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19 利用比例，减少出错率
物理规律、物理公式中反映出两个物理量之间的比例关系，利用比例法解题可以避开与解题无关的量，直接列出已知和未知的比例式进行计算，使解题过程大为简化．下面就如何利用正比例解题，谈谈应该注意的问题。
正比例
正比例：两种相关联的物理量，一种是变量，另一种量是自变量，如果这两种量相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值， 正比例关系可以用以下关系式表示：y=Kx。根据正比例函数的特点，可以把正比例函数分为一下的三个方面的应用。
1、利用正比例两种状态或过程列比例关系。物理量y与x成正比，在两种状态下可以写成y1=Kx1, y2=Kx2。两式相比可以写成：
即两种状态下对应物理量之比相等。
例题1：有一星球的密度跟地球密度相同，但它 表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的 ( )
A．1/4倍 B．4倍
C．16倍 D 64倍
点评：
1）比例法在涉及物理过程多，物理状态多的问题，此种出错率小，解题简便迅速。
2）利用比例法解题一般步骤：
①写出待求量与相关量之间的相关公式。
②找出待求量与相关量之间的比例关系。
③列比例式求解待求量。
2、利用变化量之比等于K求解相关问题。物理量y与x成正比，在两种状态下可以写成y1=Kx1, y2=Kx2。两式相减可以写成, y2-y1=K（x2-x1）即两个量成正比它们的变化量也成正比。
3、利用正比例函数图像求解相关问题。
正比例函数关系图像在物理中应用非常广泛，图像解题经常会讨论图像的斜率、面积的含义。
归纳：
应用比例法解物理题，要讨论物理公式中变量之间的比例关系，要清楚公式的物理意义和每个量在公式中的作用，以及所要讨论的比例关系是否成立．
正比例法的应用：
(1)比例条件是否满足．物理过程中的变量往往有多个，讨论某两个量间的比例关系时要注意只有其他量为常量时才能成比例．
(2)比例是否符合物理意义．不能仅从数学关系来看物理公式中各量的比例关系，要注意每个物理量的意义．(如不能根据R＝UI 认定电阻与电压成正比)
(3)比例是否存在．讨论某公式中两个量的比例关系时，要注意其他量是否能认为是不变量．如果该条件不成立，比例也不能成立．(如在串联电路中，不能认为P＝U2/R 中P与R成反比，因为R变化的同时，U也随之变化而并非常量)
许多物理量都是用比值法来定义的，常称之为“比值定义”．如密度ρ＝mV，导体的电阻R＝UI，电容器的电容 C＝QU，接触面间的动摩擦因数μ＝f/FN，电场强度E＝F/q等．它们的共同特征是：被定义的物理量是反映物体或物质的属性和特征的，它和定义式中相比的物理量无关．对此，学生很容易把它当做一个数学比例式来处理而忽略了其物理意义，造成了数学知识在物理应用中的负迁移。
反比例
如果两个量成反比，也可以转化成一个量与另一个物理量的倒数成正比。
例题2：(2022课时练习高考题)某理想变压器原、副线圈的匝数之比为1：10，当输入电压增加20V时，输出电压 （ ）
A. 降低2V B. 增加2V C. 降低200V D. 增加200V
(1)比例法可以有效避开与解题无关的物理量，通过列出已知量和所求量的比例关系，从而使解题过程大为简化．
(2)物理过程中的变量往往有多个．讨论某两个量比例关系时要注意只有其他量为常量时才能成比例．
(3)两物体运动规律相同时，适合运用比例法．
例题3：(多选)如图所示，A、B、C是水平面上同一直线的三点，其中AB＝BC，在A点正上方的O点以初速度v0水平抛出一小球，刚好落在B点，小球运动的轨迹与OC的连线交于D点，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A．小球经过D点的水平位移是落到B点水平位移的
B．小球经过D点的水平位移是落到B点水平位移的
C．小球经过D点与落在B点时重力做功的比为
D．小球经过D点与落在B点时重力做功的比为
【变式探究】某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆．每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所示．该行星与地球的公转半径比为(　　)
A．() B．()
C．() D．()
【举一反三】(多选)如图所示，水平放置的两个用相同材料制成的轮P和Q靠摩擦传动，两轮的半径R∶r＝2∶1.当主动轮Q匀速转动时，在Q轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在Q轮边缘上，此时Q轮转动的角速度为ω1，木块的向心加速度为a1，若改变转速，把小木块放在P轮边缘也恰能静止，此时Q轮转动的角速度为ω2，木块的向心加速度为a2，则(　　)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
例题4：据美国宇航局消息，在距离地球40光年的地方发现了三颗可能适合人类居住的类地行星，假设某天我们可以穿越空间到达某一类地行星，测得以初速度10 m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度只有1 m，而其球体半径只有地球的一半，则其平均密度与地球的平均密度之比为(取g＝10 m/s2)(　　)
A．5∶2 B．2∶5
C．1∶10 D．10∶1
例题答案
例题1：答案：D
例题2：【答案】D
【解析】由理想变压器原、副线圈电压比等于匝数比即，得：，即副线圈两端电压与原线圈两端电压成正比，所以有：，当输入电压增加20V时，输出电压增大200V，故D正确。
例题3：【答案】AC
【解析】A项，设小球做平抛运动的时间为t，位移为L，则有Lcosθ＝v0t Lsinθ＝gt2 联立解得t＝根据通式∠OBA＝α，∠C＝β，则tanα＝，tanβ＝，由于AB＝BC，可知落到D点所用时间是落到B点所用时间的，即小球经过D点的水平位移是落到B点水平位移的，故A项正确，B项错误；C项，由于竖直方向是自由落体运动，根据下落的时间关系可知小球经过D点下落的高度为，根据W＝mgh可知C项正确，D项错误；故选A、C两项．
【变式探究】
【答案】B
【解析】一：T＝ ①
其中t为N年，T为周期，n为t时间(N年)内转过的圈数，由①式可得T∝ ②
＝m··r ③
由③式可得r∝T ④
结合②式可得r∝() ⑤
N年内地球转过的圈数为N圈，某行星转过的圈数为(N－1)圈，由⑤式可得
＝()
结合②式可得r∝() ⑤
N年内地球转过的圈数为N圈，某行星转过的圈数为(N－1)圈，由⑤式可得
＝()
【举一反三】【答案】AC
【解析】根据题述，a1＝ω12r，ma1＝μmg；联立解得μg＝ω12r.小木块放在P轮边缘也恰能静止，μg＝ω22R＝2ω22r.由ω1R＝ω2r联立解得＝，A项正确，B项错误；ma＝μmg，所以＝，C项正确，D项错误．
例题4：解析：选D　根据h＝和g＝可得，M＝，即ρπR3＝，行星平均密度ρ＝∝，在地球表面以初速度10 m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度h地＝＝5 m。据此可得，该类地行星与地球的平均密度之比为10∶1，选项D正确。

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