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第5讲 万有引力定律与天体运动
知识精讲
1.万有引力
（一）万有引力定律的两个推论
(1)质量为m1、半径为R的均匀球壳对距球心为r、质量为m2的质点的万有引力为
F＝
(2)质量为m1、半径为R的均匀球体对距球心为r、质量为m2的质点的万有引力为
F＝其中m1r＝。
（二）万有引力定律的应用
①天体表面的重力加速度g：设天体质量为M且均匀分布，天体为圆球体且半径为R，物体质量为m，则
故
②关于天体质量和平均密度的计算：设质量为m的行星绕质量为M的恒星作匀速圆周运动的公转，公转的半径为r，周期为T，由牛顿定律，恒星对行星的万有引力就是行星绕恒星作匀速圆周运动的向心力，故有
由此可得恒星的质量为
设恒星的球半径为R，则它的平均密度为
这个公式也适用于卫星绕行星作圆周运动的情况。如设近地人造卫星的周期为T，因有，上式就可以写成
这就很容易求出地球的平均密度了。
2.天体的运动
（一）开普勒三定律
开普勒根据前人积累的行星运动观察资料。总结出关于行星运动的三定律——开普勒三定律。
第一定律：行星围绕太阳的运动轨道为椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。
第二定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。
下面举一个例子详加说明：
为用数学式子表述第二定律，设径矢r在时间内扫过的面积为，则面积速度为，由图可知，
故面积速度为常量
式中v为行星运动的线速度，为径矢r与速度v方向之间的夹角。当行星位于椭圆轨道的近日点或远日点时，速度v的方向与径矢r的方向垂直，即=90 ，故
第三定律：各行星绕太阳运动的周期平方与轨道半长轴立方的比值相同，即
开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运动。也适用于卫星绕行星的运动。
当半长轴a与半短轴b相等时，椭圆成为圆。由开普勒第二定律可知，圆轨道运动必为匀速圆周运动，万有引力提供向心力。
（二）万有引力势能：
质量为m1、半径为R的均匀球壳对距球心为r(>R)、质量为m2的质点，相互作用的引力势能为Ep＝－(r>R)。
对放置在球内的质点，相互作用的引力势能为一常量，等于质点放置在球面时的势能，即Ep＝－(r≤R)，就像球体质量全部集中在球心一样。　
（三）宇宙速度：
对于绕地球作半径为r的匀速圆周运动的卫星，由牛顿第二定律和万有引力定律可得
根据地球表面物体重力与引力的关系
R为地球半径卫星速率为
对于贴着地球表面运行的卫星。
这就是第一宇宙速度，也就是发射卫星必须具有的最小速度
利用能量关系，可求出从地球表面发射的宇宙飞般，为能挣脱地球引力的束缚，其发射速度必须满足
称为第二宇宙速度。
典型例题
题型一 万有引力定律的计算
例1.（华约自主招生）如图所示，有人设想通过“打穿地球”从中国建立一条过地心的光滑隧道直达阿根廷.如只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度(　　)
A.一直增大
B.一直减小
C.先增大后减小
D.先减小后增大
变式1.(清华大学自主招生)如图所示，半径为R的均质球质量为M，球心在O点，现在被内切的挖去了一个半径为R/2的球形空腔（球心在O′）。在O、O′的连线上距离O点为d的地方放有一个很小的、质量为m的物体，试求这两个物体之间的万有引力。
题型二 万有引力定律的理解与应用
例2.(浙江大学自主招生)假定地球为均匀球体，其半径为R0，在地球表面测得重力加速度为g0，设g为离开地球表面的高度达h时的重力加速度。当h比R0小得多时，g和g0可能的变化关系近似式为(有数学近似公式：当x 1时，(1＋x)n≈1＋nx。)(　　)
A．g＝g0 B．g＝g0
C．g＝g0 D．g＝g0
