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第2讲 物体的平衡问题
知识精讲
1．常见的力
（一）重力
物体的重心与质心
重心：从效果上看，我们可以认为物体各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心。
质心：物体的质量中心。
设物体各部分的重力分别为G1、G2……Gn，且各部分重力的作用点在oxy坐标系中的坐标分别是（x1，y1）（x2，y2）……（xn，yn）,物体的重心坐标xc，yc可表示为
xc==， yc==
弹力
胡克定律：在弹性限度内，弹力F的大小与弹簧伸长（或缩短）的长度x成正比，即F=k x，k为弹簧的劲度系数。
两根劲度系数分别为k1，k2的弹簧串联后的劲度系数可由=+求得，并联后劲度系数为k=k1+k2.
摩擦力
摩擦力：一个物体在另一物体表面有相对运动或相对运动趋势时，产生的阻碍物体相对运动或相对运动趋势的力叫摩擦力。方向沿接触面的切线且阻碍物体间相对运动或相对运动趋势。
摩擦分为静摩擦和滑动摩擦：
当两个相互接触的物体之间存在相对滑动的趋势（就是说：假如它们之间的接触是“光滑的”，将发生相对滑动）时，产生的摩擦力为静摩擦力，其方向与接触面上相对运动趋势的指向相反，大小视具体情况而定，由平衡条件或从动力学的运动方程解算出来，最大静摩擦力为
式中称为静摩擦因数，它取决于接触面的材料与接触面的状况等，N为两物体间的正压力。
当两个相互接触的物体之间有相对滑动时，产生的摩擦力为滑动摩擦力。滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反,其大小与两物体间的正压力成正比。
为滑动摩擦因数，取决于接触面的材料与接触面的表面状况，在通常的相对速度范围内，可看作常量，在通常情况下，可不加区别，两物体维持相对静止的动力学条件为静摩擦力的绝对值满足
在接触物的材料和表面粗糙程度相同的条件下，静摩擦因数略大于动摩擦因数。
摩擦角：
令静摩擦因数等于某一角的正切值，即，这个角就称为摩擦角。在临界摩擦（将要发生滑动状态下）,。支承面作用于物体的沿法线方向的弹力N与最大静摩擦力的合力F（简称全反力）与接触面法线方向的夹角等于摩擦角，如图1-1-11所示（图中未画其他力）。在一般情况下，静摩擦力未达到最大值，即
因此接触面反作用于物体的全反力的作用线与面法线的夹角，不会大于摩擦角，即。物体不会滑动。由此可知，运用摩擦角可判断物体是否产生滑动的条件。如图1-1-12放在平面上的物体A，用力F去推它，设摩擦角为，推力F与法线夹角为，当时，无论F多大，也不可能推动物块A，只有时，才可能推动A。
2.力的合成与分解
（一）力的合成遵循平行四边形法则
即力的合力即此二力构成的平行四边形的对角线所表示的力F，如图(a)根据此法则可衍化出三角形法则。即：将通过平移使其首尾相接，则由起点指向末端的力F即的合力。（如图(b)）
如果有多个共点力求合力，可在三角形法则的基础上，演化为多边形法则。如图1-2-2所示，a图为有四个力共点O，b图表示四个力矢首尾相接，从力的作用点O连接力力矢末端的有向线段就表示它们的合力。而(c)图表示五个共点力组成的多边形是闭合的，即力矢的起步与力矢的终点重合，这表示它们的合力为零。
力的分解是力的合成的逆运算，也遵循力的平行四边形法则，一般而言，一个力分解为两力有多解答，为得确定解还有附加条件，通常有以下
三种情况：
①已知合力和它两分力方向，求这两分力大小。这有确定的一组解答。
②已知合力和它的一个分力，求另一个分力。这也有确定的确答。
③已知合力和其中一个分力大小及另一个分力方向，求第一个合力方向和第二分力大小，其解答可能有三种情况：一解、两解和无解。
（二）平行力的合成与分解
作用在一个物体上的几个力的作用线平行，且不作用于同一点，称为平行力系。如图1-2-4如果力的方向又相同，则称为同向平行力。
