2023高考物理一轮讲义(全国)第04讲 曲线运动(word版含答案)

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2023高考物理一轮讲义(全国)第04讲 曲线运动(word版含答案)

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第4讲 曲线运动
知识精讲
1.曲线运动的基本知识
轨迹为曲线的运动叫曲线运动。它一定是一个变速运动。如图表示一质点作曲线运动,它经过P点时,在P点两旁的轨迹上取两点,过三点可作一圆,当这两点无限趋近于P点时,则圆亦趋近于一个定圆,我们把这个圆叫P点的曲率圆,曲率圆的半径叫P点的曲率半径,曲率圆的圆心叫P点的曲率中心,曲率半径的倒数叫P点的曲率。如图,亦可做出Q点的曲率圆。曲率半径大,曲率小,表示曲线弯曲较缓,曲率半径小,曲率大,表示曲线弯曲厉害。直线可认为是曲率半径为无穷大的曲线。
质点做曲线运动的瞬时速度的方向总是沿该点的切线方向。如图所示,质点在△t时间内沿曲线由A点运动到B点,速度由VA变化到VB,则其速度增量为两者之矢量差,=VB―VA,这个速度增量又可分解成两个分量:在VB上取一段AC等于VA,则△V分解成△V1和△V2,其中△V1表示质点由A运动到B的速度方向上的增量,△V2表示速度大小上的增量。
法向加速度an表示质点作曲线运动时速度方向改变的快慢,其大小为在A点的曲率圆的向心加速度:
其方向指向A点的曲率中心。切向加速度az表示质点作曲线运动时速度大小改变的快慢,方向亦沿切线方向,其大小为
总加速度a方法向加速度和切向加速度的矢量和。
2.抛物运动是曲线运动的一个重要特例
物体以一定的初速度抛出后,若忽略空气阻力,且物体的运动在地球表面附近,它的运动高度远远小于地球半径,则在运动过程中,其加速度恒为竖直向下的重力加速度。因此,抛体运动是一种加速度恒定的曲线运动。
根据运动的叠加原理,抛体运动可看成是由两个直线运动叠加而成。常用的处理方法是:将抛体运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。
如图,取抛物轨迹所在平面为平面,抛出点为坐标原点,水平方向为x轴,竖直方向为y轴。则抛体运动的规律为:
其轨迹方程为
这是开口向下的抛物线方程。
在抛出点和落地点在同一水平面上的情况下,飞行时间T,射程R和射高H分别为
抛体运动具有对称性,上升时间和下降时间(抛出点与落地点在同一水平面上)相等(一般地,从某一高度上升到最高点和从最高点下降到同一高度的时间相等);上升和下降时经过同一高度时速度大小相等,速度方向与水平方向的夹角大小相等。
下面介绍一种特殊的抛体运动——平抛运动:
质点只在重力作用下,且具有水平方向的初速度的运动叫平抛运动。它可以看成水平方向上的匀速运动(速度为v0)与竖直方向上的自由落体运动的合成。
①速度:采用水平竖直方向的直角坐标可得: ,其合速度的大小为,其合速度的方向为(设水平方向夹角为θ),可见,当时,,即表示速度趋近于自由落体的速度。
②位移:仍按上述坐标就有,。仿上面讨论也可得到同样结论,当时间很长时,平抛运动趋近于自由落体运动。
③加速度:采用水平和竖直方向直角坐标系有,,用自然坐标进行分解,如图2-3-4其法向加速度为,切向加速度为,θ为速度与水平向方的夹角,将速度在水平与竖直方向的坐标系中分解可知:
由此可知,其法向加速度和切向加速度分别为:
由上两式可以看出,随着时间的推移,法向加速度逐渐变小趋近于零,切向加速度趋近于定值g,这表示越来越接近竖直下抛运动。在生活中也很容易看到,平抛物体的远处时就接近竖直下落了。
运动的轨迹方程:
从方程可以看出,此图线是抛物线,过原点,且越大,图线张开程度大,即射程大。根据运动的独立性,经常把斜抛运动分解成水平方向匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛运动来处理,但有时也可以用其它的分解分法。
抛体运动另一种常用的分解方法是:分解沿方向的速度为的匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动二个分运动。
如图所示,从A点以的初速度抛出一个小球,在离A点水平距离为s处有一堵高度为h的墙BC,要求小球能越过B点。问小球以怎样的角度抛出,才能使最小?
将斜抛运动看成是方向的匀速直线运动和另一个自由落体运动的合运动,如图所示。
在位移三角形ADB在用正弦定理