变式2．(“北约”自主招生)两质量均为m的小球，放在劲度系数为k，原长为l的弹簧两端，自由静止释放。设两个小球中心与整个弹簧都始终在一条直线上，小球半径r l。
(1)问仅在两球间万有引力的作用下，弹簧的最大压缩量为多大？
(2)若体系整体绕中心以角速度ω旋转，要求弹簧保持原长，ω应为多大？
题型三 卫星的运行与变轨
例3.（华约自主招生）.已知地球的半径为R，地球附近的重力加速度为g．一天的时间为T．已知在万有引力作用下的势能公式为 = GMm/ ，其中M为地球的质量，r为卫星到地心的距离．
（1）求同步卫星环绕地球的飞行速度；
（2）求从地球表面发射同步轨道卫星时的速度v0至少为多少．
变式3.（28届预赛）宇航员从空间站（绕地球运行）上释放了一颗质量m=500kg的探测卫星．该卫星通过一条柔软的细轻绳与空间站连接，稳定时卫星始终在空间站的正下方，到空间站的距离l=20km．已知空间站的轨道为圆形，周期T = 92 min（分）．
i．忽略卫星拉力对空间站轨道的影响，求卫星所受轻绳拉力的大小．
ii．假设某一时刻卫星突然脱离轻绳．试计算此后卫星轨道的近地点到地面的高度、远地点到地面的高度和卫星运行周期．
取地球半径R = 6.400×103km，地球同步卫星到地面的高度为H0 =3.6000×104km，地球自转周期T0 = 24 小时．
题型四 卫星的追及、相遇问题
例4.[多选](2014·全国卷Ⅰ)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是(　　)
地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径(AU) 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A.各地外行星每年都会出现冲日现象
B．在2015年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
变式4．(“北约”自主招生)设一天的时间为T，地面上的重力加速度为g，地球半径为R0。
(1)试求地球同步卫星P的轨道半径RP。
(2)赤道城市A的居民整天可看见城市上空挂着同步卫星P。
①设P的运动方向突然偏北转过45°，试分析判断当地居民一天内有多少次机会可看到P掠过城市的上空。
②取消①问中偏转，设P从原来的运动方向突然偏西北转过105°，再分析判断当地居民一天能有多少次机会可看到P掠过城市上空。
(3)另一个赤道城市B的居民，平均每三天有四次机会可看到某卫星Q自东向西掠过该城市上空，试求Q的轨道半径RQ。
题型五 天体运动中的能量综合问题
例5.(清华大学自主招生)卫星携带一探测器在半径为3R (R为地球半径)的圆轨道上绕地球飞行。在a点，卫星上的辅助动力装置短暂工作，将探测器沿运动方向射出（设辅助动力装置喷出的气体质量可忽略）。若探测器恰能完全脱离地球的引力，而卫星沿新的椭圆轨道运动，其近地点b距地心的距离为nR (n略小于3)，求卫星与探测器的质量比。
（质量分别为M、m的两个质点相距为r时的引力势能为-GMm/r，式中G为引力常量）
变式5.（17届预赛）当质量为的质点距离—个质量为、半径为的质量均匀分布的致密天体中心的距离为(≥) 时，其引力势能为，其中为万有引力常量．设致密天体是中子星，其半径，质量（，为太阳的质量)．
（1）．1Kg的物质从无限远处被吸引到中子星的表面时所释放的引力势能为多少
（2）．在氢核聚变反应中，若参加核反应的原料的质量为，则反应中的质量亏损为0.0072 ，问1kg的原料通过核聚变提供的能量与第1问中所释放的引力势能之比是多少
（3）．天文学家认为：脉冲星是旋转的中子星，中子星的电磁辐射是连续的，沿其磁轴方向最强，磁轴与中子星的自转轴方向有一夹角（如图预17-7所示），在地球上的接收器所接收到的一连串周期出现的脉冲是脉冲星的电磁辐射。试由上述看法估算地球上接收到的两个脉冲之间的时间间隔的下限．
