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13 利用图象、别有洞天
物理图象是将抽象物理问题直观化、形象化的最佳工具，能从整体上反映出两个或两个以上物理量的定性或定量关系，利用图象解题时一定要从图象纵、横坐标的物理意义以及图线中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”和“面积”等诸多方面寻找解题的突破口．利用图象解题不但快速、准确，能避免繁杂的运算，还能解决一些用一般计算无法解决的问题．
(1)物理中常用的图有示意图、过程图、函数图、矢量图、电路图和光路图等等，若题干或选项中已经给出了函数图，则需从图像纵、横坐标的物理意义以及图线中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”和“面积”等诸多方面寻找解题的突破口．
(2)利用图像或示意图解答选择题，便于了解各物理量之间的关系，能够避免繁琐的计算，迅速简便地找出正确答案．若各选项描述的是物理过程的变化情况，此法更显得优越．此类题目在力的动态变化、物体运动状态的变化、波形变换、气体状态变化、电磁感应现象等问题中最为常见．几乎年年都考．
常用
1、选择图象问题（排除法）
2、用图像问题（六看三结合）
六看：
一看：坐标轴
二看：线（图象形状）
三看：斜率
四看：面积
五看：截距
六看：特殊点（交点、拐点、极值点）
三结合：
图象、表达式、物理过程三者结合
3、画图象问题（V-t）
画运动v-t图象主动解决复杂运动（如：周期性的运动）
例题1：如图所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O点的水平线。已知一小球从M点出发，初速率为v0，沿管道MPN运动，到N点的速率为v1，所需时间为t1；若该小球仍由M点以初速率v0出发，而沿管道MQN运动，到N点的速率为v2，所需时间为t2。则(　　)
A.v1＝v2，t1＞t2 B.v1＜v2，t1＞t2
C.v1＝v2，t1＜t2 D.v1＜v2，t1＜t2
【以题说法】　在题中出现时间比较问题且又无法计算时往往利用速率随时间变化的关系图象求解。画图时一定要抓住初、末态速率关系，利用图线斜率表示加速度大小定性分析。
例题2：[单选]（2011 安徽高考）如图（a）所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图（b）所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处．若在t0时刻释放该粒子，粒子会时而向A板运动，时而向B板运动，并最终打在A板上．则t0可能属于的时间段是（　　）
A. B.
C. D.
数形结合解题
例题3：(2021同步练习·全国卷Ⅰ)如图，轻弹簧的下端固定在水平桌面上，上端放有物块P，系统处于静止状态。现用一竖直向上的力F作用在P上，使其向上做匀加速直线运动。以x表示P离开静止位置的位移，在弹簧恢复原长前，下列表示F和x之间关系的图像可能正确的是(　　)
[举一反三] [多选]已知雨滴在空中运动时所受空气阻力Ff＝kr2v2，其中k为比例系数，r为雨滴半径，v为其运动速率。t＝0时，雨滴由静止开始下落，加速度用a表示。落地前雨滴已做匀速运动，速率为v0。下列图像中正确的是(　　)
例题4：(2022课时练习·全国卷Ⅱ)2022课时练习年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是(　　)
例题5：[多选]在风洞实验室内的竖直粗糙墙面上放置一钢板，风垂直吹向钢板，在钢板由静止开始下落的过程中，作用在钢板上的风力恒定。用Ek、E、v、P 分别表示钢板下落过程中的动能、机械能、速度和重力的功率，关于它们随下落高度h或下落时间t的变化规律，下列四个图像中正确的是(　　)
过程与表达式结合
例题6：[多选](2021同步练习·江苏高考)如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，O点为弹簧在原长时物块的位置。物块由A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最远到达B点。在从A到B的过程中，物块(　　)
A．加速度先减小后增大
B．经过O点时的速度最大
C．所受弹簧弹力始终做正功
D．所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功
过程、表达式、图象三结合
例题7：(2021同步练习·江苏高考)从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间后落回地面。忽略空气阻力，该过程中小球的动能Ek与时间t的关系图像是(　　)
例题8：(2022课时练习高考题)2022课时练习年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描F随h变化关系的图像是（ ）