④轨迹:由直角坐标的位移公式消去时间参数t便可得到直角坐标系中的平抛运动
由①式中第一个等式可得

将②式代入①式中第二个等式
当有极大值1时,即时,有极小值。
因为 ,
所以
当小球越过墙顶时,y方向的位移为零,由②式可得
③式代入式①:我们还可用另一种处理方法
以AB方向作为x轴这样一取,小球在x、y方向上做的都是匀变速运动了,和g都要正交分解到x、y方向上去。
小球运动的方程为

当最大,即时,,有极小值
3.质点的圆周运动
匀速圆周运动:如图所示,质点P在半径为R的圆周上运动时,它的位置可用角度θ表示(习惯上以逆时针转角正,顺时针转角为负),转动的快慢用角速度表示:
质点P的速度方向在圆的切线方向,大小为
ω(或v)为常量的圆周运动称为匀速圆周运动。这里的“匀速”是指匀角速度或匀速率,速度的方向时刻在变。因此,匀速圆周运动的质点具有加速度,其加速度沿半径指向圆心,称为向心加速度(法向加速度)。
an
向心加速度只改变速度的方向,不改变速度的大小。
做圆周运动的质点,速度不仅大小可以变化,方向也在不断变化,如图所示,质点在沿圆周由A到B的过程中,其速度的增量。其瞬时加速度:
上式中,为法向加速度,它描述速度方向的变化快慢,大小为;为切向加速度,它描述速度大小的变化快慢。对匀速圆周运动而言,=0,而对一般曲线运动,,式中为质点所在位置的曲线的曲率半径。
物体做匀速圆周运动的条件是,物体受到始终与速度方向垂直,沿半径指向圆心,大小恒定的力的作用。由牛顿第二定律可知,其大小为

在变速圆周运动中,合外力在法线方向和切线方向都有分量,法向分量产生向心加速度。
切向分量产生切向加速度。
4.刚体的定轴转动
刚体定轴转动时,其上各点都绕转轴做圆周运动,且各点的角位移θ、角速度ω、角加速度β都相同。

