2023高考物理一轮讲义(全国)第06讲 功与能(word版含答案)

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2023高考物理一轮讲义(全国)第06讲 功与能(word版含答案)

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第6讲 功与能
知识精讲
1.功的概念
力和力的方向上位移的乘积称为功。即
式中是力矢量F与位移矢量s之间的夹角。功是标量,有正、负。外力对物体的总功或合外力对物体所做功等于各个力对物体所做功的代数和。
对于变力对物体所做功,则可用求和来表示力所做功,即
也可以用F=F(s)图象的“面积”来表示功的大小,如图所示。
由于物体运动与参照系的选择有关,因此在不同的参照系中,功的大小可以有不同的数值,但是一对作用力与反作用力做功之和与参照系的选择无关。因为作用力反作用力做功之和取决于力和相对位移,相对位移是与参照系无关的。
值得注意的是,功的定义式中力F应为恒力。如F为变力中学阶段常用如下几种处理方法:
(1)微元法;(2)图象法;(3)等效法。
2. 几种力的功
下面先介绍一下“保守力”与“耗散力”。
具有“做功与路径无关”这一特点的力称为保守力,如重力、弹力和万有引力都属于保守力。不具有这种特点的力称为非保守力,也叫耗散力,如摩擦力。
(1)重力的功
重力在地球附近一个小范围内我们认为是恒力,所以从高度处将重力为mg的物移到高处。重力做功为:,显然与运动路径无关。
(2)弹簧弹力的功
物体在弹簧弹力F=-kx的作用下,从位置运动至位置
,如图(a)所示,其弹力变化F=F(x)如图(b)所示则该过程中弹力的功W可用图中斜线“面积”表示,功大小为
(3)万有引力的功
质量m的质点在另一质量M的质点的作用下由相对距离运动至相对距离的过程中,引力所做功为
3.功率
作用于物体的力在单位时间内所做功称为功率,表达式为
求瞬时功率,取时间则为
式中v为某时刻的瞬时速度,为此刻v与F方向的夹角
4.动能 动能定理
质点动能定理
质量m的质点以速度v运动时,它所具有动能为:
动能是质点动力学状态量,当质点动能发生变化时,是由于外力对质点做了功,其关系是:
W外=
上式表明外力对质点所做功,等于质点动能的变化,这就是质点动能定理。
质点系动能定理
若质点系由n个质点组成,质点系中任一质点都会受到来自于系统以外的作用力(外力)和系统内其它质点对它作用力(内力),在质点运动时,这些力都将做功。设质点系由N个质点组成,选取适当的惯性系,对其中第i个质点用质点动能定理
外+内=
对所有n个质点的动能定理求和就有
外+内=
若用W外、W内、、分别表示外、内、、
则上式可写成W外+ W内=-
由此可见,对于质点系,外力做的功与内力做的功之和等于质点系动能的增量,这就是质点系动能定理。和质点动能定理一样,质点系动能定理只适用于惯性系,但质点系动能定理中的W内一项却是和所选的参照系无关的,因为内力做的功取决于相对位移,而相对位移和所选的参照系是无关的。这一点有时在解题时十分有效。
5. 势能
势能:
若两质点间存在着相互作用的保守力作用,当两质点相对位置发生改变时,不管途径如何,只要相对位置的初态、终态确定,则保守力做功是确定的。存在于保守力相互作用质点之间的,由其相对位置所决定的能量称为质点的势能。规定保守力所做功等于势能变化的负值,即
W保=。
(1)势能的相对性。
通常选定某一状态为系统势能的零值状态,则任何状态至零势能状态保守力所做功大小等于该状态下系统的势能值。原则上零势能状态可以任意选取,因而势能具有相对性。
(2)势能是属于保守力相互作用系统的,而不是某个质点独有的。
(3)只有保守力才有相应的势能,而非保守力没有与之相应的势能。
常见的几种势能:
(1)重力势能
在地球表面附近小范围内,mg重力可视为恒力,取地面为零势能面,则h高处重物m的重力势能为
(2)弹簧的弹性势能
取弹簧处于原长时为弹性势能零点,当弹簧伸长(压缩)x时,弹力F=-kx,弹力做的功为
由前面保守力所做功与势能变化关系可知
(3)引力势能
两个质点M、m相距无穷远处,规定,设m从无穷远处移近M,引力做功W,由于F引=,大小随r变化,可采用微元法分段求和方式。如图,取质点n由A到B,位移为,引力做功
很小,、差异很小,则
由无穷远至距r处,引力功W为
开始时,最后相对距离为=r
又有
质点与均匀球体间引力势能,在球体外,可认为球体质量集中于球心,所以引力势能为
r≥R R为球半径
质量M,半径为R的薄球壳,由于其内部引力合力为零,故任意两点间移动质点m,引力均不做功,引力势能为恒量,所以质量m质点在薄球壳附近引力势能为
=
6.功能原理和机械能守恒定律
功能原理:
根据质点系动能定理
当质点系内有保守力作用和非保守力作用时,内力所做功又可分为
而由保守力做功特点知,保守力做功等于势能增量的负值,即
于是得到
用E表示势能与动能之和,称为系统机械能,结果得到
外力的功和非保守力内力所做功之和等于系统机械能的增量,这就是质点系的功能原理。可以得到(外力做正功使物体系机械能增加,而内部的非保守力作负功会使物体系的机械能减少)。
机械能守恒定律:
若外力的与非保守内力的功之和为零时,则系统机械能守恒,这就是机械能守恒定律。
注意:该定律只适用于惯性系,它同时必须是选择同一惯性参照系。在机械能守恒系统中,由于保守内力做功,动能和势能相互转化,而总的机械能则保持不变。
典型例题
题型一 机车启动问题
例1.(“华约”自主招生)(1)质量为1 t的汽车在10 s内由静止加速到60 km/h,若不计空气阻力,发动机的平均输出功率约多少?
