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浙教版-8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》
1.1 认识三角形（2）三角形的重要线段
【知识点-部分】
一、三角形的三条重要线段
1、三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后
深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：
线段 名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
文字 语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段
图形 语言
作图 语言 过点A作AD⊥BC 于点D 取BC边的中点D， 连接AD 作∠BAC的平分线AD， 交BC于点D
标示 图形
符号 语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC．
推理 语言 因为AD是△ABC的高， 所以AD⊥BC (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线， 所以BD＝DC＝BC 因为AD平分∠BAC， 所以∠1＝∠2＝∠BAC
用途 举例 1．线段垂直 2．角度相等 1．线段相等 2．面积相等 角度相等．
注意 事项 1．与边的垂线不同 2．不一定在三角形内 1．与边的垂线不同 2．一定在三角形内 与角的平分线不同
重要 特征 三角形的三条高 (或它们的延长线)交于一点 一个三角形有三条中线， 它们交于三角形内一点 一个三角形有三条角平分线， 它们交于三角形内一点
【典型例题-精选部分】
1、如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD于H．下面判断正确的有　 　。
（1）AD是在△ABC的角平分线； （2）BE是△ABD的AD边上的中线；
（3）CH为△ACD边AD上的中线； （4）AH是△ACF的角平分线和高线．
2、在△ABC中，
（1）如图1，BP、CP为∠ABC和∠ACB的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？
（2）如图2，BP、CP为∠ABC和∠ACE的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？
（3）如图3，BP、CP为∠CBD和∠BCE的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？
（请选择其中一道小题写出详细过程）
3、如图，已知∠COD＝90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE和射线AF交于点G．
（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝　 　；
（2）若∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝　 　；
（3）将（2）中“∠OBA＝36°”改为“∠OBA＝β”，其余条件不变，求∠OGA的度数（用含β的代数式表示）；
（4）若OE将∠BOA分成1：2两部分，AF也将∠BAD分成1：2两部分，∠ABO＝β（30°＜β＜90°），
则∠OGA的度数＝　 　（用含β的代数式表示）．
4、（1）如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝30°，C＝70°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，AD平分∠BAC，点F在AD的延长线上，FE⊥BC，∠B＝28°，∠C＝68°，求∠DFE的度数；
（3）如图3，AD平分∠BAC，EA平分∠BEC，∠C﹣∠B＝38°，求∠DAE的度数．
5、综合与探究小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上运动（不与点O重合）．探究与发现：若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D．
（1）① 若∠BAO＝60°，则∠D＝　 　°；
② 猜想：∠D的度数是否随A，B的运动而发生变化？并说明理由；
（2）拓展延伸：如图2，若∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，求∠D的度数．
6、已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、B均不与点O重合．
【探究】如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO．
① 若∠BAO＝40°，则∠ABI＝　 　°．
② 在点A、B的运动过程中，∠AIB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠AIB的度数；若变化，请说明理由．
【拓展】如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，直接写出∠ADB的度数；若变化，直接写出∠ADB的度数的变化范围．
7、在△ABC中，
（1）如图（1）．∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P．
若∠A＝60°，则∠BPC＝　 　．若∠A＝n°，则∠BPC＝　 　．
（2）如图（2），在ABC中的外角平分线相交于点Q，∠A＝n°．求∠BQC的度数．
（3）如图（3），△ABC的∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，它们的外角平分线相交于点Q．
直接回答：∠BPC与∠BQC具有怎样的数量关系？
（4）如图（4）．△ABC中的内角平分线相交于点P，外角平分线相交于点Q，延长线段BP．QC交于点E．△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，请直接写出∠A的度数．
8、在△ABC中，∠BAC＞∠ABC，三个内角的平分线交于点O．
（1）填空：如图1，若∠BCA＝80°，则∠BOA的大小为 　 　度；
（2）如图1，过点O作OD⊥OC，交AC于点D．试说明：∠ADO＝∠AOB；
（3）如图2，CO的延长线交AB于点E．点M是AB边上的一动点（不与点E重合），过点M作MN⊥CE于点N，请探索∠AMN、∠ABC、∠BAC三者之间的数量关系．
9、问题探究：
（1）如图1，AB∥CD，求证：∠E＝∠B+∠D．
（2）如图2，AB∥CD，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点G，∠E＝56°，则∠BGD的度数为 　 　．
问题迁移：
（3）如图3，AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠F：∠CED＝1：3，请求出∠F的度数．