两个同向平行力的合力（R）的大小等于两分力大小之和，合力作用线与分力平行，合力方向与两分力方向相同，合力作用点在两分力作用点的连线上，合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比，如图(a)，有：
两个反向平行力的合力（R）的大小等于两分力大小之差，合力作用线仍与合力平行，合力方向与较大的分力方向相同，合力的作用点在两分力作用点连线的延长线上，在较大力的外侧，它到两分力作用点的距离与两分力大小成反比，如图(b)，有：
（三）空间中力的投影与分解
力在某轴上的投影定义为力的大小乘以力与该轴正向间夹角的余弦，如图中的力在ox、oy、oz轴上的投影X、Y、Z分别定义为
这就是直接投影法所得结果，也可如图所示采用二次投影法。这时
式中为在oxy平面上的投影矢量，而
力沿直角坐标轴的分解式
3.共点力作用下物体的平衡
共点力作用下物体的平衡条件：
几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于同一点，这几个力叫作共点力。当物体可视为质点时，作用在其上的力都可视为共点力。当物体不能视为质点时，作用于其上的力是否可视为共点力要看具体情况而定。
物体的平衡包括静平衡与动平衡，具体是指物体处于静止、匀速直线运动和匀速转动这三种平衡状态。
共点力作用下物体的平衡条件是；物体所受到的力的合力为零。
或其分量式：
如果在三个或三个以上的共点力作用下物体处于平衡，用力的图示表示，则这些力必组成首尾相接的闭合力矢三角形或多边形；力系中的任一个力必与其余所有力的合力平衡；如果物体只在两个力作用下平衡，则此二力必大小相等、方向相反、且在同一条直线上，我们常称为一对平衡力；如果物体在三个力作用下平衡，则此三力一定共点、一定在同一个平面内，如图所示，且满足下式（拉密定理）：
推论：
物体在n(n≥3)个外力作用下处于平衡状态，若其中有n-1个力为共点力，即它们的作用线交于O点，则最后一个外力的作用线也必过O点，整个外力组必为共点力。这是因为n-1个外力构成的力组为共点（O点）力，这n-1个的合力必过O点，最后一个外力与这n-1个外力的合力平衡，其作用线必过O点。
特例，物体在作用线共面的三个非平行力作用下处于平衡状态时，这三个力的作用线必相交于一点且一定共面。
4. 固定转动轴物体的平衡
力矩：
力的方向与转轴垂直时，总可以将轴取成O xyz坐标系中固定的z轴，力取为xOy平面内的力F，z轴到F作用线的距离等于坐标原点O到F作用线的距离，记为h，称之为力臂。如图所示，h与F作用点位矢r的关系为h＝r|sin θ|，式中θ为r方向到F方向的旋转角，逆时针ω取正，顺时ω取负。定义F对z轴的力矩为
M＝
容易验证：任何一组共点力相对任一转轴的力矩之和等于其合力相对该轴的力矩。
力偶和力偶矩：
一对大小相等、方向相反但不共线的力称为力偶。如图中即为力偶，力偶不能合成为一个力，是一个基本力学量。对于与力偶所在平面垂直的任一轴，这一对力的力矩的代数和称为力偶矩，注意到，不难得到，M=Fd，式中d为两力间的距离。力偶矩与所相对的轴无关。
有固定转动轴物体的平衡：
有固定转轴的物体，若处于平衡状态，作用于物体上各力的力矩的代数和为零。
5.一般物体的平衡
力对物体的作用可以改变物体的运动状态，物体各部位所受力的合力对物体的平动有影响，合力矩对物体的转动有影响。如果两种影响都没有，就称物体处于平衡状态。因此，一般物体处于平衡时，要求物体所受合外力为零和合力矩为零同时满足，一般物体的平衡条件写成分量式为
分别为对x轴、y轴、z轴的力矩。
由空间一般力系的平衡方程，去掉由力系的几何性质能自动满足的平衡方程，容易导出各种特殊力系的独立平衡方程。
如平面力系（设在平面内），则自动满足，则独立的平衡方程为：
这一方程中的转轴可根据需要任意选取，一般原则是使尽量多的力的力臂为零。
平面汇交力系与平面平行力系的独立方程均为二个，空间汇交力系和空间平行力系的独立平衡方程均为三个。
典型例题
题型一 质心的求解
例1.(同济大学自主招生)如图所示，无穷多个质量均匀分布的圆环，半径依次为R，，，…，相切一公共点，则该系统的质心距半径为R的最大圆环的圆心距离为(　　)