(2)汽车速度较大时,空气阻力不能忽略,将汽车模型简化为横截面积约1 m2的长方体,并以此模型估算汽车以60 km/h行驶时因克服空气阻力所增加的功率。(空气密度ρ=1.3 kg/m3)
(3)数据表明,上述汽车所受阻力与速度平方的关系如图所示。假定除空气阻力外,汽车行驶所受的其他阻力与速度无关,估算其他阻力的大小。
【解析】(1)不计空气阻力,发动机做的功转化为汽车的动能,发动机的平均输出功率====1.39×104 W。
(2)令汽车的横截面积为S,当汽车以速度v运动时,前方空气的速度为v,在Δt时间内,以S为底、vΔt为长的长方体内空气的动能为Ek=(ρSvΔt)v2。为使该空气在Δt时间内获得上述动能,需要增加的功率为P==ρSv3=3×103 W。
(3)当汽车匀速运动时,牵引力与阻力平衡,由图可知,F=kv2+f,式中f为除空气阻力以外的其他阻力,用外推法得,直线与F轴的交点为f=125 N。
【答案】(1)1.39×104 W (2)3×103 W (3)125 N
变式1.电动机带动电梯上下时要加一配重,其装置如图所示。A、B是两个定滑轮,C是动滑轮,不计滑轮摩擦和重量,配重的质量m=1 000 kg,电梯载人后的总质量M=3 000 kg。设电梯向上为正方向,取g=10 m/s2。求:
(1)电梯向上匀速运动,速度为v1=3 m/s,电动机的输出功率。
(2)电梯向上运动,加速度为a=-0.5 m/s2,速度为v2=3 m/s时电动机的输出功率。
【解析】(1)电梯向上匀速运动时,电动机牵引绳索的拉力为F1=(M-m)g,速度为v1′=2v1
电动机输出功率为P1=F1v1′=(M-m)gv1=60 kW。
(2)电梯向上加速运动时,加速度a=-0.5 m/s2,电动机牵引绳索的拉力为F2;此时配重向下做加速运动,加速度大小也为a,与电梯相连的绳的拉力设为FT。由牛顿第二定律有mg-FT=ma
2F2+FT-Mg=Ma
解得F2=[(M-m)g+(M+m)a]
电梯上升速度为v2时,电动机牵引绳索的速度为v2′=2v2
电动机输出功率为P2=F2v2′=[(M-m)g+(M+m)a]v2=54 kW。
【答案】(1)60 kW (2)54 kW
题型二 动能定理的理解与应用
例2.(清华大学自主招生)在光滑的水平桌面上有两个质量均为m的小球,由长度为2l的拉紧细线相连。以一恒力作用于细线中点,恒力的大小为F,方向平行于桌面。两球开始运动时,细线与恒力方向垂直。在两球碰撞前瞬间,两球的速度在垂直于恒力方向的分量为(  )
A.          B.
C.2 D.
