资源简介

2022高中物理竞赛
(
ii
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目录
1 运动学 1
1.1 运动物体的抽象：质点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 最简单的运动：一维运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 运动的快慢：速率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 图像详解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 加速度，匀加速运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4 落体运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 高维运动，位移，速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 位置的确定：坐标系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 位置的变化：位移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.3 具有大小的方向的物理量：矢量 . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.4 运动的快慢：速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.5 速度的变化：加速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 抛体运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 圆周运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6 平面内的曲线运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.6.1 固定坐标系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.6.2 自然坐标系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.7 天体运动：太阳系的运行 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.7.1 开普勒第一定律：椭圆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.7.2 开普勒第二定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.7.3 开普勒第三定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.8 相对运动，参考系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.8.1 在不同坐标系中描写运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.8.2 相对运动中的矢量运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.9 受约束的运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
iii
1.10 刚体运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.11 流体运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.12 运动学综合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2 静力学 87
2.1 力的基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.1.1 重力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.1.2 弹力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.1.3 滑动摩擦力、静摩擦力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.2 受力分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.3 静力平衡 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.3.1 是否滑动？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.3.2 有质量绳的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.3.3 平衡的稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3 牛顿运动定律及应用 109
3.1 三大运动定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.1.1 第一定律：惯性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.1.2 第二定律：加速 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.1.3 第三定律：相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.2 应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.3 非惯性系中的运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4 动量定理、动量守恒 129
4.1 动量定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.1.1 单个物体的动力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.1.2 多个物体的运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.1.3 冲击和碰撞 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.1.4 应用到流体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.1.5 质量变化的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.2 动量守恒 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.2.1 总动量守恒 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.2.2 动量的分量守恒 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.2.3 冲击、碰撞过程中的动量守恒 . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.2.4 质心参考系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.3 变质量系统，火箭 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
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目录
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目录
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目录
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目录
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iv
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13.1.1
单摆
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308
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13.1.2
微幅振动
) (
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) (
13.1.3
阻尼、受迫振动，共振
13.2
波
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) (
13.2.1
波的性质
) (
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v
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5 功和动能，机械能守恒 145
5.1 功，动能定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.1.1 功和动能的确定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.1.2 多个物体的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.1.3 不同参考系中的动能定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.1.4 功与力的关系：虚功原理初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.1.5 变力作功 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.2 势能、能量守恒定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.2.1 重力作用下物体的运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.2.2 保守力、势能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.3 质点系统的机械能守恒 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.3.1 机械能的损失：摩擦 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.4 能量的转化与守恒定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6 角动量、力矩和角动量守恒 161
6.1 有心力作用下的平面运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.2 力矩，角动量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.3 角动量守恒定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.4 质点系统的角动量守恒 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7 万有引力理论 169
7.1 万有引力的发现 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.2 不能看做质点物体之间的引力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.3 万有引力定律的一些结论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.4 引力作用下的运动：功、势能和角动量 . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.5 一些数学：椭圆和圆椎曲线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.6 航天器的轨道 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.7 引力作用下的天体运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.8 地-月系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
13 振动和波 297
13.1 简谐振动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
13.2.2 波的干涉和衍射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
13.2.3 多普勒效应 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
13.2.4 波的动力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
9 刚体动力学 207
9.1 刚体运动的描写 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9.2 转动惯量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9.3 刚体动力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
10 热力学 221
10.1 分子运动论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
10.2 理想气体的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
10.2.1 理想气体状态方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
10.2.2 理想气体状态方程的微观解释 . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
10.2.3 气体的内能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
10.2.4 气体的作功 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
10.3 热力学第一定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
10.3.1 热力学中的能量转化与守恒 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
10.3.2 气体绝热过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
10.3.3 热力学循环的效率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
10.4 复杂气体过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
10.5 热力学第二定律简介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
10.6 液体表面张力、毛细现象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
10.7 相变 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
10.8 热传递 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
11 几何光学 253
11.1 光的反射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
11.2 折射与全反射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
11.2.1 折射定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
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11.2.2
全反射
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273
) (
11.3
光线传播的一般规律：惠更斯原理和费马原理
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) (
11.4
近轴成像
. . . . .
11.5
球面镜、透镜成像
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11.6
光具组成像
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11.7
光学仪器
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vi
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vii
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12 微积分在物理当中的应用 277
12.1 导数及其应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
12.1.1 物理量的变化率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
12.1.2 求极值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
12.1.3 求稳定点和稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
12.1.4 做展开 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
12.2 积分及其应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
13 振动和波 297
13.1 简谐振动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
13.1.1 单摆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
13.1.2 微幅振动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
13.1.3 阻尼、受迫振动，共振 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
13.2 波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
13.2.1 波的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
13.2.2 波的干涉和衍射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
13.2.3 多普勒效应 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
13.2.4 波的动力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
14 静电学 321
14.1 电荷及其微观解释、电荷守恒 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
14.2 静电相互作用力，电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
14.2.1 库仑定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
14.2.2 电场、电场强度和电力线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
14.2.3 静电场的高斯定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
14.3 静电能、电势、电势差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
14.4 电场中的导体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
14.4.1 电场的唯一性定理，电像法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
14.5 电介质、电容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
14.5.1 电容电路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
14.5.2 绝缘体、电介质与极化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
15 稳恒电流 351
15.1 电流的微观解释 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
15.2 欧姆定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
15.3 简单电路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
15.4 复杂电路，基尔霍夫定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
16 磁场 367
16.1 电流产生的磁场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
16.2 磁场中的电流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
16.3 电磁场中带电粒子的运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
17 电磁感应 383
17.1 电磁感应定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
17.1.1 动生电动势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
17.1.2 感生电动势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
17.2 自感和互感 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
17.2.1 自感现象、自感系数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
17.2.2 互感现象、互感系数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
17.3 超导体的磁效应 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
18 交流电路 405
18.1 交流电、交流发电机 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
18.2 交流电路中的电感和电容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
18.3 变压器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
18.4 * 整流、滤波和稳压 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
19 电磁场理论，电磁波 415
19.1 麦克斯韦的电磁场理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
19.2 电磁波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
19.3 光的电磁理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
20 波动光学 423
20.1 干涉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
20.2 衍射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
20.3 偏振 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
21 相对论 437
21.1 相对论的发现 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
21.2 新的时空理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
21.3 相对论的一些现象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
21.3.1 动钟变慢 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
21.3.2 动尺变短 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
21.3.3 相对论性的速度叠加 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
21.3.4 多普勒效应和光行差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
(
viii
)
(
ix
)
21.4 不同参考系中的电磁场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
21.5 相对论的动力学：E = mc2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
22 量子物理初步 457
22.1 黑体辐射：能量的量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
22.2 光量子假设：光电效应，辐射（物质）的量子化 . . . . . . . . . . . . . 461
22.3 氢原子光谱：轨道（运动）的量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
22.4 波粒二象性：通向微观世界的大门 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
22.5 量子力学，测不准原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
Chapter 1
运动学
自然界中的物体都处于从不间断的运动过程之中，真正绝对静止的物体其实是不存在 的，所以我们学习物理的第一步自然就是要学会如何来描写各个物体的运动。只有具备了相 当数量刻画运动的方式，能够随心所欲地将任何物体的运动用科学的方法表示出来，才能够 进一步研究物体运动状态的变化之间的联系，即物理学所想要告诉我们的自然界运行的基 本规律。
1.1 运动物体的抽象：质点
和所有科学一样，物理的研究也是从最简单的对象开始，当把简单的问题研究清楚了以 后逐渐地深入到更复杂的研究对象。最简单的运动着的对象自然就是一个点，物理学中把一 个运动着的点称之为一个质点 (mass point)。用一个质点代表一个给定质量的点状物体的 位置。当然了，所有运动的对象实际上都有或简单或复杂的内部结构，但是如果它的形状和 结构对于具体问题的研究影响不大时就可以将该对象看做一个几何上的点。
C M
(
10
)
(
1
)
(
E
)M 5.97 1024 kg
RE 6371 km
REM 38, 4000 km
M 7.35 1022 kg 0.0123M
(
E
E
)图 1.1: 月球和地球以及月地距离的真实尺寸
能否将一个物体当做质点不仅与物体本身的大小有关，还与所研究的具体问题有关。如 果试图描写跳水运动员入水的动作时，他在入水过程中身体姿态至关重要，所以不能够当做
质点来看待。而在描写一个人从北京到上海的整个过程中，我们自然不必在意相对于上千公
里的旅程中身体上各个部位之间的微小差别，这时一个人完全有理由当做一个质点。同样如 图1.1所示在研究月球围绕地球的转动时用一个点代表月球的位置相当精确，而在研究嫦娥 号在月球上的着陆时月球肯定不能当做质点看待。
当把运动物体抽象为质点以后，它的位置就由这个点的空间位置来代表，这为我们描写 运动带来了极大的简化，首先研究质点的运动，当掌握了足够的研究手段以后就有办法来描 写真实物体的复杂运动了。实际上，即使把运动物体简化为一个点它的运动也不是那么容易 描写，为此我们将从最简单的运动形式出发，逐渐推广到一般的情况。在掌握了描写质点或 其它物理对象运动的方式以后将进一步研究支配它们运动背后的原因。
1.2 最简单的运动：一维运动
最简单的运动莫过于一个质点始终保持在一条直线上运动，就称它做直线运动。一个做 一维运动物体的位置的描写十分简单，只需要把一根数轴放在它运动的直线上，选择任意一 点当做数轴的原点，选择任意一个方向当做数轴的正方向，选择一个给定的长度当做计量长 度的单位1，一个质点的位置就可以用在该数轴上的坐标来唯一决定。以这种方式选取的数 轴称做描写该质点运动的坐标系 (coordinate system)，而该质点某一时刻所在位置在坐标 系中的读数就叫做它的位置 (position) 或坐标。对于一维运动的质点，它在坐标系中的坐
标通常用 x 来表示，不过这一点不是必须的。
一维运动的描写相对简单，只要知道了每一时刻它所处的位置就完全掌握了该质点的
一维运动行为。假设有一个质点，在时间 t = 0 s 时的坐标为 x0 ，t = 1 s 时坐标为 x1 ，
t = 2 s 时坐标为 x2 ……当知道了它在很多时刻的坐标时，就在一定程度上掌握了它的运
动行为，运动质点在不同时刻的坐标值知道的越多，我们对它的运动信息就知道地越多。知
道了一些坐标与时间的关系以后可以用很多方法把它的运动表现出来，以一个参加百米赛 跑的运动员为例，描写他从起跑到终点的运动的方法有
叙述 第 1 秒跑了 1 米，第 2 秒到了 4 米，第 3 秒到了 9 米，第 4 秒到了 16 米，第
5 秒末到了 25 米，第 6 秒末到了 35 米，第 7 秒末到了 45 米，第 8 秒到了 55 米，第 9 秒到了 65 米，第 10 秒到了 75 米，11 秒 85 米，12 秒 100 米，结束。 可以看出叙述的方法是能够为我们提供一些信息，但是有些繁琐，也不太直观。这种 描述方法在日常对话中比较常见，但对于科学研究却有些力不从心。
列表 同样的运动过程如果用一个表来表达，会节约很多空间。对于同样的运动用列表法 由1.2给出可以看到列表法会节省很多空间，但也有一些不够直观，无法快速得到运动 快慢的信息。实践上列表法更多地用于实验的数据的记录。
1物理学中通常选取米或千米来做为长度单位
(
1.2.
最简单的运动：一维运动
) (
CHAPTER
1.
运动学
)
(
CHAPTER
1.
运动学
) (
1.2.
最简单的运动：一维运动
)
时间 (s) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
位置 (m) 1 4 9 16 25 35 45 55 65 75 85 100
表 1.1: 不同时刻短跑选手的位置
图像 物理上最直观的描写质点运动的方法是图像法。此时我们将建立一个坐标系，用横轴 代表所经历的时间，纵轴则是已知时刻质点的位置。对于前面的短跑选手，用图像法 可以将他的运动用图1.2来描写。从中可以看出，在比赛开始阶段他越跑越快，而随后 一段时间里运动速度大致相同，最后在快接近终点的时候又有一个冲刺过程。很明显 可以看出，用图像来描写质点的运动具有最强的直观性。
(
4
)
(
11
)
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
图 1.2: 短跑选手跑动距离和时间的图像
不难发现以上的三种描写质点运动的方法都无法体现运动的一个最明显的特征：连续 性。运动的质点在每一时刻的位置一般来说都不相同，处于连续的变化过程当中。为了体现 这种特点，我们希望有一种办法对于每一个时刻都能够给出质点的位置，而不是仅仅给出几 个特殊时刻的位置。利用数学中的函数可以帮助我们得到任意时刻运动质点的位置。这时一 个质点的运动可以表达为
x = x(t) (1.1) 当函数 x(t) 的形式为已知时，可以得到任意时刻质点所处的位置。借助函数的图像可以形 象地给出质点运动的特征。例如当一个质点的运动可以用函数 x(t) = 3t 来描写，从中不但
可以知道任意时刻质点的位置，还可以从函数的性质得知此时相同的时间里该质点会走过
相同的距离。假如另一个质点的运动函数为 x(t) = 5t2 ，同样除了知道任意时刻的位置以及
运动的其它性质。
例 1.1 建立一个竖直向上的坐标系用来表示从它的原点处向上抛出物体的位置。在不同的 时间观察抛体的位置，某次实验得到的结果由下表给出，试着将测量值在坐标系中标出，并
试着将其连接为一条光滑的曲线。
时间 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
位置 0 8.75 15 18.75 20 18.75 15 8.75 0 -11.25 -25 -41.25 -60
例 1.2 已知质点的运动可以用以下函数描写，在坐标系中画出其 x t 图像。
(
t
+1
)(1): x(t) = 5t2 ；(2)：x(t) = 3
；(3)：x(t) = 5 sin(2πt)
例 1.3 已知质点在一条直线上不同时刻的位置随时间的关系由下图给出，指出运动最明显 的几个特征。
x x
t t
事实上不但沿直线运动的质点可以利用以上的方法来描写，只要稍加思索就会发现用
同样的方法来描写在弯曲的公路上行驶的汽车也是毫无问题的。只需要在一条公路上找到 一个正方向和原点，而行驶汽车的位置用它在公路上离开原点的距离来标记汽车的位置即 可。我国的公路里程就是用这种方法按照离开北京的距离进行统一标记的。
1.2.1 运动的快慢：速率
虽然当质点坐标随时间的函数为已知时，质点的运动的性质和特点实际上已经完全掌 握了，但是我们还是希望从中得到运动有关的更为清楚的信息。不同的物体运动快慢有着 明显的不同，一个正常行走的人比乌龟要快很多，但与路上行驶的汽车比起来很明显要慢， 物理上我们定义一个物理量–速率 (speed) 来描写这种运动快慢的不同。其实在过去已经 有了一些速率的知识，那时将它称为速度，在物理上要格外注意两者的不同，这里我们谈的 是速率，它用来给出运动快慢的量度。只要想像一下行驶汽车的速率表，就能够马上得到关
于速率的一个直观的印象。过去速率定义为在某一给定的时间 t 里运动质点所前进的路程， 也就是距离 s 的比值：
v = s (1.2)
t
速率的这个定义对于匀速运动的质点来说没有问题，但是对于运动发生变化的过程来说就 显得有些粗糙，比如对于静止开始逐渐加速的汽车来说。很明显在开始的时候速率很慢，随 着时间的增加速率则越来越快，为了更准确地描写物体运动的快慢我们需要更精确的速率
的定义。为此我们可以从某一时刻 t 开始计时，通过确定运动质点在某一不长的时间间隔
t 内前进的距离 s 与时间间隔 t 的比值称做在这一小段时间里质点运动的平均速率：
s
v = (1.3)
t
可以想像到的是选择越小的 t，以如上方式得到的平均速率对运动质点在时间 t 时运动
快慢的描写就越精确。
事实上 t 的选取是任意的，不同的 t 选取会得到不同的平均速率。如果一个质点 的运动用方程 x = 5t 来描写，那么对于任意的 t，不同的 t 选取对平均速率实际上没有
影响：
5(t + t) 5t
(

