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第二节 三角函数的概念
知识清单
一．三角函数的概念
1．三角函数的概念
在平面直角坐标系中，设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点．
三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数
定义 把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即 把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即
通常记为
2．三角函数值在各象限的符号
由，，，可得三角函数值的正负与的正负有关．
注意：终边在坐标轴上的角的三角函数值也存在正负，但它不属于任何象限．
3．特殊角的三角函数值表
度
弧度
无 无
二．同角三角函数的基本关系
1．同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切．
（1）．
（2）．
（3）基本变形
①； ②； ③； ④．
2．三兄弟，与的关系式
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
注意：与的取值范围：，．
3．关于的齐次式化简
（1）分子分母同除， 如：；
（2）分子分母同除，如：；
（3）分子“”的代换，如： ；
（4）分母“”的代换，如：．
（5）一些常见的式子变形
①； ②；
③．
题型训练
题型一 根据三角函数的定义求值
三角函数定义的推论：点为任意角终边上的一点（不与原点重合），它到原点的距离为，则有， ，，其中
1．已知角的终边经过点，则（　 　）
A． B． C． D．
2．已知角的终边经过点，则的值等于（　 　）
A． B． C． D．
3．已知角的终边在射线上，则
4．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上的一点，
且，则　 　
题型二 三角函数值的正负的判断
（1）为一、三象限角，为二、四象限角
（2）为一象限角，为三象限角
（3）为二象限角，为四象限角
5．若，且，则角是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
6．若，且，则角是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
7．若角满足，，则在（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
8．下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
9．已知点在第三象限，则角的终边在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．若为第三象限角，则
题型三 三角函数值，与的计算（知一求二）
已知，则，正负由的象限判断，再计算；
（2）已知，则，正负由的象限判断，再计算；
（3）已知，则将代入消元，；
（4）已知，与联立建立方程组，消去（），得到（）的一元二次方程，从而求出（）；
（5） ，；
（6）常见勾股数：，三角函数值可以通过解直角三角形进行计算，由象限判断正负．
11．若为第二象限角，，则（　　）
A． B． C． D．
12．若，且为第四象限角，则的值等于（　　）
A． B． C． D．
13．已知为第二象限的角，且，则（　　）
A． B． C． D．
14．已知，且是第二象限角，则（　　）
A． B． C． D．
15．若，则（　 　）
A． B．2 C． D．
16．已知为第三象限的角，且，则
17．已知，且，则 ，
18．已知，则　 　
题型四 三兄弟，与的计算（知一求二）
19．已知，且，则（　 　）
A． B． C． D．
20．已知，则（　 　）
A． B． C．1 D．2
21．已知，且，则（　 　）
A． B． C． D．
22．已知，则（ ）
A．1 B． C． D．1或
23．已知，且，则 ，
24．函数的最小值为
题型五 化简齐次式（分子分母同除）
25．若，则的值为（ 　　）
A．0 B． C．1 D．
26．若，则（　　）
A． B． C．2 D．3
27．已知，则（　　）
A． B． C． D．
28．已知，则（　 　）
A． B． C． D．
29．已知，则　 　
30．已知，则的值是　 　
题型六 三角函数式的化简与证明（切化弦）
31．的化简结果为（ ）
A． B． C． D．
32．（ ）
A． B．1 C． D．
33．已知为二象限角，则的化简结果为（ ）
A． B． C． D．
34．已知，求证：
35．求证：.
36．求证：.
综合训练
1．已知角的终边经过点，且，则（　 ）
A． B． C． D．
2．已知，那么角是（　　）
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
3．已知角是三角形的一个内角，且，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
4．已知是第三象限角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则角的终边在（　　）
A．第二象限或第三象限 B．第三象限
C．第二象限或第四象限 D．第四象限
6．已知为二象限角，且，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知且，，则的值为 　
8．已知，若，则 　
9．函数的值域为 　
10．已知关于的方程的两根为与，．
（1）求实数的值；
（2）求的值．
第二节 三角函数的概念参考答案
题型一 根据三角函数的定义求值
1-2 D，A 3． 4．
题型二 三角函数值的正负的判断
5-9 B，C，B，C，B 10．1
题型三 三角函数值，与的计算
11-15 ABCCB 16． 17． ， 18．
题型四 三兄弟，与的计算
19-22 A，D，B，C 23．， 24．
题型五 化简齐次式
25-28 B，D，D，A 29． 30．
题型六 三角函数式的化简与证明
31-33 A，B，C 34-36 略
综合训练
1-6 C，B，C，A，D，A 7． 8． 9．
10．（1） （2）

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