10、如图，直线l∥线段BC，点A是直线l上一动点．在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线．
（1）如图1，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度数；
（2）当点A在直线l上运动时，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之间的数量关系，并画出对应图形进行说明．
【参考答案】
1、如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD于H．下面判断正确的有　 　。
（1）AD是在△ABC的角平分线； （2）BE是△ABD的AD边上的中线；
（3）CH为△ACD边AD上的中线； （4）AH是△ACF的角平分线和高线．
【解答】解：（1）根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故此说法正确；
（2）根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法不正确；
（3）根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法不正确；
（4）根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．
故答案为（1）（4）．
2、在△ABC中，
（1）如图1，BP、CP为∠ABC和∠ACB的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？
（2）如图2，BP、CP为∠ABC和∠ACE的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？
（3）如图3，BP、CP为∠CBD和∠BCE的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？
（请选择其中一道小题写出详细过程）
【解答】解：（1）∵BP、CP为∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠CBP＝，∠BCP＝．
∴∠CBP+∠CBP＝．
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．∴∠PBC+∠PCB＝．
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣＝90°+．
（2）∵∠P+∠PBC＝∠PCD，∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC．∵BP、CP为∠ABC和∠ACE的角平分线，
∴∠PCD＝，∠PBC＝．∴∠P＝＝．
（3）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCE＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A．
∵BP、CP为∠CBD和∠BCE的角平分线，∴∠CBP＝，∠BCP＝．
∴＝．
∴∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝180°﹣＝90°﹣．
3、如图，已知∠COD＝90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE和射线AF交于点G．
（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝　 　；
（2）若∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝　 　；
（3）将（2）中“∠OBA＝36°”改为“∠OBA＝β”，其余条件不变，求∠OGA的度数（用含β的代数式表示）；
（4）若OE将∠BOA分成1：2两部分，AF也将∠BAD分成1：2两部分，∠ABO＝β（30°＜β＜90°），
则∠OGA的度数＝　 　（用含β的代数式表示）．
【解答】解：（1）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝36°，∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝126°，
∵AE平分∠BAD，OE平分∠BOA，∠BOA＝90°，∴∠GAD＝∠BAD＝63°，∠EOA＝∠BOA＝45°，
∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝63°﹣45°＝18°，故答案为：18°；
（2）∵∠BOA＝90°，∠GOA＝36°，∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝126°，
∵∠BOA＝90°，∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，∴∠GAD＝42°，∠EOA＝30°，
∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝42°﹣30°＝12°，故答案为：12°；
（3）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝β，∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝90°+β，∵∠BOA＝90°，∠GOA＝∠BOA，
∠GAD＝∠BAD，∴∠GAD＝30°+β，∠EOA＝30°，∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝β；
（4）当∠EOD：∠COE＝1：2时，∠EOD＝30°，∵∠BAD＝∠ABO+∠BOA＝β+90°，∵AF平分∠BAD，
∴∠FAD＝∠BAD，∵∠FAD＝∠EOD+∠OGA，∴2×30°+2∠OGA＝β+90°，∴∠OGA＝β+15°；
当∠EOD：∠COE＝2；1时，∠EOD＝60°，同理得到∠OGA＝β﹣15°，
即∠OGA的度数为β+15°或β﹣15°．
4、（1）如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝30°，C＝70°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，AD平分∠BAC，点F在AD的延长线上，FE⊥BC，∠B＝28°，∠C＝68°，求∠DFE的度数；
（3）如图3，AD平分∠BAC，EA平分∠BEC，∠C﹣∠B＝38°，求∠DAE的度数．
【解答】解：（1）∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∵∠B＝30°，C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∠CAE＝180°﹣∠AEC﹣∠C＝20°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAC＝40°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝20°；