A. B. C. D.
例题9：(2022课时练习高考题)从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能Ek与重力势能Ep之和。取地面为重力势能零点，该物体的E总和Ep随它离开地面的高度h的变化如图所示。重力加速度取10 m/s2。由图中数据可得（ ）
A. 物体的质量为2 kg
B. h=0时，物体的速率为20 m/s
C. h=2 m时，物体的动能Ek=40 J
D. 从地面至h=4 m，物体的动能减少100 J
例题10：(2022课时练习高考题)如图（a），在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v-t图像如图（b）所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则（ ）
A. 第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B. 第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C. 第二次滑翔过程中在竖直方向上平均加速度比第一次的大
D. 竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
例题11：(2022课时练习高考题)一匀强电场的方向竖直向上，t=0时刻，一带电粒子以一定初速度水平射入该电场，电场力对粒子做功的功率为P，不计粒子重力，则P-t关系图象是
A. B. C. D.
例题12：（2022课时练习·浙江）一辆汽车沿平直道路行驶，其v–t图象如图所示。在t=0到t=40 s这段时间内，汽车的位移是（ ）
A．0
B．30 m
C．750 m
D．1 200 m
例题13：(2022课时练习高考题)如图（a），物块和木板叠放在实验台上，物块用一不可伸长的细绳与固定在实验台上的力传感器相连，细绳水平。t=0时，木板开始受到水平外力F的作用，在t=4s时撤去外力。细绳对物块的拉力f随时间t变化的关系如图（b）所示，木板的速度v与时间t的关系如图（c）所示。木板与实验台之间的摩擦可以忽略。重力加速度取g=10m/s2。由题给数据可以得出
A. 木板的质量为1kg
B. 2s~4s内，力F的大小为0.4N
C. 0~2s内，力F的大小保持不变
D. 物块与木板之间的动摩擦因数为0.2
例题14：（2022课时练习·新课标全国Ⅰ卷）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a–x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
例题答案
例题1：
解析　由于小球在运动过程中机械能守恒，小球沿管道MPN运动到N点与沿管道MQN运动到N点的速率相等，即v1＝v2。小球沿管道MPN运动到N点与沿管道MQN运动到N点的路程相等，而沿管道MPN运动比沿管道MQN运动的平均速率小，所以沿管道MPN运动到N点比沿管道MQN运动到N点的时间长，即t1＞t2，故选项A正确。
答案　A
例题2：
【分析】本题是电学中最复杂的选择题，常规解法相当繁琐，应该力求用最简洁的“巧法”来解。可综合应用“图象法”、“特殊值代入法”、“等效法”等来解。四个选项对应时间段的中间时刻分别是、、和，时刻进入与时刻进入的效果相同，所以只需在同一个上，分别画出从、、、时刻进入的一个周期的图象，结合图象分析即可得出结论。
【解析】设正电粒子向B板运动的方向为正方向，则从、、、时刻进入的运动一个周期的图象如图所示。
根据的“面积”研究带电粒子的运动情况，A选项对应进入，运动过程有往复运动（即时而向A板运动，时而向B板运动），但一个周期内粒子运动的总面积为正，即粒子向B板靠近，最终会打到B板上，A选项错误。B选项对应进入，运动过程有往复运动（即时而向A板运动，时而向B板运动），一个周期内粒子运动的总面积为负，即粒子向A板靠近，最终会打到A板上，B选项正确。同理分析选项C、D错误。
【答案】B
例题3：
解析：选A　设物块P静止时，弹簧的压缩量为x0，则有kx0＝mg，在弹簧恢复原长前，物块受力如图所示，根据牛顿第二定律得F＋k(x0－x)－mg＝ma，整理得F＝kx＋ma，即F是x的一次函数，选项A正确。
[举一反三]
解析：选ABC　雨滴由静止开始下落时，所受的空气阻力为0，此时雨滴只受重力，加速度为g，随着雨滴速度增大，所受的空气阻力增大，由mg－Ff＝ma可知，雨滴的加速度减小，即雨滴做加速度逐渐减小的加速运动。当Ff＝mg时，加速度减小到零，雨滴做匀速运动，故选项A、B正确；最后雨滴匀速运动时有：kr2v02＝mg＝ρg，故v02＝，即v0＝ ，选项C正确，D错误。
例题4：
解析：选D　由万有引力公式F＝G可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C；而F与h不是一次函数关系，排除A。
