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17 估算求解法，简化运算
物理估算题，一般是指依据一定的物理概念和规律，运用物理和近似计算，对所求物理量的数量级或物理量的取值范围，进行大致的、合理的推算。物理估算是一种重要的，有的物理问题，在符合精确度的前提下可以用近似的便捷处理；有的物理问题，由于本身条件的特殊性，不需要也不可能进行精确计算。在这些情况下，估算就很实用。其特点是在“理”不在“数”，它要求考生在分析和解决问题时，要善于抓住问题的本质特征和影响结果的主要因素，忽略次要因素，从而使问题简捷地解决，迅速获得合理的结果。
(1)估算时经常用到的近似数学关系：
①角度θ很小时，弦长近似等于弧长。
②θ很小时，sinθ≈θ，tanθ≈θ，cosθ≈1。
③a b时，a＋b≈a，＋≈。
(2)估算时经常用到的一些物理常识数据：
解题所需数据，通常可从日常生活、生产实际、熟知的基本常数、常用关系等方面获取，如成人体重约600 N，汽车速度约10～20 m/s，重力加速度约为10 m/s2……
（3）分式上下同放同缩、乘积一放一缩
例题1：我国新一代高速列车牵引功率达9 000 kW,运行的平均速度约为300 km/h,则新一代高速列车沿全长约1 300 km的京沪线从北京到上海,在动力上耗电约为(　　)
A.3.9×104 kW·h B.2.7×106 kW·h
C.2.7×104 kW·h D.3.9×106 kW·h
例题2：(2021同步练习高考题)2021同步练习年2月，我国500m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10﹣11N m2/kg2．以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（　　）
A．5×104kg/m3 B．5×1012kg/m3 C．5×1015kg/m3 D．5×1018kg/m3
例题3：(2021同步练习高考题)用波长为300nm的光照射锌板，电子逸出锌板表面的最大初动能为1.28×10﹣19J，已知普朗克常量为6.63×10﹣34J s，真空中的光速为3.00×108m s﹣1，能使锌产生光电效应的单色光的最低频率约为（　　）
A．1×1014Hz B．8×1014Hz C．2×1015Hz D．8×1015Hz
例题4：(2022课时练习高考题)太阳内部核反应的主要模式之一是质子-质子循坏，循环的结果可表示为，已知和的质量分别为和，1u=931MeV/c2，c为光速。在4个转变成1个的过程中，释放的能量约为（） A. 8 MeV B. 16 MeV C. 26 MeV D. 52 MeV
例题5：（2011课标全国卷）卫星电话信号需要通过地球同步卫星传送．如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收。到信号所需最短时间最接近于（可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为，运行周期约为27天，地球半径约为6 400 km，无线电信号的传播速度为)( )
A．O.l s B．0.25 s C．0.5 s D．1s
附：地球同步卫星在高考中出现的几率很大，几乎年年出现。要求熟记同步卫星的特点。下面再回顾一遍，要牢记：
相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星，又叫通信卫星，同步卫星有以下几个特点；
(1)转动方向一定：同步卫星的运行方向与地球自转方向一致
(2)周期一定：同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，都是T=24 h
(3)角速度一定：同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度
(4)轨道一定：要与地球同步，卫星的轨道平面必须与赤道平面平行，又由于向心力是万有引力提供的，万有引力必须在轨道平面上，所以同步卫星的轨道平面均在赤道平面上，即所有的同步卫星都在赤道的正上方
(5)同步卫星高度固定不变：，轨道半径，高度）
例题6：已知地球中心到月球的距离约为地球半径的60倍，试估算地球的平均密度(取一位有效数字，G＝6.7×10－11 N·m2/kg2)。
名师点评：(1)利用月、地距离，联想到月球绕地球运行可近似地看做匀速圆周运动这一物理情景，提出问题的物理过程和实质。(2)选定适用的物理规律：向心力＝万有引力，即＝m。(3)明确向心力、万有引力概念，引入常识性的物理量及挖掘出隐含的数据。
例题7：如图所示，U＝1.5 V，R1＝1 kΩ，R2＝10 Ω，R3＝5 kΩ，RA＝20 Ω，试估算电流表的读数。
名师点评：利用一些数学近似公式进行估算，可大大地简化其计算过程，提高解题速度。在平时学习过程中要熟悉一些常用的近似计算公式，并且在解题中能做些应用和训练，可提高应用数学公式解决物理问题的能力。在物理估算中，常用的一些数学近似公式如下：当θ很小时，sinθ≈tanθ≈θ，cosθ≈1；T＝2π 中π≈；当a b时，a＋b≈a，＋≈；当a≈b时，≈。借用上述公式进行物理估算，常常会收到意想不到的效果。
例题答案
例题1：【答案】A　
【解析】列车从北京到上海的时间为t= h
在动力上耗电约为W=Pt=9 000 kW× h=39 000 kW·h=3.9×104 kW·h,选项A正确,B、C、D错误。
例题2：【答案】C
例题3：解析：选B.根据爱因斯坦光电效应方程Ek＝hν－W0＝h－hν0，代入数据解得ν0≈8×1014Hz，B正确
例题4：【答案】C
【解析】 由知，=，忽略电子质量，则：，故C选项符合题意；
例题5：【解析】根据，得,故，（注：由同步卫星的常识也可得）。最短时间 答案为B．
例题6：解析　设r为月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径，R为地球半径，则r＝60R，T为月球绕地球做匀速圆周运动的周期，约为28天，即