A. B.
C. D.
变式1.(“北约”自主招生)如图所示，A、B原为两个相同的均质实心球，半径为R，重量为G，A、B球分别挖去半径为的小球，均质杆重量为，长度，试求系统的重心位置。
题型二 摩擦自锁问题
例2.物体放在水平面上，用与水平方向成30°的力拉物体时，物体匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素μ。
变式2.（清华自主招生）如图所示，一上表面粗糙的斜面体上放在光滑的水平地面上，斜面的倾角为θ。另一质量为m的滑块恰好能沿斜面匀速下滑。若用一推力F作用在滑块上，使之能沿斜面匀速上滑，且要求斜面体静止不动，就必须施加一个大小为F = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面体。使满足题意的这个F的大小和方向。
题型三 动态平衡问题
例3．(复旦大学自主招生)如图所示，竖直杆AB在细绳AC的拉力作用下处于平衡。若AC加长，使C点左移，AB仍保持平衡状态。细绳AC上拉力T和杆AB受到的细绳的压力N与原先相比，下列说法正确的是(　　)
A．T增大，N减小　　　　　　 B．T减小，N增大
C．T和N都减小 D．T和N都增大
变式4.粗细均匀的电线架在A、B两根电线杆之间。由于热胀冷缩，电线在夏、冬两季呈现如图所示的两种形状，若电线杆始终处于竖直状态，下列说法中正确的是(　　)
A．冬季，电线对电线杆的拉力较大
B．夏季，电线对电线杆的拉力较大
C．夏季与冬季，电线对电线杆的拉力一样大
D．夏季，电线杆对地面的压力较大
题型四 力矩平衡
例4．(清华大学自主招生)如图，一细棒质量为m，初始时θ＝30°，方形木块以恒定速度向正左方运动。则细棒受到木块的力(　　)
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
变式4.(北京大学自主招生)如图，一个质量为M、棱边长为L的立方体放在粗糙的平面上，在左上棱施力，使立方体向前或向后翻转，立方体不与平面发生相对滑动，求：
(1)向后施加力的最小值以及对应的动摩擦因数。
(2)向前施加力的最小值以及对应的动摩擦因数。
题型五 共点力作用下物体的平衡
例5.(“华约”自主招生)如图所示，两根刚性轻杆上端由自由旋转轴A连接，轻杆下端固定一根自然伸长的匀质轻弹簧，围成边长为L的等边三角形ABC，将此装置竖直放在光滑水平面上，在轴A处施加竖直向下的大小为F的作用力，弹簧被拉伸一定长度，若此时弹簧弹力大小恰为，则弹簧的劲度系数为(　　)
A. B.
C. D.
变式5.(南京大学自主招生)如图所示，AO是质量为m的均匀细杆，可绕O轴在竖直平面内自由转动。细杆上的P点与放在水平桌面上的圆柱体接触，圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡。已知杆的倾角为θ，AP长度是杆长的，各处的摩擦都不计，求挡板对圆柱体的作用力。
题型六 一般物体的平衡
例6.(清华大学自主招生)质量为m、长为L的三根相同的匀质细棒对称地搁在地面上，三棒的顶端O重合，底端A、B、C的间距均为L，如图所示。
(1)求OA棒顶端所受的作用力F的大小。
(2)若有一质量也为m的人(视为质点)坐在OA棒的中点处，三棒仍然保持不动，这时OA棒顶端所受的作用力F的大小又为多大？
(3)在(2)的情况下，地面与棒之间的静摩擦因数μ至少为多大？
变式6.（34届预赛）某电视节目中演示了一个用三根火柴棍和细棉线悬挂起一瓶或多瓶矿泉水的实验，如图所示．A、B、C为三根相同的火柴棍，火柴棍长为l，细实线为棉线，棉线的直径为d（d << l）．火柴棍A的一半在水平桌面内，另一半在桌面外，火柴棍A与桌面上表面的边沿垂直；桌面厚度为h；O是火柴棍A的中点与桌面边沿的接触点；棉线紧贴桌沿绕过A，压在水平火柴棍C的两端；火柴棍B的一端顶在火柴棍A的球状头部（可近似忽略球状头部的尺度），另一端顶在火柴棍C的中点．这样的结构可以稳定地悬挂起一瓶或多瓶矿泉水．
（1）如果没有火柴棍B和C，光靠A是否可能悬挂起一瓶矿泉水？为什么？
（2）加上火柴棍B和C，小心挂上重物时，火柴棍A会在过A的竖直平面内绕O点有一个角位移．通过火柴棍B的带动，压在火柴棍C两端的棉线将绕桌面下表面的边沿转动一个很小的角度；只要角度大小合适，可使整个系统达到稳定平衡．球平衡时该角度的大小．已知火柴棍与桌沿、火柴棍与棉线以及火柴棍之间都足够粗糙（即可以没有滑动），而且它们的质量与重物相比均可忽略．第2讲 物体的平衡问题
知识精讲
1．常见的力
（一）重力
物体的重心与质心
重心：从效果上看，我们可以认为物体各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心。
质心：物体的质量中心。
设物体各部分的重力分别为G1、G2……Gn，且各部分重力的作用点在oxy坐标系中的坐标分别是（x1，y1）（x2，y2）……（xn，yn）,物体的重心坐标xc，yc可表示为
xc==， yc==
弹力
胡克定律：在弹性限度内，弹力F的大小与弹簧伸长（或缩短）的长度x成正比，即F=k x，k为弹簧的劲度系数。
两根劲度系数分别为k1，k2的弹簧串联后的劲度系数可由=+求得，并联后劲度系数为k=k1+k2.