变式6.（29届预赛）一质量为m＝3000kg的人造卫星在离地面的高度为H＝180 km的高空绕地球作圆周运动，那里的重力加速度g＝9．3m·s－2．由于受到空气阻力的作用，在一年时间内，人造卫星的高度要下降△H＝0．50km．已知物体在密度为ρ的流体中以速度v运动时受到的阻力F可表示为F＝ρACv2，式中A是物体的最大横截面积，C是拖曳系数，与物体的形状有关．当卫星在高空中运行时，可以认为卫星的拖曳系数C＝l，取卫星的最大横截面积A＝6．0m2．已知地球的半径为R0＝6400km．试由以上数据估算卫星所在处的大气密度．第5讲 万有引力定律与天体运动
知识精讲
1.万有引力
（一）万有引力定律的两个推论
(1)质量为m1、半径为R的均匀球壳对距球心为r、质量为m2的质点的万有引力为
F＝
(2)质量为m1、半径为R的均匀球体对距球心为r、质量为m2的质点的万有引力为
F＝其中m1r＝。
（二）万有引力定律的应用
①天体表面的重力加速度g：设天体质量为M且均匀分布，天体为圆球体且半径为R，物体质量为m，则
故
②关于天体质量和平均密度的计算：设质量为m的行星绕质量为M的恒星作匀速圆周运动的公转，公转的半径为r，周期为T，由牛顿定律，恒星对行星的万有引力就是行星绕恒星作匀速圆周运动的向心力，故有
由此可得恒星的质量为
设恒星的球半径为R，则它的平均密度为
这个公式也适用于卫星绕行星作圆周运动的情况。如设近地人造卫星的周期为T，因有，上式就可以写成
这就很容易求出地球的平均密度了。
2.天体的运动
（一）开普勒三定律
开普勒根据前人积累的行星运动观察资料。总结出关于行星运动的三定律——开普勒三定律。
第一定律：行星围绕太阳的运动轨道为椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。
第二定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。
下面举一个例子详加说明：
为用数学式子表述第二定律，设径矢r在时间内扫过的面积为，则面积速度为，由图可知，
故面积速度为常量
式中v为行星运动的线速度，为径矢r与速度v方向之间的夹角。当行星位于椭圆轨道的近日点或远日点时，速度v的方向与径矢r的方向垂直，即=90 ，故
第三定律：各行星绕太阳运动的周期平方与轨道半长轴立方的比值相同，即
开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运动。也适用于卫星绕行星的运动。
当半长轴a与半短轴b相等时，椭圆成为圆。由开普勒第二定律可知，圆轨道运动必为匀速圆周运动，万有引力提供向心力。
（二）万有引力势能：
质量为m1、半径为R的均匀球壳对距球心为r(>R)、质量为m2的质点，相互作用的引力势能为Ep＝－(r>R)。
对放置在球内的质点，相互作用的引力势能为一常量，等于质点放置在球面时的势能，即Ep＝－(r≤R)，就像球体质量全部集中在球心一样。　
（三）宇宙速度：
对于绕地球作半径为r的匀速圆周运动的卫星，由牛顿第二定律和万有引力定律可得
根据地球表面物体重力与引力的关系
R为地球半径卫星速率为
对于贴着地球表面运行的卫星。
这就是第一宇宙速度，也就是发射卫星必须具有的最小速度
利用能量关系，可求出从地球表面发射的宇宙飞般，为能挣脱地球引力的束缚，其发射速度必须满足
称为第二宇宙速度。
典型例题
题型一 万有引力定律的计算
例1.（华约自主招生）如图所示，有人设想通过“打穿地球”从中国建立一条过地心的光滑隧道直达阿根廷.如只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度(　　)
A.一直增大
B.一直减小
C.先增大后减小
D.先减小后增大
答案　D
解析　设地球的平均密度为ρ，物体在隧道内部离地心的距离为r，则物体m所受的万有引力F＝G·＝πGρmr，此处的重力加速度a＝＝πGρr，故选项D正确.
