资源简介

从新高考 I 卷 22 题看 2022 年数学考题难不难
数学学科考试结束后，教育部教育考试院命题专家对数学试题进行了评析，其中特别谈
到新高考 I 卷 22 题“重视基于数学素养的关键能力的考查，在数学知识层面、数学能力层
面和创新思维层面都有所体现，具有较好的选拔功能”，而与之不同的是“难”声一片。学
生说难，下了考场泪水模糊了双眼；教师说难，关进办公室吸起了闷烟；家长说难，愣在厨
房煮糊了稀饭。客观地说，家长说难，有多少家长能对高考数学就轻驾熟？教师说难，短时
间内是否对试题已经透彻研究了一遍？学生说难，是否把平时积累的知识与经验都抖落在了
卷面？只有平心静气对试题进行认真剖析，才可能准确地评判试题难易并进一步引导今后的
复习！
【题目】已知函数 f (x) ex x和 g(x) ax ln x 有相同的最小值．
（1）求 a ；
（2）证明：存在直线 y b ，其与两条曲线 y f (x) 和 y g(x) 共有三个不同的交点，
并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
对于第一问，先找一找送分的感觉！
1.“定义域”这个主持人宣布开始，“求导”就急不可待登场.
f x ex ax 的定义域为R , g x ax ln x的定义域为 0,
.
2.函数求导的最高境界就是“闭上眼睛求导”，算由心生，需要基本公式、法则、规律
1 3x ax
以及过往经验的强力支撑，但有时候会出现“千错万别”. 、 x 、e 、cosx、xe x ln x、 …，
x
哪个求导都比这个题难，不举例子了，多了都是泪.
1
a
1
x
a
f ' x ex a g ' x a
， x x .
3.“拿起笔来就写”，求导过程强调三点：快速、无错、美观，但要注意求导后的式子
写到什么程度，求导后的结果怎样寻找“落脚点”，需要进一步梳理，以便考试时能作出瞬
间反应形成解题敏感。
1）落脚于因式分解
1 1 ax 1 x 1
f x ax2 a 1 x ln x ， f ' x ax a 1 .
2 x x
2）落脚于配方判断
2
2 x x 2 1
' x

f x ex ， f x e . 2 3
x 1 x 1
3）落脚于显然易得
' a 1 2ax
2 a 1
f x a 1 ln x ax2 1， f x 2ax .
x x
4）落脚于和角变换

f x e 3x cos x， f ' x e 3x sin x
3
5）落脚于指对互化
f x ex 1 kx 2k ， f ' x ex 1 k ；
f x x ln x a x 1 ， f ' x ln x 1 a .
以上我们常做的函数求导，哪一个都要比这个题难。
4.“迷迷糊糊分类” 涉及参数分类讨论，没有明确的标准就没有层次感和条理性。本
题涉及到 0 的自然分类，也是“显然易得”的关键。
'
当 a 0 时， f x 0， f x 在 R上单调递增，无最小值.
'
当 a 0时，由 f x 0得 x ln a，
x , ln a 时， f ' x 0， f x 在 , ln a 上单调递减；
x ln a, f '时， x 0， f x 在 ln a, 上单调递增.
'
当 a 0 时， g x 0， g x 在 0, 上单调递减，无最小值.
1 ' 1
x 0, 时， g

