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第2讲 动能定理及其应用 （第3课时 动能定理的综合应用）
课堂讲解
考点一、动能定理在多过程问题中的应用
1．当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；当所求解的问题不涉及中间的速度时，也可以全过程应用动能定理求解，这样更简便。
2．当选择全部子过程作为研究过程，涉及重力、大小恒定的阻力或摩擦力做功时，要注意运用它们的做功特点：(1)重力做的功取决于物体的初、末位置，与路径无关；(2)大小恒定的阻力或摩擦力做的功等于力与路程的乘积。
例1、(2021·全国乙卷)一篮球质量为m＝0.60 kg，一运动员使其从距地面高度为h1＝1.8 m处由静止自由落下，反弹高度为h2＝1.2 m。若使篮球从距地面h3＝1.5 m的高度由静止下落，并在开始下落的同时向下拍球，球落地后反弹的高度也为1.5 m。假设运动员拍球时对球的作用力为恒力，作用时间为t＝0.20 s；该篮球每次与地面碰撞前后的动能的比值不变。重力加速度大小取g＝10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)运动员拍球过程中对篮球所做的功；
(2)运动员拍球时对篮球的作用力的大小。
变式1、(多过程问题) 如图所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平，轨道的内表面粗糙。一质量为m的小滑块从P点正上方由静止释放，释放高度为R，小滑块恰好从P点进入轨道。小滑块滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度。用W表示小滑块第一次在轨道NQ段运动时克服摩擦力所做的功。则(　　)
A．W＝mgR
B．WC．小滑块恰好可以到达Q点
D．小滑块不能到达Q点
例2、(斜面上的多过程问题)(2021·全国甲卷)(多选)一质量为m的物体自倾角为α的固定斜面底端沿斜面向上滑动。该物体开始滑动时的动能为Ek，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为。已知sinα＝0.6，重力加速度大小为g。则(　　)
A．物体向上滑动的距离为
B．物体向下滑动时的加速度大小为
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
变式2、（2014年理综大纲卷）一物块沿倾角为θ的斜坡向上滑动。当物块的初速度为v时，上升的最大高度为H，如图所示；当物块的初速度为时，上升的最大高度记为h。重力加速度大小为g。物块与斜坡间的动摩擦因数和h分别为 ( )
A． B．
C． D．
考点二、动能定理的综合应用
例3、（动能定理综合）（2020·全国卷）如图，一竖直圆管质量为M，下端距水平地面的高度为H，顶端塞有一质量为m的小球。圆管由静止自由下落，与地面发生多次弹性碰撞，且每次碰撞时间均极短；在运动过程中，管始终保持竖直。已知M =4m，球和管之间的滑动摩擦力大小为4mg, g为重力加速度的大小，不计空气阻力。
（1）求管第一次与地面碰撞后的瞬间，管和球各自的加速度大小；
（2）管第一次落地弹起后，在上升过程中球没有从管中滑出，求管上升的最大高度；
变式3、(2021·辽宁高考)（多选）冰滑梯是东北地区体验冰雪运动乐趣的设施之一。某冰滑梯的示意图如图所示，螺旋滑道的摩擦可忽略；倾斜滑道和水平滑道与同一滑板间的动摩擦因数μ相同，因滑板不同μ满足μ0≤μ≤1.2μ0。在设计滑梯时，要确保所有游客在倾斜滑道上均减速下滑，且滑行结束时停在水平滑道上，以下L1、L2的组合符合设计要求的是(　　)
A．L1＝，L2＝ B．L1＝，L2＝
C．L1＝，L2＝ D．L1＝，L2＝
课后巩固
1、(2018·江苏高考)（多选）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，O点为弹簧在原长时物块的位置。物块由A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最远到达B点。在从A到B的过程中，物块(　　)
A．加速度先减小后增大
B．经过O点时的速度最大
C．所受弹簧弹力始终做正功
D．所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功
2、（2016年上海卷）风洞是研究空气动力学的实验设备。如图，将刚性杆水平固定在风洞内距地面高度H=3.2m处，杆上套一质量m=3kg，可沿杆滑动的小球。将小球所受的风力调节为F=15N，方向水平向左。小球以初速度v0=8m/s向右离开杆端，假设小球所受风力不变，取g=10m/s2。求：
（1）小球落地所需时间和离开杆端的水平距离；
（2）小球落地时的动能。
3、（2017年江苏卷）如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R，C的质量为m，A、B的质量都为，与地面的动摩擦因数均为μ.现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面.整个过程中B保持静止.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.求：
（1）未拉A时，C受到B作用力的大小F；
（2）动摩擦因数的最小值μmin；
（3）A移动的整个过程中，拉力做的功W.
