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恒定电流
目录
知识精讲 1
一．电流、电流强度、电流密度 1
二． 电阻定律 2
三．电路 2
1.电路连接与电表改装 2
2.电动势与电功率 4
三．电学基本定律 5
1. 焦耳定律 5
2.欧姆定律 5
五．基尔霍夫定律 6
六．电路化简 7
1.等效电源定理 7
2.对称性原理 8
3. 无穷网络等效变换法 9
典型例题 10
知识精讲
一．电流、电流强度、电流密度
导体处于静电平衡时，导体内部场强处处为零。如果导体内部场强不为零，带电粒子在电场力作用下发生定向移动，形成了电流。形成电流条件是：存在自由电荷和导体两端有电势差（即导体中存在电场）。自由电荷在不同种类导体内部是不同的，金属导体中自由电荷是电子；酸、碱、盐在水溶液中是正离子和负离子；在导电气体中是正离子、负离子和电子。
电流强度是描述电流强弱的物理量，单位时间通过导体横截面的电量叫做电流强度。用定义式表示为
电流强度是标量。但电流具有方向性，规定正电荷定向移动方向为电流方向。在金属导体中电流强度的表达式是
n是金属导体中自由电子密度，e是电子电量，v是电子定向移动平均速度，S是导体的横截面积。
在垂直于电流方向上，单位面积内电流强度叫做电流密度，表示为
金属导体中，电流密度为
电流密度是矢量，其方向与电流方向一致。
电阻定律
导体的电阻为
式中、称为导体电阻率、电导率，由导体的性质决定。
实验表明，多数材料的电阻率都随温度的升高而增大，在温度变化范围不大时，纯金属的电阻率与温度之间近似地有如下线性关系
为0℃时电子率，为时电阻率，为电阻率的温度系数，多数纯金属值接近于℃，而对半导体和绝缘体电阻率随温度 的升高而减小。某些导体材料在温度接近某一临界温度时，其电阻率突减为零，这种现象叫超导现象。
三．电路
1.电路连接与电表改装
（1）串、并联电路的性质
串联电路通过各电阻电流相同，总电压为各电阻两端电压之和，电压的分配与电阻成正比，功率的分配也与电阻成正比，即
串联电路总电阻
并联电路各电阻两端电压相同，总电流为通过各支路电流之后，电流的分配与电阻成反比，功率的分配亦与电阻成反比，即
总电阻：
（2）电表改装
①欲将满偏电流为，内阻为的电流表改装为量程为U的电压表，需将分压电阻R和电流表串联，如图2-2-1所示，所谓量程为U时，就是当电压表两端的电压为U时，通过电流表的电流为，电流表分担的电压为。根据串联电路的规律有
即
电压表内阻
通常，都很大，理想情况下可认为。
②欲将内阻为，满偏电流为的电流表改装为量程为I的电流表时，需将分流电阻R和电流表并联，如图所示。同理可推得
通常，R很小，可认为电流表内阻，理想情况下可认为。
③将电流表改装成欧姆表
简易欧姆表接法示意图如图所示，为调零电阻，表头内阻为，满偏刻度为。测量前，应先将两表笔短接，调节使流过表头的电流为，若电池的电动势为，内阻为，则
如果在两表笔间接一电阻，则电流减半，指针指表盘中央，因此，称为“中值电阻”，表盘最左刻度对应于，最右边刻度对应于，对于任一阻值，若
这就是欧姆表的刻度原理，如欧姆表的中值电阻，表盘满偏处的刻度为，表盘满偏处的刻度为，如图所示。
欧姆表的量程改变后，各刻度所对应的电阻值应乘以相同倍率，另外要注意，凡使用欧姆表，必须进行机械调零和欧姆调零，并且，换档后一定要重新进行欧姆调零。
④将电流表改装成交流电压表
交流电压表是直流电压表的基础上改装而成的，在直流电压表上串联一个二极管，就组成交流电压表。串联二极管后，电表显示的是交流电的平均值（它等于有效值的0.45倍）。用U代表某一量程的交流电压有效值，若不考虑二极管正向电阻值，则限流电阻计算公式为
实验指出，二极管是一且非线性元件，它的伏安特性为一条弯曲的图线，如图所示，当二极管的正向电阻后，限流电阻R与交流电压U之间的关系不再是线性的。因此，最大量程的交流电压表的表盘刻度是不均匀的，如采用J0411型多用电表测量2.5V以下的交流电压时，要使用表盘上第三条刻度线，它的起始段刻度很密，刻度是不均匀的。这一点，从图中可以看得很清楚，在二极管两端电压小于的一段图线上，相同的电压变化（例如V）所对应的电流是不同的：顺次分别为mA、mA、mA、mA。
