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第9讲 静电场
目录
知识精讲 1
1．均匀带电球壳内外的电场 1
2．计算电势的公式 1
3．电介质的极化 1
4．电容器 2
典型例题 2
题型一 库仑定律的理解与应用 2
题型二 电场强度的理解与计算 4
题型三 电场线及电场分布 5
题型四 电势的理解与计算 6
题型五 电容 7
题型六 力电综合问题 8
知识精讲
【扩展知识】
1．均匀带电球壳内外的电场
（1）均匀带电球壳内部的场强处处为零。
（2）均匀带电球壳外任意一点的场强公式为
。
式中r是壳外任意一点到球心距离，Q为球壳带的总电量。
2．计算电势的公式
（1）点电荷电场的电势
若取无穷远处（r =∞）的电势为零，则
。
式中Q为场源电荷的电量，r为场点到点电荷的距离。
（2）半径为R、电量为Q的均匀带电球面的在距球心r处的电势
（r≥R）, 　（r＜R）
3．电介质的极化
（1）电介质的极化 把一块电介质放在电场中，跟电场垂直的介质的两个端面上将出现等量异号的不能自由移动的电荷（极化电荷），叫做电介质的极化。
（2）电介质的介电常数 电介质的性质用相对介电常数εr来表示。
一个点电荷Q放在均匀的无限大（指充满电场所在的空间）介质中时，与电荷接触的介质表面将出现异号的极化电荷q′（），使空间各点的电场强度（E）比无介质时单独由Q产生的电场强度（E0）小εr倍，即E0/E=εr。故点电荷在无限大的均匀介质中的场强和电势分别为
，。
4．电容器
（1）电容器的电容
充满均匀电介质的平行板电容器的电容 或。
推论：。
平行板电容器中中插入厚度为d1的金属板 。
（2）电容器的联接
串联：；并联：。
（3）电容器的能量
。
典型例题
题型一 库仑定律的理解与应用
例1．[多选](清华大学自主招生)如图所示，用等长绝缘线分别悬挂两个质量、电量都相同的带电小球A和B，两线上端固定于O点，B球固定在O点正下方。当A 球静止时，两悬线夹角为θ。能保持夹角θ不变的方法是(　　)
A．同时使两悬线长度减半
B．同时使A球的质量和电量都减半
C．同时使两球的质量和电量都减半
D．同时使两悬线长度和两球的电量都减半
变式1．(复旦大学自主招生)设有带负电的小球A、B、C，它们的电量的比为1∶3∶5，三球均在同一直线上，A、C固定不动，而B也不动时，BA与BC间的比值为(　　)
A．1∶5　　　　　　　　　 B．5∶1
C．1∶ D.∶1
变式2.（上海交通大学自主招生）两个半径相同的金属球A、B带等量同种电荷，它们之间的距离远大于小球本身直径。已知它们相隔一定距离时，两球之间的相互作用力的大小是F，现在用一个带有绝缘柄的原来不带电的半径相同的金属小球C，先与小球A接触，再和小球B接触后移开。这时，A、B两球之间的相互作用力大小变为
A．F/2 B．F/4
C．3F/4 D．3F/8
变式3. (华约自主招生) “顿牟缀芥”是两干多年前我国古人对摩擦起电现象的观察记录，“顿牟缀芥”是指经摩擦后的带电琥珀能吸起小物体。我们可以将其简化为下述模型分析探究。在某处固定一个电荷量为Q的点电荷，在其正下方h处有一个原子。在点电荷产生的电场(场强为E)作用下，原子的负电荷中心与正电荷中心会分开很小的距离l，形成电偶极子。描述电偶极子特征的物理量称为电偶极矩p，p=ql，这里q为原子核的电荷。实验显示，p=αE，α为原子的极化系数，是与原子本身特性有关的物理量，反映原子被极化的难易程度。被极化的原子与点电荷之间产生作用力F。在一定条件下，原子会被点电荷“缀”上去。
(1)判断F是吸引力还是排斥力 简要说明理由；
(2)若固定点电荷的电荷量增加一倍，力F如何变化？
(3)若原子与点电荷间的距离减小为原来的一半，力F如何变化？
题型二 电场强度的理解与计算
例2.(南京大学自主招生)如图，一半径为R、电荷量为Q的带电金属球，球心位置O固定，P为球外一点。几位同学在讨论P点的场强时，有下列一些说法，其中哪些说法是正确的(　　)