【答案】B 
【解析】要计算在两球碰撞前瞬间,两球的速度在垂直于恒力方向的分量,可以不考虑两球沿恒力方向的运动,这样设想,两小球沿连线方向的光滑轨道运动,在两球碰撞前瞬间,恒力F相对两球连线的位移为l,恒力做功F·l=2·mvx2。解得:vx= ,选项B正确。
变式2.(“北约”自主招生)如图所示,与水平地面夹角为锐角的斜面底端A向上有三个等间距点B、C和D,即AB=BC=CD。小滑块P以初速v0从A出发,沿斜面向上运动。先设置斜面与滑块间处处无摩擦,则滑块到达D位置刚好停下,而后下滑。若设置斜面AB部分与滑块间有处处相同的摩擦,其余部位与滑块间仍无摩擦,则滑块上行到C位置刚好停下,而后下滑。滑块下滑到B位置时速度大小为________,回到A端时速度大小为________。
【解析】由于A、B、C、D等间距,A、B、C、D所处的高度均匀变化,设A到B重力做功为WG,从A到D,根据动能定理,有-3WG=0-mv02 ①
若设置斜面AB部分与滑块间有处处相同的摩擦,设克服摩擦力做功为Wf,根据动能定理,有-2WG-Wf=0-mv02 ②
由①②联立解得:Wf=WG ③
设滑块下滑到B位置时速度大小为vB,根据动能定理,有WG=mvB2④
由①④联立解得:vB=v0。
滑块由B到A,由动能定理,WG-Wf=mvA2-mvB2⑤
由③⑤联立解得:vA=vB=v0
【答案】v0 v0
题型三 动能定理在多过程中的应用
例3.(2016年全国一卷)如图,一轻弹簧原长为2R,其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处,另一端位于直轨道上B处,弹簧处于自然状态,直轨道与一半径为的光滑圆弧轨道相切于C点,AC=7R,A、B、C、D均在同一竖直面内。质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑,最低到达E点(未画出),随后P沿轨道被弹回,最高点到达F点,AF=4R,已知P与直轨道间的动摩擦因数,重力加速度大小为g。(取,)
(1)求P第一次运动到B点时速度的大小。
(2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能。
(3)改变物块P的质量,将P推至E点,从静止开始释放。已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后,恰好通过G点。G点在C点左下方,与C点水平相距、竖直相距R,求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量。
解析:(1)选为研究对象,受力分析如图:设加速度为,其垂直于斜面方向受力平衡:
沿斜面方向,由牛顿第二定律得:
且,可得:
对段过程,由
代入数据得点速度:
(2)从点出发,最终静止在,分析整段过程;
由到,重力势能变化量: ①
减少的重力势能全部转化为内能。
设点离点的距离为,从到,产热:

由,联立①、②解得:;
研究从点运动到点过程
重力做功:
摩擦力做功:
动能变化量:
由动能定理:
代入得:
由,到点时弹性势能为。
(3)其几何关系如图可知:,
由几何关系可得,点在左下方,竖直高度差为,水平距离为。
设从点抛出时速度为,到点时间为
其水平位移:
竖直位移:
解得:
研究从点到点过程,设此时质量为,此过程中:
重力做功: ①
摩擦力做功: ②
弹力做功: ③
动能变化量: ④
由动能定理: ⑤
将①②③④代入⑤,可得:
变式3.如图所示,水平传送带A、B两轮间的距离L=40 m,离地面的高度H=3.2 m,传送带以恒定的速率v0=2 m/s向右匀速运动.两个完全一样的小滑块P、Q中间夹有一根轻质弹簧(弹簧与P、Q不拴接),用一轻绳把两滑块拉至最近(弹簧始终处于弹性限度内),使弹簧处于最大压缩状态.现将P、Q轻放在传送带的最左端,P、Q一起从静止开始运动,t1=4 s时轻绳突然断开,很短时间内弹簧伸长至本身的自然长度(不考虑弹簧的长度的影响),此时滑块P速度反向,滑块Q的速度大小刚好是P的速度大小的两倍.已知小滑块的质量均为m=0.2 kg,小滑块与传送带之间的动摩擦因数μ=0.1,重力加速度g=10 m/s2.求:
(1)弹簧处于最大压缩状态时的弹性势能;
(2)两滑块落地的时间差;
(3)两滑块在传送带上运动的全过程中由于摩擦产生的热量.
答案 (1)7.2 J (2)6 s (3)6.4 J
解析 (1)滑块的加速度大小a=μg=1 m/s2
滑块P、Q从静止到与传送带共速所需时间t0==2 s
P、Q共同加速的位移大小x0=at02=2 m故滑块第2 s末相对传送带静止
取向右为速度的正方向,
由动量守恒定律有2mv0=mvQ+mvP
又|vQ|=2|vP|
解得vQ=8 m/s,vP=-4 m/s
最大压缩状态时,弹簧的弹性势能Ep=mv+mv-×2m·v02=7.2 J
(2)两滑块离开传送带后做平抛运动的时间相等,故两滑块的落地时间差就是弹簧恢复到自然长度后,两滑块在传送带上运动的时间之差.t1=4 s时,滑块P、Q位移大小x1=x0+v0(t1-t0)=6 m
滑块Q与传送带相对静止时所用的时间t2==6 s
这段时间内滑块Q的位移大小x2=vQt2-at22=30 m故滑块Q先减速后匀速,匀速运动时间
t3==2 s
滑块P速度减小到0时运动的位移大小x3==8 m>x1=6 m
滑块P运动到左端时的速度大小|vP′|==2 m/s
运动时间t4==2 s
两滑块落地时间差Δt=t2+t3-t4=6 s
(3)滑块P、Q共同加速阶段Q1=2μmg(v0t0-x0)=0.8 J
分离后滑块Q向右运动阶段Q2=μmg(x2-v0t2)=3.6 J
滑块P向左运动阶段Q3=μmg(x1+v0t4)=2 J
全过程产生的总热量Q=Q1+Q2+Q3=6.4 J
题型四 机械能守恒定律的应用
例4.(“北约”自主招生)如图,一个质量为2m的球和一个质量为m的球,用长度为2r的轻杆连在一起,两个球都限制在半径为r的光滑圆形竖直轨道上,轨道固定于地面。初始时刻,轻杆竖直,且质量为2m的球在上方;此时,受扰动两球开始运动,当质量为2m的球运动到轨道最低点时,速度为________。轨道对两球组成的系统的力为________。
【解析】取光滑圆形竖直轨道的圆心为零势能参考平面,设质量为2m的球运动到轨道最低点时速度为v,由机械能守恒,有:
2mgr-mgr=mgr-2mgr+mv2+·2mv2,
解得:v=2
设轻杆中弹力为F,轨道对质量为2m的球向上的支持力为F1,对质量为m的球向下的压力为F2,对运动到轨道最低点的质量为2m的小球,由牛顿第二定律,F1-2mg-F=2m,
对运动到轨道最高点的质量为m的小球,由牛顿第二定律,F2+mg-F=m,
两式相减得:F1-F2=3mg+m。
将v=2 代入得:F1-F2=3mg+=。
【答案】2  
变式4.(29届预赛)如图所示,一根跨越一固定的水平光滑细杆的柔软、不可伸长的轻绳,两端各系一个质量相等的小球A和B,球A刚好接触地面,球B被拉到与细杆同样高度的水平位置,当球B到细杆的距离为L时,绳刚好拉直.在绳被拉直时释放球B,使球B从静止开始向下摆动.求球A刚要离开地面时球B与其初始位置的高度差.
