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26 分类讨论问题，思维全面
分类讨论，粗略地说就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。分类讨论的好处一方面是可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，使复杂问题简单化；另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，培养周密严谨的思维习惯。这样的思想在物理试题中是比较常见的，下面谈谈这种在几个方面的应用。
1、物理环境的多可能，导致物理结果的多可能分析
物理环境是指运动物体所在的空间媒介，如物体运动所在的重力场、物体运动所在接触面的粗糙程度、运动电荷通电导体所在的电场和磁场的方向和强弱、气体所在环境的温度和压强等。这些物理环境的性质或变化，对于在其中运动的物体的运动方式会产生较大的影响，在题给的运动环境不太确定的情况下，物体在其中运动状态和变化就需要进行分类讨论。
例题1：[多选](2022课时练习·全国卷Ⅰ)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则(　　)
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
例题2：如图所示，水平地面上叠放着A、B两长方形的物块，F0是作用在物块B上的水平恒力，物块A、B以相同的速度作匀速直线运动，若在运动中突然将F0改为作用的物块A上，则此后的运动可能的是　（　　）
A、A、B仍以相同的速度作匀速直线运动
B、A作加速运动，B作减速运动
C、A、B最终将分离
D、A、B最终以共同的加速度作匀加速运动
2、物理属性的多可能，导致物理结果的多可能分析
物体的质量、电阻、电量、电性等是物体本身的属性，在同样的外界环境中，物体的这些属性的不同或变化，也会使物体运动的方式或运动的结果出现多可能，处理这样的问题也需要进行分类讨论。
例题3：如图所示，把一个带电小球A固定在光滑的水平绝缘桌面上，在桌面的另一处有另一带电小球B。现给B一个垂直于AB方向的速度v0，则下列说法中正确的是 [ ]
A、B球可能做直线运动．
B、A球对B球的库仑力可能对B球不做功．
C、B球的电势能可能增加．
D、B球可能从电势较高处向电势较低处运动．
3、已知条件的多可能，导致物理结果的多可能分析
在一定的物理环境下运动时，物体运动的方式是由物体本身的属性和运动物所在的客观环境的双重制约的，这两者的关系的不同组合会影响物体的运动，需要通过分类讨论分析物体运动的可能，从而研究物体运动的具体结果。
例题4：如图所示，真空中光滑绝缘细杆ab水平放置，细杆两端分别固定带电量均为+Q的点电荷，o点是细杆的中点，在ao的中点c处套有一个带负电的小球（可看成检验电荷）．现使小球以初速度向b运动，以后小球的运动情况可能是（ ）
A、始终向b运动，减速直至停止；
B、始终向b运动，先减速后加速；
C、先向b作减速运动，后向a作加速运动；
D、在o点两侧作往复运动。
4、客观条件一致，运动方式的多样性导致物理结果的多可能讨论
物体在相同的外界条件下，其运动也会出现多可能，通过对每一种可能方式的分析，可以得到更加全面的物体运动。
例题5：(2022课时练习年北京)一列简谐横波某时刻的波形如图所示，比较介质中的三个质点a、b、c，则　　
A. 此刻a的加速度最小
B. 此刻b的速度最小
C. 若波沿x轴正方向传播，此刻b向y轴正方向运动
D. 若波沿x轴负方向传播，a比c先回到平衡位置
综上所述，在物理试题中，为增加试题的迷惑性和综合性，命题者往往会采取将试题的已知条件隐晦地表达，或即使已知条件已经表达清楚，但物体可能的运动并未交代，在这样的情况下，就会出现物理结果的多可能。在处理这类物理试题时，必须通过分类讨论的，全面分析可能的物理状况，并对每一种可能求出合理的物理结果，以培养和提高全面分析物理问题的良好思维习惯。
例题答案
例题1：解析：选AC　如图，当x＝0时，对P：mPgM＝mP·3a0，即星球M表面的重力加速度gM＝3a0；对Q：mQgN＝mQa0，即星球N表面的重力加速度gN＝a0。
当P、Q的加速度a＝0时，对P有mPgM＝kx0，则mP＝；对Q有mQgN＝k·2x0，则mQ＝，即mQ＝6mP，故B错误。
根据mg＝G得，星球质量M＝，则星球的密度ρ＝＝，所以M、N的密度之比＝·＝×＝1，故A正确。
当P、Q的加速度为零时，P、Q的动能最大，机械能守恒，对P有：mPgMx0＝Ep弹＋EkP，