A．若P点无限靠近球表面，因为球表面带电，根据库仑定律可推知，P点的场强趋于无穷大
B．因为在球内场强处处为0，若P点无限靠近球表面，则P点的场强趋于0
C．若Q不变，P点的位置也不变，而令R变小，则P点的场强不变
D．若保持Q不变，而令R变大，同时始终保持P点极靠近球表面处，则P点的场强不变
变式4．(“北约”自主招生)电量Q均匀分布在半径R的圆环上，求在圆环轴线上距圆心O点为x＝R处的P点的电场强度。
变式5.（浙江大学自主招生）正方体八个顶点上各有一电荷为q的点电荷，求它们在上面中心O形成的合场强大小和方向。
变式6.（北大自主招生）四块等距并排的平行板（可视为无限大的平行板，忽略边缘效应），从左到右的电荷量依次为q、2q、3q、4q，现将第一和第四块板接地，问：
（1）这两块板流入地面的电荷量各为多少？
（2）求板中的电场强度。
（补充知识：两块无穷大平行板之间电场强度E=σ/ε0）
题型三 电场线及电场分布
例3．(“华约”自主招生)带有等量异种电荷的板状电容器不是平行放置的， 下列图像中的电场线描绘正确的是(　　)
变式7．[多选](“华约”自主招生)如图所示，带电质点P1固定在光滑的水平绝缘桌面上，在桌面上距离P1一定距离有另一个带电质点P2，P2在桌面上运动，某一时刻质点P2的速度沿垂直于P1P2的连线方向，则(　　 )
A．若P1、P2带同种电荷，以后P2一定做速度变大的曲线运动
B．若P1、P2带同种电荷，以后P2一定做加速度变大的曲线运动
C．若P1、P2带异种电荷，以后P2的速度大小和加速度大小可能都不变
D. 若P1、P2带异种电荷，以后P2可能做加速度、速度都变小的曲线运动
变式8.（卓越自主招生）（多选）在如图所示的坐标系内，带有等量负电荷的两点电荷、固定在轴上，并相对于轴对称，在轴正方向上的点处有一带正电的检验电荷由静止开始释放。若不考虑检验电荷的重力，那么检验电荷运动到点的过程中
A．电势能逐渐变小
B．电势能先变大后变小，最后为零
C．先做加速运动后做减速运动
D．始终做加速运动，到达点时加速度为零
题型四 电势的理解与计算
例4．(复旦大学自主招生)两半径分别为r1和r2(r1A．k B．k
C．k D．k
变式9.（同济大学自主招生）如图所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在O点，过圆心与环面垂直的轴线上有P点，PO=r。以无穷远处为电势零点，则P点的电势φ为（ ）
A． B．
C． D．
变式10.（“卓越”自主招生）半径为R的接地金属球外有一电荷量为q的点电荷，点电荷与球心O相距d=2R，如图所示。金属球上的感应电荷为（ ）
A．0 B．-q/2 C．-q/4 D．-q
变式11.（“华约”自主招生）在 轴上有两个点电荷 1和 2（ 1在 2的左边）． 轴上每一点处电势随着 而变化的关系如图所示．当 = 0时，电势为0；当 = 1时，电势有最小值．（点电荷产生的电势为 = / ）
（1）求两个电荷 1和 2的位置；
（2）求两个电荷的比值q1/q2．
题型五 电容
例5.（卓越自主招生）已知两板间距为d，极板面积为S的平行板电容器的电容为C=，其中ε、k为常量。若两板的电荷量减半，间距变为原来的4倍，则电容器极板间 （ ）
A．电压加倍，电场强度减半
B．电压加倍，电场强度加倍
C．电压减半，电场强度减半
D．电压加倍，电场强度不变
变式12.（北约自主招生）两个相同的电容器A和B如图连接，它们的极板均水平放置。当它们都带有一定电荷并处于静电平衡时，电容器 A 中的带电粒子恰好静止。现将电容器 B 的两极板沿水平方向移动使两极板错开，移动后两极板仍然处于水平位置，且两极板的间距不变。已知这时带电粒子的加速度大小为g/2 ，求B的两个极板错开后正对着的面积与极板面积之比。设边缘效应可忽略。
变式13.（南京大学自主招生）右图所示为某超级电容器公交电车停靠在车站正在充电.所谓超级电容器是指电容量达到上千法拉甚至达到十万法拉数量级的大容量电容器,是储能技术一个革命性成果.
