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25 从部分到整体，微元法
微元法是分析、解决物理问题中的常用，也是从部分到整体的思维。用该可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学思想或物理处理，进而使问题求解。使用此会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。
“微元法”，又叫“微小变量法”，是解物理题的一种常用。
如何用微元法
1.什么情况下用微元法解题？在变力求功，变力求冲量，变化电流求电量等等情况下，可考虑用微元法解题。
2. 关于微元法。一般是以时间和位移为自变量，在时间很短或位移很小时，此元过程内的变量可以认为是定值。
比如非匀变速运动求位移时在时间很短时可以看作匀速运动，在求速度的变化量时在时间很短时可以看作匀变速运动。
运动图象中的梯形可以看作很多的小矩形，所以，。微元法体现了微分的思想。
3. 关于求和。许多小的梯形加起来为大的梯形，即，（注意：前面的为小写，后面的为大写），
比如，当末速度时，有，或初速度时，有，这个求和的体现了积分思想。
物理量有三种可能的变化情况
不变（大小以及方向）。可以直接求解，比如恒力的功，恒力的冲量，恒定电流的电量和焦耳热。
线性变化（方向不变，大小线性变化）。比如力随位移线性变化可用平均力来求功，力随时间线性变化可用平均力来求冲量，电流随时间线性变化可用平均电流来求电量。 电流的平方随时间线性变化可用平方的平均值来求焦耳热。
非线性变化。可以考虑用微元法。
值得注意微元法不是万能的，有时反而会误入歧途，微元法解题，本质上是用现了微分和积分的思想，是一种直接的求解，很多时候物理量的非线性变化可以间接求解，比如动能定理求变力的功，动量定理求变力的冲量，能量方程求焦耳热等等。
例题1：（2013·安徽）由消防水龙带的喷嘴喷出水的流量是0.28m3/min，水离开喷口时的速度大小为16m/s，方向与水平面夹角为60度，在最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则空中水柱的高度和水量分别是（重力加速度g取10m/s2）
A．28.8m，1.12×10-2m3 B．28.8m，0.672m3
C．38.4m，1.29×10-2m3 D．38.4m，0.776m3
例题2：如图所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在O点，过圆心与环面垂直的轴线上有P点，PO=r。以无穷远处为电势零点，则P点的电势φ为（ ）
A． B．
C． D．
例题答案
例题1：【参考答案】A
【名师解析】 消防水龙带的喷嘴水平喷水，选取喷嘴处的水（微元）作为研究对象，微元做斜抛运动。将喷出水流速度分解为水平方向和竖直方向，则竖直方向的分速度vy=vsin60°=16× m/s =24m/s；由可得水柱可以上升的最大高度h=28.8m；水柱上升时间为=2.4s。题述流量Q=0.28m3/min=0.0047 m3/s，则在空中的水量V=Qt=0.0047 m3/s ×2.4s=1.12×10-2m3，，所以选项A正确。
例题2：【参考答案】B
【名师解析】将圆环分割成很多微元，每个微元可视为点电荷，设每一个点电荷带电量△Q，在P点产生电场的电势为△φ=k，根据电势叠加原理，P点的电势φ=Σ△φ=Σk=k=k=，选项B正确。
针对训练
1、质量为40 kg的物体，在一个水平外力作用下，沿直径为40 m的水平圆形轨道匀速运动一周，若物体与轨道间动摩擦因数为0.5，水平外力在此过程中做功为（ ）
A．0 B. 2.5×104 J
C. 1.25×104 J D. 0.5×104 J
2、某行星绕太阳C沿圆弧轨道运行，它的近日点A离太阳的距离为a，行星经过近日点A时的速度为，行星的远日点B离太阳的距离为b，则它经过远日点B时的速度为（ ）
A. B. C. D.
3、安培提出了著名的分子电流假说，根据这一假说，电子绕核的运动可等效为环形电流．设电荷量为e的电子以速率v绕原子核沿顺时针方向做半径为r的匀速圆周运动，关于该环形电流的说法，正确的是(　　)