)v = =
t
5 t
t
= 5 m/s (1.4)
从运动方程来看我们也很清楚这时质点在做匀速运动，相同的时间里走过相同的距离。但是
如果另一个质点的运动方程为 x = 5t2 时，就不一样了，从函数的图像可以看出随着时间 的增加看上去运动速度越来越快。假如我们想知道在 t = 1 s 时的速率，就需要在 t = 1 s 时选择一个 t 并根据定义1.3来算出对于不同 t 时的平均速率。
5(1 + 1)2 5
t = 1 , v =
= 15 m/s
1
(

) 5(1 + 0.1)2 5
t = 0.1 , v =
1
= 10.5 m/s
(

) 5(1 + 0.01)2 5
t = 0.01 , v =
1
= 10.05 m/s
(

) 5(1 + 0.001)2 5
t = 0.001 , v =
1
= 10.005 m/s
(

) 5(1 + 0.0001)2 5
t = 0.0001 , v =
1
n )2 5
= 10.0005 m/s
t = 10 n , v = 5(1 + 10
1
= [10 + 5 ×
10 n ] m/s
从上面的计算可以很容易地看出， t 取得越小所计算出的平均速率与 10 m/s 越接近，数 学上将 t 取得小得不能再小时通过式1.3算出的运动质点在某一时刻到与它相邻极小时间
里的平均速率称做运动质点在该时刻的瞬时速率
v(t) = lim
s
. (1.5)
t→0 t
行驶的汽车在每时每刻速率表的读数就是汽车在此时的瞬时速率。
当质点在某一时刻的瞬时速率为已知时，它在随后某一时间间隔 t 里所能够前进的 距离就是瞬时速率 v 与时间间隔 t 的乘积
s = v t. (1.6) 与瞬时速率的情况一样， t 取得越小用这样的方式算出的前进距离与真实的前进距离的差 别越小。还以前面的运动 x(t) = 5t2 为例，已知在 t = 1 s 时的瞬时速率 v = 10 m/s，对
(

t
=
1
,
v

t
=
10
m
,
x
(1
+
1)

x
(1)
=
15
m

t
=
0
.
1
,
v

t
=
1
m
,
x
(1
+
0
.
1)

x
(1)
=
1
.
05
m

t
=
0
.
01
,

t
=
10

n
,
v

t
=
0
.
1
m
,
v

t
=
10
1

n
m
,
x
(1
+
0
.
01)

x
(1)
=
0
.
1005
m
x
(1
+
10

n
)