① 超级电容器与蓄电池都是储能设备,都可以做为电源使用,你认为二者的最主要不同是什么 你知道的超级电容器与蓄电池相比的优点有哪些 (答出其中的三项即可)
② 据介绍,该法拉级的超级电容器年产量已达几百万只,批量应用于各种数据贮存系统和低功耗无电源器具,大容量级的超级电容器已在高尔夫车和公交车等交通工具上进行应用试验.48V 的高尔夫车使用80只5万法拉的双电层电容器,每2只并联后再串联,工作电流为30A,电容器组的体积与48V180Ah的蓄电池相近,70A 充电10分钟,可行驶20千米。.
已知两个电容都是C 的电容器并联时总电容C并=2C;两个电容都是C 的电容器串联时总电容C串=C/2.电容器两极间电压是U 、带电荷量为Q 时储存的电场能E=QU.
请计算:
(1)把“80只5万法拉的电容器,每2只并联后再串联”组成电容器组,给它充电,充电电流恒定为70A,充电时间是10min,这次充电使这个电容器组的电压升高多少
(2)如果充电完毕时刻该电容器组两端的电压是48V,那么这次充电过程中,电容器组储存了多少能量
题型六 力电综合问题
例6..(同济大学自主招生)如图所示，半径为R的光滑半圆环竖直放置，圆环最低点固定一个电荷量为Q(Q>0)的点电荷。质量为m，电荷量为q(q>0)的小圆环从半圆环右侧最高点由静止释放。距离带电荷量Q的点电荷距离为r的点电势可以表示为：φ＝。
(1)推出小圆环达到最大速度时小圆环与O点的连线与水平方向的夹角θ满足的方程。
(2)在(1)的情况下，如果θ已知，求小圆环的最大速度。
变式14.（“卓越”自主招生） 如图所示，一半径为R，位于竖直面内的绝缘光滑轨道上静止着两个相同的带电小球A和B（可视为质点），两球质量均为m，距离为R。用外力缓慢推左球A使其到达圆周最低点C，求此过程中外力所做的功。第9讲 静电场
目录
知识精讲 1
1．均匀带电球壳内外的电场 1
2．计算电势的公式 1
3．电介质的极化 1
4．电容器 2
典型例题 2
题型一 库仑定律的理解与应用 2
题型二 电场强度的理解与计算 5
题型三 电场线及电场分布 7
题型四 电势的理解与计算 8
题型五 电容 10
题型六 力电综合问题 12
知识精讲
【扩展知识】
1．均匀带电球壳内外的电场
（1）均匀带电球壳内部的场强处处为零。
（2）均匀带电球壳外任意一点的场强公式为
。
式中r是壳外任意一点到球心距离，Q为球壳带的总电量。
2．计算电势的公式
（1）点电荷电场的电势
若取无穷远处（r =∞）的电势为零，则
。
式中Q为场源电荷的电量，r为场点到点电荷的距离。
（2）半径为R、电量为Q的均匀带电球面的在距球心r处的电势
（r≥R）, 　（r＜R）
3．电介质的极化
（1）电介质的极化 把一块电介质放在电场中，跟电场垂直的介质的两个端面上将出现等量异号的不能自由移动的电荷（极化电荷），叫做电介质的极化。
（2）电介质的介电常数 电介质的性质用相对介电常数εr来表示。
一个点电荷Q放在均匀的无限大（指充满电场所在的空间）介质中时，与电荷接触的介质表面将出现异号的极化电荷q′（），使空间各点的电场强度（E）比无介质时单独由Q产生的电场强度（E0）小εr倍，即E0/E=εr。故点电荷在无限大的均匀介质中的场强和电势分别为
，。
4．电容器
（1）电容器的电容
充满均匀电介质的平行板电容器的电容 或。
推论：。
平行板电容器中中插入厚度为d1的金属板 。
（2）电容器的联接
串联：；并联：。
（3）电容器的能量
。
典型例题
题型一 库仑定律的理解与应用