解:设球A刚要离开地面时联接球B的绳与其初始位置的夹角为,如图所示,这里球B的速度为,绳对球B的拉力为T,根据牛顿第二定律和能量守恒,有


当A球刚要离开地面时,有

以h表示所求高度差,有

由①②③④解得 ⑤
题型五 系统机械能守恒的应用
1.速率相等的连接体模型
如图所示的两物体组成的系统,当释放B而使A、B运动的过程中,A、B的速度均沿绳子方向,在相等时间内A、B运动的路程相等,则A、B的速率相等。
判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断,而从能量转化的角度判断,即:如果系统中只有动能和势能相互转化,系统的机械能守恒。这类题目的典型特点是系统不受摩擦力作用。
2.角速度相等的连接体模型
如图所示的两物体组成的系统,当释放后A、B在竖直平面内绕O点的轴转动,在转动的过程中相等时间内A、B转过的角度相等,则A、B转动的角速度相等。
系统机械能守恒的特点
(1)一个物体的机械能增加,另一个物体的机械能必然减少,机械能通过内力做功实现物体间的转移。
(2)内力对一个物体做正功,必然对另外一个物体做负功,且二者代数和为零。 
3.分速度大小相等的连接体模型
如图所示的两物体组成的系统,当释放后A、B运动的过程中,A、B的速度并非均沿绳子方向,在相等时间内A、B运动的路程不相等,则A、B的速度大小不相等,但二者在沿着绳子方向的分速度大小相等。
列系统机械能守恒的两种思路
(1)系统动能的减少(增加)等于重力势能的增加(减少)。
(2)一个物体机械能的减少等于另一个物体机械能的增加。
例5.(浙江大学自主招生)如图所示,一根长为l的细刚性轻杆的两端分别连结小球a和b,它们的质量分别为ma和mb。杆可绕距a球为处的水平定轴O在竖直平面内转动。初始时杆处于竖直位置。小球b几乎接触桌面。在杆的右边水平桌面上,紧挨着细杆放着一个质量为m的立方体匀质物块,图中ABCD为过立方体中心且与细杆共面的截面。现用一水平恒力F作用于a球上,使之绕O轴逆时针转动,求当a转过α角时小球b速度的大小。设在此过程中立方体物块没有发生转动,且小球b与立方体物块始终接触没有分离。不计一切摩擦。
【解析】如图所示,用vb表示a球转过α角时b球速度的大小,v表示此时立方体速度的大小,则有vbcos α=v。b与正方体之间的弹力做功之和为0。因此在整个过程中推力F所做的功应等于球a、b和正立方体机械能的增量。现用va表示此时a球速度的大小,因为a、b角速度相同,Oa=l,Ob=l,所以va=vb。根据功能原理可知F××sin α=mava2-mag+mbvb2+mbg+×mv2,有F·sin α=ma2-mag+mbvb2+mbg+m×(vbcos α)2,解得vb= 。
【答案】见解析
变式5.(清华大学自招)如图所示,一个半径为R的半球形碗固定在桌面上,碗口水平,O点为其圆心,碗的内表面及碗口是光滑的。一根足够长的轻质细线跨在碗口上,线的两端分别系有小球A(可视为质点)和B,当它们处于平衡状态时,小球A与O点的连线与水平线的夹角为60°。求:
(1)小球A与小球B的质量比mA∶mB。
(2)现将A球质量改为2m,B球质量改为m,且开始时A球位于碗口右端的C点,由静止沿碗下滑。当A球滑到碗底时,两球总的重力势能改变量的大小。
(3)在(2)的条件下,当A球滑到碗底时,B球的速度大小。
【解析】(1)设碗的内表面对A球的支持力为FN,细线中拉力为FT,由平衡条件得FNcos 60°=FTcos 60° ①
FNsin 60°+FTsin 60°=mAg ②
FT=mBg ③
由①②③联立解得:=。
(2)当A球滑到碗底时,B球上升的高度为R,两球总的重力势能的减小量:
ΔEp=2mgR-mgR=(2-)mgR。 ④
(3)对系统由机械能守恒定律得,
(2-)mgR=×2mvA2+mvB2 ⑤
其中vAcos 45°=vB⑥
解得:vB= 。 ⑦
【答案】 (1)∶1 (2)(2-)mgR (3)
变式6.(17届预赛)如图所示,B是质量为mB、半径为R的光滑半球形碗,放在光滑的水平桌面上。A是质为mA的细长直杆,被固定的光滑套管C约束在竖直方向,A可自由上下运动。碗和杆的质量关系为:mB=2mA。初始时,A杆被握住,使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触(如图)。然后从静止开始释放A,A、B便开始运动。设A杆的位置用 表示, 为碗面的球心O至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角。求A与B速度的大小(表示成 的函数)。