2.电动势与电功率
（1）电源有保持两极间有一定电压的作用，不同种类的电源，保持两极间有一定电压的本领不同。例如：干电池可保持正、负极间有V的电压；常用的铅锌蓄电池可保持两极间有V的电压。为了表征电源的这种特性，物理学上引入了电动势这个物理量，电源的电动势在数值上等于电源没有接入外电路时两极间的电压。将理想表直接接在电源的两极上测出的电压就是电源的电动势。
（2）电流通过一段路时，自由电荷在电场力作用下发生定向移动，电场力对自由电荷作功。电流在一段电路上所做的功W，等于这段电路两端的电压U、电路中电流I和通电时间t三者的乘积。即
单位时间内电流所做功叫做电功率，用P表示电功率，则。
三．电学基本定律
1. 焦耳定律
电流在一段只有电阻元件的电路上所做的功等于电流通过这段电路时的所产生的热量Q。焦耳通过实验得到结论：如果通过一段只有电阻元件的电路的电流为I，这段电路的电阻为R，通电时间为t，则
这就是焦耳定律，我们还可推出这段电路中电流的发热功率为。
电流做功的过程，就是电能转化为其他形式的能的过程。一般来讲，人们用电的目的往往不是为了发热。如使用电动机是为了将电能转化为机械能，使用电解槽是为了将电能转化为化学能等等。发热只是副效应，因此，一般说来电热只是电功的一部分，热功率是电功的一部分。
2.欧姆定律
①部分电路欧姆定律：导体中的电流强度I跟它两端所加的电压U成正比，跟它的电阻R成反比，即
上式适用于金属导电和电解液导电的情况。对非线线元件（如灯丝、二极管）和气体导电等情况不适用。
②一段含源电路欧姆定律：电路中任意两点间的电势差等于连接这两点的支路上各电路元件上电势降落的代数和，其中电势降落的正、负符号规定如下：
a.当从电路中的一点到另一点的走向确定后，如果支路上的电流流向和走向一致，该支路电阻元件上的电势降取正号，反之取负号。
b.支路上电源电动势的方向和走向一致时，电源的电势降为电源电动势的负值（电源内阻视为支路电阻）。反之，取正值。
如图2-3-1所示，对某电路的一部分，由一段含源电路欧姆定律可求得：
③闭合电路欧姆定律和电源输出功率
〈1〉闭合电路欧姆定律
闭合电路欧姆定律公式：
路端电压
对于确定电源、一定，则图线和图线如图所示。其中，为电源短路电流。
〈2〉电源输出功率
电源的功率
电源输出功率
当时电源输出功率为最大
此时电源效率 %
电源输出功率P随外电阻R变化如图所示，若电源外电阻分别为、时，输出功率相等，则必有
五．基尔霍夫定律
①对电路中任何一个节点，流出的电流之和等于流入的电流之和。
或可表达为：汇于节点的各支路电流强度的代数和为零。
若规定流入电流为正，则从节点流出的电流强度加负号。对于有n个节点的完整回路，可列出n个方程，实际上只有个方程是独立的。
②沿回路环绕一周，电势降落的代数和为零，即
对于给定的回路绕行方向，理想电源，从正极到负极，电势降落为正，反之为负；对电阻及内阻，若沿电流方向则电势降落为正，反之为负。若复杂电路包括m个独立回路，则有m个独立回路方程。
例题：如图所示电路中，已知
求各支路的电流。
分析： 题中电路共有2个节点，故可列出一个节点方程。而支路3个，只有二个独立的回路，因而能列出两个回路方程。三个方程恰好满足求解条件。
解： 规定正方向如图所示，则有
两个独立回路，有
联解方程得：
＜0，说明实际电流方向与图中所假定电流方向相反。
六．电路化简
1.等效电源定理
实际的直流电源可以看作电动势为，内阻为零的恒压源与内阻r的串联，如图所示，这部分电路被称为电压源。
不论外电阻R如何，总是提供不变电流的理想电源为恒流源。实际电源、r对外电阻R提供电流I为
其中为电源短路电流，因而实际电源可看作是一定的内阻与恒流并联的电流源，如图所示。
实际的电源既可看作电压源，又可看作电流源，电流源与电压源等效的条件是电流源中恒流源的电流等于电压源的短路电流。利用电压源与电流源的等效性可使某些电路的计算简化。