例1．[多选](清华大学自主招生)如图所示，用等长绝缘线分别悬挂两个质量、电量都相同的带电小球A和B，两线上端固定于O点，B球固定在O点正下方。当A 球静止时，两悬线夹角为θ。能保持夹角θ不变的方法是(　　)
A．同时使两悬线长度减半
B．同时使A球的质量和电量都减半
C．同时使两球的质量和电量都减半
D．同时使两悬线长度和两球的电量都减半
【答案】BD
【解析】设两球距离为d，分析A球的受力如图所示，图中F＝k。设绝缘线长度为L，由图中两个相似三角形关系可得：＝＝，即mg＝T。由A球的受力矢量图可知，2mgsin＝F＝k。 同时使两悬线长度减半，则d减半，不能满足上式，选项A错误；同时使A球的质量和电量都减半，上式成立，选项B正确；同时使两球的质量和电量都减半，不能满足上式，选项C错误；同时使两悬线长度和两球的电量都减半， 则d、q1、q2减半，上式仍然能满足，选项D正确。
变式1．(复旦大学自主招生)设有带负电的小球A、B、C，它们的电量的比为1∶3∶5，三球均在同一直线上，A、C固定不动，而B也不动时，BA与BC间的比值为(　　)
A．1∶5　　　　　　　　　 B．5∶1
C．1∶ D.∶1
【答案】C
【解析】设B、A之间距离为r1，B、C之间距离为r2，由库仑定律，A、B之间库仑力F1＝k，B、C之间库仑力F2＝k。B也不动时，F1＝F2。联立解得：r1∶r2＝1∶，选项C正确。
变式2.（上海交通大学自主招生）两个半径相同的金属球A、B带等量同种电荷，它们之间的距离远大于小球本身直径。已知它们相隔一定距离时，两球之间的相互作用力的大小是F，现在用一个带有绝缘柄的原来不带电的半径相同的金属小球C，先与小球A接触，再和小球B接触后移开。这时，A、B两球之间的相互作用力大小变为
A．F/2 B．F/4
C．3F/4 D．3F/8
答案A
解析：根据库仑定律，金属球A、B之间的库伦力正比于金属球A、B带电量的乘积，即F=kQ2/r2。设开始时金属球A、B带电量均为Q，金属小球C与小球A接触后，二者平分，各自带电量Q/2。金属小球C再与小球B接触后，二者平分，各自带电量（Q+Q/2）/2=3Q/4。这时二者带电量的乘积为Q/2·3Q/4=3Q/8。所以A、B两球之间的相互作用力大小变为3F/8。选项D正确。
变式3. (华约自主招生) “顿牟缀芥”是两干多年前我国古人对摩擦起电现象的观察记录，“顿牟缀芥”是指经摩擦后的带电琥珀能吸起小物体。我们可以将其简化为下述模型分析探究。在某处固定一个电荷量为Q的点电荷，在其正下方h处有一个原子。在点电荷产生的电场(场强为E)作用下，原子的负电荷中心与正电荷中心会分开很小的距离l，形成电偶极子。描述电偶极子特征的物理量称为电偶极矩p，p=ql，这里q为原子核的电荷。实验显示，p=αE，α为原子的极化系数，是与原子本身特性有关的物理量，反映原子被极化的难易程度。被极化的原子与点电荷之间产生作用力F。在一定条件下，原子会被点电荷“缀”上去。
(1)判断F是吸引力还是排斥力 简要说明理由；
(2)若固定点电荷的电荷量增加一倍，力F如何变化？
(3)若原子与点电荷间的距离减小为原来的一半，力F如何变化？
解析：（1）F为吸引力。理由：当原子极化时,，与Q异性的电荷在库仑力作用下移向Q，而与Q同性的电荷在库仑力作用下远离Q，这样异性电荷之间的吸引力大于同性电荷之间的排斥力，总的效果表现为F是吸引力。
（2）电荷Q与分离开距离l的一对异性电荷之间的总作用力为：
F=k- k
考虑到l<利用p=ql，可得F=2 kQp/h3.
