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28 极限分析法，合理推理，无所不及
物理中体现极限思维的常见有极限法、微元法。极限法是把某个物理量推向极端，从而做出科学的推理分析，给出判断或导出一般结论．该一般适用于题干中所涉及的物理量随条件单调变化的情况．
在某些物理状态变化的过程中，可以把某个物理量或物理过程推向极端，从而作出科学的推理分析，使问题化难为易，化繁为简，达到事半功倍的效果。极限法一般适用于定性分析类选择题。例如假设速度很大(趋近于无限大)或很小(趋近于零)、假设边长很大(趋近于无限大)或很小(趋近于零)或假设电阻很大(趋近于无限大)或很小(趋近于零)等，进行快速分析。运用此要注意因变量随自变量单调变化。
例题1：（19年全国3卷）如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上。t=0时，棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示。下列图像中可能正确的是（ ）
例题2：(2012·安徽高考)如图所示，细线的一端系一质量为m的小球，另一端固定在倾角为θ的光滑斜面体顶端，细线与斜面平行。在斜面体以加速度a水平向右做匀加速直线运动的过程中，小球始终静止在斜面上，小球受到细线的拉力T和斜面的支持力为FN分别为(重力加速度为g)( )
A．T＝m(gsin θ＋acos θ)　FN＝ m(gcos θ－asin θ)
B．T＝m(gcos θ＋asin θ)　FN＝ m(gsin θ－acos θ)
C．T＝m(acos θ－gsin θ)　FN＝ m(gcos θ＋asin θ)
D．T＝m(asin θ－gcos θ)　FN＝ m(gsin θ＋acos θ)
例题3：（2022课时练习年海南卷）如图，一段半圆形粗铜线固定在绝缘水平桌面（纸面）上，铜线所在空间有一匀强磁场，磁场方向竖直向下。当铜线通有顺时针方向电流时，铜线所受安培力的方向（ ）
A. 向前 B. 向后 C. 向左 D. 向右
例题4：如图所示，在一粗髓的水平面上有两个质量分别为m1和m2的木块1和2，用原长为l、劲度系数为k的轻弹簧连结起来，木块与地面间的动摩擦因数均为μ．现用一水平力向右拉木块2，当两木块一起匀速运动时，两木块间的距离为 ( )
例题5：平行玻璃砖的厚度为d，折射率为n，一束光线以入射角α射到玻璃砖上，出射光线相对于入射光线的侧移距离为△ｘ，如图所示，则Δｘ决定于下列哪个表达式 ( )
例题答案
例题1：【答案】AC
【解析】ab棒向右运动，切割磁感线产生感应电流，则受到向左的安培力，从而向左做减速运动，；金属棒cd受向右的安培力作用而做加速运动，随着两棒的速度差的减小安培力减小，加速度减小，当两棒速度趋近相等时，回路的磁通量没有变化感应电流为零，最终两棒共速，一起做匀速运动，两棒的加速度为零。故最终电路中电流为0，故AC正确，BD错误。
【点评与总结】本题不仅要考虑过程物理量的变化，还要善于发现终极状态。这是双杆模型，两杆构成的系统动量守恒，双杆最终速度趋近相同，可以得出末速度，两者的相对速度趋近为零。电路中的电动势是切割类型，，速度是两杆的相对速度，相对速度逐渐减小，安培力逐渐减小，加速度逐渐减小，当两杆的相对速度为零，安培力为零，加速度也为零。
例题2：[应用]当a趋近于0时，细线的拉力T＝mgsin θ，而FN＝mgcos θ，由此可知只有A正确。
[心得体会]　本题利用a＝0时，小球平衡状态下细线拉力T和支持力FN的大小，对应四个选项中a＝0的情形很快得出答案，起到事半功倍的绝佳效果。
例题3：【答案】A
【解析】以竖直轴为对称轴，把半圆形通电铜线对称等分，每一段通电铜线长趋近于零但不为零，每一段通电铜线可以看作直线段，对称轴两边的对称直铜线受到的安培力由左手定则确定，其方向关于对称轴对称且斜向上，合力竖直向上。由此得出半圆形通电铜线受到的合力竖直向上。
【点评与总结】本题利用极限思维将半圆形通电铜线化曲为直，从而有利于问题的解决。也可以用等效法处理：半圆形铜线的受力与水平直径长的铜导线等效。