当β为常量时,刚体做匀变速转动,其运动规律可类比于匀变速直线运动,因而有:
做定轴转动的刚体,其上一点(到转轴的距离为R)的线速度v、切向加速度、向心加速度与刚体的角速度ω和角加速度β的关系是:
, ,
匀速圆周运动是一种周期性运动,其规律的描述不同于匀变速运动。在圆周运动中,位移、速度与时间的关系再不是研究的重点,其重点是研究周期、角速度、速率、半径等物理量与加速度的联系。从而进一步研究运动和力的关系。在一般圆周运动中,要注意加速度一方面描述了速度大小的变化快慢,另一方面又描述了速度方向的变化快慢。
典型例题
题型一 平抛运动的理解与应用
例1 (浙江大学自招)在仰角α=30°的雪坡上举行挑台滑雪比赛,如图所示。运动员从坡上方A点开始下滑,到起跳点O时借助设备和技巧,保持在该点的速率而以与水平成θ角的方向起跳。最后落在坡上B点,坡上OB两点距离L为此项运动的记录。已知A点高于O点h=50 m,不计摩擦和阻力,则最远可跳多少米?此时起跳角为多大?
变式1.(上海交通大学自招)如图所示,某同学设计了一个测量平抛运动初速度的实验装置。O点是小球平抛运动抛出点,在O点有一个频闪的点光源,闪光频率为30Hz,在抛出点的正前方,竖直放置一块毛玻璃,在小球抛出后的运动过程中,当点光源闪光时,在毛玻璃上有一个投影点,在毛玻璃右边用照相机多次曝光的方法拍摄小球在毛玻璃上的投影照片。已知图中O点与毛玻璃水平距离L=1.2m, 相邻的小球投影点之间的距离△h=5cm,则小球在毛玻璃上的投影点做 运动,小球平抛运动的初速度是 m/s。(g取10m/s2)
变式2.(华约自主招生)小球从台阶上以一定初速度水平抛出,恰落到第一级台阶边缘,反弹后再次落下经 0.3s恰落至第 3 级台阶边界,已知每级台阶宽度及高度均为 18cm,取 g=10m/s2。且小球反弹时水平速度不变,竖直速度反向,但变为原速度的1/4 。
(1)求小球抛出时的高度及距第一级台阶边缘的水平距离。
(2)问小球是否会落到第 5级台阶上?说明理由。
题型二 斜抛运动的理解与应用
例2.(“卓越”自主招生)一质量为m的质点以速度v0运动,在t=0时开始受到恒力F0作用,速度大小先减小后增大,其最小值为v1=v0。质点从开始受到恒力作用到速度最小的过程中的位移为(  )
A.         B.
C. D.
变式3.(25届预赛)为训练宇航员能在失重状态下工作和生活,需要创造一种失重的环境.在地球表面附近,当飞机模拟某些在重力作用下的运动时,就可以在飞机座舱内实现短时间的完全失重状态.现要求一架飞机在v1=500m/s时进入失重状态的试验,在速率为v2=1000m/s时退出失重状态试验.重力加速度g=10m/s2试问:
(1)在上述给定的速率要求下,该飞机需要模拟何重运动,方可在一定范围内任意选择失重的时间的长短?试定量讨论影响失重时间长短的因素.
(2)飞机模拟这种运动时,可选择的失重状态的时间范围是多少?
题型三 圆周运动的描述
例3.(“华约”自主招生)如图所示,AB杆以恒定角速度绕A点转动,并带动套在水平杆OC上的小环M运动。运动开始时,AB杆在竖直位置,则小环M的加速度将(  )
A.逐渐增大     B.先减小后增大
C.先增大后减小 D.逐渐减小
变式5.(26届预赛)某同学选了一个倾角为θ的斜坡,他骑在自行车上刚好能在不踩踏板的情况下让自行车沿斜坡匀速向下行驶,现在他想估测沿此斜坡向上匀速行驶时的功率,为此他数出在上坡过程中某一只脚蹬踩踏板的圈数 N(设不间断的匀速蹬),并测得所用的时间t,再测得下列相关数据:自行车和人的总质量m,轮盘半径Rl,飞轮半径R2,车后轮半径R3.试导出估测功率的表达式.己知上、下坡过程中斜坡及空气作用于自行车的阻力大小相等,不论是在上坡还是下坡过程中,车轮与坡面接触处都无滑动.不计自行车内部各部件之间因相对运动而消耗的能量.
题型四 圆周运动的动力学问题
例4.(浙江大学自主招生)如图所示,连通器有三根竖直开口的细管A、B、C,两管之间的距离为L。现向连通器中注入适量的水,并让它绕中间的细管B转动起来,当转动角速度为ω时,中间细管B内的水面恰与横管内水面相齐。则A管中水面的高度h为多大?
变式6.如图所示,半径为、质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接,两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A、B两点上,A、B两点相距为l,当两轻绳伸直后,A、B两点到球心的距离均为l。当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时(轻绳a、b与杆在同一竖直平面内)。求:
(1)竖直杆角速度ω为多大时,小球恰好离开竖直杆;
(2)轻绳a的张力Fa与竖直杆转动的角速度ω之间的关系。
题型四 曲线运动的综合问题
例5.(23届预赛)一半径为的水平光滑圆桌面,圆心为,有一竖直的立柱固定在桌面上的圆心附近,立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的封闭曲线,如图预17-2所示。一根不可伸长的柔软的细轻绳,一端固定在封闭曲线上的某一点,另一端系一质量为的小物块。将小物块放在桌面上并把绳拉直,再给小物块一个方向与绳垂直、大小为的初速度。物块在桌面上运动时,绳将缠绕在立柱上。已知当绳的张力为时,绳即断开,在绳断开前物块始终在桌面上运动.