根据点电荷电场强度公式，若固定点电荷的电荷量增加一倍，即Q增大为2Q，被极化的原子处的电场强度E增大到原来的2倍。由p=αE可知电偶极矩p增大到原来的2倍。
由F=2 kQp/h3.可知作用力F增大到原来的4倍。
(3) 根据点电荷电场强度公式，若原子与点电荷间的距离减小为原来的一半，即h减小为原来的一半，被极化的原子处的电场强度E增大到原来的4倍。由p=αE可知电偶极矩p增大到原来的4倍。
由F=2 kQp/h3.可知作用力F增大到原来的32倍。
题型二 电场强度的理解与计算
例2.(南京大学自主招生)如图，一半径为R、电荷量为Q的带电金属球，球心位置O固定，P为球外一点。几位同学在讨论P点的场强时，有下列一些说法，其中哪些说法是正确的(　　)
A．若P点无限靠近球表面，因为球表面带电，根据库仑定律可推知，P点的场强趋于无穷大
B．因为在球内场强处处为0，若P点无限靠近球表面，则P点的场强趋于0
C．若Q不变，P点的位置也不变，而令R变小，则P点的场强不变
D．若保持Q不变，而令R变大，同时始终保持P点极靠近球表面处，则P点的场强不变
【答案】C
【解析】半径为R、电荷量为Q的带电金属球，对球外任意点的电场来说，带电金属球可视为点电荷。若P点无限靠近球表面，因为球表面带电，根据库仑定律可推知，P点的场强E＝，选项A、B错误。若Q不变，P点的位置也不变，而令R变小，则P点的场强不变，选项C正确。若保持Q不变，而令R变大，同时始终保持P点极靠近球表面处，则P点的场强减小，选项D错误。
变式4．(“北约”自主招生)电量Q均匀分布在半径R的圆环上，求在圆环轴线上距圆心O点为x＝R处的P点的电场强度。
【解析】如图所示：
在圆环直径的两端对称的选取两相同微元研究，设电量均为Δq，它们到P点的距离r＝2R。它们在P点产生电场的电场强度沿垂直x轴方向的分量抵消，沿x轴方向分量为
ΔEx＝2kcos θ＝2k·＝，
整个带电圆环在P点产生电场的电场强度：
E＝∑ΔEx＝∑＝∑Δq＝。
【答案】
变式5.（浙江大学自主招生）正方体八个顶点上各有一电荷为q的点电荷，求它们在上面中心O形成的合场强大小和方向。
解析：设正方体边长为a，正方体上方顶点四个电荷在上面中心O形成的合场强为零。
正方体下方顶点四个电荷与上面中心O的距离为r==a
每个点电荷在该点产生电场的场强大小为E1=kq/r2=，
由对称性可知该场强在正方体上方平面的分量相互抵消。垂直正方体上方平面的分量为：
E1y=×= 。
在上面中心O形成的合场强大小为E=4 E1y=4 =。
方向垂直于正方体上方平面向上。
变式6.（北大自主招生）四块等距并排的平行板（可视为无限大的平行板，忽略边缘效应），从左到右的电荷量依次为q、2q、3q、4q，现将第一和第四块板接地，问：
（1）这两块板流入地面的电荷量各为多少？
（2）求板中的电场强度。
（补充知识：两块无穷大平行板之间电场强度E=σ/ε0）
解析：（1）将第一和第四块板接地，第一和第四块板等电势，可令电势为零。达到静电平衡后，第一块板带电量为-2q，第四块板带电量为-3q，
第一块板流入地面的电荷量为q-(-2q)=3q，
第四块板流入地面的电荷量为4q-(-3q)=7q。
（2）设带电量为q的两无限大的平行板电荷面密度为σ，则第一块和第二块平行板相对面带电量2q，其面密度为2σ，其电场强度为E12=2σ/ε0.