等效电压源定理又叫戴维宁定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电压源，其电动势等于网络的开路电压，内阻等于从网络两端看除电源以外网络的电阻。
如图所示为两端有源网络A与电阻R的串联，网络A可视为一电压源，等效电源电动势等于a、b两点开路时端电压，等效内阻等于网络中除去电动势的内阻，如图所示。
等效电流源定理 又叫诺尔顿定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除电源外网络的电阻。
2.对称性原理
①等势节点的断接法
在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点，（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。
例题：用导线连接成如图所示的框架，ABCD和ABCE是正四面体，每段导线的电阻都是1。求AB间的总电阻。
解： 设想A、B两点上存在电势差，由于电路的对称性可以知道D、C、两点的电势都应该介乎与的中间，即，所以两点应是等电势的。这样，去掉CD段导线，对A、B间的总电阻不会有影响。当去掉CD段导线后，就成为三路并联，即A—D—B，A—C—B，和AB。于是：
②电流分布法
设有电流I从A点流入、B点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电压的思想，（即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路电流与总电流I的关系，然后经任一路径计算A、B两点间的电压，再由即可求出等效电阻。
例题.根电阻均为r的电阻丝接成如图2-4-13所示的网络，试求出A、B两点之间的等效电阻。
由结构对称性，要求电流I从A点流入后在A点的电流分布应与电流I从B点流出前的电流分布相同，中间四方形必具有上、下电流分布对称和左、右电流分布对称，因此网络内电流分布应如图2-4-14所示。对图中C点和D点，有电流关联
解得 ①
由A、E两点间不同路线等电压的要求，得
即 ②
解①、②两式得
选择线路AEDB，可得
因此，A、B间等效电阻便为
3. 无穷网络等效变换法
若 （a＞0）
在求x值时，x注意到是由无限多个组成，所以去掉左边第一个对x值毫无影响，即剩余部分仍为x，这样，就可以将原式等效变换为，即。所以
这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路。
典型例题
1．(南京大学自主招生)在半导体器件中，常把纳米级厚度的导电材料沉积到芯片上形成导电薄膜。在研究这些薄膜的导电性能时，就需要使用薄膜电阻这一概念。设导电材料的电阻率为ρ，薄膜的长、宽和厚度分别为a、b、c，如图所示， 如果形式上将薄膜A、B 间的电阻表示为RAB＝，则比例系数ρs 和材料电阻率ρ 间的关系为(　　)
A．ρs＝　　　　　　　　 B．ρs＝
C．ρs＝ D．ρs＝ρ
2．(复旦大学自主招生)经典理论中，氢原子中的电子(电量为1.6×10－19 C)在半径为0.53×10－10 m的圆形轨道上以6.6×1015 Hz的频率运动，则轨道中的电流为(　　)
A．1.06×104 A B．1.06×10－3 A
C．1.06×10－5 A D．1.6×10－6 A
3．(复旦大学自主招生)太阳能电池板，测得它的开路电压为900 mV，短路电流为45 mA，若将该电池板与一阻值为20 Ω的电阻器连接成闭合电路，则电阻器两端电压为(　　)
A．0.3 V B．0.45 V
C．0.5 V D．0.65 V
4．(复旦大学自主招生)如图所示的闭合电路中，当滑动变阻器的滑片P从b滑向a的过程中，V1、V2两只伏特表指示数的变化值分别为ΔU1和ΔU2，则他们的大小相比应是(　　)
A．|ΔU1|>|ΔU2| B．|ΔU1|<|ΔU2|
C．|ΔU1|＝|ΔU2| D．无法判断