(1).问绳刚要断开时,绳的伸直部分的长度为多少
(2).若绳刚要断开时,桌面圆心到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直部分垂直,问物块的落地点到桌面圆心的水平距离为多少?已知桌面高度.物块在桌面上运动时未与立柱相碰.取重力加速度大小为.
变式7.(17届预赛)质量为M的运动员手持一质量为m的物块,以速率v0沿与水平面成a角的方向向前跳跃(如图).为了能跳得更远一点,运动员可在跳远全过程中的某一位置处,沿某一方向把物块抛出.物块抛出时相对运动员的速度的大小u是给定的,物块抛出后,物块和运动员都在同一竖直平面内运动.
(1)若运动员在跳远的全过程中的某时刻to把物块沿与x轴负方向成某θ角的方向抛出,求运动员从起跳到落地所经历的时间.
(2)在跳远的全过程中,运动员在何处把物块沿与x轴负方向成θ角的方向抛出,能使自己跳得更远?若v0和u一定,在什么条件下可跳得最远?并求出运动员跳的最大距离.第4讲 曲线运动
知识精讲
1.曲线运动的基本知识
轨迹为曲线的运动叫曲线运动。它一定是一个变速运动。如图表示一质点作曲线运动,它经过P点时,在P点两旁的轨迹上取两点,过三点可作一圆,当这两点无限趋近于P点时,则圆亦趋近于一个定圆,我们把这个圆叫P点的曲率圆,曲率圆的半径叫P点的曲率半径,曲率圆的圆心叫P点的曲率中心,曲率半径的倒数叫P点的曲率。如图,亦可做出Q点的曲率圆。曲率半径大,曲率小,表示曲线弯曲较缓,曲率半径小,曲率大,表示曲线弯曲厉害。直线可认为是曲率半径为无穷大的曲线。
质点做曲线运动的瞬时速度的方向总是沿该点的切线方向。如图所示,质点在△t时间内沿曲线由A点运动到B点,速度由VA变化到VB,则其速度增量为两者之矢量差,=VB―VA,这个速度增量又可分解成两个分量:在VB上取一段AC等于VA,则△V分解成△V1和△V2,其中△V1表示质点由A运动到B的速度方向上的增量,△V2表示速度大小上的增量。
法向加速度an表示质点作曲线运动时速度方向改变的快慢,其大小为在A点的曲率圆的向心加速度:
其方向指向A点的曲率中心。切向加速度az表示质点作曲线运动时速度大小改变的快慢,方向亦沿切线方向,其大小为
总加速度a方法向加速度和切向加速度的矢量和。
2.抛物运动是曲线运动的一个重要特例
物体以一定的初速度抛出后,若忽略空气阻力,且物体的运动在地球表面附近,它的运动高度远远小于地球半径,则在运动过程中,其加速度恒为竖直向下的重力加速度。因此,抛体运动是一种加速度恒定的曲线运动。
根据运动的叠加原理,抛体运动可看成是由两个直线运动叠加而成。常用的处理方法是:将抛体运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。
如图,取抛物轨迹所在平面为平面,抛出点为坐标原点,水平方向为x轴,竖直方向为y轴。则抛体运动的规律为:
其轨迹方程为
这是开口向下的抛物线方程。
在抛出点和落地点在同一水平面上的情况下,飞行时间T,射程R和射高H分别为
抛体运动具有对称性,上升时间和下降时间(抛出点与落地点在同一水平面上)相等(一般地,从某一高度上升到最高点和从最高点下降到同一高度的时间相等);上升和下降时经过同一高度时速度大小相等,速度方向与水平方向的夹角大小相等。
下面介绍一种特殊的抛体运动——平抛运动:
质点只在重力作用下,且具有水平方向的初速度的运动叫平抛运动。它可以看成水平方向上的匀速运动(速度为v0)与竖直方向上的自由落体运动的合成。
①速度:采用水平竖直方向的直角坐标可得: ,其合速度的大小为,其合速度的方向为(设水平方向夹角为θ),可见,当时,,即表示速度趋近于自由落体的速度。
②位移:仍按上述坐标就有,。仿上面讨论也可得到同样结论,当时间很长时,平抛运动趋近于自由落体运动。
③加速度:采用水平和竖直方向直角坐标系有,,用自然坐标进行分解,如图2-3-4其法向加速度为,切向加速度为,θ为速度与水平向方的夹角,将速度在水平与竖直方向的坐标系中分解可知:
由此可知,其法向加速度和切向加速度分别为:
由上两式可以看出,随着时间的推移,法向加速度逐渐变小趋近于零,切向加速度趋近于定值g,这表示越来越接近竖直下抛运动。在生活中也很容易看到,平抛物体的远处时就接近竖直下落了。
运动的轨迹方程:
从方程可以看出,此图线是抛物线,过原点,且越大,图线张开程度大,即射程大。根据运动的独立性,经常把斜抛运动分解成水平方向匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛运动来处理,但有时也可以用其它的分解分法。
抛体运动另一种常用的分解方法是:分解沿方向的速度为的匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动二个分运动。
如图所示,从A点以的初速度抛出一个小球,在离A点水平距离为s处有一堵高度为h的墙BC,要求小球能越过B点。问小球以怎样的角度抛出,才能使最小?
将斜抛运动看成是方向的匀速直线运动和另一个自由落体运动的合运动,如图所示。
在位移三角形ADB在用正弦定理