x
(1)
=
[10
1

n
+
5
×
10

2
n
]
m
)于不同的 t 选取通过两种方法算出的前进距离分别为
虽然有一些差别但是随着 t 变小，两者之间的差别就越来越小，虽然这种差别永远不会 消失，但当 t → 0 时用式1.6来近似地表示质点前进的距离对于计算和分析都非常方便。
例 1.4 下表为对于给定质点某一运动过程位置随时间关系的测量，求它在相邻两次测量之 间运行的平均速率。
时间 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
位置 0 8.75 15 18.75 20 18.75 15 8.75 0 -11.25 -25 -41.25 -60
当在坐标系中谈论质点的运动时要特别注意的一点是，在建立坐标系的过程中我们已
经假定了一个正方向，这样沿着坐标轴正方向的运动和沿着坐标轴负方向的运动虽然在相 同时间里走过的路程是一样的，但经过一定的时间以后质点所处的位置却不同。这一点在上
面的例子当中也能够看出，从 t = 0 到 t = 2 的时间里，质点是沿着坐标轴的正方向运动，
而在随后的时间里质点的运动方向则是与轴反向。为了区别这种不同，在给出质点运动速率
的同时就必须指出运动的方向，对于沿直线运动着的质点，沿着两个不同方向运动可以通过 为速率指定一个正负号的办法达到。当考虑了质点运动方向以后，速率就有了新的名称–速
度 (velocity)，对于沿轴运动着的质点，它的运动速度 v 能够为我们提供两个信息：质点
本身移动的快慢用速度的绝对值给出，而移动的方向则由速度的正负号决定，当速度取正数
时质点沿着轴正方向运动，反之当速度为负时质点则沿着轴的负方向运动。
对于一个以速度 v 匀速运动着的质点来说，如果 t 时刻它位于坐标轴上的 x0 处，那 么在此后的 t 时间之后，它所处位置的坐标 x 可以表达为
x = x0 + v t (1.7)
无论质点的运动方向如何上式总是成立的。对于那些不做匀速运动的质点，可以将 v 取做
某一时刻的瞬时速度，那么对于越小的 t 的选取，由上式给出的坐标值就越精确。
例 1.5 两个在同一直线上以匀速相向运动的质点 A 和 B，在直线上建立坐标 Ox，在开 始时刻它们分别 xA = 5 m，xB = 10 m 的位置。已知质点 A 向着坐标正方向以 1.5 m/s
的速率运动，B 逆着轴向运动，速率为 0.5 m/s，求它们相遇的时间和位置。
1.2.2 图像详解
图 1.3: 一维运动 x t 图像以及平均速率和瞬时速率的几何意义。(a) 对于匀速直线运
动来说，它的图像是一条直线，任意时刻的速率均为表示运动的直线的斜率。(b) 一般运动
过程中从 t 到 t + t 时间间隔中的平均速率，它是连接曲线上两点 A、B 构成的直线的 斜率，直线上 A、B 两点之间的部分有时被称为曲线的割线。(c) 当 t → 0 时，B 点和
A 点无限地接近，在图中已经无法区分两个点，这时用来衡量两个时间点里距离变化的割线
也变成了曲线的切线，而切线的斜率正是运动物体在 t 时刻的瞬时速率。
无论是坐标，还是速度当质点运动时都能够用时间的某种函数来给出。既然是函数，我 们就可以将它们在坐标系中画出来，这样就可以很形象地看出运动函数所具有的性质，并且 还能够得到不同物理量之间的联系。
最简单的图像自然就是坐标与时间的图像，有时称之为 x t 图像，如图1.3所示。从图 中可以很容易地找出某一给定时刻质点的坐标。如果一个质点以匀速运动，那么它的 x t
图像用图1.3(a) 中的直线表示，并且可以从图中看出质点运动的速率就是这条直线与横轴
夹角 α 的正切。
另外从 x t 图像中其实我们还能够得到质点在某一时间段的平均速度，假设某一 t
时刻质点的坐标为 x，它可以用图中的 A 点代表。同理在时刻 t 之后一某个时间间隔 t
后它的坐标变成了 x + x，可以用图中的 B 点来代表。这样在 t 时间里的平均速率
x
v =
t
(1.8)
就是图中直角三角形 APB 当中角 α = ∠P AB 的正切。对于越来越小的时间间隔 t 的选
取，B 点与 A 点的距离会越来越近，与此同时割线 AB 与曲线在 A 点的切线，就是那条与
A 点仅有一个交点的线产差别越来越小。最终当 B 点无限地接近于 A 点时，割线 AB 就变 成了曲线在 A 点的切线，而此时切线与横轴夹角的正切，也就是切线的斜率就是运动质点 在此时的瞬时速率。
例 1.6 根据如下 x-t 图像判断速度的变化趋势
x x x
t t t
C D
C C
O A B O A
B A B
(
O
)(a) (b) (c)
图 1.4: 一维运动 v t 图像和运动距离的几何意义
除了 x t 图像以外我们还可以做出 v t 图像，也就是将不同时刻的速度用坐标系
中的曲线连接起来，可以想像成在行驶的汽车里根据不同时刻速率表的读数。当一个物体的
运动速率不变时，它的 v t 图像为一条平行一时间轴的一条直线，很明显一段时间里匀速
运动质点前进的距离为速率与时间的乘积，图1.4(a) 当中矩形 ABDC 的面积就是由 A 到
B 点所代表的时间里质点前进距离。当物体速率并不是常数而是随时间而变时，它的 v t
图像如图1.4(b) 所示，其中轴坐标为对应时刻的瞬时速率。根据1.6式，质点在某一点处瞬
时速率与之后一段微小时间间隔的乘积随着 t 取得越小则与真实运动在相同时间里所前 进的距离越接近。这样当给出 v t 图像之后，物体前进的距离可以用图1.4(b) 当中很多
宽为小的时间间隔，高为对应时刻的瞬时速度构成的窄矩形的面积的和。可以看出，这些窄
矩形的面积和在 t 越来越小时与图1.4(c) 当中由 ABDC 四个点围成区域的面积越来越接 近！也就是说，当给出 v t 图像以后一段时间里质点前进的距离为 v t 图像在两个时间
点之间与横轴包围的曲线的面积。
例 1.7 若质点作直线运动的速度 v 随时间 t 变化的图像如下图所示，则该质点的位移
x(从 t = 0 开始) 随时间 t 变化的图像可能是下面的哪一个？
v s
O T t
T
(
2
2
2
2
A
B
C
D
)2 O T T
s
t
O T T
s
t
O T T
s
t t
O T T
例 1.8 求质点在用以下 v t 图所表示的运动过程当中从初始时刻 t = 0 出发到图中给定 的 t 时刻当中所走过的总路程。
v v v
v v1 v0
t t t t
t / 3 t t
1.2.3 加速度，匀加速运动
一般来说一个质点的运动速率总是在不断地发生变化，只要想像一辆行驶在路上的汽 车就能够得到这样的印象。正是因为这一点引入一个物理量来描写速率变化的快慢是很有
必要的。假设一个质点在某一时刻 t 的速率为 v(t)，而在此后的 t 间隔之后由于某种原 因变成了 v(t + t)，在这个运动过程中速率的增加量自然就是 v = v(t + t) v(t)，那 么加速度就被定义为速率的变化量与发生这一速率变化所需要时间 t 的比值：
v
a = =
t
v(t + t) v(t)
t
. (1.9)
很明显，如果在给定时间里速率变化量越大就对应着较大的加速度，反之若在相同的时间里
速率只发生了很小的改变，那么意味着较小的加速度。物理上用加速度 (acceleration) 来
衡量速度变化的快慢和方式。如果上式中的间隔 t 是一个相对较大的时间，在该时间前 后速度发生了相当可观的变化，那么由上式定义出的加速度就是 t 时间里的平均加速度。 而当 t 取得非常之小，就可以认为由上式得到的实际上是运动质点在 t 时刻的瞬时加速
度。
当在一段时间里质点运动的加速度保持不变，这样的运动就被称为匀加速运动。若加速
度为 a 且不随时间而变，在 t = 0 的时刻质点的初始速率为 v0 ，那么在此之后的任意时刻
t 质点运动的速率则是
v(t) = v0 + at. (1.10) 可以看出速度随时间线性增加，此时的 v t 图像由图所示。我们知道 v t 图像在给定的 两个时间点下包围的面积就是在该时间间隔当中质点的路程，当质点初始坐标为 x0 时此后
任意 t 时间它的坐标则是
1 2
x(t) = x0 + v0 t + 2 at . (1.11)
和速度一样，加速度也可用它与时间的图像来形象地给出，匀加速度运动质点的 v t
图像是一条直线，根据前面的经验可知加速度对应于该直线与时间轴夹角的正切，也就是该
直线的斜率。对于一般的情况，在任意时刻 t 加速度则是 v t 曲线在该点处切线的斜率。 反过来当给出 a t 图像时，两个给定时间之间 a t 曲线下的面积则对应于这一段时间
里速度的变化量。
例 1.9 根据速度-时间图像由1.10推出匀加速运动中位置随时间的变化关系式1.11。
例 1.10 加速度 a 作匀加速运动的质点初速度 v1 ，位置为 x1 ，在经过一段时间以后它的 速度变成了 v2 ，运动到了坐标轴上的 x2 处，证明以上物理量之间满足关系式
v2 2
2 v1 = 2a(x2 x1 )
例 1.11 一列火车以给定的加速度沿直线轨道前进。当列车前端通过点 O 时，列车的速度 为 u1 ，当列车尾端通过 O 点时，速度为 u2 ，试求列车中部通过 O 点时的速度 v。
例 1.12 一辆汽车在公路上以速度 v0 = 20 m/s 沿直线行驶，当它到达路口前 60 m 处发 现交通信号的倒计时还剩 2 s，如果他想加速通过路口，所需的加速度至少为多少？如果他
不想闯红灯，停止所需要的加速度至少为多少？
例 1.13 A 火车以 v1 = 20 m/s 的速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距 100 m 处有 另一列火车正以 v2 = 10 m/s 的速度匀速行驶，A 车立即做加速度大小为 a 的紧急制动。
求能够使两车不至于相撞的 a 的最小取值。
例 1.14 在通过某一弯道之后的大直道上两辆赛车展开追逐，后车的速度为 v1 ，前车的速 度 v2 > v1 ，后车具有更好的加速性能 a1 > a2 ，两车相距 d 且直道的全长为 L。简单起见