A．电流为，电流的方向为顺时针 B．电流为，电流的方向为顺时针
C．电流为，电流的方向为逆时针 D．电流为，电流的方向为逆时针
4、一枚质量为M的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为，那么火箭发动机的功率是（ ）
A. B. C. D.
5、河水对横停在其中的大船侧弦能激起2m高的浪，试估算将要建造的拦河大坝单位面积
上所受河水的冲击力为（ ）（g取 10 m/s2）
A. B.
C. D.
6、如图所示，一个均匀的带电圆环，带电荷量为＋Q，半径为R，放在绝缘水平桌面上．圆心为O点，过O点作一竖直线，在此线上取一点A，使A到O点的距离为R，在A点放一检验电荷＋q，则＋q在A点所受的电场力为（ ）
A. ，方向向上 B. ，方向向上
C. ，方向水平向左 D. 不能确定
7、阴极射线管中，由阴极K产生的热电子（初速为零）经电压U 加速后，打在阳极A 板
上。若A板附近单位体积内的电子数为N，电子打到A板上即被吸收。已知电子的电量为e
质量为m，则电子打击A板过程中A板所受的压强为（ ）
A. B. C. D.
8、如图所示为静电喷漆示意图。由喷嘴喷出的油漆，形带负电的雾状液（初速可忽略不计，
经 A与K间的电场加速后奔向极A（被漆零件）附着在上面。若与K间电压为U。电路中
的电流强度为I，在时间t内，由喷嘴喷出的油漆质量为m，那么油漆对零件表面的压力为
（ ）
A. B.
C. D.
9、有一台风力发电机，进风口和风轮旋转时形成的截面积均为S，进风口风的速度为，
出风口的截面积为进口风截面积的4倍，如果风损失的动能完全转化为电能，已知空气的密
度为ρ。则这台风力发电机输出的电功率为（ ）
A. B. C. D.
10、一宇宙飞船以速度进入空间分布密度为的尘埃中，如果飞船垂直于运动方向上的最
大截面积为S，且认为尘埃与飞船碰撞后都附着在飞船上，则飞船受到的尘埃的平均制动力
大小为（ ）
A. B. C. D.
11.质量为40 kg的物体，在一个水平外力作用下，沿直径为40 m的水平圆形轨道匀速运动一周，若物体与轨道间动摩擦因数为0.5，水平外力在此过程中做功为（ ）
A．0 B. 2.5×104 J C. 1.25×104 J D. 0.5×104 J
12（2013·安徽）由消防水龙带的喷嘴喷出水的流量是0.28m3/min，水离开喷口时的速度大小为16m/s，方向与水平面夹角为60度，在最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则空中水柱的高度和水量分别是（重力加速度g取10m/s2）
A．28.8m，1.12×10-2m3 B．28.8m，0.672m3
C．38.4m，1.29×10-2m3 D．38.4m，0.776m3
13. 已知点电荷Q电场中的电势φ公式为φ=k，式中r为到场源点电荷Q的距离。两半径分别为r1和r2(r1A．k(+) B．k(+) C．k(+) D．k(+)
14．如图所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在O点，过圆心与环面垂直的轴线上有P点，PO=r。以无穷远处为电势零点，则P点的电势φ为（ ）
A．
B．
C．
D．
针对训练答案
1、【答案】B
【解析】功的公式适用于恒力和物体沿确定方向做直线运动的情况，至于变力和做曲线运动的物体的做功问题，可用微元法.在圆周轨道上取一极短线段Δl，由于物体在此线段Δl上做匀速直线运动，水平外力F等于摩擦力，F=μmg=200 N.水平外力所做的功：W1=F·Δl1=200Δl1.在整个过程中，水平外力做的总功为：W=W1+W2+…=200Δl1+200Δl2+…=200×2 π×20 J=8π×103 J=2.5×104 J.，选项B正确。
2、【答案】C
【解析】此题可根据万有引力提供行星的向心力求解.也可根据开普勒第二定律，用微元法求解.