例题5：
解析：选AC　钢板受到重力mg、风力F、墙的支持力N和滑动摩擦力f，由于风力恒定，则由平衡条件得知，墙对钢板的支持力恒定，钢板所受的滑动摩擦力恒定，故钢板匀加速下滑，则有v＝at，故C正确；根据动能定理得：Ek＝(mg－f)h，可知Ek与h成正比，故A正确；设钢板开始时机械能为E0，钢板克服滑动摩擦力做的功等于机械能减小的量，则E＝E0－fh＝E0－f·at2，则知E与t是非线性关系，图像应是曲线，故B错误；重力的功率P＝mgv＝mg，则知P与h是非线性关系，图像应是曲线，故D错误。
例题6：
解析：选AD　小物块由A点开始向右加速运动，弹簧压缩量逐渐减小，F弹减小，由F弹－Ff＝ma知，a减小；当运动到F弹＝Ff时，a减小为零，此时小物块速度最大，弹簧仍处于压缩状态；由于惯性，小物块继续向右运动，此时Ff－F弹＝ma，小物块做减速运动，且随着压缩量继续减小，a逐渐增大；当越过O点后，弹簧开始被拉伸，此时F弹＋Ff＝ma，随着拉伸量增大，a继续增大，综上所述，从A到B过程中，物块加速度先减小后增大，在O点左侧F弹＝Ff时速度达到最大，故A正确，B错误。在AO段物块所受弹簧弹力做正功，在OB段做负功，故C错误。由动能定理知，从A到B的过程中，弹力做功与摩擦力做功之和为0，故D正确。
例题7：
解析：选A　小球做竖直上抛运动，设初速度为v0，则v＝v0－gt，小球的动能Ek＝mv2，把速度v代入得，Ek＝mg2t2－mgv0t＋mv02，Ek与t为二次函数关系。
例题8：【答案】D
【解析】解：设地球的质量为M，半径为探测器的质量为m。根据万有引力定律得：
可知，F与h是非线性关系，图象是曲线，且随着h的增大，F减小，故ABC错误，D正确。
故选：D。
根据万有引力定律写出F与h的关系式，再根据数学知识确定图象的形状。
解决本题的关键要掌握万有引力定律，知道公式中r是探测器到地心的距离，等于地球半径加上离地的高度。
例题9：【答案】AD
【解析】【详解】 A．Ep-h图像知其斜率为G，故G= =20N，解得m=2kg，故A正确
B．h=0时，Ep=0，Ek=E机-Ep=100J-0=100J，故=100J，解得：v=10m/s，故B错误；
C．h=2m时，Ep=40J，Ek= E机-Ep=90J-40J=50J，故C错误
D．h=0时，Ek=E机-Ep=100J-0=100J，h=4m时，Ek’=E机-Ep=80J-80J=0J，故Ek-Ek’=100J，故D正确
例题10：【答案】BD
【解析】解：A、根据图象与时间轴所围图形的面积表示竖直方向上位移的大小可知，第二次滑翔过程中的位移比第一次的位移大，故A错误；
B、运动员两次从同一跳台起跳，则运动员离开跳台时水平方向的速度大小相等，故离开跳台做平抛运动，水平方向的位移由运动时间决定，由图象知，第二次的运动时间大于第一次运动的时间，故B正确；
C、由图象知，第二次滑翔时的竖直方向末速度小，运动时间长，据加速度的定义式可知其平均加速度小，故C错误；
D、当竖直方向速度大小为时，第一次滑翔时图象的切线斜率大于第二次滑翔时图象的斜率，而图象的斜率表示加速度的大小，故第一次滑翔时速度达到时加速度大于第二次时的加速度，据可得阻力大的加速度小，故第二次滑翔时的加速度小，故其所受阻力大，故D正确。
故选：BD。
图象中，图象与时间轴所围图形的面积表示位移，图象上某点的切线的斜率表示该时刻加速度的大小，结合牛顿第二定律分析求解。
读懂图象，知道图象中加速度与位移的表示是正确解题的关键。
例题11：【答案】BD
【解析】A．由v-t图面积易知第二次面积大于等于第一次面积，故第二次竖直方向下落距离大于第一次下落距离，所以，A错误；B．由于第二次竖直方向下落距离大，由于位移方向不变，故第二次水平方向位移大，故B正确；
C．由于v-t斜率知第一次大、第二次小，斜率越大，加速度越大，或由 易知a1>a2，故C错误；D．由图像斜率，速度为v1时，第一次图像陡峭，第二次图像相对平缓，故a1>a2，由G-fy=ma，可知，fy1例题11：【答案】A
【解析】由于带电粒子在电场中类平抛运动，在电场力方向上做匀加速直线运动，加速度为 ，经过时间 ，电场力方向速度为，功率为 ，所以P与t成正比，故A正确。
例题12：【答案】C
【解析】在v–t图像中图线与时间轴围成的面积表示位移，故在40 s内的位移为，C正确。
例题13：【答案】AB
【解析】
【详解】结合两图像可判断出0-2s物块和木板还未发生相对滑动，它们之间的摩擦力为静摩擦力，此过程力F等于f，故F在此过程中是变力，即C错误；2-5s内木板与物块发生相对滑动，摩擦力转变为滑动摩擦力，由牛顿运动定律，对2-4s和4-5s列运动学方程，可解出质量m为1kg，2-4s内的力F为0.4N，故A、B正确；由于不知道物块的质量，所以无法计算它们之间的动摩擦因数μ,故D错误.