摩擦力
摩擦力：一个物体在另一物体表面有相对运动或相对运动趋势时，产生的阻碍物体相对运动或相对运动趋势的力叫摩擦力。方向沿接触面的切线且阻碍物体间相对运动或相对运动趋势。
摩擦分为静摩擦和滑动摩擦：
当两个相互接触的物体之间存在相对滑动的趋势（就是说：假如它们之间的接触是“光滑的”，将发生相对滑动）时，产生的摩擦力为静摩擦力，其方向与接触面上相对运动趋势的指向相反，大小视具体情况而定，由平衡条件或从动力学的运动方程解算出来，最大静摩擦力为
式中称为静摩擦因数，它取决于接触面的材料与接触面的状况等，N为两物体间的正压力。
当两个相互接触的物体之间有相对滑动时，产生的摩擦力为滑动摩擦力。滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反,其大小与两物体间的正压力成正比。
为滑动摩擦因数，取决于接触面的材料与接触面的表面状况，在通常的相对速度范围内，可看作常量，在通常情况下，可不加区别，两物体维持相对静止的动力学条件为静摩擦力的绝对值满足
在接触物的材料和表面粗糙程度相同的条件下，静摩擦因数略大于动摩擦因数。
摩擦角：
令静摩擦因数等于某一角的正切值，即，这个角就称为摩擦角。在临界摩擦（将要发生滑动状态下）,。支承面作用于物体的沿法线方向的弹力N与最大静摩擦力的合力F（简称全反力）与接触面法线方向的夹角等于摩擦角，如图1-1-11所示（图中未画其他力）。在一般情况下，静摩擦力未达到最大值，即
因此接触面反作用于物体的全反力的作用线与面法线的夹角，不会大于摩擦角，即。物体不会滑动。由此可知，运用摩擦角可判断物体是否产生滑动的条件。如图1-1-12放在平面上的物体A，用力F去推它，设摩擦角为，推力F与法线夹角为，当时，无论F多大，也不可能推动物块A，只有时，才可能推动A。
2.力的合成与分解
（一）力的合成遵循平行四边形法则
即力的合力即此二力构成的平行四边形的对角线所表示的力F，如图(a)根据此法则可衍化出三角形法则。即：将通过平移使其首尾相接，则由起点指向末端的力F即的合力。（如图(b)）
如果有多个共点力求合力，可在三角形法则的基础上，演化为多边形法则。如图1-2-2所示，a图为有四个力共点O，b图表示四个力矢首尾相接，从力的作用点O连接力力矢末端的有向线段就表示它们的合力。而(c)图表示五个共点力组成的多边形是闭合的，即力矢的起步与力矢的终点重合，这表示它们的合力为零。
力的分解是力的合成的逆运算，也遵循力的平行四边形法则，一般而言，一个力分解为两力有多解答，为得确定解还有附加条件，通常有以下
三种情况：
①已知合力和它两分力方向，求这两分力大小。这有确定的一组解答。
②已知合力和它的一个分力，求另一个分力。这也有确定的确答。
③已知合力和其中一个分力大小及另一个分力方向，求第一个合力方向和第二分力大小，其解答可能有三种情况：一解、两解和无解。
（二）平行力的合成与分解
作用在一个物体上的几个力的作用线平行，且不作用于同一点，称为平行力系。如图1-2-4如果力的方向又相同，则称为同向平行力。
两个同向平行力的合力（R）的大小等于两分力大小之和，合力作用线与分力平行，合力方向与两分力方向相同，合力作用点在两分力作用点的连线上，合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比，如图(a)，有：
两个反向平行力的合力（R）的大小等于两分力大小之差，合力作用线仍与合力平行，合力方向与较大的分力方向相同，合力的作用点在两分力作用点连线的延长线上，在较大力的外侧，它到两分力作用点的距离与两分力大小成反比，如图(b)，有：
（三）空间中力的投影与分解
力在某轴上的投影定义为力的大小乘以力与该轴正向间夹角的余弦，如图中的力在ox、oy、oz轴上的投影X、Y、Z分别定义为
这就是直接投影法所得结果，也可如图所示采用二次投影法。这时
式中为在oxy平面上的投影矢量，而
力沿直角坐标轴的分解式
3.共点力作用下物体的平衡