5．(“华约”自主招生)已知两电源的电动势E1>E2，当外电路电阻为R时，外电路消耗功率正好相等。 当外电路电阻降为R′时， 电源为E1 时对应的外电路功率为P1，电源为E2 时对应的外电路功率为P2 ，电源E1的内阻为r1，电源E2的内阻为r2 。则(　　)
A．r1>r2，P1>P2 B．r1C．r1P2 D．r1>r2，P16．(“北约”自主招生)北京家庭采用电压为220 V的供电，香港家庭采用电压为200 V的供电。北京厨房内一支“220 V、50 W”照明用的灯泡，若改用 200 V的供电，使用相同的时间可以节省电能百分之__________。如果采用200 V供电的同时，又不减弱厨房照明亮度，则原灯泡电阻丝要换成电阻为________ Ω 的新电阻丝。
7.(“卓越”自主招生)图为一利用光敏电阻测量储液罐中液面高度装置的示意图。当罐中装满液体时，液面与出液口高度差为h，罐外有一竖直放置的管，管内一侧有沿竖直线排列的光敏电阻，另一侧有一列光强稳定的光源。液面上一浮块与一块遮光板通过定滑轮相连，遮光板可随浮块的升降在管内上下运动，光敏电阻的总长度和遮光板的总长度都为h。当储液罐内装满液体时，遮光板的上沿与最下面的光敏电阻的下边缘等高，管内的光均匀地照射在光敏电阻上，光敏电阻和仪表相连。现要求设计一电路以利用上述装置测量液面高度。为将问题简化，假设管内只有3个光敏电阻R1、R2、R3，分别位于管的上端、下端和中央；它们的暗电阻均为10 kΩ，被管内光源照亮时电阻均为1.0 kΩ。给定的仪器还有：直流电源E(电动势为9 V，电阻不计)，3个固定电阻，阻值分别为R10＝2.5 kΩ，R20＝1.8 kΩ，R30＝1.5 kΩ；电压表一块(量程为3 V，内阻可视为无穷大)，开关一个，导线若干。要求：当罐内装满液体时，电压表恰好为满量程。
(1)选择合适的固定电阻，画出电路图，并用题中给定的符号标明图中各元件。
(2)完成下列填空：(结果保留两位有效数字)
①液面与出液口等高时电压表的示值为________ V。
②若管内的光强变暗，使得光敏电阻被照亮时的阻值变为1.2 kΩ，则固定电阻的阻值应变换为________ kΩ，便可达到题目要求。
8.(“卓越”自主招生)某同学设计了一个测量电阻Rx(约为10 Ω)阻值的电路，如图所示。图中直流电流表的量程为50 μA，内阻Rg约为3 kΩ；电源E＝3 V，内阻不计；R0为六钮电阻箱(0～99 999.9 Ω)；R为滑动变阻器(0～500 Ω，额定电流1.5 A)；S1为开关；S2为双刀双掷开关。
(1)请简要写出实验步骤；
(2)请用测量量表示出Rx；
(3)分析该电路的适用条件。恒定电流
目录
知识精讲 1
一．电流、电流强度、电流密度 1
二． 电阻定律 2
三．电路 2
1.电路连接与电表改装 2
2.电动势与电功率 4
三．电学基本定律 5
1. 焦耳定律 5
2.欧姆定律 5
五．基尔霍夫定律 6
六．电路化简 7
1.等效电源定理 7
2.对称性原理 8
3. 无穷网络等效变换法 9
典型例题 10
知识精讲
一．电流、电流强度、电流密度
导体处于静电平衡时，导体内部场强处处为零。如果导体内部场强不为零，带电粒子在电场力作用下发生定向移动，形成了电流。形成电流条件是：存在自由电荷和导体两端有电势差（即导体中存在电场）。自由电荷在不同种类导体内部是不同的，金属导体中自由电荷是电子；酸、碱、盐在水溶液中是正离子和负离子；在导电气体中是正离子、负离子和电子。
电流强度是描述电流强弱的物理量，单位时间通过导体横截面的电量叫做电流强度。用定义式表示为
电流强度是标量。但电流具有方向性，规定正电荷定向移动方向为电流方向。在金属导体中电流强度的表达式是
n是金属导体中自由电子密度，e是电子电量，v是电子定向移动平均速度，S是导体的横截面积。
在垂直于电流方向上，单位面积内电流强度叫做电流密度，表示为
金属导体中，电流密度为
电流密度是矢量，其方向与电流方向一致。
电阻定律
导体的电阻为
式中、称为导体电阻率、电导率，由导体的性质决定。
实验表明，多数材料的电阻率都随温度的升高而增大，在温度变化范围不大时，纯金属的电阻率与温度之间近似地有如下线性关系