即EkP＝3mPa0x0－Ep弹；
对Q有：mQgN·2x0＝4Ep弹＋EkQ，
即EkQ＝2mQa0x0－4Ep弹＝12mPa0x0－4Ep弹
＝4×(3mPa0x0－Ep弹)＝4EkP，故C正确。
P、Q在弹簧压缩到最短时，其位置关于加速度a＝0时的位置对称，故P下落过程中的最大压缩量为2x0，Q为4x0，故D错误。
例题2：【解析】本题涉及力的作用点改变后，系统运动状况可能变化的分析与讨论。出现多可能的原因是A、B接触面间的粗糙程度未知。当水平恒力F0作用在物块B上时，物块A、B以相同的速度作匀速直线运动，说明B与地面间是有摩擦力的，且满足F0=（m+m）g。而物块A随物块B一起做匀速运动，它们间没有摩擦力，但并不能说明物块A、B的接触面的粗糙程度，需要分类讨论。
（1）若A、B的接触面是光滑的，则将F0改为作用的物块A上，物块A因在水平方向只受水平拉力而作匀加速运动，物块B因受地面摩擦力而作匀减速运动，从而导致物块A、B最终的分离，选项BC正确；
（2）若A、B的接触面是不光滑的，则将F0改为作用的物块A上，这时的情况又可以分成两种，一是如果摩擦力足够大，物块A、B间一起运动，对A、B的整体，因F0=（m+m）g，仍做匀速运动，选项A正确，选项D的情况是不可能实现的。综合分析，可知本题选择ABC。
例题3：【解析】本题中，由于运动小球与固定小球的电性关系未知，这必然影响带电小球B的运动方式，必须通过小球间电性关系的分类讨论，分析分析判断题给的答案。
（1）若小球A、B带同性电荷，则相互间为排斥力，由于这个力与小球的速度不再一条直线上，且对小球做正功，小球B会做加速度减小、速度增大的曲线运动，且在运动过程中逐渐远离固定小球A。
（2）若小球A、B带异性电荷，则相互间为吸引力，由于吸引 力与小球的速度不在一条直线上，故小球也做曲线运动。此时，由于小球间的库仑引力与小球B所需的向心力的大小关系未知，又可以有以下三种可能：
（ⅰ）F＞m，小球B做加速度和速度都增大的曲线运动，运动逐渐靠近小球A，电场力做正功，小球B的电势能减小。
（ⅱ）F= m，两球间的库仑力刚好提供B所需的向心力，小球B做匀速圆周运动，库仑力不做功，小球的电势和电势能都不改变。
（ⅲ）F＜m，库仑力不足以提供向心力，小球B会做逐渐离心的做曲线运动，由于运动过程中，库仑力做负功且逐渐减小，小球B运动的速度和加速度都减小，的电势能增加。
上述三种情况下，小球B的运动可能靠近也可能远离小球A，由于小球A的电性未知，故运动中，B球可能从电势较高处向电势较低处运动，也可能从电势较低处向电势较高处运动。综合分析可知，该题的答案为：BCD。
例题4：【解析】本题是带电小球在等量异种电荷电场中的运动问题，虽然由电场的分布可知，粒子的运动为减速运动，但由于小球的初动能大小与电场力做功的大小关系未知，导致小球的运动出现多可能。设小球的质量为m，带电量为q，直线上co两点间的电势差为U，它们间的关系讨论如下：
（1）若qU＞，则小球在减速运动中，未到o点时，速度就已减到零，且不会停止，再返回向a作加速运动，这与选项C描述的情况相同，即选项C正确．
（2）若qU=，则小球运动到o点时速度刚好为零，由于o点处的电场强度为零,故小球在o点时不受外力，可以保持静止，这就是选项A所描述的情况，故选项A正确．
（3）若qU＜，则小球的运动可以越过o点。过o点后，小球受到向右的电场力的作用而加速，且不再返回，这就是选项B所描述的情况，选项B也正确．
例题5：【答案】C
【解析】解：由图可知，质点a的位移大小最大，等于振幅，质点b在平衡位置，位移最小为0，则可知质点a的加速度最大，速度最小，质点b的加速度最小，速度最大；故AB错误；
C.若波沿x轴正方向传播，根据同侧法可知质点b向y轴正方向振动，故C正确；
D.若波沿x轴负方向传播，此时质点c向上振动，偏离平衡位置的位移小于振幅，则可知质点c回到平衡位置的时间小于四分之一个周期，而质点a要回到平衡位置的时间需要四分之一个周期，故质点c比质点a先回到平衡位置，故D错误。
故选：C。
先比较质点的位移大小关系，从而可比较质点的加速度、速度大小关系；由波的传播方向根据同侧法判断质点的振动方向，结合位移大小关系可判断那个质点先回到平衡。
对于质点在振动过程中，位移越大，速度越小，加速度越大；波的传播方向与质点的振动方向存在对应关系，可用同侧法、微平移法等进行分析判断。
针对训练
1.（2022课时练习湖南岳阳二模）如图所示，物体A、B跨过定滑轮并用轻绳连接起来，物体A放在倾角为θ的固定粗糙斜面上，滑轮左边的轻绳平行斜面。已知物体A的质量为m，物体A与斜面的动摩擦因数为μ（μ＜tanθ＜1），不计滑轮与绳之间的摩擦，要使物体A能在斜面上滑动，物体B的质量可能为（　　）