共点力作用下物体的平衡条件：
几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于同一点，这几个力叫作共点力。当物体可视为质点时，作用在其上的力都可视为共点力。当物体不能视为质点时，作用于其上的力是否可视为共点力要看具体情况而定。
物体的平衡包括静平衡与动平衡，具体是指物体处于静止、匀速直线运动和匀速转动这三种平衡状态。
共点力作用下物体的平衡条件是；物体所受到的力的合力为零。
或其分量式：
如果在三个或三个以上的共点力作用下物体处于平衡，用力的图示表示，则这些力必组成首尾相接的闭合力矢三角形或多边形；力系中的任一个力必与其余所有力的合力平衡；如果物体只在两个力作用下平衡，则此二力必大小相等、方向相反、且在同一条直线上，我们常称为一对平衡力；如果物体在三个力作用下平衡，则此三力一定共点、一定在同一个平面内，如图所示，且满足下式（拉密定理）：
推论：
物体在n(n≥3)个外力作用下处于平衡状态，若其中有n-1个力为共点力，即它们的作用线交于O点，则最后一个外力的作用线也必过O点，整个外力组必为共点力。这是因为n-1个外力构成的力组为共点（O点）力，这n-1个的合力必过O点，最后一个外力与这n-1个外力的合力平衡，其作用线必过O点。
特例，物体在作用线共面的三个非平行力作用下处于平衡状态时，这三个力的作用线必相交于一点且一定共面。
4. 固定转动轴物体的平衡
力矩：
力的方向与转轴垂直时，总可以将轴取成O xyz坐标系中固定的z轴，力取为xOy平面内的力F，z轴到F作用线的距离等于坐标原点O到F作用线的距离，记为h，称之为力臂。如图所示，h与F作用点位矢r的关系为h＝r|sin θ|，式中θ为r方向到F方向的旋转角，逆时针ω取正，顺时ω取负。定义F对z轴的力矩为
M＝
容易验证：任何一组共点力相对任一转轴的力矩之和等于其合力相对该轴的力矩。
力偶和力偶矩：
一对大小相等、方向相反但不共线的力称为力偶。如图中即为力偶，力偶不能合成为一个力，是一个基本力学量。对于与力偶所在平面垂直的任一轴，这一对力的力矩的代数和称为力偶矩，注意到，不难得到，M=Fd，式中d为两力间的距离。力偶矩与所相对的轴无关。
有固定转动轴物体的平衡：
有固定转轴的物体，若处于平衡状态，作用于物体上各力的力矩的代数和为零。
5.一般物体的平衡
力对物体的作用可以改变物体的运动状态，物体各部位所受力的合力对物体的平动有影响，合力矩对物体的转动有影响。如果两种影响都没有，就称物体处于平衡状态。因此，一般物体处于平衡时，要求物体所受合外力为零和合力矩为零同时满足，一般物体的平衡条件写成分量式为
分别为对x轴、y轴、z轴的力矩。
由空间一般力系的平衡方程，去掉由力系的几何性质能自动满足的平衡方程，容易导出各种特殊力系的独立平衡方程。
如平面力系（设在平面内），则自动满足，则独立的平衡方程为：
这一方程中的转轴可根据需要任意选取，一般原则是使尽量多的力的力臂为零。
平面汇交力系与平面平行力系的独立方程均为二个，空间汇交力系和空间平行力系的独立平衡方程均为三个。
典型例题
题型一 质心的求解
例1.(同济大学自主招生)如图所示，无穷多个质量均匀分布的圆环，半径依次为R，，，…，相切一公共点，则该系统的质心距半径为R的最大圆环的圆心距离为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】　如图建立x轴，从大到小各个圆环质量设为m，，，…，根据质心坐标计算公式可得质心到公共切点的距离x＝＝。该系统的质心距半径为R的最大圆环的圆心距离为s＝R－＝。
变式1.(“北约”自主招生)如图所示，A、B原为两个相同的均质实心球，半径为R，重量为G，A、B球分别挖去半径为的小球，均质杆重量为，长度，试求系统的重心位置。
解：将挖去部份的重力，用等值、反向的力取代，图示系统可简化为图所示平行力系；其中
。设重心位置为O，则合力
且即
OC=0.53R