为0℃时电子率，为时电阻率，为电阻率的温度系数，多数纯金属值接近于℃，而对半导体和绝缘体电阻率随温度 的升高而减小。某些导体材料在温度接近某一临界温度时，其电阻率突减为零，这种现象叫超导现象。
三．电路
1.电路连接与电表改装
（1）串、并联电路的性质
串联电路通过各电阻电流相同，总电压为各电阻两端电压之和，电压的分配与电阻成正比，功率的分配也与电阻成正比，即
串联电路总电阻
并联电路各电阻两端电压相同，总电流为通过各支路电流之后，电流的分配与电阻成反比，功率的分配亦与电阻成反比，即
总电阻：
（2）电表改装
①欲将满偏电流为，内阻为的电流表改装为量程为U的电压表，需将分压电阻R和电流表串联，如图2-2-1所示，所谓量程为U时，就是当电压表两端的电压为U时，通过电流表的电流为，电流表分担的电压为。根据串联电路的规律有
即
电压表内阻
通常，都很大，理想情况下可认为。
②欲将内阻为，满偏电流为的电流表改装为量程为I的电流表时，需将分流电阻R和电流表并联，如图所示。同理可推得
通常，R很小，可认为电流表内阻，理想情况下可认为。
③将电流表改装成欧姆表
简易欧姆表接法示意图如图所示，为调零电阻，表头内阻为，满偏刻度为。测量前，应先将两表笔短接，调节使流过表头的电流为，若电池的电动势为，内阻为，则
如果在两表笔间接一电阻，则电流减半，指针指表盘中央，因此，称为“中值电阻”，表盘最左刻度对应于，最右边刻度对应于，对于任一阻值，若
这就是欧姆表的刻度原理，如欧姆表的中值电阻，表盘满偏处的刻度为，表盘满偏处的刻度为，如图所示。
欧姆表的量程改变后，各刻度所对应的电阻值应乘以相同倍率，另外要注意，凡使用欧姆表，必须进行机械调零和欧姆调零，并且，换档后一定要重新进行欧姆调零。
④将电流表改装成交流电压表
交流电压表是直流电压表的基础上改装而成的，在直流电压表上串联一个二极管，就组成交流电压表。串联二极管后，电表显示的是交流电的平均值（它等于有效值的0.45倍）。用U代表某一量程的交流电压有效值，若不考虑二极管正向电阻值，则限流电阻计算公式为
实验指出，二极管是一且非线性元件，它的伏安特性为一条弯曲的图线，如图所示，当二极管的正向电阻后，限流电阻R与交流电压U之间的关系不再是线性的。因此，最大量程的交流电压表的表盘刻度是不均匀的，如采用J0411型多用电表测量2.5V以下的交流电压时，要使用表盘上第三条刻度线，它的起始段刻度很密，刻度是不均匀的。这一点，从图中可以看得很清楚，在二极管两端电压小于的一段图线上，相同的电压变化（例如V）所对应的电流是不同的：顺次分别为mA、mA、mA、mA。
2.电动势与电功率
（1）电源有保持两极间有一定电压的作用，不同种类的电源，保持两极间有一定电压的本领不同。例如：干电池可保持正、负极间有V的电压；常用的铅锌蓄电池可保持两极间有V的电压。为了表征电源的这种特性，物理学上引入了电动势这个物理量，电源的电动势在数值上等于电源没有接入外电路时两极间的电压。将理想表直接接在电源的两极上测出的电压就是电源的电动势。
（2）电流通过一段路时，自由电荷在电场力作用下发生定向移动，电场力对自由电荷作功。电流在一段电路上所做的功W，等于这段电路两端的电压U、电路中电流I和通电时间t三者的乘积。即
单位时间内电流所做功叫做电功率，用P表示电功率，则。
三．电学基本定律
1. 焦耳定律
电流在一段只有电阻元件的电路上所做的功等于电流通过这段电路时的所产生的热量Q。焦耳通过实验得到结论：如果通过一段只有电阻元件的电路的电流为I，这段电路的电阻为R，通电时间为t，则
这就是焦耳定律，我们还可推出这段电路中电流的发热功率为。
电流做功的过程，就是电能转化为其他形式的能的过程。一般来讲，人们用电的目的往往不是为了发热。如使用电动机是为了将电能转化为机械能，使用电解槽是为了将电能转化为化学能等等。发热只是副效应，因此，一般说来电热只是电功的一部分，热功率是电功的一部分。
2.欧姆定律
①部分电路欧姆定律：导体中的电流强度I跟它两端所加的电压U成正比，跟它的电阻R成反比，即