例题14：【答案】AC
【解析】由a–x图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向，根据牛顿第二定律有：，变形式为：，该图象的斜率为，纵轴截距为重力加速度。根据图象的纵轴截距可知，两星球表面的重力加速度之比为：；又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有引力相等，即：，即该星球的质量。又因为：，联立得。故两星球的密度之比为：，故A正确；当物体在弹簧上运动过程中，加速度为0的一瞬间，其所受弹力和重力二力平衡，，即：；结合a–x图象可知，当物体P和物体Q分别处于平衡位置时，弹簧的压缩量之比为：，故物体P和物体Q的质量之比为：，故B错误；C、物体P和物体Q分别处于各自的平衡位置（a=0）时，它们的动能最大；根据，结合a–x图象面积的物理意义可知：物体P的最大速度满足，物体Q的最大速度满足：，则两物体的最大动能之比：，C正确；物体P和物体Q分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置（a=0）可知，物体P和Q振动的振幅A分别为和，即物体P所在弹簧最大压缩量为2，物体Q所在弹簧最大压缩量为4，则Q下落过程中，弹簧最大压缩量时P物体最大压缩量的2倍，D错误；故本题选AC。
针对练习
1.[多选](2021同步练习·全国卷Ⅲ)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是(　　)
A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
2.[多选](2021同步练习·全国卷Ⅱ)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶。下列说法正确的是(　　)
A．两车在t1时刻也并排行驶
B．在t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小
D．乙车的加速度大小先减小后增大
3.【2022课时练习年江苏卷】一匀强电场的方向竖直向上。时刻，一带电粒子以一定初速度水平射入该电场，电场力对粒子做功的功率为P，不计粒子重力，则关系图象是　　
A. B.
C. D.
针对练习答案
1.解析：选CD　x t图像斜率表示两车速度，可知t1时刻乙车速度大于甲车速度，故A错误。由两图线的纵截距知，出发时甲车在乙车前面，t1时刻图线相交表示两车相遇，可得0到t1时间内乙车比甲车多走了一段距离，故B错误。t1和t2时刻两图线相交，表明两车均在同一位置，从t1到t2时间内，两车走过的路程相等；在t1到t2时间内，两图线有斜率相等的一个时刻，即该时刻两车速度相等，故C、D正确。
2.解析：选BD　t1～t2时间内，v甲＞v乙，t2时刻相遇，则t1时刻甲车在乙车的后面，故A错误、B正确。由图像的斜率知，甲、乙两车的加速度大小均先减小后增大，故C错误、D正确。
3. 【答案】A
【解析】解：带电粒子垂直进入电场后做类平抛运动，沿电场方向上做匀加速直线运动，故沿电场方向上的速度为：；
故ts秒时电场力的功率为：；
故说明P与时间成正比，故A正确BCD错误。
故选：A。
明确带电粒子在电场中受力情况，知道带电粒子垂直电场方向进入时做类平抛运动；同时明确功率，即功率等于力与力的方向上速度的乘积。
本题考查了带电粒子在电场中偏转规律的应用，同时明确功率的计算，知道只需求出竖直方向上的速度即可，由于粒子做类平抛运动，水平方向上的速度不会影响电场力的功率。

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