4、（2016年浙江卷）（多选）如图所示为一滑草场。某条滑道由上下两段高均为h，与水平面倾角分别为45°和37°的滑道组成，滑草车与草地之间的动摩擦因数为。质量为m的载人滑草车从坡顶由静止开始自由下滑，经过上、下两段滑道后，最后恰好静止于滑道的底端（不计滑草车在两段滑道交接处的能量损失，）。则（ ）
A.动摩擦因数
B.载人滑草车最大速度为
C.载人滑草车克服摩擦力做功为mgh
D.载人滑草车在下段滑道上的加速度大小为
5、（2019年物理全国卷）（选做题）一质量为m=2000 kg的汽车以某一速度在平直公路上匀速行驶。行驶过程中，司机忽然发现前方100 m处有一警示牌。立即刹车。刹车过程中，汽车所受阻力大小随时间变化可简化为图（a）中的图线。图（a）中，0~t1时间段为从司机发现警示牌到采取措施的反应时间（这段时间内汽车所受阻力已忽略，汽车仍保持匀速行驶），t1=0.8 s；t1~t2时间段为刹车系统的启动时间，t2=1.3 s；从t2时刻开始汽车的刹车系统稳定工作，直至汽车停止，已知从t2时刻开始，汽车第1 s内的位移为24 m，第4 s内的位移为1 m。
（1）在图（b）中定性画出从司机发现警示牌到刹车系统稳定工作后汽车运动的v-t图线；
（2）求t2时刻汽车的速度大小及此后的加速度大小；
（3）求刹车前汽车匀速行驶时的速度大小及t1~t2时间内汽车克服阻力做的功；司机发现警示牌到汽车停止，汽车行驶的距离约为多少（以t1~t2时间段始末速度的算术平均值替代这段时间内汽车的平均速度）？
本节课反馈（学生意见和建议反馈本节课掌握情况）：
参考答案
课堂讲解
例1、答案 　(1)4.5 J　(2)9 N
解析 　(1)篮球从高度为h1处由静止自由下落的过程中，由动能定理可得mgh1＝Ek1
之后篮球反弹向上运动的过程中，由动能定理可得－mgh2＝0－Ek2
篮球从高度为h3处由静止下落，同时向下拍球，在篮球下落过程中，由动能定理可得
W＋mgh3＝Ek3
在篮球反弹上升的过程中，由动能定理可得
－mgh3＝0－Ek4
因篮球每次与地面碰撞前后的动能的比值不变，则有＝
联立并代入数据可得W＝4.5 J。
(2)因运动员拍球时对球的作用力为恒力，则拍球时篮球向下做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可得F＋mg＝ma
在拍球时间内篮球运动的位移为x＝at2
运动员拍球过程中对球做的功为W＝Fx
联立并代入数据可得F＝9 N(F＝－15 N舍去)。
变式1、答案　B
解析　根据题述，小滑块滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，根据牛顿第三定律，轨道对小滑块的支持力为4mg。在最低点，由牛顿第二定律，4mg－mg＝m，解得v2＝3gR。对小滑块由静止释放至运动到最低点N的过程，设小滑块克服摩擦力做的功为Wf，运用动能定理得，2mgR－Wf＝mv2，解得Wf＝mgR。由于小滑块在右侧圆弧轨道NQ段运动的速度大小与小滑块在左侧圆弧轨道PN段对称位置运动的速度大小相比较小，对轨道的压力就较小，对应受到的摩擦力较小，克服摩擦力做的功较小，所以小滑块第一次在轨道NQ段运动时克服摩擦力做的功W例2、答案　BC
解析　设物体向上滑动的距离为l，与斜面间的动摩擦因数为μ，对全过程根据动能定理有－μmgcosα·2l＝－Ek，对物体向上滑动的过程根据动能定理有－mglsinα－μmglcosα＝0－Ek，联立得l＝，μ＝0.5，A错误，C正确；物体向下滑动时，根据牛顿第二定律有mgsinα－μmgcosα＝ma下，解得a下＝，B正确；物体向上滑动时，根据牛顿第二定律有mgsinα＋μmgcosα＝ma上，可知a上>a下，由于上滑过程中的末速度为零，下滑过程中的初速度为零，且两过程位移大小均为l，根据l＝at2，可得t上变式2、答案 D
解析 根据动能定理，以速度v上升时有 ，
以速度上升时有，
解得，，所以D正确．
例3、答案 （1）a1=2g，a2=3g；（2）；
解析 （1）管第一次落地弹起的瞬间，小球仍然向下运动。设此时管的加速度大小为a1，方向向下；球的加速度大小为a2，方向向上；球与管之间的摩擦力大小为f，由牛顿运动定律有
Ma1=Mg+f ①
ma2= f– mg ②
联立①②式并代入题给数据，得
a1=2g，a2=3g③
（2）管第一次碰地前与球的速度大小相同。由运动学公式，碰地前瞬间它们的速度大小均为
④