第二块和第三块平行板相对面不带电，其电场强度为E23=0..
第三块和第四块平行板相对面带电量3q，其面密度为3σ，其电场强度为E34=3σ/ε0.
题型三 电场线及电场分布
例3．(“华约”自主招生)带有等量异种电荷的板状电容器不是平行放置的， 下列图像中的电场线描绘正确的是(　　)
【答案】C
【解析】带有等量异种电荷的板状电容器其电场线应该垂直于极板，而且极板距离越小的地方，电场强度越大，则电场线越密，选项C正确。
变式7．[多选](“华约”自主招生)如图所示，带电质点P1固定在光滑的水平绝缘桌面上，在桌面上距离P1一定距离有另一个带电质点P2，P2在桌面上运动，某一时刻质点P2的速度沿垂直于P1P2的连线方向，则(　　 )
A．若P1、P2带同种电荷，以后P2一定做速度变大的曲线运动
B．若P1、P2带同种电荷，以后P2一定做加速度变大的曲线运动
C．若P1、P2带异种电荷，以后P2的速度大小和加速度大小可能都不变
D. 若P1、P2带异种电荷，以后P2可能做加速度、速度都变小的曲线运动
【答案】ACD
【解析】若P1、P2带同种电荷，斥力做功，斥力方向与速度方向不在一直线上，以后P2一定做速度变大的曲线运动，选项A正确。若P1、P2带同种电荷，斥力做功，二者距离逐渐增大，库仑力减小，加速度减小，所以若P1、P2带同种电荷，以后P2一定做加速度变小的曲线运动，选项B错误。若P1、P2带异种电荷，某一时刻质点P2的速度沿垂直于P1P2的连线方向，若正好满足库仑力等于向心力，P2围绕P1做匀速圆周运动，以后P2的速度大小和加速度大小都不变，选项C正确。若库仑力小于所需的向心力，P2围绕P1做离心运动，以后P2做加速度、速度都变小的曲线运动，选项D正确。
变式8.（卓越自主招生）（多选）在如图所示的坐标系内，带有等量负电荷的两点电荷、固定在轴上，并相对于轴对称，在轴正方向上的点处有一带正电的检验电荷由静止开始释放。若不考虑检验电荷的重力，那么检验电荷运动到点的过程中
A．电势能逐渐变小
B．电势能先变大后变小，最后为零
C．先做加速运动后做减速运动
D．始终做加速运动，到达点时加速度为零
3.答案：AD
解析：等量负电荷在连线中点电场强度为零，在轴正方向上的点处有一带正电的检验电荷由静止开始释放，检验电荷运动到点的过程中，电场力做正功，电势能逐渐变小，始终做加速运动，到达点时加速度为零，选项AD正确BC错误。
题型四 电势的理解与计算
例4．(复旦大学自主招生)两半径分别为r1和r2(r1A．k B．k
C．k D．k
【答案】D
【解析】由于球面内部各个点电势相等，且与球面的电势相等，利用电势叠加原理可知，在球面内部的球心处的电势为φ＝k，则在球面内部距离球心r处的电势为k，选项D正确。
变式9.（同济大学自主招生）如图所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在O点，过圆心与环面垂直的轴线上有P点，PO=r。以无穷远处为电势零点，则P点的电势φ为（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
解析：将圆环分割成很多个点电荷，每一个点电荷带电量△Q，在P点产生电场的电势为φ△=k，根据电势叠加原理，P点的电势φ=Σφ△=Σk=k=k=，选项B正确。
变式10.（“卓越”自主招生）半径为R的接地金属球外有一电荷量为q的点电荷，点电荷与球心O相距d=2R，如图所示。金属球上的感应电荷为（ ）
A．0 B．-q/2 C．-q/4 D．-q
答案：B
解析：由于球接地，表面电势为零，且球是等势体，所以球心电势为0，感应电荷在金属球外表面关于Oq连线上分布对称。根据点电荷的电势公式，点电荷q在O处产生电势为k，设金属球上的感应电荷为Q，这些感应电荷距离球心距离都为R，根据电势叠加原理，Q在O处产生电势为k，根据球心电势为0可得：k+ k=0，解得Q=-q/2，选项B正确。