④轨迹:由直角坐标的位移公式消去时间参数t便可得到直角坐标系中的平抛运动
由①式中第一个等式可得

将②式代入①式中第二个等式
当有极大值1时,即时,有极小值。
因为 ,
所以
当小球越过墙顶时,y方向的位移为零,由②式可得
③式代入式①:我们还可用另一种处理方法
以AB方向作为x轴这样一取,小球在x、y方向上做的都是匀变速运动了,和g都要正交分解到x、y方向上去。
小球运动的方程为

当最大,即时,,有极小值
3.质点的圆周运动
匀速圆周运动:如图所示,质点P在半径为R的圆周上运动时,它的位置可用角度θ表示(习惯上以逆时针转角正,顺时针转角为负),转动的快慢用角速度表示:
质点P的速度方向在圆的切线方向,大小为
ω(或v)为常量的圆周运动称为匀速圆周运动。这里的“匀速”是指匀角速度或匀速率,速度的方向时刻在变。因此,匀速圆周运动的质点具有加速度,其加速度沿半径指向圆心,称为向心加速度(法向加速度)。
an
向心加速度只改变速度的方向,不改变速度的大小。
做圆周运动的质点,速度不仅大小可以变化,方向也在不断变化,如图所示,质点在沿圆周由A到B的过程中,其速度的增量。其瞬时加速度:
上式中,为法向加速度,它描述速度方向的变化快慢,大小为;为切向加速度,它描述速度大小的变化快慢。对匀速圆周运动而言,=0,而对一般曲线运动,,式中为质点所在位置的曲线的曲率半径。
物体做匀速圆周运动的条件是,物体受到始终与速度方向垂直,沿半径指向圆心,大小恒定的力的作用。由牛顿第二定律可知,其大小为

在变速圆周运动中,合外力在法线方向和切线方向都有分量,法向分量产生向心加速度。
切向分量产生切向加速度。
4.刚体的定轴转动
刚体定轴转动时,其上各点都绕转轴做圆周运动,且各点的角位移θ、角速度ω、角加速度β都相同。

当β为常量时,刚体做匀变速转动,其运动规律可类比于匀变速直线运动,因而有:
做定轴转动的刚体,其上一点(到转轴的距离为R)的线速度v、切向加速度、向心加速度与刚体的角速度ω和角加速度β的关系是:
, ,
匀速圆周运动是一种周期性运动,其规律的描述不同于匀变速运动。在圆周运动中,位移、速度与时间的关系再不是研究的重点,其重点是研究周期、角速度、速率、半径等物理量与加速度的联系。从而进一步研究运动和力的关系。在一般圆周运动中,要注意加速度一方面描述了速度大小的变化快慢,另一方面又描述了速度方向的变化快慢。
典型例题
题型一 平抛运动的理解与应用
例1 (浙江大学自招)在仰角α=30°的雪坡上举行挑台滑雪比赛,如图所示。运动员从坡上方A点开始下滑,到起跳点O时借助设备和技巧,保持在该点的速率而以与水平成θ角的方向起跳。最后落在坡上B点,坡上OB两点距离L为此项运动的记录。已知A点高于O点h=50 m,不计摩擦和阻力,则最远可跳多少米?此时起跳角为多大?
【解析】运动员在O点速度v0==10 m/s。起跳后运动员做斜上抛运动。
法一:以O为原点,建立水平向右和竖直向上的xOy坐标系,把运动分解为水平向右的匀速运动和竖直方向的竖直上抛运动。
x=v0cos θ·t,y=v0sin θ·t-gt2,令y=-xtan α
解得x==。当2θ+α=90°,θ=30°时,xmax=,此时OB有极大值L==200 m。
法二:建立如图甲所示坐标系,把运动分解为沿斜面方向的匀加速直线运动和垂直于斜面方向的匀减速直线运动。