变式1.(清华大学自主招生)如图所示，半径为R的均质球质量为M，球心在O点，现在被内切的挖去了一个半径为R/2的球形空腔（球心在O′）。在O、O′的连线上距离O点为d的地方放有一个很小的、质量为m的物体，试求这两个物体之间的万有引力。
解析：本题可以看成是两个半径为R/2的球的叠加：一个的质量为+M/8 ，一个的质量为－M/8 。然后，前者正好填补空腔——和被挖除后剩下的部分构成一个完整的均质球A ；注意后者，虽然是一个比较特殊的物体（质量为负值），但仍然是一个均质的球体，命名为B 。
既然A、B两物均为均质球体，他们各自和右边小物体之间的万有引力，就可以使用“拓展条件”中的定势来计算了。只是有一点需要说明，B物的质量既然负值，它和m之间的万有“引力”在方向上不再表现为吸引，而应为排斥——成了“万有斥力”了。具体过程如下
FAm = G
FBm = G = －G
最后，两物之间的万有引力 F = FAm + FBm = G－G
题型二 万有引力定律的理解与应用
例2.(浙江大学自主招生)假定地球为均匀球体，其半径为R0，在地球表面测得重力加速度为g0，设g为离开地球表面的高度达h时的重力加速度。当h比R0小得多时，g和g0可能的变化关系近似式为(有数学近似公式：当x 1时，(1＋x)n≈1＋nx。)(　　)
A．g＝g0 B．g＝g0
C．g＝g0 D．g＝g0
【答案】C
【解析】根据万有引力定律和牛顿第二定律，有G＝mg0，G＝mg。解得g＝g02＝g0－2≈g0。
变式2．(“北约”自主招生)两质量均为m的小球，放在劲度系数为k，原长为l的弹簧两端，自由静止释放。设两个小球中心与整个弹簧都始终在一条直线上，小球半径r l。
(1)问仅在两球间万有引力的作用下，弹簧的最大压缩量为多大？
(2)若体系整体绕中心以角速度ω旋转，要求弹簧保持原长，ω应为多大？
【解析】(1)因题中只考虑两球间的万有引力，故两球组成系统的引力势能可以表示为Ep＝－G，x为两球球心间距。弹簧有最大压缩量Δlm时两球速度又都变为0，由能量守恒
关系得kΔlm2＝－G＋G，考虑到两球间万有引力很小，故Δlm l，即
－1＝1＋，则能量守恒关系式可简化为
kΔlm2＝G
得Δlm＝。
(2)弹簧保持原长时，两球间的万有引力提供每个球绕两球连线中点做圆周运动的向心力，故mω2＝
解得ω＝ 。
【答案】(1)　(2)
题型三 卫星的运行与变轨
例3.（华约自主招生）.已知地球的半径为R，地球附近的重力加速度为g．一天的时间为T．已知在万有引力作用下的势能公式为 = GMm/ ，其中M为地球的质量，r为卫星到地心的距离．
（1）求同步卫星环绕地球的飞行速度；
（2）求从地球表面发射同步轨道卫星时的速度v0至少为多少．
【答案】（1） （2）
【解析】(1)在地面上，有：
对于同步卫星：
速度为：
联立解得：；
(2)由机械能守恒：
综合以上各式解得：
地球自转的速度为
最小的发射速度为．
变式3.（28届预赛）宇航员从空间站（绕地球运行）上释放了一颗质量m=500kg的探测卫星．该卫星通过一条柔软的细轻绳与空间站连接，稳定时卫星始终在空间站的正下方，到空间站的距离l=20km．已知空间站的轨道为圆形，周期T = 92 min（分）．
i．忽略卫星拉力对空间站轨道的影响，求卫星所受轻绳拉力的大小．
ii．假设某一时刻卫星突然脱离轻绳．试计算此后卫星轨道的近地点到地面的高度、远地点到地面的高度和卫星运行周期．
取地球半径R = 6.400×103km，地球同步卫星到地面的高度为H0 =3.6000×104km，地球自转周期T0 = 24 小时．
参考解答：
i．设空间站离地面的高度为H, 因为同步卫星的周期和地球自转周期相同，根据开普勒第三定律以及题意有
(1)
即 (2)
代人数据得 H= 376km (3)
卫星的高度 h =H一l =356km (4)
卫星在细绳的拉力 F 和地球引力作用下跟随空间站一起绕地球作周期为 T 的圆周运动，有
(5)
式中G为万有引力常量， M为地球质量．空间站在地球引力作用下绕地球作周期为 T 的圆周运动
故有 (6)
式中m’为空间站的质量．由（5）、（6）两式得
(7)
将（3）、（4）式及其他有关数据代人（7）式得 F=38.2N (8)
ii．细绳脱落后，卫星在地球引力作用下绕地球运动的轨道为一椭圆．在脱落的瞬间，卫星的速度垂直于卫星与地心的连线，所以脱落点必是远地点（或近地点），由( 4）式可知，此点到地面的高度
h =356km (9)
设卫星在近地点（或远地点）的高度为h'，速度为v'，根据开普勒第二定律，有
(10)
根据机械能守恒，有
(11)
联立（10）、（11）两式并利用（6）式得
(12)
代人有关数据有 h ' = 238km (13 )
由（9）、（13）两式可知，远地点到地面的高度为356km，近地点到地面的高度为238km .