方向均向下。管弹起的瞬间，管的速度反向，球的速度方向依然向下。
设自弹起时经过时间t1，管与小球的速度刚好相同。取向上为正方向，由运动学公式
v0–a1t1= –v0+a2t1⑤
联立③④⑤式得
⑥
设此时管下端的高度为h1，速度为v。由运动学公式可得
⑦ ⑧
由③④⑥⑧式可判断此时v>0。此后，管与小球将以加速度g减速上升h2，到达最高点。由运动学公式有⑨
设管第一次落地弹起后上升的最大高度为H1，则H1= h1+ h2⑩
联立③④⑥⑦⑧⑨⑩式可得
变式3、答案　CD
解析　设倾斜滑道的倾角为θ，游客在倾斜滑道上做减速运动，则有μmgcosθ>mgsinθ，解得μ>tanθ＝，又因为μ0≤μ≤1.2μ0，所以μ0≥，解得L1≥，故A错误。整个过程中只有重力和摩擦力做功，根据题意可知游客到达倾斜滑道底端时的速度v>0，根据动能定理有mg·2h－μmgcosθ·＝mv2>0，整理可得>μ，结合μ0≤μ≤1.2μ0可得>1.2μ0，解得L1<；游客最后停在水平滑道上，有mg·2h－μmgcosθ·≤μmgL2，整理可得L2≥－L1，当L1＝时，解得L2≥－≥－＝；当L1＝时，解得L2≥－≥－＝，故B错误，C、D正确。
课后巩固
1、答案　AD
解析　物块从A点到O点的过程，弹力逐渐减为零，刚开始弹簧弹力大于摩擦力，故可分为弹力大于摩擦力过程和弹力小于摩擦力过程：弹力大于摩擦力过程，合力向右，加速度也向右，由于弹力逐渐减小，摩擦力不变，物块所受合力逐渐减小，加速度逐渐减小，当弹力等于摩擦力时速度最大，此位置在A点与O点之间；弹力小于摩擦力过程，合力方向与运动方向相反，弹力减小，摩擦力大小不变，物块所受合力增大，物块的加速度随弹簧形变量的减小而增大，方向向左，物块做减速运动；从O点到B点的过程弹力增大，合力向左，加速度继续增大，A正确，B错误。从A点到O点过程，弹簧由压缩恢复原长，弹力做正功，从O点到B点的过程，弹簧被拉伸，弹力做负功，故C错误。从A到B的过程中根据动能定理弹簧弹力做的功等于物块克服摩擦力做的功，故D正确。
2、答案 （1）4.8m （2）120J
解析 （1）小球在竖直方向做自由落体运动，运动时间为
小球在水平方向做匀减速运动，加速度
水平位移
（2）由动能定理
代入数据得
3、答案（1）（2）（3）
解析（1）C受力平衡 解得
（2）C恰好降落到地面时，B受C压力的水平分力最大
B受地面的摩擦力 根据题意，解得
（3）C下降的高度， A的位移
摩擦力做功的大小 ， 根据动能定理
解得
4、答案 AB
解析 作出滑道简化示意图如图所示，从A处到C处的过程中，由动能定理有
(mgsin θ1-μmgcos θ1) + (mgsin θ2-μmgcos θ2) =0，
解得μ = ，选项A正确；
到B点时载人滑草车速度最大，从A处到B处的过程中，由动能定理有
(mgsin θ1-μmgcos θ1) =，
得，选项B正确；
从A处到C处的过程中，克服摩擦力所做的功等于重力势能减少量2mgh，选项C错误；
在下段滑道上的加速度大小a= = g，选项D错误。
答案 （1）
（2）， 28 m/s或者，29.76 m/s；
（3）30 m/s；；87.5 m
解析 （1）v-t图像如图所示。
（2）设刹车前汽车匀速行驶时的速度大小为v1，则t1时刻的速度也为v1，t2时刻的速度也为v2，在t2时刻后汽车做匀减速运动，设其加速度大小为a，取Δt=1s，设汽车在t2+n-1Δt内的位移为sn，n=1,2,3,…。
若汽车在t2+3Δt~t2+4Δt时间内未停止，设它在t2+3Δt时刻的速度为v3，在t2+4Δt时刻的速度为v4，由运动学有
①
②
③
联立①②③式，代入已知数据解得
④
这说明在t2+4Δt时刻前，汽车已经停止。因此，①式不成立。
由于在t2+3Δt~t2+4Δt内汽车停止，由运动学公式
⑤
⑥
联立②⑤⑥，代入已知数据解得
，v2=28 m/s⑦
或者，v2=29.76 m/s⑧
（3）设汽车的刹车系统稳定工作时，汽车所受阻力的大小为f1，由牛顿定律有：f1=ma⑨
在t1~t2时间内，阻力对汽车冲量的大小为：⑩
由动量定理有：
由动量定理，在t1~t2时间内，汽车克服阻力做的功为：
联立⑦⑨⑩式，代入已知数据解得
v1=30 m/s
从司机发现警示牌到汽车停止，汽车行驶的距离s约为
联立⑦，代入已知数据解得
s=87.5 m

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