x 0， g x 在 0, 上单调递减；
a a
1 ' 1
x , 时， g x 0 ， g x

在 , 上单调递增.
a a
5.“最小值信手拈来” 根据两函数单调性，容易确定其最小值.
f x f ln a a a ln a , g x 1 ln a .
min min
6.参数等式达成
根据题目条件可得a a ln a 1 ln a .
做到这里，第一问的解答看上去已近尾声，不就是一个解方程吗，能直接看出来a 1，
其实不然，这个答案需要进一步论证.
7.方程函数化
a 1
由a a ln a 1 ln a ，整理得 ln a 0 .
a 1
2
x 1 ' 1 2 x 1
设 h x ln x ，h x 0， 2 2
x 1 x x 1 x x 1
h x 在 0, 上单调递增且h 1 0，因此a 1 .
针对第二问，由第一问得到的a 1可知：
f x ex x在 ,0 上单调递减，在 0, 上单调递增；
g x x ln x在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增.
两个函数“扭打”在一起，借助图象直观感知，只有一种可能性 y b 过两函数图象交
点，才能满足其与两条曲线 y f (x) 和 y g(x)共有三个不同的交点。
下面说明两函数图象交点的唯一性。
设 k x f x g x ex ln x 2x，
1 1
则 k ' x ex 2 x 2 0
x x
所以 k x 在 0, 上单调递增，
k 1 e 2 0， x 0 时 k x 0 ，即存在唯一的 x0 ，使得 k x0 0 .
x
所以 b，满足e 0 x b， x0 ln x0 b，且直线 y b与 y f0 x 和 y g x
共有三个不同的交点,不妨设为 x1 x0 x2 ，如图所示.
接下来要证明 x1 x2 2x0 .
x1 ln xf x1 e x1 g x0 x0 ln x0 e 0 ln x0 , x1 ln x0 ;
ln x x
g x2 x2 ln x2 e 2 ln x2 f x0 e 0 x0 , ln x2 x0 ,
x
x2 e
0 .
所以 xx1 x ln x e
0
2 0 2x ， 0
即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
这里的 x0 ，忙得可谓“不可开交”：
x
（1）e 0 x0 b；
（2） x0 ln x0 b；
x
（3）e 0 ln x0 2x0 0；
（4） x1 ln x0；
x
（5） x2 e
0 .
正是因为以上这些运算做基础， x1 x2 2x0 才“水到渠成”！
纵观整个解答过程，对于考生来讲，可谓“五味杂陈”，有“眼熟面花”的，有“触手
可及”的，有“擦肩而过”的，平时的模拟考试和专题演练，比这个问题难的多得是，限于
考试时间和其它题目引起的解题压力，到了最后已经筋疲力尽了。
对于教师来讲，不要被外界的保姆化教辅、秒杀、大招所干扰，还是要静下心来研透课
本。
（1）人教 A 版必修第一册 143 页例 1（求方程 ln x 2x 6 0的实数解的个数）利用
函数零点存在定理判断方程根的个数，由至少到唯一确定了方程解的个数，与本题中的“存
在唯一的 x0 ，使得 k x0 0”如出一辙；
x
（2）函数 f x e x你一定记得在哪里见过，看看课本人教 A 版选择性必修第二
册 87 页，就是判断它的单调性的，当时判断后，你是不是随手画图感知了呢？平时我们可
ln x
能围着 f x xex、 f x x ln x 、 f x 打转的时候多，而忘记了课本最为基本
x
的内容；
1
（3）人教 A 版选择性必修第二册 94 页“当 x 0 时，1 ln x”会给我们解题提供
x
1 x 1 x 1
可行性参考，求导过程基本一致；此外 ln x 1 这个不等式放缩也为我们
x x x 1
解题打开一扇窗；
（4）人教 A 版选择性必修第二册 95 页例 7（（3）求出方程 f x a（a R ）的解
的个数）中特别强调了“为函数 y f x 的图象与直线 y a的交点个数”，课本这样说，
你就这样做；
（5）苏教版选择性必修第一册 200 页练习 4（求函数 y x ln x ，x 0,2 的极值）、
202 页练习（求函数 y x ln x ， x 0,1 的值域），北师大版选择性必修第二册 97 页复
习题二 6 题（（3）求函数 y x ln x 的单调区间和极值点）多次出现这个函数，你说重要
不重要。
不难发现，本题通过最普通的内容、最基本的方法、最基础的思想通过融合、变通考查
了新高考素养的关键能力，如运算求解、直观想象、逻辑思维、适度创新等能力都在本题中
有着较好的发挥空间；函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想
贯穿于整个解题过程；通过运用科学思维方法，有效组织整合相关知识，调动运用相关能力，
高质量认识、分析、解决了问题.
回到试题难易的问题，现在看来，试题还难不难？
难易就在一瞬间，基础打牢是关键！
教辅堆题盲目做，大招秒杀迷人眼；
试题过手无深思，只看对错两茫然；
课外资料不离手，课本酣睡把脚绊；
只有课本研究透，才把不变应万变！

展开更多......

收起↑