设卫星的周期为T '，根据开普勒第三定律，卫星的周期
(14)
代人数据得T '= 90 . 4min (15)
题型四 卫星的追及、相遇问题
例4.[多选](2014·全国卷Ⅰ)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是(　　)
地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径(AU) 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A.各地外行星每年都会出现冲日现象
B．在2015年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
【解析】选BD　设某行星相邻两次冲日的时间间隔为t，地球绕太阳运动的周期为T，某行星绕太阳运动的周期为T行，则t－t＝2π，可得t＝；而根据开普勒定律可得＝，联立可得t＝，代入相关数据可得t火＝≈2.195T，t木＝≈1.092T，t土＝≈1.035T，t天＝≈1.012T，t海＝≈1.006T；根据上述数据可知，各地外行星并不是每年都会出现冲日现象，A错误；木星在2014年1月6日出现了木星冲日现象，再经1.092T将再次出现木星冲日现象，所以在2015年内一定会出现木星冲日，B正确；根据上述数据可知，天王星相邻两次冲日的时间间隔不是土星的一半，C错误；根据上述数据可知，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短，D正确。
变式4．(“北约”自主招生)设一天的时间为T，地面上的重力加速度为g，地球半径为R0。
(1)试求地球同步卫星P的轨道半径RP。
(2)赤道城市A的居民整天可看见城市上空挂着同步卫星P。
①设P的运动方向突然偏北转过45°，试分析判断当地居民一天内有多少次机会可看到P掠过城市的上空。
②取消①问中偏转，设P从原来的运动方向突然偏西北转过105°，再分析判断当地居民一天能有多少次机会可看到P掠过城市上空。
(3)另一个赤道城市B的居民，平均每三天有四次机会可看到某卫星Q自东向西掠过该城市上空，试求Q的轨道半径RQ。
【解析】(1)由m2RP＝和G·＝mg，解得
RP＝ 。
(2)①取地心不动的惯性参照系。卫星运动方向偏北转过45°，卫星以半径RP绕圆心做圆运动，但圆运动周期不变。同时A城居民随地球在赤道平面内也绕地心运动，经过半天，各转过半个大圆相遇。再经过半天，各自又转过半个大圆，再次相遇。故当地居民一天能有两次机会可以看到卫星P掠过城市上空。
②分析同①，只是每经过半天，各转过半个大圆，即经过半天就会相遇，结论仍为当地居民一天能有两次机会可以看到卫星P掠过城市上空。
(3)卫星自东向西转动，而地球却自西向东转动，且地球自转周期T地＝1天，设卫星的周期为T卫天，则在t＝3天时间内满足：＋＝4，得T卫＝3天＝3T。
另由＝mg，m2RQ＝，
解得RQ＝ 。
【答案】(1) 　(2)①两次　②两次　(3)
题型五 天体运动中的能量综合问题
例5.(清华大学自主招生)卫星携带一探测器在半径为3R (R为地球半径)的圆轨道上绕地球飞行。在a点，卫星上的辅助动力装置短暂工作，将探测器沿运动方向射出（设辅助动力装置喷出的气体质量可忽略）。若探测器恰能完全脱离地球的引力，而卫星沿新的椭圆轨道运动，其近地点b距地心的距离为nR (n略小于3)，求卫星与探测器的质量比。
（质量分别为M、m的两个质点相距为r时的引力势能为-GMm/r，式中G为引力常量）