将两辆车都看成质点，求后车能够在直道上超越前车的条件。
1.2.4 落体运动
将一个重物由静止释放以后的运动就是一种均加速运动，以这种方式运动的物体称为
自由落体。为了和今后的表达方式一致，建立一个竖直向上的坐标系 x，物体由坐标系的原
点处静止释放，实验表明任何自由落体都以相同的加速度均加速下落，加速度指向地面，随
着时间的推移其速率均匀增加
位置随时间的关系则是
v(t) = gt, (1.12)
1 2
x(t) = 2 gt , (1.13)
其中 g 9.8 m/s2，称为地球表面的重力加速度。
当初始时刻 t = 0 时速度或坐标取非零值时自由下落物体速度和位置随时间的变化关
系由一般情况下的均加速运动满足的规律给出。如果 t = 0 时自由落体的位置和速度分别
为 x0 和 v0 时，此后它的速度和位置随时间的关系为
1 2
v(t) = v0 gt, x(t) = x0 + v0 t 2 gt . (1.14)
例 1.15 将竖直向上的坐标轴原点取成抛出物体的那一点，在以下各种情况下求质点的坐
标：
(1) 由静止开始下落的质点 1 s、5 s、10 s 时。
(2) 向上以初速度 v0 = 10 m/s 抛出质点在 1 s、2 s、3 s 时。
(3) 向下以初速度 v0 = 10 m/s 抛出质点在 1 s、2 s、3 s 时。
例 1.16 建立竖直向上的坐标系 x，从原点出发以初速度 v0 = 20 m/s 竖直上抛的一个质 点，质点的 x 坐标值就相当于抛出以后运行的高度。求它运动到高度分别为 15 m、20 m 、
25 m 、0 m 、-25m 处所需要的时间。为简单起见设 g = 10 m/s2
例 1.17 如图所示在地面上方高度为 h 处有一个质点 A 自由下落的同时从地面以初速度
v0 竖直上抛另一个质点 B，求它们能够在空中相遇的最小上抛速度 v0 。
例 1.18 一个女子从高楼上落下，超人于时间 T 之后发现了这件事，超人立即以初速度 v0
加速向下飞去救该女子。假设女子下落和超人的飞行作自由落体运动，假设楼高 H ，求超
人能够在女子落地前将她救起的最小初速度 v0 。
例 1.19 一质点自距离水平地面高 H 处自由下落，每次与地面发生碰撞以后反弹的速率 均为撞向地面速率的 e 倍，e < 1。求自第一次反弹以后算起到最终停止所需要的总时间和
质点走过的总路程。
例 1.20 一个质点以初速度 v0 撞向一个板，第一次与板碰撞反弹以后的运动变成加速度 指向板的匀加速运动，加速度大小为 a，此后每次与板碰撞以后速度反向且大小不变，但指 向板的加速度变成原来的 k(k > 1) 倍。求此后运动的总时间和质点走过的总路程。
例 1.21 有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管，管内为真空，管内有一小球自某处自由下落
(初速度为零)，落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞，反弹速度与入射速度相同。以后小
(
16
)
(
15
)
球将在玻璃管内不停地上下跳动。现在支架固定一照相机，用以拍摄小球在空间的位置。每
隔一相等的确定的时间间隔 T 拍摄一张照片，照相机的曝光时间极短，可忽略不计。从所
拍到的照片发现，每张照片上小球都处于同一位置。求小球开始下落处离玻璃管底部距离
(用 H 表示) 的可能值以及与各 H 值相应的照片中小球位置离玻璃管底部距离的可能值。
1.3 高维运动，位移，速度
前面我们研究的都是做一维运动的质点，定义了位置 (坐标)，速度和加速度等能够方 便描写质点运动的物理量。当质点的运动并不局限于一条直线或给定的轨道上时，描写它的 运动通常要更复杂一些，需要一些新的概念和物理量才能做到。大多数情况下，尽管质点的 运动不在一条直线上，但依然保持在某一个给定的平面中，例如抛体的运动以及地球围绕太 阳的公转都满足这一特征，所以我们首先来看一下在一个平面中的运动，当搞明白平面内的 运动以后很容易向三维空间运动做推广。
1.3.1 位置的确定：坐标系
在一个平面上确定一个点的位置比在直线上需要更多的信息。生活上有两种常用的方 法来说明两点之间的位置关系，例如说清华大学在从天安门出发向西走 6 公里再向北走 11 公里；或者说北京大学在天安门北偏西大约 40 方向 12 公里处。这两种描述方法对应于 物理中的两种常用的方式来确定平面上一个点的位置。
1. 直角坐标系: 如图1.5(a) 所示，从一个给定点 O 出发沿着两个相互垂直的方向做两 个数轴 x, y，那么任意点的位置可以用它在这两个轴上的投影的坐标值 (x, y) 唯一确 定。当一个点的 x 坐标取负值时说明它在 O 点的左侧，同理当它的 y 坐标值为负 数时说明它在 O 点的下方，x、y 坐标可能的取值范围都是全部的实数值。
(
1.3.
高维运动，位移，速度
) (
CHAPTER
1.
运动学
)
(
CHAPTER
1.
运动学
) (
1.3.
高维运动，位移，速度
)
2. 平面极坐标系: 如图1.5(b) 所示的从一个给定点 O 出发确定一个给定的方向 ON ， 任何一点 P 的位置用它和 O 点的直线距离 r 以及和给定方向之间的夹角 θ 来唯一 确定。与直角坐标系不同的是 r 的取值范围是从 0 开始的正数，r = 0 意味着该点 位于图中的 O 点处；角度变量 θ 的取值有一定的任意性，从角度的一般定义可以看 出，对于相同的 r，当两个角度 θ1 和 θ2 相差 2π 的整数倍时实际上对应于图中的 同一个点，在使用的时候要注意这一点。另外原点 O 处的角度取值并没有实际意义， 都对应于图中的 O 点。
图 1.5: (a) 平面直角坐标系，(b) 平面极坐标系
无论选取哪种坐标系来描写质点的运动，都必须在开始描写物理问题之前明确地指出 坐标系的取法。对于直角坐标系来说需要指出原点的位置以及两个轴的正方向分别指向何 处；当使用平面极坐标系时需要指定原点的位置和参考方向的取向，只有当坐标系被明确地 给出以后利用坐标系来描写质点的运动才是有意义的。两种坐标系都可用来唯一地给出质 点的位置，在处理不同问题时选择合适的坐标系会使问题极大地简化。一般来说研究地球上 质点的运动时选用直角坐标系来描写质点的位置，但是如果运动有一个明显的中心，例如太 阳系中各个行星围绕太阳的转动时用极坐标则会更方便一些。
例 1.22 在下图所示的平面直角坐标系中标出由以下几个已知坐标的点：
A : (3, 4); B : (5, 0); C : ( 3, 2); D : (2, 5); E : ( 3, 2); F : (0, 3); G : ( 1, 0); H : (0, 3)
y
5
4
3
2
1
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 x
1
2
3
4
5
例 1.23 在下图所示的平面极坐标系中标出由以下几个已知坐标的点：
A : (5, π/3); B : (2, π/3); C : (5, π/2); D : (4, π); E : (4, 3π/2)), F : (3, 0)
O
1 2 3 4 5
1.3.2 位置的变化：位移
当质点在平面上运动，也就是它的位置发生变化时，描述这种变化一般我们会说“它从 某处 (起点) 出发沿着某种路线 (轨迹) 最后到达了某处 (终点)”。如图1.6所示对于相同
的起点 A 和终点 B 会有无数种运动的轨迹 (path)，沿着不同轨迹的运动很不一样，但
它们都有共同的起点和终点。物理上我们用位移 (displacement) 来描写运动质点的位置变
化，它的定义很简单，就是一条由起点到终点的一个箭头，即有向线段来给出质点的位移。 这个有向线段的长度代表了位置变化的距离，而它的方向自然给出了位置变化的方向。这样 当初始位置为已知，并且经过某种运动之后的位移也为已知时，在运动结束以后的位置就被 唯一确定了。图1.7给出了从 A 点出沿着曲线运动的质点在各个不同位置时的位移。从中可 以看出，如果两点非常接近时，位移的大小和质点真正走过的距离非常接近，但当质点沿着 轨迹前进一段距离之后位移的大小和所走过路程之间有了明显的差别，并且位移的大小和 所走过路程的长短也没有必然的关系。
图 1.6: 始末点相同但沿着不同路径的
运动
图 1.7: 从 A 点出发沿给定路径运动到
不同位置时质点的位移
除了用箭头来表示位移，其实我们还可以用一段运动过程前后质点在给定坐标系中坐
标值的变化来表示给定过程中的位移。对于一个在给定平面内运动的质点，建立一个平面直
角坐标系 Oxy，当它在运动开始时刻位于由坐标 (x1 , y1 ) 所给出的位置，而在运动结束时 的位置为 (x2 , y2 ) 时，整个运动过程的坐标变化量：
x = x2 x1 , y = y2 y1
也可以用来表示其位置移动。反过来，对于初始时刻位置 (x1 , y1 ) 和一段运动过程中的位置
变化 ( x, y) 为已知时，运动结束时刻的位置 (x2 , y2 ) 可以利用以上两个物理量求出：
x2 = x1 + x, y2 = y1 + y.
1.3.3 具有大小的方向的物理量：矢量
像位移这样的物理量我们以前很少接触，不但需要有给定的大小同时还需要给出它的 方向才能够完全确定一个质点的位移。物理上将这种必须由大小和方向同时决定的物理量 称做矢量 (vector)；与之相对应的那些只需要给出大小就可以完全给出的物理量被称为标 量 (scalar)。既然矢量由大小和方向来给出，直观地描写一个矢量需要要在纸上画出矢量 的大小和方向。因为矢量同时具有大小和方向，所以当我们说两个矢量相等时不但要求它们 的大小相等，同时也必须指向相同的方向才可以。
对于一个给定的矢量和另外一个标量（数），可以定义标量和矢量的乘积，它们的乘积 同样是一个矢量，方向与被乘的矢量完全一致，而大小则为被乘矢量的大小与标量大小的乘 积，需要注意的是当标量乘数为一个负数时，相乘的结果矢量方向与被乘矢量相反！类似地 可以定义一个矢量除以一个标量为矢量和标量倒数的乘积，只要该标量不为零的话。