变式11.（“华约”自主招生）在 轴上有两个点电荷 1和 2（ 1在 2的左边）． 轴上每一点处电势随着 而变化的关系如图所示．当 = 0时，电势为0；当 = 1时，电势有最小值．（点电荷产生的电势为 = / ）
（1）求两个电荷 1和 2的位置；
（2）求两个电荷的比值q1/q2．
【答案】（1）， （2）
【解析】(1)(2) 由于在 =0处，电势趋于正无穷，可知在原点有一个正电荷，即 1或 2在 =0处．假设 1在原点，则 2在正半轴，此时在正半轴一定有某处（即 2所处位置）电势为无穷大，与图像矛盾，则只能是 2在原点， 1在负半轴．
又由于总电势可以为负，则可知
设位置，
在处，总电势为零，则
在处，电势最低点，则电场强度为零
由以上各式解得：
则两点电荷位置为q1：
q2：（0，0）
电荷比为 ．
题型五 电容
例5.（卓越自主招生）已知两板间距为d，极板面积为S的平行板电容器的电容为C=，其中ε、k为常量。若两板的电荷量减半，间距变为原来的4倍，则电容器极板间 （ ）
A．电压加倍，电场强度减半
B．电压加倍，电场强度加倍
C．电压减半，电场强度减半
D．电压加倍，电场强度不变
答案：A
解析：若平行板电容器的间距变为原来的4倍，则电容变为原来的1/4，若两板的电荷量减半，根据C=Q/U，则电容器极板间电压变为原来的2倍，根据E=U/d可知，电场强度减半，选项A正确。
变式12.（北约自主招生）两个相同的电容器A和B如图连接，它们的极板均水平放置。当它们都带有一定电荷并处于静电平衡时，电容器 A 中的带电粒子恰好静止。现将电容器 B 的两极板沿水平方向移动使两极板错开，移动后两极板仍然处于水平位置，且两极板的间距不变。已知这时带电粒子的加速度大小为g/2 ，求B的两个极板错开后正对着的面积与极板面积之比。设边缘效应可忽略。
解析：设电容器A和B的电容量都为C0，两电容器并联，其总电容量为C=2C0。
两电容器并联，电压相等，设此时电压为U，总带电量Q=CU=2C0U。
电容器A的极板之间距离为d，带电粒子带电量q，质量为m，电容器 A 中的带电粒子恰好静止，有：qU/d=mg。
将电容器 B 的两极板沿水平方向移动使两极板错开，两电容器极板之间的电压仍相等，设为U’，电容器B带电量减小，电容器A带电量增大，电容器 A 中电场强度增大，带电粒子的加速度向上，由牛顿第二定律，qU'/d-mg=mg/2 ，解得U’=3U/2。
设B的两个极板错开后正对着的面积与极板面积之比为k，由平行板电容器的决定式，两个极板错开后电容器B的电容量C’B= k C0。
两电容器并联，其总电容量为C’=CA+ C’B= C0+ k C0，
总带电量不变，Q=C’U’=(C0+ k C0)·3U/2。
联立解得：k=1/3。
变式13.（南京大学自主招生）右图所示为某超级电容器公交电车停靠在车站正在充电.所谓超级电容器是指电容量达到上千法拉甚至达到十万法拉数量级的大容量电容器,是储能技术一个革命性成果.
① 超级电容器与蓄电池都是储能设备,都可以做为电源使用,你认为二者的最主要不同是什么 你知道的超级电容器与蓄电池相比的优点有哪些 (答出其中的三项即可)
② 据介绍,该法拉级的超级电容器年产量已达几百万只,批量应用于各种数据贮存系统和低功耗无电源器具,大容量级的超级电容器已在高尔夫车和公交车等交通工具上进行应用试验.48V 的高尔夫车使用80只5万法拉的双电层电容器,每2只并联后再串联,工作电流为30A,电容器组的体积与48V180Ah的蓄电池相近,70A 充电10分钟,可行驶20千米。.