L=v0tcos(α+θ)+,0=v0tsin(α+θ)-
余下的计算过程同上。
法三:把运动视为v0方向的匀速运动和自由落体运动的合成。如图乙所示。

==,消去t,同样得到L的表达式,余下解略。
【答案】200 m 30°
变式1.(上海交通大学自招)如图所示,某同学设计了一个测量平抛运动初速度的实验装置。O点是小球平抛运动抛出点,在O点有一个频闪的点光源,闪光频率为30Hz,在抛出点的正前方,竖直放置一块毛玻璃,在小球抛出后的运动过程中,当点光源闪光时,在毛玻璃上有一个投影点,在毛玻璃右边用照相机多次曝光的方法拍摄小球在毛玻璃上的投影照片。已知图中O点与毛玻璃水平距离L=1.2m, 相邻的小球投影点之间的距离△h=5cm,则小球在毛玻璃上的投影点做 运动,小球平抛运动的初速度是 m/s。(g取10m/s2)
答案:匀速直线运动,4
解析:投影点在相等时间内位移相等,表明投影点做匀速直线运动,其运动速度v=1.5m/s.
如图,设小球平抛运动的初速度是v0,根据平抛运动规律,小球水平位移x=v0t,下落高度h=
由几何关系,
联立解得:v0=
变式2.(华约自主招生)小球从台阶上以一定初速度水平抛出,恰落到第一级台阶边缘,反弹后再次落下经 0.3s恰落至第 3 级台阶边界,已知每级台阶宽度及高度均为 18cm,取 g=10m/s2。且小球反弹时水平速度不变,竖直速度反向,但变为原速度的1/4 。
(1)求小球抛出时的高度及距第一级台阶边缘的水平距离。
(2)问小球是否会落到第 5级台阶上?说明理由。
解析:(1)设台阶的宽度和高度为a,小球抛出时的水平初速度为w,第一次与台阶碰撞前、后的速度的竖直分量(竖直向上为正方向)的大小分别为vy和v'y。两次与台阶碰撞的时间间隔为t0,则
联立解得vy1=v0=1.2m/s
设小球从第一次抛出到第一次落到台阶上所用时间为t1,落点与抛出点之间的水平距离和竖直距离分别为x1和y1,则t1=vy1/g,
x1=v0t0,
y1=,
联立解得:小球抛出时的高度y1=0.072m,
距第一级台阶边缘的水平距离x1=6.36m。
(2)设小球第二次与台阶碰撞前速度的竖直分量大小为vy2,则vy22-v'y12-=2g(2a)
由得vy2=2.7m/s。
可见:vy2>vy1反弹后再次落下到第3级台阶的水平位置时间将大于0.3s,水平位移将大于2a,所以不会落到第5级台阶上。
题型二 斜抛运动的理解与应用
例2.(“卓越”自主招生)一质量为m的质点以速度v0运动,在t=0时开始受到恒力F0作用,速度大小先减小后增大,其最小值为v1=v0。质点从开始受到恒力作用到速度最小的过程中的位移为(  )
A.         B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题述,质点做类斜抛运动。由质点最小值为v1=v0,可知质点初速度方向与恒力F0方向夹角为150°。可把质点的初速度沿力F0方向和垂直力F0方向分解,质点加速度a=,沿力F0方向的反方向位移y==。质点速度减小到最小值需要时间t==,垂直力F0方向位移x=v0cos 60°·t=。质点从开始受到恒力作用到速度最小的过程中的位移为s==,选项D正确。
变式3.(25届预赛)为训练宇航员能在失重状态下工作和生活,需要创造一种失重的环境.在地球表面附近,当飞机模拟某些在重力作用下的运动时,就可以在飞机座舱内实现短时间的完全失重状态.现要求一架飞机在v1=500m/s时进入失重状态的试验,在速率为v2=1000m/s时退出失重状态试验.重力加速度g=10m/s2试问:
(1)在上述给定的速率要求下,该飞机需要模拟何重运动,方可在一定范围内任意选择失重的时间的长短?试定量讨论影响失重时间长短的因素.
(2)飞机模拟这种运动时,可选择的失重状态的时间范围是多少?
解答:(i) 当飞机作加速度大小为重力加速度g,加速度的方向竖直向下的运动时,座舱内的试验者便处于完全失重状态.这种运动可以是飞机模拟无阻力下的自由落体运动或竖直上抛运动,也可以是斜抛运动.当进入试验速率和退出试验的速率确定后,飞机模拟前两种运动时,重时间长短都是一定的、不可选择的.当飞机模拟无阻力下的斜抛运动时,失重时间的长短与抛射角有关,可在一不范围内进行选择.
考察飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动.设开始试验时飞机的初速度大小为v1,方向与水平方向成θ角,起始位置为A点,经做抛物线运动在B点退出试验,如图所示.以t表示试验经历的时间,在退出试验时的速率为v2,则有




由⑴、⑵、⑶式得

解⑷式得

由⑸式可知,当进入试验时,飞机的速度v1和退出飞机的速度v2确定以后,失重时间的长短可通过θ来调节.
(ii) 当θ=90°时,失重时间最长,由⑸式可求得最长失重时间