解析:由题设条件知,若从地面参考系观测,则任何时刻,A沿竖直方向运动,设其速度为vA,B沿水平方向运动,设其速度为vB,若以B为参考系,从B观测,则A杆保持在竖直方向,它与碗的接触点在碗面内作半径为R的圆周运动,速度的方向与圆周相切,设其速度为VA。杆相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度,速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示。由图得
(1)
(2)
因而
(3)
由能量守恒
(4)
由(3)、(4)两式及mB=2mA得
(5)
(6)
题型六 功能关系的应用
例6.(北京大学自主招生)长为6L、质量为6m的匀质绳,置于特制的水平桌面上,绳的一端悬垂于桌边外,另一端系有一个可视为质点的质量为M的木块,如图所示,木块在AB段与桌面无摩擦,在BE段与桌面有摩擦,匀质绳与桌面的摩擦可忽略。初始时刻用手按住木块使其停在A处,绳处于绷紧状态,AB=BC=CD=DE=L,放手后,木块最终停在C处,桌面距地面高度大于6L。
(1)求木块与BE段的动摩擦因数μ;
(2)若木块在BE段与桌面间的动摩擦因数变为μ′=,则木块最终停在何处?
(3)是否存在一个μ值,能使木块从A处释放后,最终停在E处,且不再运动?若能,求出该μ值;若不能,简要说明理由。
【解析】(1)A到B用由机械能守恒得,3mgL-2mgL=(M+6m),解得vB= 。A到C由功能关系得,4mg×2L-2mgL=μMgL,解得μ=。
(2)设A到停止点距离为x,重力做功W等于重力势能的减少量,由功能关系得:mg-2mgL=μ′Mg·(x-L),解得x=3L,另一个解x=3.5L舍去。
(3)木块要停在E处,由力的平衡条件得μMg≥6mg,即μ≥。由功能关系得滑到E点的条件为6mg·3L-2mgL≥μMg·3L,即μ≤。两者矛盾,故不能。
【答案】(1) (2)停在距A点3L处 (3)不能。理由见解析。
变式7.(上海交通大学自主招生)如图所示,甲、乙两个小球分别固定在一根直角尺的两端A、B,直角尺的顶点O处有光滑的水平固定转动轴,且OA=OB=L,系统平衡时,OA与竖直方向的夹角为37°。
(1)求甲、乙两个小球的质量之比。
(2)若将直角尺顺时针缓慢转动到OA处于水平位置后由静止释放,求开始转动后B球可能达到的最大速度和可能达到的最高点。
【解析】(1)以O点为转轴,由力矩平衡条件,
mAgLsin 37°=mBgLcos 37°
解得甲、乙两个小球的质量之比:=。
(2)当OA处于水平位置后由静止释放,当OA运动到如题图所示的平衡位置速度最大,由动能定理,
mAgLcos 37°-mBgL(1-sin 37°)=(mA+mB)v2,
解得:v= 。
当OA摆动过程中,根据振动的物体两侧的振幅相等的特点,当OA向右摆动到与竖直位置成53°-37°=16°时,是右侧的最高位置,此时B球的最高位置距O点的高度为h=Lsin 16°,即开始转动后B球可能达到的最高点为距O点的高度为h=Lsin 16°。
【答案】(1) (2)  在O点上方,距O点的高度为Lsin 16°
变式8.(“北约”自主招生)两个相同的铁球,质量均为m,由原长为L0、劲度系数为k的弹簧连接,设法维持弹簧在原长位置由静止释放两球(两球连线竖直)。设开始时下面铁球距离桌面的高度为h,而且下面铁球与桌面的碰撞为完全非弹性的碰撞。
(1)求弹簧的最大压缩量x。
(2)如果使铁球放在光滑水平面上绕过质心的竖直轴转动,此时弹簧长度变为L,求转动的角速度ω。
【解析】(1)两铁球开始一起做自由落体运动,着地时速度v0=。
下面铁球着地后瞬间速度变为零,而上面铁球以速度v0=向下运动压缩弹簧。当上面铁球的速度减小到零时,弹簧有最大压缩量x。由能量守恒定律:
kx2=mgx+mv02,
解得x=。
(2)铁球绕过弹簧正中间的竖直轴转动,对铁球:k(L-L0)=。
解得:ω= 。
【答案】(1) (2)第6讲 功与能
知识精讲
1.功的概念
力和力的方向上位移的乘积称为功。即
式中是力矢量F与位移矢量s之间的夹角。功是标量,有正、负。外力对物体的总功或合外力对物体所做功等于各个力对物体所做功的代数和。
对于变力对物体所做功,则可用求和来表示力所做功,即
也可以用F=F(s)图象的“面积”来表示功的大小,如图所示。
由于物体运动与参照系的选择有关,因此在不同的参照系中,功的大小可以有不同的数值,但是一对作用力与反作用力做功之和与参照系的选择无关。因为作用力反作用力做功之和取决于力和相对位移,相对位移是与参照系无关的。