已知两个电容都是C 的电容器并联时总电容C并=2C;两个电容都是C 的电容器串联时总电容C串=C/2.电容器两极间电压是U 、带电荷量为Q 时储存的电场能E=QU.
请计算:
(1)把“80只5万法拉的电容器,每2只并联后再串联”组成电容器组,给它充电,充电电流恒定为70A,充电时间是10min,这次充电使这个电容器组的电压升高多少
(2)如果充电完毕时刻该电容器组两端的电压是48V,那么这次充电过程中,电容器组储存了多少能量
4.解：主要不同是：蓄电池是把电能转换成化学能储存起来，使用时再把化学能转换成电能，而电容器是直接把电能储存起来，不经过能量形式的转化。（3分）
超级电容器与蓄电池相比的优点：①超级电容器对环境污染较少；②超级电容器寿命长（大约是铅蓄电池的20~200倍）；③超级电容器充电速度快；④超级电容器充放电效率高（能量损耗少）；⑤超级电容器维护简单。（每答出一项得1分，最多得3分。其他答案只要正确都可得分）
(1)电容器组的总电容C总=5×104×2÷40 F =2.5×103 F （1分）
充电过程增加的电荷量ΔQ＝I·Δt=70×600 C=4.2×104 C （1分）
升高的电压ΔU＝ΔQ/C总=(4.2×104/2.5×103 )V=16.8 V （2分）
(2)充电前的电压U1= U2-ΔU＝31.2 V （1分）
由于C=Q/U，（1分）
所以电容器储存的能量E=QU= CU2。（1分）
此次充电储存的能量ΔE＝CU22-CU12=1.66×106 J （2分）
题型六 力电综合问题
例6..(同济大学自主招生)如图所示，半径为R的光滑半圆环竖直放置，圆环最低点固定一个电荷量为Q(Q>0)的点电荷。质量为m，电荷量为q(q>0)的小圆环从半圆环右侧最高点由静止释放。距离带电荷量Q的点电荷距离为r的点电势可以表示为：φ＝。
(1)推出小圆环达到最大速度时小圆环与O点的连线与水平方向的夹角θ满足的方程。
(2)在(1)的情况下，如果θ已知，求小圆环的最大速度。
【解析】(1)设小圆环到达与O点的连线与水平方向的夹角为θ时速度最大，此时小圆环所受合力沿圆环切线方向的分力为零。
即mgcos θ＝Fcos，
由库仑定律，F＝k，
二式联立化简得：
mgcos θ＝。
(2)对小圆环而言，由于只有重力和库仑力做功，机械能与电势能之和保持不变，故：
k＋mgRsin θ＝k＋mv2，
解得：v＝ 。
【答案】(1)mgcos θ＝
(2)
变式14.（“卓越”自主招生） 如图所示，一半径为R，位于竖直面内的绝缘光滑轨道上静止着两个相同的带电小球A和B（可视为质点），两球质量均为m，距离为R。用外力缓慢推左球A使其到达圆周最低点C，求此过程中外力所做的功。
解析：设小球带电量为q，由库仑定律，两个相同的带电小球A和B之间的库伦力F=k，①
由平衡条件，tan30°=F/mg，②
联立解得：kq2=mgR2. ③
外力缓慢推左球A使其到达圆周最低点C，如图所示。
画出B球受力图，设AB之间距离为L，由图中几何关系，利用相似三角形知识可得：
=, ④
F’=k，⑤
联立③④⑤解得：L3= R3.。
即L=R。⑥
外力缓慢推左球A前，系统电势能Ep=k,
外力缓慢推左球A使其到达圆周最低点C，系统电势能Ep‘=k,
系统电势能增加：△E电= Ep‘- Ep=k-k=kq2(), ⑦
设OB与竖直方向的夹角为θ，由余弦定理，L2=2R2-2R2cosθ。
解得：cosθ===
重力势能增加△E p=mg(-)R ⑥⑦
由功能关系可得：此过程中外力所做的功
W=△E电+△E p= kq2()+ mg(-)R.

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