（2）∵∠B＝28°，∠C＝68°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝84°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAC＝42°，
∴∠ADC＝180°﹣∠C﹣∠CAD＝70°，∴∠EDF＝∠ADC＝70°，∵FE⊥BC，∴∠DEF＝90°，
∴∠DFE＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝20°；
（3）∵AD平分∠BAC，EA平分∠BEC，∴∠BAD＝∠CAD，∠AEC＝∠AED，
∵∠AEC＝180°﹣∠C﹣∠CAE，∠ADE＝∠B+∠BAD，∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE，
∴∠B+∠BAD+180°﹣∠C﹣∠CAD+∠DAE+∠DAE＝180°，整理得：2∠DAE＝∠C﹣∠B，
∵∠C﹣∠B＝38°，∴2∠DAE＝38°，∴∠DAE＝19°．
5、综合与探究小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上运动（不与点O重合）．探究与发现：若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D．
（1）① 若∠BAO＝60°，则∠D＝　 　°；
② 猜想：∠D的度数是否随A，B的运动而发生变化？并说明理由；
（2）拓展延伸：如图2，若∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，求∠D的度数．
【解答】解：（1）① ∵∠ABN是△AOB的一个外角，∴∠AOB＝∠ABN﹣∠BAO＝90°，
∵BC平分∠ABN，AD平分∠BAO，∴∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，
∵∠ABC是△ABD的一个外角，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝∠ABN﹣∠BAO＝（∠ABN﹣∠BAO）＝×90°＝45°，
故答案为：45°；
② ∠D的度数不会随A，B的运动而发生变化，
理由：∵∠ABN是△AOB的一个外角，∴∠AOB＝∠ABN﹣∠BAO＝90°，∵BC平分∠ABN，AD平分∠BAO，
∴∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，∵∠ABC是△ABD的一个外角，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝∠ABN﹣∠BAO＝（∠ABN﹣∠BAO）＝×90°＝45°，
∴∠D的度数不会随A，B的运动而发生变化；
（2）∵∠ABN是△AOB的一个外角，∴∠AOB＝∠ABN﹣∠BAO＝90°，∵∠ABC是△ABD的一个外角，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD，∵∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝∠ABN﹣∠BAO＝（∠ABN﹣∠BAO）＝×90°＝30°，∴∠D的度数为30°．
6、已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、B均不与点O重合．
【探究】如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO．
① 若∠BAO＝40°，则∠ABI＝　 　°．
② 在点A、B的运动过程中，∠AIB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠AIB的度数；若变化，请说明理由．
【拓展】如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，直接写出∠ADB的度数；若变化，直接写出∠ADB的度数的变化范围．
【解答】解：【探究】①∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠BAO＝40°，∴∠ABO＝90°﹣∠BAO＝50°，
∵BI平分∠ABO，∴∠ABI＝∠ABO＝25°；故答案为：25；
② 不变，∠AIB＝135°．∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，
∴，，
∴＝
＝，∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，∴∠AOB＝90°，∴．
【拓展】不变，∠ADB＝45°，理由如下：∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，
∴∠CBA＝∠MBA，∠BAI＝∠BAO，∵∠CBA＝∠ADB+∠BAD，∠AOB＝90°，
∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO＝（∠MBA﹣∠BAO）＝∠AOB＝×90°＝45°，
∴点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．
7、在△ABC中，
（1）如图（1）．∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P．
若∠A＝60°，则∠BPC＝　 　．若∠A＝n°，则∠BPC＝　 　．
（2）如图（2），在ABC中的外角平分线相交于点Q，∠A＝n°．求∠BQC的度数．
（3）如图（3），△ABC的∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，它们的外角平分线相交于点Q．
直接回答：∠BPC与∠BQC具有怎样的数量关系？
（4）如图（4）．△ABC中的内角平分线相交于点P，外角平分线相交于点Q，延长线段BP．QC交于点E．△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，请直接写出∠A的度数．
【解答】解：（1）如图1，∵BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠ABP＝∠PBC＝∠ABC，∠ACP＝∠PCB＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC；
当∠A＝60°时，∠BPC＝90°+×60°＝120°；当∠A＝n°时，∠BPC＝90°+n°；
故答案为：120°，90°+n°；
（2）如图2，∵BQ、CQ分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线，
∴∠DBQ＝∠QBC＝∠DBC，∠FCQ＝∠QCB＝∠FCB，
∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB＝180°﹣（∠DBC+∠FCB）＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A＝90°﹣n°；
（3）如图3，由（1）得，∠BPC＝90°+∠A，由（2）得，∠BQC＝90°﹣∠A，∴∠BPC+∠BQC＝180°；
（4）如图4，∵BQ是∠ABC的外角平分线，BP是∠ABC的平分线，
∴∠QBE＝×180°＝90°，∴∠E＝180°﹣∠QBE﹣∠Q＝180°﹣90°﹣（90°﹣∠A）＝∠A，
① 当∠QBE＝2∠E时，即90°＝2∠E，∴∠A＝2∠E＝90°；
② 当∠QBE＝2∠Q时，即90°＝2×（90°﹣∠A），∴∠A＝90°；
③ 当∠Q＝2∠E时，即90°﹣∠A＝2×∠A，∴∠A＝60°；
④当∠E＝2∠Q时，即∠A＝2（90°﹣∠A），∴∠A＝120°；
综上所述，当△BQE的一个内角等于另一个内角的2倍时，∠A的度数为60°，90°，120°．
8、在△ABC中，∠BAC＞∠ABC，三个内角的平分线交于点O．
（1）填空：如图1，若∠BCA＝80°，则∠BOA的大小为 　130　度；
（2）如图1，过点O作OD⊥OC，交AC于点D．试说明：∠ADO＝∠AOB；
（3）如图2，CO的延长线交AB于点E．点M是AB边上的一动点（不与点E重合），过点M作MN⊥CE于点N，请探索∠AMN、∠ABC、∠BAC三者之间的数量关系．
【解答】解：（1）∵∠BCA＝80°，∴∠CBA+∠CAB＝100°，∵OA平分∠CAB，OB平分∠CBA，
∴∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA，∴∠OAB+∠OBA＝（∠CAB+∠CBA）＝50°，
∴∠BOA＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，故答案为：130；
（2）证明：∵∠CBA+∠CAB+∠BCA＝180°，∴∠CBA+∠CAB＝180°﹣∠BCA，∵OA平分∠CAB，OB平分∠CBA，
∴∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA，∴∠OAB+∠OBA＝（∠CAB+∠CBA）＝90°﹣∠BCA，
∴∠BOA＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝90°+∠BCA，∵OD⊥OC，∴∠COD＝90°，∵OC平分∠BCA，
∴∠OCD＝∠BCA，∴∠ADO＝∠COD+∠OCD＝90°+∠BCA，∴∠ADO＝∠AOB；
（3）解：当点M在点E的下方，如图所示：
∵MN⊥CE，∴∠MNE＝90°，∵∠AEC+∠EAC+∠ACE＝180°，∠NEM+∠MNE+∠NMA＝180°，
又∵∠AEC＝∠NEM，∴∠EAC+∠ACE＝∠MNE+∠NMA，即∠EAC+∠ACE＝90°+∠NMA，∵OC平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB，∴∠BAC+∠ACB＝90°+∠AMN，∵∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC，
∴∠BAC+90°﹣∠ABC﹣∠BAC＝90°+∠AMN，∵∠BAC＞∠ABC，∴∠AMN＝∠BAC﹣∠ABC；
当点M在点E上方，如图所示：
∵∠AMN＝∠AEC+∠ENM，∵MN⊥CE，∴∠ENM＝90°，∵∠AEC+∠EAC+∠ACE＝180°，
∴∠AEC＝180°﹣∠EAC﹣∠ACE，∵OC平分∠ACB，∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC，
∴∠ACE＝∠ACB＝90°﹣∠ABC﹣∠BAC，
∴∠AEC＝180°﹣∠BAC﹣（90°﹣∠ABC﹣∠BAC）＝90°+∠ABC﹣∠BAC，
∵∠BAC＞∠ABC，∴∠AMN＝90°+∠ABC﹣∠BAC+90°＝180°+∠ABC﹣∠BAC，
综上，当点M在点E下方时，∠AMN＝∠BAC﹣∠ABC；
当点M在点E上方时，∠AMN＝180°+∠ABC﹣∠BAC．
9、问题探究：
（1）如图1，AB∥CD，求证：∠E＝∠B+∠D．
（2）如图2，AB∥CD，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点G，∠E＝56°，则∠BGD的度数为 　 　．
问题迁移：
（3）如图3，AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠F：∠CED＝1：3，请求出∠F的度数．
【解答】（1）证明：如图1，过E点作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B，
∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠D．∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．即∠BED＝∠B+∠D；
（2）解：由（1）可得：∠E＝∠ABE+∠CDE，∠BGD＝∠ABG+∠CDG，
∵∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点G，∴∠ABE＝2∠ABG，∠CDE＝2∠CDG，
∴∠ABE+∠CDE＝2（∠ABG+∠CDG），即∠E＝2∠BGD，∵∠E＝56°，∴∠BGD＝28°，故答案为：28°；
（3）解：由（1）可得：∠F＝∠AEF+∠CDF，∵EF平分∠AEC，FD平分∠EDC，
∴∠AEC＝2∠AEF，∠EDC＝2∠CDF，∴∠AEC+∠EDC＝2（∠AEF+∠CDF）＝2∠F，∵AB∥CD，
∴∠AEC+∠CED+∠EDC＝180°，即2∠F+∠CED＝180°，∵∠F：∠CED＝1：3，∴∠CED＝3∠F，
∴2∠F+3∠F＝180°，解得∠F＝36°．
10、如图，直线l∥线段BC，点A是直线l上一动点．在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线．
（1）如图1，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度数；
（2）当点A在直线l上运动时，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之间的数量关系，并画出对应图形进行说明．
【解答】解：（1）∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠BAC＝40°．∵AD是△ABC的高线，
∴∠BDA＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣25°＝15°；
（2）如图1，∠BAD+∠BAE＝∠DAE；如图2，∠BAD+∠DAE＝∠BAE；
如图3，∠BAE+∠DAE＝∠BAD； 如图4，∠BAE+∠DAE＝∠BAD．

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