例题4：解析：弹簧对m1的拉力与m1所受的摩擦力平衡，当m1的质量越小时摩擦力越小，弹簧的拉力也越小．当m1的值等于零时(极限)，则不论m2多大，弹簧的伸长量都为零，说明弹簧的伸长量与m2无关，故选A项．
例题5：解析：由于△x随厚度d、入射角α、折射率ｎ2的减小而减小，因此若将d、α、ｎ推向极限，即当α=O时△x=0，d=0时△x=0，n=1时Δx=0．考查四个选项中能满足此三种情况的只有C项．故选C项．
【点评】：值得注意的是，当题干中所涉及的物理量随条件做单调变化时，采用该办法解题较为筒捷．但是，若题干中所涉及的物理量随条件不是单调变化(如先增大后减小或先减小后增大)时，该办法一般不再适用．
针对训练
1.如图所示，在竖直平面内有一边长为a的等边三角形区域ABC，该区域中存在垂直平面向里的匀强磁场和竖直方向的匀强电场，匀强电场的场强为E，一带正电、电荷量为q的小球以速度v沿AB边射入匀强磁场中恰好能做匀速圆周运动，欲使带电小球能从AC边射出，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A.匀强磁场的磁感应强度B的最小值应为
B.匀强磁场的磁感应强度B的最小值应为
C.匀强磁场的磁感应强度B的最小值应为
D.当磁感应强度取最小值时，小球在磁场内运动的时间最短
2.在如图所示的电路中，R1、R2、R3、R4为定值电阻，R5为可变电阻，电源的电动势为E、内阻为r。设电流表的读数为I，电压表的读数为U。当R5的滑动触点向图中a端移动时(　　)
A.I变大，U变小
B.I变大，U变大
C.I变小，U变大
D.I变小，U变小
3.如图所示，一半径为R的绝缘环上，均匀地带电荷量为Q的电荷，在垂直于圆环平面的对称轴上有一点P，它与环心O的距离OP＝L。静电力常量为k，关于P点的场强E，下列四个表达式中有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是(　　)
A.E＝ B.E＝
C.E＝ D.E＝
4. 如图，一不可伸长的轻质细绳跨过滑轮后，两端分别悬挂质量为和的物体和。若滑轮有一定大小，质量为且分布均匀，滑轮转动时与绳之间无相对滑动，不计滑轮与轴之间的磨擦。设细绳对和的拉力大小分别为和，已知下列四个关于的表达式中有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析判断正确的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
针对训练答案
1. 解析　小球进入磁场后恰好做匀速圆周运动，所以mg＝qE，即m＝，当圆周运动轨道半径最大时对应的磁感应强度最小，如图所示由几何关系可得r＝a，结合qvB＝m可得，a＝，所以B＝，A、B错误，C正确；小球运动时间t＝T，从AB边射出时偏转角相等，而周期T＝，磁感应强度B越小，周期越大，故运动时间越长，D错误。
答案　C
2. 解析　本题若运用极限思维法解答，则十分简便。由图可知，R5的滑动触点向a端移动时，Rab减小，因为题中对可变电阻的阻值未作具体限制，我们可以这样设想，将滑动触点移动到端点a处，Rab＝0，的示数为零。因此，R5的滑动触点从b向a端移动时，I变小，R总变小。由I总＝可知I总变大；再由U＝E－
I总r可知U变小。显然选项D正确。
答案　D
3. 解析　当R＝0时，带电圆环等同一点电荷，由点电荷电场强度计算式可知在P点的电场强度为E＝，将R＝0代入四个选项，只有A、D选项满足；当L＝0时，均匀带电圆环的中心处产生的电场的电场强度为0，将L＝0代入选项A、D，只有选项D满足。
答案　D
4. 【答案】C
【解析】假定滑轮质量趋近于零（实际上滑轮总有质量），对于有：。
对于有; 。
又知
以上三式解得：
把代入本题四个选择项，可得出答案与之相符。
【点评与总结】本题的机械叫阿特伍德机，阿特伍德机问题是大学物理经典问题，在高考试题中出现这样给定选项的问题，显然不需要高深的理论推导。本题如果考虑滑轮的质量，高中生是无法直接求解的，因此要应用极限思维。

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