如果有两个给定的矢量 A
和 B ，定义两者的加法：将 B
的起点放置在 A
的终点处，
那么两者相加的结果为一个新的矢量
C ，它是一个由 A
的起点到 B
的终点的矢量。可
以很容易地证明，将 A
的起来放在 B
的终点时由 B
的起点指向 A
的终点所给出的矢
量与前面的方法一致。另外将两个矢量的终点放在一起，并且将它们做为两个边做平行四边 形，而由共同的起点指向平行四边形的对点所给出的矢量也与前面的结果一致。两个矢量的
加法可以写为
C = A + B
(1.15)
同样可以定义两个矢量之间的减法，利用前面加法的定义，两个矢量的减法
C = A B = A + ( 1 × B ) (1.16)
矢量之间不但可以有加减法运算，还有一种类似于乘积的运算–内积。定义两个矢量的内积
为一个标量，它等于两个矢量长度以及它们之间夹角余弦的乘积：
c = A · B = |A | · |B | · cos θ, (1.17)
其中 |A | 和 |B | 分别代表两个矢量的长度，而 θ 为两个矢量之间夹角的余弦。
图 1.8: 矢量的三种简单运算，加减法得到新的矢量，内积得到的是一个标量
除了用图形表示矢量，还可以利用直角坐标系将矢量用它的分量表示。当平面直角坐标
系被给定了以后，如图1.9所示对于任意平面的矢量 A，可以将它平移直到起点与坐标系的 原点 O 重合，这样它在直角坐标系中可以用它的终点的坐标 (Ax , Ay ) 来表示，(Ax , Ay ) 称为矢量在坐标系中的分量。这样它与一个给定标量 c 的乘积的分量为矢量的各个分量分 别与标量 c 的乘积：
(cA )x = cAx , (cA )y = cAy (1.18)
同样对于另外一个矢量 B = (Bx , By )，它与 A
为
的加法、减法以及内积的分量则可分别表示
(A + B)x = Ax + Bx , (A + B)y = Ay + By (1.19)
(A B)x = Ax Bx , (A B)y = Ay By (1.20)
A · B = Ax · Bx + Ay · By (1.21)
例 1.24 对一个运动质点的观测表明在 t1 时刻位于 A 点，t2 时刻位于 B 点，t3 时刻位 于 C 点，分别在图中给出它在 t1 → t2 ，t2 → t3 时间段中的位移，t1 → t3 的位移。从中
图 1.9: 矢量的分量，将矢量平移到原点，其终点的坐标即矢量的分量值
你能够得到什么结论？
例 1.25 已知一个运动质点在 t1 → t2 的位移为 D 1 ，t1 → t3 的位移为 D 2 ，求它在 t2 到
t3 时间内的位移。
例 1.26 为了描写一个在给平面上质点的运动，建立平面直角坐标系。t = 0 时质点的坐标 为 (2, 3)，随后运动过程产生的位移由矢量 (4, 5) 给出，所有量的单位都是米，求最终质点
所处的位置。
1.3.4 运动的快慢：速度
运动质点的速度被定义为位移随时间的变化率，所以它和位移一样不但有大小而且有
方向。对于一个在 t 时刻位于 r(t) 而在 t 时刻位于 r(t + t) 运动的质点来说它的平
均速度的定义为
v =
r(t + t) r(t)
t
r
=
t
. (1.22)
当 t 很小时可以发现速度的方向和此时质点运动的方向趋近于一致，其大小则等于此时
的瞬时速率，称做质点的瞬时速度
v(t) = lim
r
(1.23)
t→0 t
如果物体沿曲线运动，则瞬时速度的方向实际上就是轨迹切线的方向。
图 1.10: 曲线运动轨迹上各点的瞬时速度，大小等于瞬时速率，方向沿着曲线切线的方向
当一个物体在某一时刻的位置 r 和速度 v 同时为已知时，则在一微小时刻 t 之后 它所处的位置由
r(t + t) = r + v t (1.24)
所给出。如果质点的运动速度的大小和方向都不随时间而变化时，这样的运动被称为匀速直
线运动。当一个做匀速直线运动的质点在 t = 0 时的位置为 r0 ，而它的速度为 v 时，非常 容易地，在任意 t 时刻它的位置为
r(t) = r0 + vt. (1.25)
例 1.27 飞机由机场起飞后以速度 v = 800 km/h 沿北偏东 53 的方向行驶了 1 小时间以 后突然接到紧急命令需要在半小时内到达位于出发机场正东 1000 km 的机场 B，求调整航
(
5
)向以后的速度的大小和方向。可取近似值 sin 53 = 4
例 1.28 如图所示，有一艘潜艇潜伏于 A 点，一艘敌船以匀速 v 沿直线 M N 航行，A 点到 M N 的垂线距离为 L。潜艇发射的鱼雷速度为 u，沿直线匀速运行，在不被发现的情 况下当敌船航行到图中所示的 θ 角时发射可使鱼雷垂直击中，造成最大的破坏，求 θ 角的
大小与已知物理量的关系。
例 1.29 足球比赛，一攻方队员在图中的 A 处沿 AX 方向传球，球在草地上以速度 v 匀 速滚动，守方有一队员在图中 B 处，以 d 表示 A、B 间的距离，以 θ 表示 AB 与 AX 之间的夹角，已知 θ＜90 ，设在球离开 A 处的同时，位于 B 处的守方队员开始沿一直线 在匀速运动中去抢球，以 vp 表示他的速率，在不考虑场地边界限制的条件下，求出守方队
员可以抢到球的必要条件。
B
d vp
A r X
例 1.30 两个质点 A、B 同时从 P 、Q 两点出发，分别以速度 v1 沿直线 AB 和以速度
v2 沿 PR 作匀速直线运动，QR 和 QP 的夹角为 α，开始时 P Q 两点相距 l，求此后两
质点的最短距离。
例 1.31 如图所示，一个人在图中 A 点处看到一个人在水中 B 点求救，已知它在地面奔 跑的速度为 v1 ，在水中游泳的速度为 v2 ，各个长度已在图中标出。求他能够在最短时间到 达落水点 B 所走的路径。
N
1.3.5 速度的变化：加速度
图 1.11: 质点运动过程中速度的变化，加速度
和一维的情况类似，平均加速度被定义为给定时间 t 里速度的变化率
a =
v(t + t)
=
t
v
t
, (1.26)
而上式在 t → 0 的极限情况下的值为质点在 t 时刻的瞬时加速度：
a(t) = lim
v
(1.27)
t→0 t
和速度和位移一样，一般情况下的加速度也是一个矢量，大小为速度变化量随时间的变化
率，而方向给出了速度变化的方式。因为速度是一个矢量，当它的大小或者方向发生变化时 都会带来非零的加速度。
当质点在某一时刻 t 时的速度 v(t) 和此时它的加速度 a 同时为已知时，在此后 t
时间后它的速度为
v(t + t) = v(t) + a t. (1.28) 加速度的大小和方向都不变的运动被称为匀加速运动。t = 0 时位于 r0 ，速度为 v0 的做加 速度为 a 的匀加速运动速度和位置随时间的变化率形式相对简单：
v(t) = v0 + at (1.29)
1 2
r(r) = r0 + v0 t + 2 at
(1.30)
1.4 抛体运动
在地球表面附近抛出的物体在阻力可以忽略不计时的运动称之为抛体运动。观测表明
抛体运动是均加速运动，运动过程中加速度的大小等于重力加速度 g，方向指向地面。当
初始速度的方向与地表的垂线方向一致，也就是竖直向上或向下时，抛出的质点将作直线运
动，但如果初始速度有水平方向的分量时，运动的轨迹将是一条曲线，曲线的形状和大小与 初速度的大小和方向密切相关，数学上将这类曲线统称为抛物线因为抛体的运动易于观察， 所以我们首先集中精力研究抛体运动的一般性质和处理方法，在这里所学的方法和结果实 际上能够很轻易地推广到其它的的匀加速运动中去。
在不考虑复杂因素的理想情形下，斜向抛出的物体将在一个平面内运动。为了方便地研 究抛体的运动，我们在它运动的平面内建立一个平面直角坐标系，简单起见，设坐标系的原
点与抛体运动的起始点重合，x 轴与初速度的水平分量的方向一致，称为水平方向，y 轴 垂直于地面竖直向上，称之为竖直方向。在这样的坐标系原点处抛出质点的速度大小为 v0 ， 它与水平方向的夹角定义为 θ，这样的两个量唯一地决定了抛体此后的运动状态。为了定量 地描写抛体的运动，我们用它在运动过程中某一时刻 t 的水平和竖直坐标值来表示它的位 置。抛体运动过程中水平和竖直方向的运动行为不同，它的水平坐标值 x 随着时间的推移
均匀地增大，看上去像是在作匀速直线运动，其匀速运动的速度就是初始速度的水平分量： vx (t) = v0 cos θ (1.31) x(t) = v0 cos θ · t (1.32)
而在竖直坐标 y 随时间的变化关系则和以初速度的竖直分量 vy0 = v sin θ 为初速度
的竖起上抛运动完全一致：
vy (t) = v0 sin θ · t gt (1.33)
(
1.4.
抛体运动
) (
CHAPTER
1.
运动学
)
(
CHAPTER
1.
运动学
) (
1.4.
抛体运动
)
(
2
)1
y(t) = v0 sin θ · t 2 gt
(1.34)
像上面那样把一个空间中的曲线运动用它在某一坐标系中的各个坐标值随时间的关系
来表示的过程称之为运动的分解，反过来如果知道了一个特定的运动过程在某一坐标系中 的各个坐标随时间的关系，那么它在空间中的运动行为就被唯一地决定，这样的处理过程称 为运动的合成。将一个复杂的运动首先分解为沿着各个方向的分运动，在搞清楚各个方向的 分量运动的行为之后再将它们统一起来得到最终的运动是运动学中非常常用的方法。以前 面抛体运动为例，看上去抛体的运动是具有一定的复杂性的曲线运动，但将它的运动过程用 它的水平和竖直坐标来描写时发现它们都满足简单的运动规律，水平方向上作匀速直线运 动，而在竖直方向上稍复杂一些，也不过是竖直的落体运动。
水平和竖直方向的分运动合起来就是完整的抛体运动。抛出物体的运动轨迹可由它们 的运动方程1.32,1.34导出，从1.32中解出时间
x
t =
v0 cos θ
将它代入1.34当中就是可消去时间 t 从而得到抛体运动过程中任何一点处的竖直坐标和此
时物体水平坐标的关系，也就是抛体的轨迹方程
g 2
(
·