上式适用于金属导电和电解液导电的情况。对非线线元件（如灯丝、二极管）和气体导电等情况不适用。
②一段含源电路欧姆定律：电路中任意两点间的电势差等于连接这两点的支路上各电路元件上电势降落的代数和，其中电势降落的正、负符号规定如下：
a.当从电路中的一点到另一点的走向确定后，如果支路上的电流流向和走向一致，该支路电阻元件上的电势降取正号，反之取负号。
b.支路上电源电动势的方向和走向一致时，电源的电势降为电源电动势的负值（电源内阻视为支路电阻）。反之，取正值。
如图2-3-1所示，对某电路的一部分，由一段含源电路欧姆定律可求得：
③闭合电路欧姆定律和电源输出功率
〈1〉闭合电路欧姆定律
闭合电路欧姆定律公式：
路端电压
对于确定电源、一定，则图线和图线如图所示。其中，为电源短路电流。
〈2〉电源输出功率
电源的功率
电源输出功率
当时电源输出功率为最大
此时电源效率 %
电源输出功率P随外电阻R变化如图所示，若电源外电阻分别为、时，输出功率相等，则必有
五．基尔霍夫定律
①对电路中任何一个节点，流出的电流之和等于流入的电流之和。
或可表达为：汇于节点的各支路电流强度的代数和为零。
若规定流入电流为正，则从节点流出的电流强度加负号。对于有n个节点的完整回路，可列出n个方程，实际上只有个方程是独立的。
②沿回路环绕一周，电势降落的代数和为零，即
对于给定的回路绕行方向，理想电源，从正极到负极，电势降落为正，反之为负；对电阻及内阻，若沿电流方向则电势降落为正，反之为负。若复杂电路包括m个独立回路，则有m个独立回路方程。
例题：如图所示电路中，已知
求各支路的电流。
分析： 题中电路共有2个节点，故可列出一个节点方程。而支路3个，只有二个独立的回路，因而能列出两个回路方程。三个方程恰好满足求解条件。
解： 规定正方向如图所示，则有
两个独立回路，有
联解方程得：
＜0，说明实际电流方向与图中所假定电流方向相反。
六．电路化简
1.等效电源定理
实际的直流电源可以看作电动势为，内阻为零的恒压源与内阻r的串联，如图所示，这部分电路被称为电压源。
不论外电阻R如何，总是提供不变电流的理想电源为恒流源。实际电源、r对外电阻R提供电流I为
其中为电源短路电流，因而实际电源可看作是一定的内阻与恒流并联的电流源，如图所示。
实际的电源既可看作电压源，又可看作电流源，电流源与电压源等效的条件是电流源中恒流源的电流等于电压源的短路电流。利用电压源与电流源的等效性可使某些电路的计算简化。
等效电压源定理又叫戴维宁定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电压源，其电动势等于网络的开路电压，内阻等于从网络两端看除电源以外网络的电阻。
如图所示为两端有源网络A与电阻R的串联，网络A可视为一电压源，等效电源电动势等于a、b两点开路时端电压，等效内阻等于网络中除去电动势的内阻，如图所示。
等效电流源定理 又叫诺尔顿定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除电源外网络的电阻。
2.对称性原理
①等势节点的断接法
在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点，（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。
例题：用导线连接成如图所示的框架，ABCD和ABCE是正四面体，每段导线的电阻都是1。求AB间的总电阻。
解： 设想A、B两点上存在电势差，由于电路的对称性可以知道D、C、两点的电势都应该介乎与的中间，即，所以两点应是等电势的。这样，去掉CD段导线，对A、B间的总电阻不会有影响。当去掉CD段导线后，就成为三路并联，即A—D—B，A—C—B，和AB。于是：
②电流分布法
设有电流I从A点流入、B点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电压的思想，（即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路电流与总电流I的关系，然后经任一路径计算A、B两点间的电压，再由即可求出等效电阻。