题型二 摩擦自锁问题
例2.物体放在水平面上，用与水平方向成30°的力拉物体时，物体匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素μ。
解析：引进全反力R ，对物体两个平衡状态进行受力分析，再进行矢量平移，得到图18中的左图和中间图（注意：重力G是不变的，而全反力R的方向不变、F的大小不变），φm指摩擦角。
再将两图重叠成图的右图。由于灰色的三角形是一个顶角为30°的等腰三角形，其顶角的角平分线必垂直底边……故有：φm = 15°。
最后，μ= tgφm 。
答案：0.268 。
变式2.（清华自主招生）如图所示，一上表面粗糙的斜面体上放在光滑的水平地面上，斜面的倾角为θ。另一质量为m的滑块恰好能沿斜面匀速下滑。若用一推力F作用在滑块上，使之能沿斜面匀速上滑，且要求斜面体静止不动，就必须施加一个大小为F = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面体。使满足题意的这个F的大小和方向。
解析：法一：隔离法。
由第一个物理情景易得，斜面于滑块的摩擦因素μ= tgθ，对第二个物理情景，分别隔离滑块和斜面体分析受力，并将F沿斜面、垂直斜面分解成Fx和Fy ，滑块与斜面之间的两对相互作用力只用两个字母表示（N表示正压力和弹力，f表示摩擦力），如图21所示。
对滑块，我们可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡——
Fx = f + mgsinθ
Fy + mgcosθ= N
且 f = μN = Ntgθ
综合以上三式得到：
Fx = Fytgθ+ 2mgsinθ ①
对斜面体，只看水平方向平衡就行了——
F = fcosθ+ Nsinθ
即：4mgsinθcosθ=μNcosθ+ Nsinθ
代入μ值，化简得：Fy = mgcosθ ②
②代入①可得：Fx = 3mgsinθ
最后由F =解F的大小，由tgα= 解F的方向（设α为F和斜面的夹角）。
答案：大小为F = mg，方向和斜面夹角α= arctg()指向斜面内部。
法二：引入摩擦角和整体法观念。
仍然沿用“法一”中关于F的方向设置（见图21中的α角）。
先看整体的水平方向平衡，有：Fcos(θ- α) = F ⑴
再隔离滑块，分析受力时引进全反力R和摩擦角φ，由于简化后只有三个力（R、mg和F），可以将矢量平移后构成一个三角形，如图所示。
在图22右边的矢量三角形中，
有： = = ⑵
注意：
φ= arctgμ= arctg(tgθ) = θ ⑶
解⑴⑵⑶式可得F和α的值。
题型三 动态平衡问题
例3．(复旦大学自主招生)如图所示，竖直杆AB在细绳AC的拉力作用下处于平衡。若AC加长，使C点左移，AB仍保持平衡状态。细绳AC上拉力T和杆AB受到的细绳的压力N与原先相比，下列说法正确的是(　　)
A．T增大，N减小　　　　　　 B．T减小，N增大
C．T和N都减小 D．T和N都增大
【答案】C
【解析】若AC加长，由于悬挂的重物质量不变，水平拉力不变。分析结点A处受力情况，细绳AC上拉力T在水平方向分力大小等于悬挂的重物重力，在竖直方向分力等于AB受到的压力。若AC加长，使C点左移，AB仍保持平衡状态，显然，T和N都减小，选项C正确。
变式4.粗细均匀的电线架在A、B两根电线杆之间。由于热胀冷缩，电线在夏、冬两季呈现如图所示的两种形状，若电线杆始终处于竖直状态，下列说法中正确的是(　　)
A．冬季，电线对电线杆的拉力较大
B．夏季，电线对电线杆的拉力较大
C．夏季与冬季，电线对电线杆的拉力一样大
D．夏季，电线杆对地面的压力较大
答案：A
【解析】选A　以整条电线为研究对象，受力分析如图所示，由共点力的平衡条件知，两电线杆对电线的弹力的合力与其重力平衡，由几何关系得：Fcos θ＝，即：F＝。由于夏季气温较高，电线的体积会膨胀，两电线杆正中部位电线下坠的距离h变大，则电线在杆上固定处的切线方向与竖直方向的夹角θ变小，故变小，所以两电线杆处的电线拉力与冬季相比是变小。电线杆上的电线的质量一定，受力平衡，夏季电线杆对地面的压力相等。所以选项B、C、D错误，A正确。
