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第四节 三角函数的图象与性质
知识清单
1．三角函数的图象与性质
图象
定义域
值域
单调性 上单调递增； 上单调递减 上单调递增； 上单调递减 上都单调递增； 无减区间
最值 当时， 当时， 当时， 当时， 既无最大值，也无最小值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称轴为 对称中心为 对称轴为 对称中心为 无对称轴 对称中心
最小正周期
2．周期函数
一般地，设函数的定义域为，若存在一个非零常数，使得对每一个，都有，且，那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期.
周期公式
（1）的周期为
（2）或的周期为
3．函数的性质
①值域与最值
（1）若，则值域；
（2）若有取值范围，则求出的范围，再根据的图象求出值域
（3）最大值点： 最小值点：
②单调区间（同增异减）
将看作一个整体，代入的单调区间，解出的取值范围（时，注意区间变化）
增区间： 减区间：
③对称轴和对称中心
（1）将看作一个整体，代入的对称轴、对称中心和最值点，求出的值
对称轴： 对称中心：
（2）若为对称轴，则
（3）若为对称中心，则
④奇偶性
（1）函数若为奇函数，则，若为偶函数，则
（2）函数若为奇函数，则，若为偶函数，则
⑤周期
函数的周期 ，函数的周期
题型训练
题型一 三角函数的定义域
函数与的定义域均为，的定义域为
1．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的定义域为
4．函数的定义域为 ，函数的
定义域是　
题型二 三角函数的图象
5．图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是（　　）
A． B． C．2 D．
6．在区间内，函数与函数的图象的交点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．函数与直线围成的封闭平面图形的面积为
8．已知与的图象的连续的三个交点构成三角形，则的
面积等于
9．函数与的交点个数为 ，函数与的交点个数为
10．函数与函数的交点个数为 ，函数与函数的交点个数为_________
题型三 三角函数的值域
①函数的复合函数的值域（常用换元法，注意元的取值范围）
11．函数的值域是（　　）
A． B． C． D．
12．已知，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
13．函数的最大值是
14．函数的值域为 ，函数的值域为
15．函数的值域为 ，函数的值域为
16．已知函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是
②函数的值域
一般通过的取值范围，求出的范围，再根据函数的图象求出值域
17．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
18．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
19．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．函数在区间上的值域为
21．函数在区间上的值域为
22．函数在区间的最大值为，则的最小值为
题型四 三角函数的单调性
①利用单调性比较大小和解不等式
23．已知，则（　　）
A． B． C． D．
24．设，，，则（　　）
A． B． C． D．
25．若，则使和同时成立的的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
26．不等式的解集为 ，不等式的解集为
不等式的解集为 ，不等式的解集为
②求函数的单调区间（注意与的正负）
27．函数的单调增区间为（　　）
A． B．
C． D．
28．函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
29．函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
30．函数的单调增区间为 ，单调减区间为
函数的单调增区间为 ，单调减区间为
③函数的单调性的运用
已知函数在区间上单调递增，首先区间长度不大于半个周期，即，然后区间是区间的一个子区间，
即，最后，根据的赋值与求出的取值范围．
31．下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
32．函数在下列哪个区间上单调递减（　　）
A． B． C． D．
33．函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
34．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是
题型五 三角函数的奇偶性
35．函数是（　　）
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
36．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．4
37．已知函数为偶函数，则等于（　　）
A． B． C． D．
38．已知函数为奇函数，则函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
题型六 三角函数的对称性与周期性
①对称性
（1）轴对称： 函数关于直线 对称
（2）中心对称：函数关于点对称
39．函数图象的一条对称轴是直线（　　）
A． B． C． D．
40．已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
41．已知函数对任意都有，则等于（　　）
A．2或0 B．或2 C．0 D．或0
42．已知函数，且，，
则实数的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
43．函数的对称中心为 　
44．已知函数的图象关于直线对称，则的值为　 　
②周期性
45．函数的最小正周期为（　　）
A． B． C． D．
46．函数的最小正周期为（　　）
A． B． C． D．
47．在下列函数中，最小正周期不是的函数是（　　）
A． B． C． D．
48．函数的最小正周期是　 　
综合训练
1．函数在处取得最小值，则在上的单调递增区间是（　 ）
A． B． C． D．
2．已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则（　　）
A． B． C． D．
3．下列函数中，以为最小正周期且在区间单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知函数，则（　　）
A．的最小正周期为，最大值为3 B．的最小正周期为，最大值为4
C．的最小正周期为，最大值为3 D．的最小正周期为，最大值为4
5．设函数．若，且的最小正周
期大于，则（ 　）
A． B． C． D．
6．已知函数的图象在区间上不单调，则的取值范围为（　　）
A． B．
C．（ D．
7．已知函数，是函数的零点，是函数
图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（　　）
A．11 B．9 C．7 D．5
8．函数在的零点个数为　 　
9．设函数，若对恒成立，则的最小值为　
10．若函数在内有且仅有两条对称轴，则的取值范围是　
第四节 三角函数的图象与性质参考答案
题型一 三角函数的定义域
1-2 A，C 3．
4． ，
题型二 三角函数的图象
5-6 A，C 7． 8． 9．7，5 10．3，2
题型三 三角函数的值域
①函数的复合函数的值域
11-12 C，D 13．1 14．， 15．， 16．
②函数的值域
17-19 C，D，A 20． 21． 22．
题型四 三角函数的单调性
①利用单调性比较大小和解不等式
23-25 C，C，D
26．，，
，
②求函数的单调区间
27-29 A，C，A
30．，
，
③函数的单调性的运用
31-33 A，C，A 34．
题型五 三角函数的奇偶性
35-38 A，C，C，B
题型六 三角函数的对称性与周期性
①对称性
39-42 C，B，B，B 43． 44．
②周期性
45-47 C，C，D 48．
综合训练
1-7 A，A，A，B，A，B，B 8．3 9． 10．

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