2
v
2
)y(x) = tan θ x x
0 cos2 θ
(1.35)
可以看出上式当中 y 是水平坐标 x 的二次方程，这就是数学上将二次方程代表的曲线称
为抛物线的原因。进一步观察上式还可以看出所有的抛体轨迹在我们选取的坐标系中都是
开口向下的抛物线，其对称轴的位置和宽度由初始条件，也就是初速度的大小 v0 和角度 θ
共同决定。当初速度和抛射角取一些特殊值时的，一般的抛体运动退化成相对简单的运动形
式，例如
自由落体运动：v0 = 0
(
2
) 竖直上抛运动：v0 > 0，θ = π
(
2
) 竖直下抛运动：v0 > 0，θ = π
平抛运动：v0 > 0，θ = 0
以上就是抛体运动所满足的所有规律，灵活地使用这些基本的关系式就可以解决几乎所有
和抛体运动有关的问题，以下是一些例子：
例 1.32 网球的规则要求发球时球不能碰到球网，并且落到对方场地的指定区域（发球区）。
将发球过程简化为如下模型，整个网球场的长度为 2L，发球区距离球网的距离为 l，球网 的高度为 h，将球员发出球的运动简化为由高度 H 处以初速度 v0 的平抛运动。请证明击 球的高度 H 必需大于某一给定值 H0 才能够在规则允许的条件下将球发出，并求出 H0
与其它已知量的关系。
例 1.33 将一块石头从 20 m 高的山顶上水平抛出，当石块落到地面上时，其速度方向与水 平面成 45 角。请问石块抛出时的速度是多少？
45
例 1.34 作斜上抛质点的射程被定义为当它再次落到与抛出点相同高度时的水平距离，试
证明由初速度 v0 、仰角 θ 抛出物体的射程 S 满足
v2
S = 0 sin 2θ
g
并以此证明对于相同的初始速率 v0 以斜向上 45 角抛出的物体射程最大。
v0
S
(
g
)例 1.35 一个以给定的初速度 v0 ，仰角为 θ1 抛出的物体的射程为 S ，求证以同样的初速 度，仰角 θ2 = π/2 θ1 抛出物体的射程也是 S ，且射程相同的两个抛体在空中停留的时间 乘积 t1 t2 = 2S
v0
v0
例 1.36 求从图中 A 点抛出的物体能够越过距离 A 点 L 处的一个高度为 H 的障碍物
所需要的最小速度。
例 1.37 对于一个从给定点 A 以给定的速率 v0 不同角度抛出的物体来说，它所有可能到
达的区域和不可能到达的区域有一条分界线，求该分解线在如图所示的坐标系中的方程。
例 1.38 铅球运动员能够推出铅球的最大速度为 v0 ，肩膀距离地面的高度为 H ，求它能够 推出最好成绩时铅球出手的速度方向与地面的夹角。当 v0 = 12.37 m/s，H = 1.5 m 时求出
能够得到最好成绩时的角度值以及他所获得的成绩。
例 1.39 在小丘上置一靶子，在炮位所在处看靶子的仰角为 α，炮与靶子间的水平距离为
L，向目标射击时炮身的仰角为 β，炮弹以什么初速度发射才能击中目标。
v0 T
C L
除了使用由方程1.31-1.35给出的代数方程以外，在解决有些问题时使用几何方法会极
大降低计算量，并突出物理意义。因为抛体运动就是匀加速度运动，在给定的时间 t 里速 度的变化量就是重力加速度 g 乘以时间 t，不要忘了速度是一个矢量，所以速度的改变量
大小为 gt，而方向指向地面。当抛体的初始速度矢量 v0 被给定了以后，任一时刻 t 的速
度矢量由
v(t) = v0 + gt (1.36)
或者由图1.12(a) 所给出的几何图形给出。同样的道理从抛出点算起，抛体任一时刻的位移
则可以用矢量表达为
1 2
r(t) = v0 t 2 gt
(1.37)
其图形化的表示由图1.12(b) 表示。从中可以看出抛体的运动过程中任何时刻的位移可以
看成是以初速度 v0 的匀速直线运动和一个自由落体运动的合成，这个图像可以极大地方便
我们分析抛体的运动。从两个图中还可以看到，当把代表位移的矢量关系图中代表自由落体
的矢量放大一倍以后再与起始点连接构成的图形和代表速度矢量关系的图形相似。
图 1.12: 用矢量来表示抛体运动过程中任一时刻的速度和位移，如果两个图形代表的是同
一个运动过程的话，这时它处于下降阶段但依然没有回落到与抛出点相同的高度
例 1.40 在水平地面上距离 A 点距离为 L 处有一个高为 H 的障碍物，若从 A 点抛出 的物体正好通过障碍物上端时的速度方向平行于地面，求抛出的仰角 θ 和初始速率 v0 。
例 1.41 在一个与地面夹角为 α 的斜面底部斜向上抛出一个物体，当它的仰角为何值时在
击中斜面时速度方向刚好与斜面垂直？
因为抛体的运动非常普遍，前面的几个例子并无法包含所有的情况。当面对其它涉及到
抛体运动问题时可以通过抛体运动的一般性质综合分析，最终找到问题的答案，下面就是几 个例子：
例 1.42 一个轰炸机在距离地面高度 H 处以速度 v 匀速飞行，请你设计一个描准装置， 使得当飞行员在描准镜中看到目标位于十字交叉线正中时按下投弹按扭能够使炸弹准确击
中目标。如果描准镜是一个类似于望远镜的装置，求它与竖直垂线的夹角。假设炸弹的飞行 满足抛体运动规律。
例 1.43 如图所示的多级台阶，每级台阶的长度为 d，高度为 l，在 A 点以水平速度 v0 抛 出一个球体，球与台阶相撞以后其水平方向速度分量保持不变，但竖直方向的速度会反向，
并变成碰撞前的 e 倍，e < 1，如果球每次碰撞前与台阶相对速度均相同且其轨迹能够形成 全同的往复过程，求 v0 的大小和每次反弹以后上升的高度。
v0
H
l
d
例 1.44 一个球在距水平地面 h 高处以水平速度 √2gh 抛出，空气阻力不计。小球每次落 地反弹时水平速度不变，竖直速度大小按同样的比率 e 减小。若自第一次反弹开始小球的
(
h
)运动轨迹与其在地面的投影之间所包围面积的总和为 8 2 ，求小球每次反弹竖直速度减小
21
的比率 e。
提示，小球每次做斜抛运动（从水平地面射出又落至地面）的轨迹与其在地面的投影之
间所包围的面积等于其最大高度和水平射程乘积的 2 。
3
例 1.45 如图所示平面上有一个半径为 R 的球体，我们希望在地面上斜向上抛出一个物体 击中球体的顶部。求在不碰到球体的条件下能够击完成目标的最小的抛出速度 vmin 、抛出 的角度 θ0 以及抛出点与球底部的距离 d0 。
1.5 圆周运动
质点沿圆的运动是另一类简单曲线运动，称为圆周运动。圆周运动是非常普遍的运动形 式，在游乐场可以看到大量的圆周运动的例子，在历史上很长时间里人们一直认为天体的运 动也是圆周运动。最简单的圆周运动是质点以固定的速率沿着圆周运行，这样的运动称为匀 速圆周运动，做匀速圆周运动的质点速度大小始终不变，但是速度的方向却在不断地变化。 根据加速度的定义可以看出即使是匀速圆周运动的质点的加速度也不为零。
最方便地描写圆周运动质点的位置并不是像研究抛体运动时的平面直角坐标系，而是 用运动质点与圆心的连线与一个固定方向的夹角来表示质点的位置。如图1.13所示当做圆
周运动的质点运动到 P 点时，它与固定方向 ON 的夹角 θ 可以唯一地确定它在圆周上的 位置 P ，我们将 θ 称为做圆周运动质点的角位置，习惯上规定沿着逆时间转动的方向为 θ
增大的方向。从某种意义上角位置和一维运动质点的坐标有很多相似之处，但也要注意它们
的不同。例如一维运动质点的位置由其坐标唯一确定，但是角位置却不同，任意与给定的 θ 相差 2π 整数倍的角度实际上给出的是同样的空间位置。例如 θ = 0 与 θ = 2π 所给出的 位置都是图中的 N 点。
图 1.13: 圆周运动质点的位置用它和圆心的
连线与一固定方向的夹角表示其位置 图 1.14: 角速度的正负及其对应的运动方式
当质点在圆周上运动时，它的角位置 θ 会随时间的推移不断地发生变化，作匀速圆周 运动的质点相同时间里角位置的变化量为常数，称为匀速圆周运动的角速度，它定义为单位
时间里角位置随时间的变化率。如果在 t 时间里质点转过的角度为 θ，这时它作匀速圆
(
1.5.
圆周运动
) (
CHAPTER
1.
运动学
)
(
CHAPTER
1.
运动学
) (
1.5.
圆周运动
)
周运动的角速度 ω 就表示为
ω = θ ， (1.38)
t
从定义可以看出当质点的圆周运动方向是使 θ 变大的方向，则角速度为正，反之角速度为
负，图1.14给出了实际的例子。如果质点在圆周运动过程中角速度时刻保持不变，则称该质
点作匀速圆周运动。当初始角位置和角速度均已知的匀速圆周运动，在任意时刻 t 的角位
置能够表达为
θ(t) = θ0 + ωt. (1.39) 因为角位置的周期性，在经过一段时间后它的角位置将与初始位置的差别变成 2π，很容易 想像实际上质点又回到了出发点。匀速转动一周又回到起始点所需要的时间称为匀速圆周
运动的周期，根据定义它和角速度的关系为
ωT = 2π, T =
2π , (1.40)
ω