题型四 力矩平衡
例4．(清华大学自主招生)如图，一细棒质量为m，初始时θ＝30°，方形木块以恒定速度向正左方运动。则细棒受到木块的力(　　)
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】C
【解析】　设棒长为L，则细棒重力的力臂L1＝cos θ。设木块的高度为h，则木块对细棒的支持力的力臂L2＝，由力矩平衡条件可得：mg·L1＝F·L2解得：F＝＝。可见，当θ＝45°时F最大，因初始时θ＝30°。故F先增大后减小，C选项正确。
变式4.(北京大学自主招生)如图，一个质量为M、棱边长为L的立方体放在粗糙的平面上，在左上棱施力，使立方体向前或向后翻转，立方体不与平面发生相对滑动，求：
(1)向后施加力的最小值以及对应的动摩擦因数。
(2)向前施加力的最小值以及对应的动摩擦因数。
【解析】向后翻滚如左图，向前翻滚如右图。考虑拉力与重力的共同作用。要求施加的力最小，则力臂最大，以获得最大的力矩。
(1)向后翻滚时：对A点，由力矩平衡条件，有：FL＝，
解得：F＝。
此时摩擦力满足：F＝μMg，解得：μ＝0.5。
(2)向前翻滚时：对B点，由力矩平衡条件，有：
F·L＝，
解得：F＝Mg。
此时摩擦力满足：μ(Mg－Fsin 45°)＝Fcos 45°，
解得：μ＝。
【答案】(1)　0.5　(2)Mg　
题型五 共点力作用下物体的平衡
例5.(“华约”自主招生)如图所示，两根刚性轻杆上端由自由旋转轴A连接，轻杆下端固定一根自然伸长的匀质轻弹簧，围成边长为L的等边三角形ABC，将此装置竖直放在光滑水平面上，在轴A处施加竖直向下的大小为F的作用力，弹簧被拉伸一定长度，若此时弹簧弹力大小恰为，则弹簧的劲度系数为(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
【解析】选B　对整体分析可知，整体受压力和支持力的作用，则可知，BC两杆的端点受地面向上的大小为的支持力；因弹簧的弹力也为，根据受力平衡和几何知识可知，此时杆与地面间的夹角为45°；则由几何关系可知，此时弹簧的长度变为L；则其形变量为(L－L)；则由胡克定律可得：k＝＝；故B正确。
变式5.(南京大学自主招生)如图所示，AO是质量为m的均匀细杆，可绕O轴在竖直平面内自由转动。细杆上的P点与放在水平桌面上的圆柱体接触，圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡。已知杆的倾角为θ，AP长度是杆长的，各处的摩擦都不计，求挡板对圆柱体的作用力。
【解析】APO杆是绕O轴有固定转动的平衡物体，对O点力矩为零，mglcos θ＝Nl，对圆柱体受力分析，N水平向左的分力与挡板对圆柱体水平向右作用力F平衡，即Nsin θ＝F，解得F＝mgsin 2θ。(这类双平衡问题比较经典，APO也可以看作三力共点平衡，是由三力汇交原理得到的。取圆柱体和细杆整体研究，因为涉及地面对圆柱体的弹力是未知量，所以没有用整体法列式。在多数情况下整体法优先考虑。)
【答案】mgsin 2θ
题型六 一般物体的平衡
例6.(清华大学自主招生)质量为m、长为L的三根相同的匀质细棒对称地搁在地面上，三棒的顶端O重合，底端A、B、C的间距均为L，如图所示。
(1)求OA棒顶端所受的作用力F的大小。
(2)若有一质量也为m的人(视为质点)坐在OA棒的中点处，三棒仍然保持不动，这时OA棒顶端所受的作用力F的大小又为多大？
(3)在(2)的情况下，地面与棒之间的静摩擦因数μ至少为多大？
【解析】(1)对OA棒，设OA与水平面的夹角为θ，以A点为固定转轴，由力矩平衡条件可得：
mgLcos θ－FL＝0，由数学知识可知，cos θ＝。
