2tanx的值域.
(本小题12.0分)
求函数的定义域、周期、并判断它的单调性.
(本小题12.0分)
是否存在实数a，且，使得函数在区间 上单调递增？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由.
(本小题12.0分)
已知函数．
（1）求f（x）最小正周期、定义域；
（2）若f（x）≥2，求x的取值范围．
(本小题12.0分)
已知θ为锐角，在以下三个条件中任选一个：①；②2sin2θ-cosθ-1=0；③；并解答以下问题：
（1）若选____（填序号），求θ的值；
（2）在（1）的条件下，求函数y=tan（2x+θ）的定义域、周期和单调区间.
(本小题12.0分)
已知函数
（1）判断函数 f (x) 的奇偶性，并证明；
（2）若 x ∈，不等式ef (x)+ a tan x ≥ 0 恒成立，试求实数a 的取值范围．（其中e 为自然对数的底数）
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】AB
10.【答案】ABD
11.【答案】AD
12.【答案】BC
13.【答案】
14.【答案】0
15.【答案】 ③
16.【答案】
17.【答案】解：令t＝tan x，
因为x∈,
所以t∈[－，1]，
所以函数化为y＝t2+2t，t∈[－，1]，
对称轴为t＝-1∈[－，1]，
所以当t＝-1时，ymin＝12－2×1＝－1，
当t＝1时，ymax＝3，
所以y=tan2x+2tanx的值域为[－1,3]．

18.【答案】解：函数的自变量x应满足3x-≠kπ+,k∈Z,
即x≠,k∈Z.
所以函数的定义域是{x|x≠,k∈Z}.
由于f(x)=tan(3x-),
因此,函数的周期为T=.
由-+kπ＜3x-＜+kπ,k∈Z,解得,k∈Z.
因此,函数的单调递增区间是,k∈Z.
19.【答案】解：，
在区间上为增函数，
.
又由，得：，
，
，
解得
由得，
此时，，
故存在，满足题意.

20.【答案】解：（1）对于函数，它的最小正周期为=2π，
由-≠kπ+，求得x≠2kπ+，可得它的定义域为{x|x≠2kπ+，k∈Z }．
（2）f（x）≥2，即tan（-）≥1，故+kπ≤-＜kπ+，
求得2kπ+≤x＜2kπ+，故x的取值范围为[2kπ+，2kπ+ ），k∈Z．
21.【答案】解：（1）若选：①；
则=，
∵θ为锐角，∴θ=．
若选②2sin2θ-cosθ-1=0；
则2（1-cos2θ）-cosθ-1=0，
得2cos2θ+cosθ-1=0，得（2cosθ-1）（cosθ+1）=0，
得cosθ=或cosθ=-1，
∵θ为锐角，∴cosθ=，θ=．
若选③；
则=cos2θ=，
即cosθ=±，
∵θ为锐角，∴cosθ=，θ=．
综上θ=．
（2）在（1）的条件下，θ=．
则y=tan（2x+θ）=tan（2x+），
由2x+≠kπ+，
得x≠+，k∈Z．
即函数的定义域为{x|x≠+，k∈Z}．
周期T=．
由kπ-＜2x+＜kπ+，k∈Z，
得-＜x＜+，
即函数的单调递增区间为（-，+），k∈Z．
无单调递减区间．
22.【答案】解：（1），
所以，
即，
所以函数定义域为，
定义域关于原点对称，且，
故函数为奇函数;
（2）令，
不等式ef(x)+atan x≥0恒成立化为不等式恒成立，
转化为在t∈(1,+∞)上恒成立，
即 ，
令，则，
因为当且仅当时取等号，的最大值为，
所以.
故实数a的取值范围.

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