值得注意的是,功的定义式中力F应为恒力。如F为变力中学阶段常用如下几种处理方法:
(1)微元法;(2)图象法;(3)等效法。
2. 几种力的功
下面先介绍一下“保守力”与“耗散力”。
具有“做功与路径无关”这一特点的力称为保守力,如重力、弹力和万有引力都属于保守力。不具有这种特点的力称为非保守力,也叫耗散力,如摩擦力。
(1)重力的功
重力在地球附近一个小范围内我们认为是恒力,所以从高度处将重力为mg的物移到高处。重力做功为:,显然与运动路径无关。
(2)弹簧弹力的功
物体在弹簧弹力F=-kx的作用下,从位置运动至位置
,如图(a)所示,其弹力变化F=F(x)如图(b)所示则该过程中弹力的功W可用图中斜线“面积”表示,功大小为
(3)万有引力的功
质量m的质点在另一质量M的质点的作用下由相对距离运动至相对距离的过程中,引力所做功为
3.功率
作用于物体的力在单位时间内所做功称为功率,表达式为
求瞬时功率,取时间则为
式中v为某时刻的瞬时速度,为此刻v与F方向的夹角
4.动能 动能定理
质点动能定理
质量m的质点以速度v运动时,它所具有动能为:
动能是质点动力学状态量,当质点动能发生变化时,是由于外力对质点做了功,其关系是:
W外=
上式表明外力对质点所做功,等于质点动能的变化,这就是质点动能定理。
质点系动能定理
若质点系由n个质点组成,质点系中任一质点都会受到来自于系统以外的作用力(外力)和系统内其它质点对它作用力(内力),在质点运动时,这些力都将做功。设质点系由N个质点组成,选取适当的惯性系,对其中第i个质点用质点动能定理
外+内=
对所有n个质点的动能定理求和就有
外+内=
若用W外、W内、、分别表示外、内、、
则上式可写成W外+ W内=-
由此可见,对于质点系,外力做的功与内力做的功之和等于质点系动能的增量,这就是质点系动能定理。和质点动能定理一样,质点系动能定理只适用于惯性系,但质点系动能定理中的W内一项却是和所选的参照系无关的,因为内力做的功取决于相对位移,而相对位移和所选的参照系是无关的。这一点有时在解题时十分有效。
5. 势能
势能:
若两质点间存在着相互作用的保守力作用,当两质点相对位置发生改变时,不管途径如何,只要相对位置的初态、终态确定,则保守力做功是确定的。存在于保守力相互作用质点之间的,由其相对位置所决定的能量称为质点的势能。规定保守力所做功等于势能变化的负值,即
W保=。
(1)势能的相对性。
通常选定某一状态为系统势能的零值状态,则任何状态至零势能状态保守力所做功大小等于该状态下系统的势能值。原则上零势能状态可以任意选取,因而势能具有相对性。
(2)势能是属于保守力相互作用系统的,而不是某个质点独有的。
(3)只有保守力才有相应的势能,而非保守力没有与之相应的势能。
常见的几种势能:
(1)重力势能
在地球表面附近小范围内,mg重力可视为恒力,取地面为零势能面,则h高处重物m的重力势能为
(2)弹簧的弹性势能
取弹簧处于原长时为弹性势能零点,当弹簧伸长(压缩)x时,弹力F=-kx,弹力做的功为
由前面保守力所做功与势能变化关系可知
(3)引力势能
两个质点M、m相距无穷远处,规定,设m从无穷远处移近M,引力做功W,由于F引=,大小随r变化,可采用微元法分段求和方式。如图,取质点n由A到B,位移为,引力做功
很小,、差异很小,则
由无穷远至距r处,引力功W为
开始时,最后相对距离为=r
又有
质点与均匀球体间引力势能,在球体外,可认为球体质量集中于球心,所以引力势能为
r≥R R为球半径
质量M,半径为R的薄球壳,由于其内部引力合力为零,故任意两点间移动质点m,引力均不做功,引力势能为恒量,所以质量m质点在薄球壳附近引力势能为
=
6.功能原理和机械能守恒定律
功能原理:
根据质点系动能定理
当质点系内有保守力作用和非保守力作用时,内力所做功又可分为
而由保守力做功特点知,保守力做功等于势能增量的负值,即
于是得到
用E表示势能与动能之和,称为系统机械能,结果得到
外力的功和非保守力内力所做功之和等于系统机械能的增量,这就是质点系的功能原理。可以得到(外力做正功使物体系机械能增加,而内部的非保守力作负功会使物体系的机械能减少)。
机械能守恒定律:
若外力的与非保守内力的功之和为零时,则系统机械能守恒,这就是机械能守恒定律。
注意:该定律只适用于惯性系,它同时必须是选择同一惯性参照系。在机械能守恒系统中,由于保守内力做功,动能和势能相互转化,而总的机械能则保持不变。
典型例题
题型一 机车启动问题
例1.(“华约”自主招生)(1)质量为1 t的汽车在10 s内由静止加速到60 km/h,若不计空气阻力,发动机的平均输出功率约多少?