解得OA棒顶端所受的作用力F＝mg。
(2)当一质量也为m的人(视为质点)坐在OA棒的中点处，三棒仍然保持不动，以A点为固定转轴，由力矩平衡条件可得：2mg·Lcos θ－FL＝0，
解得OA棒顶端所受的作用力F＝mg。
(3)对OA棒，以O点为固定转轴，由力矩平衡条件可得：2mg·Lcos θ＋fLsin θ－FNLcos θ＝0，
由共点力的平衡条件，FN＝2mg－Fcos θ＝2mg－mgcos θ＝mg
细棒刚好不滑动的条件是：f＝μFN。
联立解得：μ＝＝0.28。
即地面与棒之间的静摩擦因数μ至少为0.28。
【答案】(1)mg　(2)mg　(3)0.28
变式6.（34届预赛）某电视节目中演示了一个用三根火柴棍和细棉线悬挂起一瓶或多瓶矿泉水的实验，如图所示．A、B、C为三根相同的火柴棍，火柴棍长为l，细实线为棉线，棉线的直径为d（d << l）．火柴棍A的一半在水平桌面内，另一半在桌面外，火柴棍A与桌面上表面的边沿垂直；桌面厚度为h；O是火柴棍A的中点与桌面边沿的接触点；棉线紧贴桌沿绕过A，压在水平火柴棍C的两端；火柴棍B的一端顶在火柴棍A的球状头部（可近似忽略球状头部的尺度），另一端顶在火柴棍C的中点．这样的结构可以稳定地悬挂起一瓶或多瓶矿泉水．
（1）如果没有火柴棍B和C，光靠A是否可能悬挂起一瓶矿泉水？为什么？
（2）加上火柴棍B和C，小心挂上重物时，火柴棍A会在过A的竖直平面内绕O点有一个角位移．通过火柴棍B的带动，压在火柴棍C两端的棉线将绕桌面下表面的边沿转动一个很小的角度；只要角度大小合适，可使整个系统达到稳定平衡．球平衡时该角度的大小．已知火柴棍与桌沿、火柴棍与棉线以及火柴棍之间都足够粗糙（即可以没有滑动），而且它们的质量与重物相比均可忽略．
解析：（1）若没有火柴棍B和C，则挂重物时在过A的竖直平面内的情景如图1所示。因棉线直径，棉线的中心轴线到0点的距离为，重物相对于支撑点O有一力矩
L=Mg①
式中M为重物的质量，g为重力加速度的大小，此力矩会使火柴棍转动直至掉下。
如题图所示的结构可以稳定地悬挂起重物，当重物和火柴棍的质量趋于零（未挂重物）时，在过火柴棍A的竖直平面内的情景应如图a所示。由题设，火柴棍与桌沿、火柴棍与棉线以及火柴棍之间都足够粗糙（可以没有滑动），可形成一个稳定的三脚架结构。由于火柴棍A水平，火柴棍B的下端正好在A的中点的正下方，由几何关系知，火柴棍A和B之间的夹角为
②
（由于d《l，此时忽略了棉线的粗细），桌面上表面边沿O点到火柴棍B的下端（即火柴棍C的中点）的距离为
又由于火柴棍C水平，由几何关系知，从0点到火柴棍C两端的距离均为l.
值得指出的是，据题意，前面提及的三脚架结构在重物质量逐渐增大时是稳定的：因为根据题意，火柴根与棉线之间是足够粗糙的，以至于跨过火柴棍A的棉线与它所连接的火柴棍C形成的正三角形能得以保持，且火柴棍C也继续保持水平，因而火柴棍B与A之间的夹角也能得以保持不变，从而在图b中，火柴棍A和B之间的夹角仍然为。
小心地挂上重物，在过火柴A的竖直平面内的情景如图2.b所示。这时，火柴棍A受到四个力的作用：火柴棍B对它的头部的斜向上的推力、跨过火柴棍A的中部的细棉线对它的竖直向下的压力、桌面上边沿O点对它的正压力和静摩擦力。火柴棍A与桌面之间静摩擦力在一定范围内可以保证火柴棍A所受合力为零。同时，由于力矩L的作用，火柴棍A会绕O点转动，通过火柴棍B的带动，绕过A连结火柴棍C两端的棉线将绕桌面下表面的边沿转过一小角度，使重物向左平移；当重物向左平移的距离达到时，重物处于桌沿O的正下方，重力作用线恰好过支点D（见图3），因而对D点的力矩为零，整个系统不会转动，从而达到稳定平衡。设此时过A连结火柴棍C两端的棉线绕桌面下表面的边沿转过的角度∠DW'D'=，如示意图3所示；图中D是桌面下表面边滑，
且
是火柴棍C的中点，显然
在直角中，由几何关系得
或

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