当θ=-90°时,失重时间最短,由⑸式可求得最短失重时间

失重时间的调节范围在50s到150s之间.
题型三 圆周运动的描述
例3.(“华约”自主招生)如图所示,AB杆以恒定角速度绕A点转动,并带动套在水平杆OC上的小环M运动。运动开始时,AB杆在竖直位置,则小环M的加速度将(  )
A.逐渐增大     B.先减小后增大
C.先增大后减小 D.逐渐减小
【答案】A
【解析】令∠OAB=ωt,则AB=,环的速度由M指向C,M相对于AB杆速度为M指向B,杆上的M绕A点做圆周运动。所以vM==。M点的加速度aM等于速度对时间的变化率,所以aM=sin ωt。ωt变大,角速度ω不变,加速度变大。
变式4.(“华约”自主招生)平面上两直线夹角为θ(θ<90°),若它们各以垂直于自身的速度v1、v2在该平面上作如图所示的横向运动,求交点相对于纸平面的速率及交点相对于每一直线的速率。
【解析】令t时刻两直线的交点为O点,经一小段Δt时间直线l1移动v1Δt,两直线交点由O移到O1,表示交点O的运动方向沿l2。v1′==。在Δt时间直线l2移动v2Δt,两直线交点由O1移到O2,速度v2′==。这样,交点相对于纸平面的速度
v==
从图中看出,原交点在l1的位置运动到A点,在l2上的位置运动到B点,所以交点O相对于l1速度vA=v1cot θ+,交点O相对于l2速度vB=v2cot θ+。
【答案】见解析
变式5.(26届预赛)某同学选了一个倾角为θ的斜坡,他骑在自行车上刚好能在不踩踏板的情况下让自行车沿斜坡匀速向下行驶,现在他想估测沿此斜坡向上匀速行驶时的功率,为此他数出在上坡过程中某一只脚蹬踩踏板的圈数 N(设不间断的匀速蹬),并测得所用的时间t,再测得下列相关数据:自行车和人的总质量m,轮盘半径Rl,飞轮半径R2,车后轮半径R3.试导出估测功率的表达式.己知上、下坡过程中斜坡及空气作用于自行车的阻力大小相等,不论是在上坡还是下坡过程中,车轮与坡面接触处都无滑动.不计自行车内部各部件之间因相对运动而消耗的能量.
解答:
解法一
因为下坡时自行车匀速行驶,可知阻力大小
f=mgsinθ (1)
由题意,自行车沿斜坡匀速向上行驶时,轮盘的角速度
(2)
设轮盘边缘的线速度为v1,由线速度的定义有
v1=ωR1 (3)
设飞轮边缘的线速度为v2,后车轮边缘的线速度为v3,因为轮盘与飞轮之间用链条连结,它们边缘上的线速度相同,即 v1=v2 (4)
因飞轮与后车轮的转动角速度相同,故有
(5)
因车轮与坡面接触处无滑动,在车后轮绕其中心轴转动一周的时间T内,车后轮中心轴前进的路程
(6 )
而 (7)
车后轮的中心轴前进的速度即自行车行驶速度的大小
(8)
由以上有关各式得 (9)
人骑自行车上坡的功率为克服阻力f 的功率加上克服重力沿斜面分力的功率,即
P=fV+mgVsinθ (10)
由(l)、(9)、(10)式得
(11)
解法二
因下坡时自行车匀速行驶,若自行车出发点的高度为h,则克服阻力所做的功Wf等于势能的减少,有
Wf=mgh (1)
用s表示自行车行驶的路程,有
h =ssinθ (2 )
自行车沿斜坡匀速向上行驶时,骑车者所做的功W,等于克服阻力的功Wf与势能增量mgh之和,即
W=Wf+mgh (3)
设骑车者蹬踩踏板N圈到达下坡时的出发点,因踏板转N圈可使后轮转NR1/R2圈,所以自行车行驶的距离s为 (4)
由(1)到(4)式,得
(5)
上式除以所用时间t,即得骑车者功率
(6)
题型四 圆周运动的动力学问题
例4.(浙江大学自主招生)如图所示,连通器有三根竖直开口的细管A、B、C,两管之间的距离为L。现向连通器中注入适量的水,并让它绕中间的细管B转动起来,当转动角速度为ω时,中间细管B内的水面恰与横管内水面相齐。则A管中水面的高度h为多大?
【解析】取O点右侧水平管中水为研究对象,则(p0+ρgh)S-p0S=,其中m=ρSL,且水平面中各处水的向心力与该处离O点的距离成正比,所以才可以用代替这部分水作圆周运动向心力中的半径,解得h=。
【答案】
变式6.如图所示,半径为、质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接,两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A、B两点上,A、B两点相距为l,当两轻绳伸直后,A、B两点到球心的距离均为l。当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时(轻绳a、b与杆在同一竖直平面内)。求:
(1)竖直杆角速度ω为多大时,小球恰好离开竖直杆;
(2)轻绳a的张力Fa与竖直杆转动的角速度ω之间的关系。
【解析】(1)小球恰好离开竖直杆时,小球与竖直杆间的作用力为零,设此时轻绳a与竖直杆间的夹角为α,由题意可知sin α=, r=
水平方向:Fasin α=mω2r
竖直方向:Facos α=mg
联立解得ω=2 。
(2)由(1)可知0≤ω≤2 时,Fa= mg;