变式5.（17届预赛）当质量为的质点距离—个质量为、半径为的质量均匀分布的致密天体中心的距离为(≥) 时，其引力势能为，其中为万有引力常量．设致密天体是中子星，其半径，质量（，为太阳的质量)．
（1）．1Kg的物质从无限远处被吸引到中子星的表面时所释放的引力势能为多少
（2）．在氢核聚变反应中，若参加核反应的原料的质量为，则反应中的质量亏损为0.0072 ，问1kg的原料通过核聚变提供的能量与第1问中所释放的引力势能之比是多少
（3）．天文学家认为：脉冲星是旋转的中子星，中子星的电磁辐射是连续的，沿其磁轴方向最强，磁轴与中子星的自转轴方向有一夹角（如图预17-7所示），在地球上的接收器所接收到的一连串周期出现的脉冲是脉冲星的电磁辐射。试由上述看法估算地球上接收到的两个脉冲之间的时间间隔的下限．
解析：（1）. 根据能量守恒定律，质量为的物质从无限远处被吸引到中子星的表面时所释放的引力势能应等于对应始末位置的引力势能的改变，故有
（1）
代入有关数据得
（2）
（2）. 在氢核聚变反应中，每千克质量的核反应原料提供的能量为
（3）
所求能量比为
（4）
（3）．根据题意，可知接收到的两个脉冲之间的时间间隔即为中子星的自转周期，中子星做高速自转时，位于赤道处质量为的中子星质元所需的向心力不能超过对应的万有引力，否则将会因不能保持匀速圆周运动而使中子星破裂，因此有
（5）
式中 （6）
为中子星的自转角速度，为中子星的自转周期．由（5）、（6）式得到
（7）
代入数据得
（8）
故时间间隔的下限为
变式6.（29届预赛）一质量为m＝3000kg的人造卫星在离地面的高度为H＝180 km的高空绕地球作圆周运动，那里的重力加速度g＝9．3m·s－2．由于受到空气阻力的作用，在一年时间内，人造卫星的高度要下降△H＝0．50km．已知物体在密度为ρ的流体中以速度v运动时受到的阻力F可表示为F＝ρACv2，式中A是物体的最大横截面积，C是拖曳系数，与物体的形状有关．当卫星在高空中运行时，可以认为卫星的拖曳系数C＝l，取卫星的最大横截面积A＝6．0m2．已知地球的半径为R0＝6400km．试由以上数据估算卫星所在处的大气密度．
解析：设一年前、后卫星的速度分别为、，根据万有引力定律和牛顿第二定律有
⑴
⑵
式中G为万有引力恒量，M为地球的质量，和分别为一年前、后卫星的轨道半径，即
⑶
⑷
卫星在一年时间内动能的增量
⑸
由⑴、⑵、⑸三式得
⑹
由⑶、⑷、⑹式可知，，表示在这过程中卫星的动能是增加的。
在这过程中卫星引力势能的增量
⑺
，表示在这过程中卫星引力势能是减小的。卫星机械能的增量
⑻
由⑹、⑺、⑻式得
⑼
，表示在这过程中卫星的机械能是减少的。由⑶、⑷式可知，因、非常接近，利用
⑽
⑾
⑼式可表示为
⑿
卫星机械能减少是因为克服空气阻力做了功。卫星在沿半径为R的轨道运行一周过程中空气作用于卫星的阻力做的功
⒀
根据万有引力定律和牛顿运动定律有
⒁
由⒀、⒁式得
⒂
⒂式表明卫星在绕轨道运行一周过程中空气阻力做的功是一恒量，与轨道半径无关。卫星绕半径为R的轨道运行一周经历的时间
⒃
由⒁、⒃式得
⒄
由于在一年时间内轨道半径变化不大，可以认为T是恒量，且
⒅
以表示一年时间，有
⒆
卫星在一年时间内做圆周运动的次数
⒇
在一年时间内卫星克服空气阻力做的功
(21)
由功能关系有
(22)
由⒂⒅⒇(21)(22)各式并利用得
(23)
代入有关数据得
(24)

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