(2)汽车速度较大时,空气阻力不能忽略,将汽车模型简化为横截面积约1 m2的长方体,并以此模型估算汽车以60 km/h行驶时因克服空气阻力所增加的功率。(空气密度ρ=1.3 kg/m3)
(3)数据表明,上述汽车所受阻力与速度平方的关系如图所示。假定除空气阻力外,汽车行驶所受的其他阻力与速度无关,估算其他阻力的大小。
变式1.电动机带动电梯上下时要加一配重,其装置如图所示。A、B是两个定滑轮,C是动滑轮,不计滑轮摩擦和重量,配重的质量m=1 000 kg,电梯载人后的总质量M=3 000 kg。设电梯向上为正方向,取g=10 m/s2。求:
(1)电梯向上匀速运动,速度为v1=3 m/s,电动机的输出功率。
(2)电梯向上运动,加速度为a=-0.5 m/s2,速度为v2=3 m/s时电动机的输出功率。
题型二 动能定理的理解与应用
例2.(清华大学自主招生)在光滑的水平桌面上有两个质量均为m的小球,由长度为2l的拉紧细线相连。以一恒力作用于细线中点,恒力的大小为F,方向平行于桌面。两球开始运动时,细线与恒力方向垂直。在两球碰撞前瞬间,两球的速度在垂直于恒力方向的分量为(  )
A.          B.
C.2 D.
变式2.(“北约”自主招生)如图所示,与水平地面夹角为锐角的斜面底端A向上有三个等间距点B、C和D,即AB=BC=CD。小滑块P以初速v0从A出发,沿斜面向上运动。先设置斜面与滑块间处处无摩擦,则滑块到达D位置刚好停下,而后下滑。若设置斜面AB部分与滑块间有处处相同的摩擦,其余部位与滑块间仍无摩擦,则滑块上行到C位置刚好停下,而后下滑。滑块下滑到B位置时速度大小为________,回到A端时速度大小为________。
题型三 动能定理在多过程中的应用
例3.(2016年全国一卷)如图,一轻弹簧原长为2R,其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处,另一端位于直轨道上B处,弹簧处于自然状态,直轨道与一半径为的光滑圆弧轨道相切于C点,AC=7R,A、B、C、D均在同一竖直面内。质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑,最低到达E点(未画出),随后P沿轨道被弹回,最高点到达F点,AF=4R,已知P与直轨道间的动摩擦因数,重力加速度大小为g。(取,)
(1)求P第一次运动到B点时速度的大小。
(2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能。
(3)改变物块P的质量,将P推至E点,从静止开始释放。已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后,恰好通过G点。G点在C点左下方,与C点水平相距、竖直相距R,求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量。
变式3.如图所示,水平传送带A、B两轮间的距离L=40 m,离地面的高度H=3.2 m,传送带以恒定的速率v0=2 m/s向右匀速运动.两个完全一样的小滑块P、Q中间夹有一根轻质弹簧(弹簧与P、Q不拴接),用一轻绳把两滑块拉至最近(弹簧始终处于弹性限度内),使弹簧处于最大压缩状态.现将P、Q轻放在传送带的最左端,P、Q一起从静止开始运动,t1=4 s时轻绳突然断开,很短时间内弹簧伸长至本身的自然长度(不考虑弹簧的长度的影响),此时滑块P速度反向,滑块Q的速度大小刚好是P的速度大小的两倍.已知小滑块的质量均为m=0.2 kg,小滑块与传送带之间的动摩擦因数μ=0.1,重力加速度g=10 m/s2.求:
(1)弹簧处于最大压缩状态时的弹性势能;
(2)两滑块落地的时间差;
(3)两滑块在传送带上运动的全过程中由于摩擦产生的热量.