若角速度ω再增大,小球将离开竖直杆,在轻绳b恰伸直前,设轻绳a与竖直杆的夹角为β,此时小球做圆周运动的半径为r=lsin β
水平方向:Fasin β=mω2r
竖直方向:Facos β=mg
联立解得Fa=mω2l
由几何关系知,当轻绳b恰伸直时,β=60°,
解得此时ω= 。
故有Fa=mω2l,此时2 <ω≤ ;
若角速度ω再增大,轻绳b伸直后,小球做圆周运动的半径为r=lsin 60°
水平方向:Fasin 60°+Fbsin 60°=mω2r
竖直方向:Facos 60°=Fbcos 60°+mg
联立解得Fa=mlω2+mg,
此时ω> 。
答案:(1)2  (2)见解析
题型四 曲线运动的综合问题
例5.(23届预赛)一半径为的水平光滑圆桌面,圆心为,有一竖直的立柱固定在桌面上的圆心附近,立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的封闭曲线,如图预17-2所示。一根不可伸长的柔软的细轻绳,一端固定在封闭曲线上的某一点,另一端系一质量为的小物块。将小物块放在桌面上并把绳拉直,再给小物块一个方向与绳垂直、大小为的初速度。物块在桌面上运动时,绳将缠绕在立柱上。已知当绳的张力为时,绳即断开,在绳断开前物块始终在桌面上运动.
(1).问绳刚要断开时,绳的伸直部分的长度为多少
(2).若绳刚要断开时,桌面圆心到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直部分垂直,问物块的落地点到桌面圆心的水平距离为多少?已知桌面高度.物块在桌面上运动时未与立柱相碰.取重力加速度大小为.
解析:(1).因桌面是光滑的,轻绳是不可伸长的和柔软的,且在断开前绳都是被拉紧的,故在绳断开前,物块在沿桌面运动的过程中,其速度始终与绳垂直,绳的张力对物块不做功,物块速度的大小保持不变。设在绳刚要断开时绳的伸直部分的长度为,若此时物块速度的大小为,则有
(1)
绳对物块的拉力仅改变物块速度的方向,是作用于物块的向心力,故有
(2)
由此得
(3)
代入数据得 (4)
(2). 设在绳刚要断开时,物块位于桌面上的点,是绳的伸直部分,物块速度的方向如图预解17-2所示.由题意可知,.因物块离开桌面时的速度仍为,物块离开桌面后便做初速度为的平抛运动,设平抛运动经历的时间为,则有
(5)
物块做平抛运动的水平射程为
(6)
由几何关系,物块落地地点与桌面圆心的水平距离为
(7)
解(5)、(6)、(7)式,得
(8)
代人数据得
变式7.(17届预赛)质量为M的运动员手持一质量为m的物块,以速率v0沿与水平面成a角的方向向前跳跃(如图).为了能跳得更远一点,运动员可在跳远全过程中的某一位置处,沿某一方向把物块抛出.物块抛出时相对运动员的速度的大小u是给定的,物块抛出后,物块和运动员都在同一竖直平面内运动.
(1)若运动员在跳远的全过程中的某时刻to把物块沿与x轴负方向成某θ角的方向抛出,求运动员从起跳到落地所经历的时间.
(2)在跳远的全过程中,运动员在何处把物块沿与x轴负方向成θ角的方向抛出,能使自己跳得更远?若v0和u一定,在什么条件下可跳得最远?并求出运动员跳的最大距离.
解析:(1)规定运动员起跳的时刻为,设运动员在点(见图预解20-6)抛出物块,以表示运动员到达点的时刻,则运动员在点的坐标、和抛物前的速度的分量、分别为
, (1)
(2)
, (3)
(4)
设在刚抛出物块后的瞬间,运动员的速度的分量大小分别为、,物块相对运动员的速度的分量大小分别为、,方向分别沿、负方向。由动量守恒定律可知
, (5)
(6)
因的方向与轴负方向的夹角为,故有
(7)
(8)
解式(1)、(2)、(5)、(6)和式(7)、(8),得
(9)
(10)
抛出物块后,运动员从点开始沿新的抛物线运动,其初速度为、。在时刻()运动员的速度和位置为
, (11)
, (12)
, (13)
(14)
由式(3)、(4)、(9)、(10)、(13)、(14)可得
(15)
(16)
运动员落地时,
由式(16)得
, (17)
方程的根为
(18)
式(18)给出的两个根中,只有当“”取“+”时才符合题意,因为从式(12)和式(10),可求出运动员从点到最高点的时间为式
而从起跳到落地所经历的时间应比上面给出的时间大,故从起跳到落地所经历的时间为
(19)
(2)由式(15)可以看出,越大,越小,跳的距离越大,由式(19)可以看出,当
=0
时,的值最大,由式(3)和式(4)可知,抛出物块处的坐标为
, (20)
即应在原点亦即在刚起跳时把物块抛出,运动员可跳得远一点。由式(19)可以得到运动员自起跳至落地所经历的时间为
把和代入式(15),可求得跳远的距离,为
(21)
可见,若

即 , (22)
时,有最大值,即沿与轴成45方向跳起,且跳起后立即沿与负轴成45方向抛出物块,则有最大值,此最大值为
(23)

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