如图所示，设行星在近日点A时又向前运动了极短的时间，由于时间极短可以认为行星在时间内做匀速圆周运动，线速度为，半径为a，可以得到行星在△t时间内扫过的面积
同理，设行星在经过远日点B时也运动了相同的极短时间，则也有
由开普勒第二定律可知：
解得，故C正确。
3、【答案】C　
【解析】电流，方向与电子运动的方向相反，即沿逆时针方向，选项C正确．
4、【答案】A
【解析】火箭喷气时，要对气体做功，取一个很短的时间，求出此时间内，火箭对气体做的功，再代入功率的定义式即可求出火箭发动机的功率。
选取在时间内喷出的气体为研究对象，设火箭推气体的力为F，
根据动量定理，有
因为火箭静止在空中，所以根据牛顿第三定律和平衡条件有
即 则
对同样这一部分气体用动能定理，火箭对它做的功为：
所以发动机的功率
故正确选项为A。
5、【答案】D
【解析】设水的速度为，则可将水等效为竖直上抛，
以速度冲击拦河大坝的水在时间内质量
根据牛顿第二定律，在较短的时间，，则对于面积S的压强（单位面积上的冲击力）。
故选项D正确。
6、【答案】 B
【解析】把均匀的带电圆环分成相等的N份，
每一小段（微元）的电荷量为，
每一个微元电荷q在A点场强大小为，，方向与竖直方向成45°夹角，
每一个微元电荷q在A点场强的竖直分量为，
由于对称性，A点场强的水平分量为零，
再求和，A点场强大小，方向竖直向上 ，故选项B正确。
7、【答案】B
【解析】由动能定理，电子加速：
在时间内打在A板S面积上的电子数：
根据动量定理：
所以压强. 故选B。
8、【答案】A
【解析】根据动量定理有：
根据动能定理有：
又因为
所以 F = = ，故选A。
9、【答案】B
【解析】设气流在出口处的速度为，因在时间内流进的质量相等，
均为
则有，解得，
电能
这台风力发电机输出的电功率为
故选项B正确。
10、【答案】A
【解析】取尘埃质量元，其相对飞船的速度由在时间内减为零，
则根据牛顿第二定律，质量元受到飞船的平均制动力
其中，则
根据牛顿第三定律可知，飞船受到的尘埃的平均制动力
，方向与飞船飞行方向相反。
故选项A正确。
11. 【参考答案】B
【解析】功的公式适用于恒力和物体沿确定方向做直线运动的情况，至于变力和做曲线运动的物体的做功问题，可用微元法.在圆周轨道上取一极短线段Δl，由于物体在此线段Δl上做匀速直线运动，水平外力F等于摩擦力，F=μmg=200 N.水平外力所做的功：W1=F·Δl1=200Δl1.在整个过程中，水平外力做的总功为：W=W1+W2+…=200Δl1+200Δl2+…=200×2 π×20 J=8π×103 J=2.5×104 J.，选项B正确。
12. 【参考答案】A
【解析】 消防水龙带的喷嘴水平喷水，选取喷嘴处的水（微元）作为研究对象，微元做斜抛运动。将喷出水流速度分解为水平方向和竖直方向，则竖直方向的分速度vy=vsin60°=16× m/s =24m/s；由可得水柱可以上升的最大高度h=28.8m；水柱上升时间为=2.4s。题述流量Q=0.28m3/min=0.0047 m3/s，则在空中的水量V=Qt=0.0047 m3/s ×2.4s=1.12×10-2m3，，所以选项A正确。
13. 【参考答案】D
【解析】根据在静电平衡状态下导体是等势体，导体表面是等势面，导体内部电场强度为零可知球面内部各个点的电势相等，且与球面的电势相等。我们取半径分别为r1球面上一微元，其带电量设为△Q，它在球心处产生的电势△φ=k。利用电势叠加原理可知，整个球面在球心处产生的电势φ1=Σ△φ=Σk= kΣ△Q= k；同理，半径为r2的球面在球心处的电势为φ2=Σ△φ=Σk= kΣ△Q= k；根据电势叠加原理，两半径分别为r1和r2(r114. 【参考答案】B
【解析】将圆环分割成很多微元，每个微元可视为点电荷，设每一个点电荷带电量△Q，在P点产生电场的电势为△φ=k，根据电势叠加原理，P点的电势φ=Σ△φ=Σk=k=k=，选项B正确。

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