A. B.
C. D.
2..(2022课时练习·甘肃兰州第一中学高三质检)处于平直轨道上的甲、乙两物体相距s，乙在甲前且两物体同时、同向开始运动，甲以初速度v、加速度a1做匀加速直线运动，乙做初速度为零、加速度为a2的匀加速直线运动，假设甲能从乙旁边通过，下述情况可能发生的是(　　)
A．a1＝a2时，有可能相遇两次 B．a1＞a2时，只能相遇一次
C．a1＜a2时，有可能相遇两次 D．a1＜a2时，有可能相遇一次
3.（2021同步练习海南物理） 如图，用长为的轻绳悬挂一质量为M的沙箱，沙箱静止。一质量为m的弹丸以速度水平射入沙箱并留在其中，随后与沙箱共同摆动一小角度。不计空气阻力。对子弹射向沙箱到与其共同摆过一小角度的过程（ ）
若保持m、v、不变，M变大，则系统损失的机械能变小
若保持M、v、不变，m变大，则系统损失的机械能变小
若保持M、m、不变，v变大，则系统损失的机械能变大
D．若保持M、m、v不变，变大，则系统损失的机械能变大
4.（2014年·四川）如图所示，水平传送带以速度v1匀速运动。小物体P，Q由通过定滑轮且不可伸长的轻绳相连。t=0时刻P在传送带左端具有速度v2，P与定滑轮间的绳水平。t=t0时刻P离开传送带。不计定滑轮质量和摩擦。绳足够长。正确描述小物体P速度随时间变化的图像可能是( )
5.(多选)如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r＝0.4 m，最低点处有一小球(半径比r小很多)，现给小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0应当满足(g＝10 m/s2)(　　)
A.2 m/s 　　　
B.4 m/s 　　　
C.6 m/s 　　　　
D.8 m/s
6．（2020高考复习测试） (多选)如图所示，水平转台上有一个质量为m的物块，用长为l的轻质细绳将物块连接在转轴上，细绳与竖直转轴的夹角θ＝30°，此时细绳伸直但无张力，物块与转台间动摩擦因数为μ＝，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随转台由静止开始缓慢加速转动，角速度为ω，重力加速度为g，则(　　)
A．当ω＝ 时，细绳的拉力为0　　　　　　　
B．当ω＝ 时，物块与转台间的摩擦力为0
C．当ω＝ 时，细绳的拉力大小为mg　　　　
D．当ω＝ 时，细绳的拉力大小为mg
7．（2020高考复习测试）如图所示，两个可视为质点的相同的木块A和B放在水平转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动。开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法不正确的是(　　)
A．当ω>时，A、B相对于转盘会滑动
B．当ω>时，绳子一定有弹力
C．当ω在 <ω<范围内增大时，B所受摩擦力变大
D．当ω在0<ω<范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
针对训练答案
1.【参考答案】BD
【解析】
对B物体受力分析有：T=mBg．
当物体A处于将要上滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这时A的受力情况如图乙所示，根据平衡条件有：
N-mgcosθ=0；
T-fm-mgsinθ=0；
由摩擦力公式知：fm=μN
以上四式联立，解得：mB=m（sinθ+μcosθ）
再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有
N-mgcosθ=0
T+fm-mgsinθ=0
由摩擦力公式知：fm=μN
联立解得：mB=m（sinθ-μcosθ）
则物体B的质量的取值范围为m（sinθ-μcosθ）≤mB≤m（sinθ+μcosθ）。故AC错误，BD正确。
【关键点拨】先对物体B受力分析，受重力和拉力，二力平衡，得到绳子的拉力大小；再对物体A受力分析，受拉力、重力、支持力和静摩擦力，分静摩擦力沿斜面向上和沿斜面向下两种情况列方程求出物体B的质量的取值范围，再确定特殊值。
本题关键是找出恰好不上滑和恰好不下滑的临界状态：静摩擦力达到最大值，然后根据共点力平衡条件列式求解。
2..【参考答案】：BCD