题型四 机械能守恒定律的应用
例4.(“北约”自主招生)如图,一个质量为2m的球和一个质量为m的球,用长度为2r的轻杆连在一起,两个球都限制在半径为r的光滑圆形竖直轨道上,轨道固定于地面。初始时刻,轻杆竖直,且质量为2m的球在上方;此时,受扰动两球开始运动,当质量为2m的球运动到轨道最低点时,速度为________。轨道对两球组成的系统的力为________。
变式4.(29届预赛)如图所示,一根跨越一固定的水平光滑细杆的柔软、不可伸长的轻绳,两端各系一个质量相等的小球A和B,球A刚好接触地面,球B被拉到与细杆同样高度的水平位置,当球B到细杆的距离为L时,绳刚好拉直.在绳被拉直时释放球B,使球B从静止开始向下摆动.求球A刚要离开地面时球B与其初始位置的高度差.
题型五 系统机械能守恒的应用
1.速率相等的连接体模型
如图所示的两物体组成的系统,当释放B而使A、B运动的过程中,A、B的速度均沿绳子方向,在相等时间内A、B运动的路程相等,则A、B的速率相等。
判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断,而从能量转化的角度判断,即:如果系统中只有动能和势能相互转化,系统的机械能守恒。这类题目的典型特点是系统不受摩擦力作用。
2.角速度相等的连接体模型
如图所示的两物体组成的系统,当释放后A、B在竖直平面内绕O点的轴转动,在转动的过程中相等时间内A、B转过的角度相等,则A、B转动的角速度相等。
系统机械能守恒的特点
(1)一个物体的机械能增加,另一个物体的机械能必然减少,机械能通过内力做功实现物体间的转移。
(2)内力对一个物体做正功,必然对另外一个物体做负功,且二者代数和为零。 
3.分速度大小相等的连接体模型
如图所示的两物体组成的系统,当释放后A、B运动的过程中,A、B的速度并非均沿绳子方向,在相等时间内A、B运动的路程不相等,则A、B的速度大小不相等,但二者在沿着绳子方向的分速度大小相等。
列系统机械能守恒的两种思路
(1)系统动能的减少(增加)等于重力势能的增加(减少)。
(2)一个物体机械能的减少等于另一个物体机械能的增加。
例5.(浙江大学自主招生)如图所示,一根长为l的细刚性轻杆的两端分别连结小球a和b,它们的质量分别为ma和mb。杆可绕距a球为处的水平定轴O在竖直平面内转动。初始时杆处于竖直位置。小球b几乎接触桌面。在杆的右边水平桌面上,紧挨着细杆放着一个质量为m的立方体匀质物块,图中ABCD为过立方体中心且与细杆共面的截面。现用一水平恒力F作用于a球上,使之绕O轴逆时针转动,求当a转过α角时小球b速度的大小。设在此过程中立方体物块没有发生转动,且小球b与立方体物块始终接触没有分离。不计一切摩擦。
变式5.(清华大学自招)如图所示,一个半径为R的半球形碗固定在桌面上,碗口水平,O点为其圆心,碗的内表面及碗口是光滑的。一根足够长的轻质细线跨在碗口上,线的两端分别系有小球A(可视为质点)和B,当它们处于平衡状态时,小球A与O点的连线与水平线的夹角为60°。求:
(1)小球A与小球B的质量比mA∶mB。
(2)现将A球质量改为2m,B球质量改为m,且开始时A球位于碗口右端的C点,由静止沿碗下滑。当A球滑到碗底时,两球总的重力势能改变量的大小。
(3)在(2)的条件下,当A球滑到碗底时,B球的速度大小。
变式6.(17届预赛)如图所示,B是质量为mB、半径为R的光滑半球形碗,放在光滑的水平桌面上。A是质为mA的细长直杆,被固定的光滑套管C约束在竖直方向,A可自由上下运动。碗和杆的质量关系为:mB=2mA。初始时,A杆被握住,使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触(如图)。然后从静止开始释放A,A、B便开始运动。设A杆的位置用 表示, 为碗面的球心O至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角。求A与B速度的大小(表示成 的函数)。
题型六 功能关系的应用
例6.(北京大学自主招生)长为6L、质量为6m的匀质绳,置于特制的水平桌面上,绳的一端悬垂于桌边外,另一端系有一个可视为质点的质量为M的木块,如图所示,木块在AB段与桌面无摩擦,在BE段与桌面有摩擦,匀质绳与桌面的摩擦可忽略。初始时刻用手按住木块使其停在A处,绳处于绷紧状态,AB=BC=CD=DE=L,放手后,木块最终停在C处,桌面距地面高度大于6L。
(1)求木块与BE段的动摩擦因数μ;
(2)若木块在BE段与桌面间的动摩擦因数变为μ′=,则木块最终停在何处?
(3)是否存在一个μ值,能使木块从A处释放后,最终停在E处,且不再运动?若能,求出该μ值;若不能,简要说明理由。
变式7.(上海交通大学自主招生)如图所示,甲、乙两个小球分别固定在一根直角尺的两端A、B,直角尺的顶点O处有光滑的水平固定转动轴,且OA=OB=L,系统平衡时,OA与竖直方向的夹角为37°。
(1)求甲、乙两个小球的质量之比。
(2)若将直角尺顺时针缓慢转动到OA处于水平位置后由静止释放,求开始转动后B球可能达到的最大速度和可能达到的最高点。

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