从中可以看出角速度越大转动的周期就越短。另外一个用来描写转动快慢的物理量为转动
的频率，用单位时间（通常是 1 s) 内完成转动的圈数，从定义可以看出频率 f 和周期、
角速度之间必然满足关系
1 ω
f = =
T 2π
(1.41)
频率的单位为赫兹，需要注意的是它并不需要一定要求是一个整数。 匀速圆周运动质点的速度大小并不会随时间发生变化，它的速率称为匀速圆周运动的线
速度，当沿着半径为 R 的圆弧运动质点的角速度为 ω 时，在时间 t 里将掠过 θ = ω t
的角度，这样它所掠过的弧长就是 s = R · ω t，简单的计算表明它的线速度大小
v = ωR, (1.42)
可以看出线速度的大小由角速度和半径共同决定，方向则满足速度的一般性质，沿着轨迹的
切线方向，对于圆来说任何一点的切线方向与该点的圆心连线方向垂直。
例 1.46 一个质点沿半径 r = 10 cm 的圆周以匀速每分钟转动 30 圈，求其角速度、线速 度和匀速圆周运动的周期。
例 1.47 如图所示，质点 A 在半径为 R 的圆周上做角速度为 ω 的匀速圆周运动。当它 运动到圆周上一给定点 P 时有一质点 B 从圆心 O 出发沿着 OP 方向以匀速 v 匀速运 动，如果两个质点能够相撞，求所有 v 的可能取值。
例 1.48 如图所示，质点 A 在半径为 R 的圆周上做角速度为 ω 的匀速圆周运动。当它 运动到圆周上一给定点 P 时有一质点 B 从圆心 O 从静止出发沿着 OP 方向作匀加速运 动，如果两个质点能够相撞，求所有加速度 a 的可能取值。
例 1.49 两个质点在半径为 R 的圆周上分别做匀速圆周运动，角速度分别为 ω1,2 ，并且 ω2 > ω1 ，已知 t = 0 时两质点在圆周上相遇，求再次相遇的时间。如图所示，第一次相遇点 位于圆心正上方 P 点处，且两质点均沿逆时针方向转动，求再次相遇时的位置与 OP 的 夹角 θ。
P
1
O
2
例 1.50 两个质点 A 和 B 分别在半径为 R1 、R2 的同心圆周上做匀速圆周运动，A 的 线速度为 vA ，B 的线速度为 vB ，当 t = 0 时它们连线的沿长线通过圆心且两质点位于圆
心的同侧，求此后它们的连线通过圆心的所有时刻。
A R2 R1
B O
例 1.51 如图所示，有一个半径为 R 的圆水平放置，有一个质点 A 在其圆周上以角速度
ω 作匀速圆周运动。在它圆心 O 的正上方高度为 H 的 S 点以水平速度 v0 抛出另外一
个质点 B，抛出时 A 正好位于 B 抛出的方向。如果 B 与 A 能够相撞，则 v0 和 H 需
要满足什么条件。
例 1.52 A、B 两个质点在半径分别为 R1 ，R2 的同心圆形轨道上同向运动，R1 < R2 ，角 速度分别为 ω1 > ω2 。从位于外侧轨道的 B 看过去 A 始终在圆心 O 点左右摆动，求在
B 看来它与 A 和 O 连线之间夹角 θ 的最大值以 A 相继出现在最大夹角处的时间间隔。
2
1
(
R
)A B
2
R1 O
例 1.53 20 世纪早期人们通过实验发现电子有沿着通过自身轴转动的性质。那时的电子被
看成是一个半径 re 3 × 10 15 m，实验上要求电子自转的角速度与半径平方的乘积满足
ωR2 ≈ 10 5 m2/s
很短时间之后电子论的创始人洛伦兹马上指出这个模型有致命的缺陷，你能够看出这里面
有什么问题吗？
虽然匀速圆周运动质点的速度的大小始终不变，但是因为它速度的方向不断发生变化
所以加速度并不为零。如图1.15所示一个质点在作半径为 R 角速度为 ω 的匀速圆周运动， 在某一时刻它位于 A 点处，在随后的 t 时间之后运动到了 B 点，A、B 两点与圆心的 夹角 θ = ω t，两点处的速度大小均为 ωR，方向沿着两点切线的方向。为了比较两点速 度的不同，将两点的速度矢量平移，使其端点重合于如1.15右图所示的 S 点处，连接两个 速度矢量的端点 P Q 就是在 t 时间里速度的变化量。在极小的时间间隔 t 内三角形
S P Q 是一个顶角 θ = ω t 无限地趋近于 0, 底角无限地趋近于直角的等腰三角形。因
为瞬时加速度的方向就是无限小时间里速度改变量的方向，所以匀速圆周运动的加速方向
垂直于瞬时速度，也就是圆周切线的方向；从图中可容易看出其方向指向圆心，所以匀速圆
周运动的加速度又被称为向心加速度。等腰三角形的腰长 S P = S Q = ωR，根据几何关系
它的底边的长度为腰长与顶角的乘积：
v = ωR θ = ωR · ω · t = ω2 R t,
可以看到向心加速度的大小与圆周运动的角速度、半径之间的关系
v 2
ar = t = ω R, (1.43)
根据匀速圆周运动学变量之间的关系，向心加速度还有另外一个常用的表达式：
v2
ar =
. (1.44)
R
例 1.54 (1) 求一个以线速度 v = 10 m/s 在半径 R = 10 m 的圆形轨道上作匀速圆周运
动质点的加速度大小。
图 1.15: 匀速圆周运动的加速度
(2) 一个在半径 R = 10 m 的圆周上匀速圆周运动质点的向心加速度 ar = 10 m/s2， 求其圆周运动的频率。
例 1.55 如果多个围绕共同圆心作匀速圆周运动质点的周期 T 的平方与它们各自的轨道 半径 R 的三次方成正比：
T 2
R3 = C,
其中 C 为一个常数，求它们圆周运动向心加速度与轨道半径的关系。
例 1.56 如果多个围绕共同圆心作匀速圆周运动质点的周期 T 与它们各自的轨道半径 R
无关，求向心加速度与轨道半径之间的关系。
例 1.57 以圆形轨道行驶的赛车速度不宜过快，否则就会打滑，已知在给定的赛道上赛车沿
不同圆周作匀速运动的向心加速度的最大值均为 a，它同时也是赛车在加速度和减速过程 中的最大加速度。考虑如图所示赛道，弯道为圆孤，内、外半径分别为 R1 、R2 。在直道上 赛车以最大速度 v0 > √aR1 ，比较沿着赛道内侧和外侧两种方式通过弯道的时间。
R2 R1
O
在大多数情况下，圆周运动的角速度并不是一直能够不变的，在各种因素的影响下和质
点运动的速度一样，角速度也会发生变化。把圆周运动质点的角位置在一段时间 t 内的 变化量 θ 与相应的时间间隔的比值称为 t 时间里的平均角速度，和速度类似的在极小 的 t 极限下平均角速度的极限就是对应时刻的瞬时角速度：
ω(t) = lim θ
(1.45)
t→0 t
当圆周运动质点在某一时刻的瞬时角速度为已知时，可以证明它的线速度和向心加速度满
足和匀速圆周运动相同的规律：
v(t) = Rω(t), ar = ω(t)2 R =
v(t)2
R
(1.46)
和直线运动相类比，当角速度做为时间的函数为已知时，它对时间的变化率自然就被称
为角加速度，习惯上用 β 来表示。如果角速度随时间的关系用函数 ω(t) 来表示的话，角
加速度也以写为
β(t) = lim
ω
. (1.47)
t→0 t
当圆周运动的角加速不为零时，运动质点的加速度除了指向圆心的分量以外还会由于线速
度的变化有沿着圆周切线方向的分量，称为线加速度或切向加速度。简单的数学分析可知线 加速度的大小
at = Rβ (1.48)
这时运动质点的加速度为切向加速度和向心加速度的矢量和。线加速度保持为常数的圆周
运动称为匀加速圆周运动，如果 t = 0 的初始时刻以角加速度 β 作匀加速圆周运动质点的 初始角位置为 θ0 、初始角速度 ω0 的质点的角速度和角位置随时间的变化关系可以写为
ω(t) = ω0 + βt (1.49)
1 2
θ(t) = θ0 + ω0 t + 2 βt
(1.50)
作角加速运动的质点速度的大小和方向都在不断变化，由于角加速度不为零，所以质点运动 过程中沿着圆周切向的加速度分量1.48以外，速度方向的改变同时也会导至非零的径向加
速度分量，简单地分析可知向心加速度同样是由1.44给出，只不过这时式中的 v2 在不同的
时间需要取不同的数值。
例 1.58 一质点在半径为 R = 1 m 圆周上作圆周运动，t = 0 时初始角速度为 ω0 = 0，角 加速度 β = 1 rad/s2，求其边缘速度达声速 340 m/s 所需要的时间。
例 1.59 一质点沿半径为 R 的圆轨道运动，初速度为 v0 ，其加速度方向与速度方向之间 的夹角 θ 恒定，试求速度大小与时间的关系。
v a
R O
1.6 平面内的曲线运动
详细地研究了抛体和圆周运动以后，我们已经积累了大量的描述物体运动的手段和技 术。在这些技术的基础上就可以着手分析更一般的运动，为简单起见假设运动物体始终保持 在空间当中某个特定的平面内，称之为二维运动；后面可以看出对二维运动的研究对更复杂 的三维运动的描写提供了几乎全部的术语和技术，向三维空间的推广几乎不用费任何力气。 对二维曲线运动的分析主要采取两种方法，一种是在平面直角坐标系或极坐标系中用物体 在坐标系的分量随时间的变化来描写物体的运动；另一种是时刻追随运动的物体，将它所有 的运动学变量在它的速度方向和垂直于速度的方向来分解从而得到运动的性质。两种方法 各有特点和优势，根据实际的问题选择合适的处理方法，下面我们就来逐一学习两种不同的 描写手段。