例题.根电阻均为r的电阻丝接成如图2-4-13所示的网络，试求出A、B两点之间的等效电阻。
由结构对称性，要求电流I从A点流入后在A点的电流分布应与电流I从B点流出前的电流分布相同，中间四方形必具有上、下电流分布对称和左、右电流分布对称，因此网络内电流分布应如图2-4-14所示。对图中C点和D点，有电流关联
解得 ①
由A、E两点间不同路线等电压的要求，得
即 ②
解①、②两式得
选择线路AEDB，可得
因此，A、B间等效电阻便为
3. 无穷网络等效变换法
若 （a＞0）
在求x值时，x注意到是由无限多个组成，所以去掉左边第一个对x值毫无影响，即剩余部分仍为x，这样，就可以将原式等效变换为，即。所以
这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路。
典型例题
1．(南京大学自主招生)在半导体器件中，常把纳米级厚度的导电材料沉积到芯片上形成导电薄膜。在研究这些薄膜的导电性能时，就需要使用薄膜电阻这一概念。设导电材料的电阻率为ρ，薄膜的长、宽和厚度分别为a、b、c，如图所示， 如果形式上将薄膜A、B 间的电阻表示为RAB＝，则比例系数ρs 和材料电阻率ρ 间的关系为(　　)
A．ρs＝　　　　　　　　 B．ρs＝
C．ρs＝ D．ρs＝ρ
【答案】C
【解析】根据电阻定律，RAB＝， 又RAB＝，联立解得：ρs＝。选项C正确。
2．(复旦大学自主招生)经典理论中，氢原子中的电子(电量为1.6×10－19 C)在半径为0.53×10－10 m的圆形轨道上以6.6×1015 Hz的频率运动，则轨道中的电流为(　　)
A．1.06×104 A B．1.06×10－3 A
C．1.06×10－5 A D．1.6×10－6 A
【答案】B
【解析】轨道中的电流为I＝＝ef＝1.6×10－19×6.6×1015 A＝1.06×10－3 A，选项B正确。
3．(复旦大学自主招生)太阳能电池板，测得它的开路电压为900 mV，短路电流为45 mA，若将该电池板与一阻值为20 Ω的电阻器连接成闭合电路，则电阻器两端电压为(　　)
A．0.3 V B．0.45 V
C．0.5 V D．0.65 V
【答案】B
【解析】根据开路电压等于电源电动势可得E＝900 mV，根据I0＝可得：r＝20 Ω。由闭合电路欧姆定律，I＝＝ A。电阻器两端电压为U＝IR＝×20 V＝0.45 V，选项B正确。
4．(复旦大学自主招生)如图所示的闭合电路中，当滑动变阻器的滑片P从b滑向a的过程中，V1、V2两只伏特表指示数的变化值分别为ΔU1和ΔU2，则他们的大小相比应是(　　)
A．|ΔU1|>|ΔU2| B．|ΔU1|<|ΔU2|
C．|ΔU1|＝|ΔU2| D．无法判断
【答案】A
【解析】当滑动变阻器的滑片P从b滑向a的过程中，电路中电流增大，V2增大，内阻电压增大，V1减小，由E＝U1＋U2＋Ur可知|ΔU2|＋|ΔUr|＝|ΔU1|，选项A正确。
5．(“华约”自主招生)已知两电源的电动势E1>E2，当外电路电阻为R时，外电路消耗功率正好相等。 当外电路电阻降为R′时， 电源为E1 时对应的外电路功率为P1，电源为E2 时对应的外电路功率为P2 ，电源E1的内阻为r1，电源E2的内阻为r2 。则(　　)
A．r1>r2，P1>P2 B．r1C．r1P2 D．r1>r2，P1【答案】D
【解析】当两个电源分别与阻值为R的电阻连接时，电源输出功率相等，即：2R＝2R，＝＝I0，由E1>E2，可得r1>r2。电源输出电压U与电路中电流I的关系是U＝E－Ir。