T＝28×24×3600 s＝2.4×106 s。
又因万有引力提供向心力：＝mr
把r＝60R代入上式并整理得＝，
故地球平均密度ρ＝＝
＝ kg/m3≈5×103 kg/m3。
答案　5×103 kg/m3
例题7：解析　由于(R3＋RA) R2，所以并联部分电阻的阻值约为R2，则并联部分电压为U并＝U≈U＝1.5×10－2 V，又由于R3 RA，所以IA≈＝ A＝3×10－6 A。
答案　3×10－6 A
针对训练
1. 2021同步练习年3月22日，一架中国国际航空CA03客机，从天津飞抵香港途中遭遇鸟击，飞机头部被撞穿约一平方米的大洞，雷达罩被击穿，所幸客机及时安全着陆，无人受伤。若飞机飞行的速度为150m/s，小鸟在空中的飞行速度非常小，与飞机的速度相比可忽略不计。已知小鸟的质量约为0.4kg，小鸟与飞机的碰撞时间为6.0×10﹣4s．则飞机受到小鸟对它的平均作用力的大小约为（　　）
A．108N B．105N C．103N D．102N
2. 在雷雨云下沿竖直方向的电场强度约为104 V/m。已知一半径为1 mm的雨滴在此电场中不会下落，取重力加速度大小为10 m/s2，水的密度为103 kg/m3。则雨滴携带的电荷量的最小值约为(　　)
A．2×10－9 C B．4×10－9 C
C．6×10－9 C D．8×10－9 C
3．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径为，该中心恒星与太阳的质量比约为（ ）
（A）． （B）．1 （C）．5 （D）．10
4、采用不同的来估算银河系的质量，会得出不同的结果。例如按照目侧估算，在离恨河系中心距离R=3109R0的范围内聚集的质量M=1.51011M0，其中R0是地球轨道半径，M0是太阳质量。假设银河系的质量聚集在中心，如果观测到离银河系中心距离R处的一颗恒星的周期为T=3. 75108年，那么银河系中半径为R的球体内部未被发现的天体的质量约为( )
A、4.01010 M0 B、1.91011M0
C、4.01011 M0 D、5.51011 M0
5.已知地球半径约为6.4×106 m，空气的摩尔质量约为29×10-3 kg/mol,一个标准大气压约为1.0×105 Pa.利用以上数据可估算出地球表面大气在标准状况下的体积为( )
A.4×1016 m3 B.4×1018 m3
C. 4×1030 m3 D. 4×1022 m3
6. (2022课时练习·江苏七市二模)引体向上是中学生体育测试的项目之一，引体向上运动的吉尼斯世界纪录是53次/分钟。若一个普通中学生在30秒内完成12次引体向上，该学生此过程中克服重力做功的平均功率最接近于(　　)
A．5 W B．20 W C．100 W D．400 W
7.已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为( )
A.0.2 B.2 C.20 D.200
8. （2015·江苏）过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径为，该中心恒星与太阳的质量比约为（ ）
（A）． （B）．1 （C）．5 （D）．10
针对训练答案
1. 【参考答案】B
【解析】本题为估算题，可以认为撞击前鸟的速度为零，撞击后鸟与飞机的速度相等，飞机速度为：v＝700m/s，撞击过程可以认为鸟做匀加速直线运动，对鸟，由动量定理得：Ft＝mv﹣0，解得F＝＝＝1.0×105N，选项B正确，ACD错误。
2. 【参考答案】　B
【解析　雨滴受力平衡时，电场力和重力大小相等，此时电场力最小，则雨滴带电荷量最小，有mg＝Eq，而m＝ρV＝·ρ，联立两式得q＝＝ C≈4×10－9 C，故选B。
3．【参考答案】B
【解析】由G =mr 解得 = ，由此可得该中心恒星与太阳的质量比约为 = = =1，选项B正确。
4. 【参考答案】.A
【解析】
地球围绕太阳圆周运动，由万有引力定律，G =mR0()2，即M0= ；恒星围绕银河系中心运动，由万有引力定律，G =mR()2，即M’== = M0=1.92×1011 M0，银河系中半径为R的球体内部未被发现的天体的质量约为1.92×1011 M0-1.5×1011 M0=0.42×1011 M0。选项A正确。
5. 【参照答案】 B
【解析】：地球表面面积S=4πR2，地球表面大气质量m=4πR2p0/g=5×1018kg，地球表面大气物质的量n=m/M，地球表面大气在标准状况下的体积为V=nV0=5×1018÷（29×10-3）×22.4×10-3m3=4×1018m3，所以正确选项是B。
6. 【参照答案】C
【解析】：学生体重约为50 kg，每次引体向上上升的高度约为0.5 m，引体向上一次克服重力做功为W＝mgh＝50×10×0.5 J＝250 J，全过程克服重力做功的平均功率为＝＝＝100 W，故C正确，A、B、D错误。
【名师点评】：本题考查重力做功与功率，但难点是考查学生的估算能力和生活常识，中学生的体重大约为50 kg，引体向上每次上升的高度大约为0.5 m。
7. 【参照答案】 B
【解析】：设太阳质量m1，地球质量m2，月球质量m3，太阳到地球的距离为R，地球到月球的距离为r，因太阳到地球的距离远大于地球到月球的距离，取太阳到月球的距离等于太阳到地球的距离R，则太阳对月球的万有引力可表示为F= G m1 m3/R2，地球对月球的万有引力f= G m2 m3/r2，地球绕太阳旋转的周期T1=365天，月球绕地球旋转的周期为T2=27天，由万有引力提供向心力可得G m1 m2/R2= m2R , G m3 m2/r2= m3r ,由题意R/r=390，联立解得太阳对月球的万有引力F 与地球对月球的万有引力f 的比值F/f==390×≈2。所以正确选项是B。
8. 【参考答案】B
【名师解析】由G =mr 解得 = ，由此可得该中心恒星与太阳的质量比约为 = = =1，选项B正确。

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