1.6.1 固定坐标系
在质点运动的平面内建立一个直角坐标系 Oxy，其中 O 为坐标系的原点，x、y 分别 是相互垂直的两根坐标轴。对于轴的取向并没有特别的规定，可以根据所研究对象运动的特
点灵活选择。例如处理抛体运动时选择两根轴分别平行和垂直于地面就很方便，另外在处理 地面上物体的运动时将轴指向东西和南北方向可以更方便地与地理知识产生联系。当坐标 系被给定了以后，平面内任何一点的坐标就是被唯一给定的，反过来当给定了一个物体的两 个坐标值以后它真实的位置也将被唯一确定。物体的运动可以用它的两个坐标值分别与时
间的关系来描写，如图1.16所示对于坐标系 Oxy 来说平面内质点的运动可以用它的 x 和
y 坐标与时间的函数给出：
x = x(t), y = y(t) (1.51)
(
1.6.
平面内的曲线运动
) (
CHAPTER
1.
运动学
)
(
CHAPTER
1.
运动学
) (
1.6.
平面内的曲线运动
)
图 1.16: 用直角坐标系描写质点的曲线运动，用质点的坐标随时间的关系来决定任一时间
运动质点的位置。当根据运动方程得到 t1 时刻的两个坐标值分别为 x(t1 ) 和 y(t1 )，立刻 就可以判断质点此时位于图中的 A 点处
x(t) 和 y(t) 称为曲线运动分量的运动方程，无论多么复杂的曲线运动其分量看上去都是 在作一维的运动，可以用一维运动的相应技术来分析分运动，最后就可以得到完整的运动。
在抛体的运动分析过程中我们已经看到，当把抛体的运动分解为水平和竖直方向的分运动 以后就可以简单地分析了。当分量的运动方程1.51为已知时，就能够得到曲线运动的其它信 息。
运动物体的轨迹可以由各个时刻的位置在平面上划出的曲线所决定。从数学上看和抛 体运动类似，任意曲线运动的轨迹可以通过联立两个方向分运动的方程通过消去时间变量 而得。在有些特殊情况下很容易得到轨迹的方程，但不见得所有情况下都能够得到轨迹方程 解析的表达式。
例 1.60 已知分量的运动方程为
x(t) = A cos ωt, y(t) = A sin ωt
求运动质点的轨迹方程并在下面的坐标系中画出轨迹的示意图。
y
x
例 1.61 已知分量的运动方程为
x(t) = a cos ωt, y(t) = b sin ωt
求运动质点的轨迹方程，并画出轨迹的示意图。
y
x
例 1.62 一个半径为 R 的圆在平面上以做无滑动的匀速滚动，圆心速度速度为 v，试求圆 上固定一点 P 在如图所示的坐标系中 x、y 坐标随时间的函数。
例 1.63 已知一个在空间中运动的质点在直角坐标系 Oxyz 中的运动方程为
x(t) = R cos ωt, y(t) = R sin ωt, z(t) = vt
以上各量均为正数，试画出质点轨迹的示意图。
z
y
x
曲线运动的速度可以由分运动速度的矢量和给出。对于由1.51给出的运动，它在坐标轴
的分速度自然为已知，这样它的速度可以由两个方向的速度合成而得。反过来的过程也是成 立的，当已知曲线运动在某一时刻的速度以后它分的分速度可由速度沿坐标轴的分量而得 到。同样的道理运动质点的加速度也等于分量的加速度的矢量和，加速度的分量等于总的加 速度在对应轴的分量。
例 1.64 现有一个质点 P 在半径为 R 的圆上作角速度为 ω 的匀速圆周运动。建立一个 原点位于圆心 O 的平面直角坐标系，在 t = 0 的时刻质点刚好处于 x 轴上，且围绕原点 做逆时针转动。求此后任意时间它在坐标轴上的投影 x(t) = R cos ωt，y(t) = R sin ωt 的
速度和加速度。
例 1.65 试证明一个半径为 R 的圆在平面上以做无滑动的匀速滚动，圆心速度速度为 v， 当圆上固定一点 P 刚好与地面接触时的瞬时速度为零。
P
例 1.66 在如图所示的平面极坐标系中，一个质点的运动由方程
r = vt, θ = ωt
给出，所有参数均为正数，试定性地画出其运动轨迹。
例 1.67 在平面极坐标系中一个质点的运动由方程
r = r0 eλt , θ = ωt
试证明它在任何一点处的速度与它到极坐标系中心连线的夹角均为给定值，并给出该值。已
知对于任意的 x，当其变化量 x x 时，有如下的近似关系式：
ex+ x ex (1 + x)
1.6.2 自然坐标系
除了用运动平面内的直角坐标系，还可以在平行和垂直于曲线运动物体速度的方向将 各个运动学变量分解。这里将与速度相同的方向称为运动的切线方向，简称切向，故名思意 切向就是运动轨迹切线的方向。与切线垂直，指向运动轨迹弯曲的方向称为轨迹的法线方 向，简称法向。根据运动学性质，曲线运动质点的速度只有切向分量，法向分量为零。但是 加速度则不同，作曲线运动物体加速度必然与瞬时速度方向不一致，所以加速度即有切向分 量，也有法向分量。由运动轨迹的切向和法向构成的坐标系称为自然坐标系，运动学变量在 自然坐标系中的分量具有最明确的物理意义，但是由于曲线运动质点的切向和法向在其轨 迹上不同点处的方向并不一样，所以在自然坐标系是一个方向不断发生变化的坐标系，在它 里面处理运动学问题有一定的数学复杂性。
图 1.17: 曲线运动速度的变化量，当 t → 0 时可以理解加速度在自然坐标系中分量的物 理含义
假设曲线运动质点在某一给定时刻 t 时的位置矢量由 r(t) 给出，此时的瞬时速度和瞬 时加速度由矢量 v, a 给出。在此之后的 t 时间后，它的位置和速度会发生一定的变化， 如果时间间隔选取足够小的话，可以认为在 t 时间里做匀加速度直线运动，这样 t + t
时刻的速度和位置分别由
v(t + t) = v + a t (1.52)
1
r(t + t) = r(t) + v t +
a t2 (1.53)
2
给出。我们来着重考察曲线运动物体速度的变化量，式1.52的图形表示如图1.17，从中可以
看出在最一般的情况下由于非零的加速度会导致速度的大小和方向同时发生变化。在无限
小的 t 间隔里，图中的三角形 ABC 实际上是一个顶角 θ 极其之小的三角形，在后面 的推理过程中要密切注意这一点。各条边的长度已经在图中标出，α 角代表瞬时加速度 a 与瞬时速度 v 的夹角。速度大小的变化量由图中边长 AC 与 AB 的差别来表示，而速度 方向的变化可以由 θ 来表达。
在三角形 ABC 中使用余弦定理可得
v(t + t) = √v(t)2 + a2 t2 + 2va t cos α
与通常的余弦定理不同的是 α 是三角形的外角，所以上式中最后一项的符号为正。在 t →
0 的极限下可以忽略所有 t 一次方项以外的其它高次项，并将上式做近似展开：
v(t + t) = v(t) (1 + 2 a t cos α)1/2
v
( a )
v(t)
从中可以看到速度大小的变化量
1 + cos α t
v
= v(t) + a cos α t
v = v(t + t) v(t) = a cos α · t
结合图1.17能够看到，速度大小的变化量等于加速度在沿速度方向的分量，也就是加速度的
切向分量 a cos α 与时间间隔 t 的乘积。也就是说加速度的切向分量能够决定曲线运动
速率的变化，当加速度的切向分量与速度方向一致时运动速率将会增加，反之当加速度的切
向分量与速度相反时曲线运动的速率会减小，最特殊的情况下当加速度与速度方向垂直时， 运动速率不会发生任何变化，这一点在匀速圆周运动的例子中已经看到。
速度方向的变化用图1.17中的角度 θ 来衡量，在小角度极限下角度的弧度值、正弦 值和正切值在数字上近似相等。在三角形 ABC 中利用正弦定理有
v(t + t)
a t
sin α = sin θ
简单的数学运算并略去更小的量以后上式可以整理成为
a sin α
θ =
t (1.54)
v
从中可以看出加速度的法向分量的大小和运动速率共同决定了速度方向变化的快慢。将上 式变形可以得到
a sin α = v θ ,
t
最后一个因子看上去和一个圆周运动角速度的表达式非常相似，如果假想圆周运动的线速
度就是曲线运动质点在此时的速率，半径为 ρ，那么它可以表示为
(
2
)a sin α = v v = v
(1.55)
ρ ρ
它很像匀速圆周运动的向心加速度的表达式。可以形象将曲线运动质点在其轨迹上任何一
点处的运动与一个圆周运动等同起来，圆周运动的线速度就是曲线运动质点的瞬时速率，半
径由上式中 ρ 给出，它由曲线运动质点速度方向的变化量所决定。数学上将这个等效的圆
周运动的圆形称作曲线运动轨迹的密切圆，

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