【解析】：甲从乙的旁边通过说明相遇时甲的速度大于乙的速度，若a1＝a2，则以后甲的速度将都大于乙的速度，故不会再次相遇，故A错误，若a1＞a2，则甲经过乙的旁边以后，甲的速度增加更快，故甲将一直在乙的前面，不会再相遇，只能相遇一次，故B正确；若a1＜a2，则此后某一时刻乙的速度一定会大于甲的速度，若甲追上乙时，两者速度恰好相等，则两者只能相遇一次；若第一次甲追上乙时，甲的速度大于乙的速度，则甲、乙还会相遇一次，故能相遇两次，故C、D正确．
3.【参考答案】.C
【命题意图】此题考查子弹打木块模型、动量守恒定律、能量守恒定律及其相关的知识点。
【解题思路】一质量为m的弹丸以速度水平射入沙箱并留在其中，根据动量守恒定律，mv=（m+M）v’，系统损失机械能△E= mv2-（m+M）v’2=，若保持M、m、不变，v变大，则系统损失的机械能变大，选项C正确；△E==，由此可知，若保持m、v、不变，M变大，则系统损失的机械能变大，选项A错误；△E==，由此可知，若保持M、v、不变，m变大，则系统损失的机械能变大，选项B错误；由于损失的机械能与轻绳长度l无关，所以若保持M、m、v不变，变大，则系统损失的机械能不变，选项D错误。
4.【解析】由题可知物体P有如下几种情况：当v2mQg时，以向右加速滑离，或以加速到v1，再受静摩擦力以v1匀速向右滑离，B选项符合；当v2>v1时，第一种情况，P以加速度向右减速滑离，无符合的选项；第二种情况，P先以加速度减速到v1，若最大静摩擦力fmax>mQg，则P受静摩擦力继续以v1匀速向右滑离，无符合的选项；第三种情况，P先以加速度减速到v1，若最大静摩擦力fmax【参考答案】BC
【点评】对于水平传送带上物体，若物体速度小于传送带速度，则滑动摩擦力对物体加速，物体速度增大；若物体速度等于传送带速度，则二者之间没有相对滑动，没有摩擦力，物体与传送带一起运动；若物体速度大于传送带速度，则滑动摩擦力对物体减速，物体速度减小。
5.【参考答案】ACD
【解析　解决本题的关键是全面理解“小球不脱离圆轨道运动”所包含的两种情况：(1)小球通过最高点并完成圆周运动；(2)小球没有通过最高点，但小球没有脱离圆轨道。对于第(1)种情况，当v0较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足的条件是mg≤mv2/r，又根据机械能守恒定律有mv2＋2mgr＝mv，可求得v0≥2 m/s，对于第(2)种情况，当v0较小时，小球不能通过最高点，这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置处，速度恰好减为零，根据机械能守恒定律有mgr＝mv，可求得v0≤2 m/s，所以v0≥2 m/s或v0≤2 m/s均符合要求，故选项A、C、D正确。
6．【参考答案】　AC
【解析】　当转台的角速度比较小时，物块只受重力、支持力和摩擦力，当细绳恰好要产生拉力时μmg＝mωlsin30°，解得ω1＝ ，随角速度的增大，细绳上的拉力增大，当物块恰好要离开转台时，物块受到重力和细绳的拉力的作用，mgtan30°＝mωlsin30°，解得ω2＝ ，由于ω1<<ω2，所以当ω＝ 时，物块与转台间的摩擦力不为零，故B错误；由于 <ω1，所以当ω＝ 时，细绳的拉力为零，故A正确；由于ω1<<ω2，由牛顿第二定律得f＋Fsin30°＝m2lsin30°，因为压力小于mg，所以fmg，故D错误；当ω＝ >ω2时，物块已经离开转台，细绳的拉力与重力的合力提供向心力，则mgtanα＝m2lsinα，解得cosα＝，故F＝＝mg，故C正确。
7．【参考答案】　C
【解析】　　当A所受的摩擦力达到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘会滑动，对A有kmg－T＝mLω，对B有T＋kmg＝m·2Lω，解得ω1＝ 。当ω>时，A、B相对于转盘会滑动，故A正确；当B达到最大静摩擦力时，绳子将要产生弹力，kmg＝mω·2L，解得ω2＝，知ω>时，绳子一定有弹力，故B正确；当ω在0<ω<范围内增大时，B所受摩擦力变大，当ω在 <ω<范围内增大时，B所受摩擦力不变，故C错误；当ω在0<ω<范围内增大时，A所受摩擦力一直增大，故D正确。

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