由于两个电路中电流大小相等，两个电源的输出电压随电流变化关系图像应为如图所示的两条相交的直线，交点的电流为I0，电压为U0＝RI0，从原点O向该交点连线，即为电阻R的伏安特性曲线U＝RI。若将R减小为R′，电路中R′的伏安特性曲线为U′＝R′I，分别与两个电源的输出电压随电流变化关系图像交于两个不同的点。与电源1输出电压随电流变化关系图像的交点处的电流和电压值均小于电源2输出电压随电流变化关系图像的交点处的电流和电压值，根据输出功率的定义P＝UI可知，电源1的输出功率小于电源2的输出功率，即P16．(“北约”自主招生)北京家庭采用电压为220 V的供电，香港家庭采用电压为200 V的供电。北京厨房内一支“220 V、50 W”照明用的灯泡，若改用 200 V的供电，使用相同的时间可以节省电能百分之__________。如果采用200 V供电的同时，又不减弱厨房照明亮度，则原灯泡电阻丝要换成电阻为________ Ω 的新电阻丝。
【解析】由P＝可得，＝，＝＝17.4%，即使用相同的时间可以节省电能百分之17.4。不减弱厨房照明亮度，灯泡功率相等，由＝50 W，解得R2＝800 Ω。
【答案】17.4　 800
7.(“卓越”自主招生)图为一利用光敏电阻测量储液罐中液面高度装置的示意图。当罐中装满液体时，液面与出液口高度差为h，罐外有一竖直放置的管，管内一侧有沿竖直线排列的光敏电阻，另一侧有一列光强稳定的光源。液面上一浮块与一块遮光板通过定滑轮相连，遮光板可随浮块的升降在管内上下运动，光敏电阻的总长度和遮光板的总长度都为h。当储液罐内装满液体时，遮光板的上沿与最下面的光敏电阻的下边缘等高，管内的光均匀地照射在光敏电阻上，光敏电阻和仪表相连。现要求设计一电路以利用上述装置测量液面高度。为将问题简化，假设管内只有3个光敏电阻R1、R2、R3，分别位于管的上端、下端和中央；它们的暗电阻均为10 kΩ，被管内光源照亮时电阻均为1.0 kΩ。给定的仪器还有：直流电源E(电动势为9 V，电阻不计)，3个固定电阻，阻值分别为R10＝2.5 kΩ，R20＝1.8 kΩ，R30＝1.5 kΩ；电压表一块(量程为3 V，内阻可视为无穷大)，开关一个，导线若干。要求：当罐内装满液体时，电压表恰好为满量程。
(1)选择合适的固定电阻，画出电路图，并用题中给定的符号标明图中各元件。
(2)完成下列填空：(结果保留两位有效数字)
①液面与出液口等高时电压表的示值为________ V。
②若管内的光强变暗，使得光敏电阻被照亮时的阻值变为1.2 kΩ，则固定电阻的阻值应变换为________ kΩ，便可达到题目要求。
【解析】(1)当罐内装满液体时，3个光敏电阻均受到光照射，电阻均为1.0 kΩ。可把这三个光敏电阻串联后再与R30＝1.5 kΩ串联，接在直流电源E两端。电压表与电阻R30＝1.5 kΩ并联构成电路，这样可以使当罐内装满液体时，电压表恰好为满量程，电路如图所示。
(2)①液面与出液口等高时，3个光敏电阻均受不到光照射，电阻均为10 kΩ。回路中总电阻为R＝31.5 kΩ，电流I＝，电压表的示值为U＝IR30＝ V＝0.43 V。
②若管内的光强变暗，使得光敏电阻被照亮时的阻值变为
1．2 kΩ，当罐内装满液体时，电压表恰好为满量程3 V，则固定电阻的阻值应变换为1.8 kΩ，便可达到题目要求。
【答案】(1)电路图见解析
(2)0.43　 1.8
8.(“卓越”自主招生)某同学设计了一个测量电阻Rx(约为10 Ω)阻值的电路，如图所示。图中直流电流表的量程为50 μA，内阻Rg约为3 kΩ；电源E＝3 V，内阻不计；R0为六钮电阻箱(0～99 999.9 Ω)；R为滑动变阻器(0～500 Ω，额定电流1.5 A)；S1为开关；S2为双刀双掷开关。
(1)请简要写出实验步骤；
(2)请用测量量表示出Rx；
(3)分析该电路的适用条件。
【解析】(1)实验步骤：
Ⅰ.选择R0的阻值略大于Rx；
Ⅱ.闭合S1，将S2合向R0一侧，调节R使电流表指针指到满偏电流以上的刻度；
Ⅲ.记下电流值I0；
Ⅳ.保持R的滑动触头位置不变；
Ⅴ.将S2合向Rx一侧，读出电流表读数I1。
(2)计算式：
Rx＝R0
(3)适用条件：
Ⅰ.Rx的阻值应远远小于50 μA直流电流表的内阻；
Ⅱ.R0阻值的取值应与Rx相近。
【答案】见解析

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